S U L L A R I D U Z I O N E R E G I O N A L E E S U L M E T O D O 

D E L L E D E R I V A T E S E C O N D E I N G R A V I M E T R I A 

ANTONIO M A R U S S I 

1. I n a l c u n i r e c e n t i l a v o r i ( 1 ) sono s t a t i i l l u s t r a t i p a r t i c o l a r i m e -

t o d i p e r l a i n t e r p r e t a z i o n e d e l l e m i s u r e di g r a v i t à , c h e t e n d o n o a m e t -

t e r e i n r i s a l t o l e c o s i d e t t e a n o m a l i e l o c a l i , d o v u t e a d i s t r i b u z i o n i d i 

d e n s i t à l o c a l i z z a t e e p o c o p r o f o n d e , q u a l i s o n o p e r l o p i ù q u e l l e c h e 

i n t e r e s s a n o l a p r o s p e z i o n e g e o m i n e r a r i a ; q u e s t i m e t o d i si b a s a n o so-

s t a n z i a l m e n t e s u l l o s t u d i o d e l l e d i f f e r e n z e f r a i l v a l o r e ga d e l l a g r a v i t à 

i n u n p u n t o P0, e l a m e d i a ( o l e m e d i e ) gH dei v a l o r i g su u n o (o p i ù ) 

c e r c h i di o p p o r t u n o r a g g i o R a v e n t i Pa c o m e c e n t r o , t r a c c i a t i s u l l a su-

p e r f i c i e e q u i p o t e n z i a l e S p e r P0. 

S i p r e s c i n d e q u i dai p r o c e d i m e n t i a d o t t a t i p e r ridurre a l l a s u p e r -

ficie e q u i p o t e n z i a l e X i v a l o r i d e l l a g r a v i t à e f f e t t i v a m e n t e o s s e r v a t i , 

n o t a n d o s o l o c h e l e c o n c l u s i o n i c h e s e g u o n o v a l g o n o o v v i a m e n t e p e r 

i l c a m p o p o t e n z i a l e d e l l a g r a v i t à m o d i f i c a t o i n seguito- a l l e i p o t e s i c h e 

s t a n n o a f o n d a m e n t o di t a l i riduzioni. A l c u n e f o r m u l e si p o s s o n o p e r ò 

a p p l i c a r e a n c h e q u a n d o l a s u p e r f i c i e s u l l a q u a l e si c o n s i d e r a l a d a t a 

d i s t r i b u z i o n e d e l l a g r a v i t à , è u n a s u p e r f ì c i e q u a l u n q u e , a n c h e ad e s e m -

p i o l a s u p e r f i c i e fisica d e l t e r r e n o ; i n t a l caso i v a l o r i d e l l a g r a v i t à 

d a c o n s i d e r a r e sono q u e l l i e f f e t t i v a m e n t e o s s e r v a t i , e l e c o n c l u s i o n i 

si r i f e r i s c o n o al c a m p o r e a l e d e l l a g r a v i t à . 

T r a l a s c i a n d o q u e s t e c o n s i d e r a z i o n i , s u l l e q u a l i n o n i n t e n d i a m o i n -

s i s t e r e q u i , i m e t o d i a c c e n n a t i d a n n o l u o g o p r e c i s a m e n t e : 

a) a l l a riduzione regionale, m e d i a n t e l a q u a l e ci si p r o p o n e d i 

m e t t e r e i n r i s a l t o l e a n o m a l i e l o c a l i , t o g l i e n d o al v a l o r e d e l l a g r a v i t à 

i n o g n i p u n t o , l a m e d i a dei v a l o r i d i q u e s t a l u n g o u n a c i r c o n f e r e n z a 

di r a g g i o p r e f i s s a t o a v e n t e i l p u n t o c o n s i d e r a t o c o m e c e n t r o ; 

b) al procedimento delle derivate seconde, c h e consiste n e l r i p e -

t e r e il c a l c o l o r i c o r d a t o o r o r a p e r u n a s e r i e di c i r c o n f e r e n z e a v e n t i i l 

p u n t o c o n s i d e r a t o c o m e c e n t r o , e r a g g i v i a v i a d e c r e s c e n t i . I l l i m i t e 

c u i t e n d o n o i v a l o r i così o t t e n u t i , d i v i s i p e r i l q u a d r a t o d e l r a g g i o del-

l a c i r c o n f e r e n z a r i s p e t t i v a , si a s s u m e a l l o r a u g u a l e a l l a d e r i v a t a se-

c o n d a - — — d e l l a g r a v i t à n e l senso d e l l a v e r t i c a l e v. 
du* 



1 5 6 A N T O N I O M \ R U S S I 

Tu questa Nota ci si p r o p o n e di m o s t r a r e c o m e in a m b e d u e questi 

m e t o d i i r i s u l t a t i p o s s a n o m e t t e r s i i n r e l a z i o n e con il s e c o n d o p a r a -

m e n t r o d i f f e r e n z i a l e (A„ ed i successivi ( A„h di o r d i n e 2s d e l l a 

g r a v i t à g s u l l a s u p e r f i c i e S c o n s i d e r a t a , v a l e n d o s i di a l c u n i r i s u l t a t i 

o t t e n u t i a n c o r a n e l 1 9 0 9 dal P i z z c t t i ( 2 ) ; e di i l l u s t r a r e poi il signifi-

cato g e o m e t r i c o e m e c c a n i c o , in r e l a z i o n e a l l a s t r u t t u r a l o c a l e del cam-

po di g r a v i t à , di tale p a r a m e n t r o . 

2. P r i m a di p r o c e d e r e , r i c o r d i a m o p e r c i ò i r i s u l t a t i o t t e n u t i d a l 

P i z z c t t i . D e t t o g0 il v a l o r e di u n a f u n z i o n e g in u n p u n t o P„ del pia-

no, gu la m e d i a a r i t m e t i c a dei v a l o r i elle la f u n z i o n e stessa assume n e i 

p u n t i d e l l a c i r c o n f e r e n z a di r a g g i o R c c e n i l o 7\„ si lia 

+ + + [ I ] 

• • • +— gh + (-igog)v 
2 2 4 2 . . . (2„_ 2)2 b ~ 2 2 4» . . . ( 2 n ) ' 

o v e i (/\2ll si i n t e n d o n o c a l c o l a l i i n P,„ e (A„n g)y. è u n v a l o r e 

c o m p r e s o f r a il m a s s i m o ed il m i n i m o di q u e l l i clic A S L L g assume nel-

l ' a r e a c i r c o l a r e c o n s i d e r a t a . 

T a l e f o r m u l a si a p p l i c a s o l t a n t o , c o m e si v e d e , al caso del p i a n o , 

o d e l l e s u p e r f i c i s v i l u p p a b i l i ; e la sua estensione al caso d e l l e s u p e r -

fici q u a l s i v o g l i a n o n o n è i m m e d i a t a ; m a i n v e c e è a n c o r a v e r a , c o m e il 

P i z z c t t i ha d i m o s t r a t o , a n c h e p e r l e s u p e r f i c i q u a l s i v o g l i a n o , l a r e l a -

z i o n e , o v v i a p e r il p i a n o , 

l i m 4 ( , „ - „ . ) 

R — 0 R- ' 

I n q u e s t o caso gli e n u n c i a t i p r e c e d e n t i si m o d i f i c a n o s o s t i t u e n d o 

l a c i r c o n f e r e n z a geodetica di r a g g i o R a l l a c i r c o n f e r e n z a d e l p i a n o . 

3. R i c o r d a n d o ora l a d e f i n i z i o n e clic è stata data d e l l a r i d u z i o n e 

r e g i o n a l e , ben si v e d e c o m e questa possa essere espressa — n e l l ' i p o t e s i 

i n cui in p r i m a a p p r o s s i m a z i o n e l a s u p e r f i c i e a l l a q u a l e sono r i d o t t i i 

v a l o r i di g possa c o n f o n d e r s i con il p i a n o —• con l o s v i l u p p o p e r l e 

p o t e n z e p a r i di R d a t o d a l P i z z e t t i , i cui coefficienti sono espressi me-

d i a n t e i secondi p a r a m e t r i d i f f e r e n z i a l i s u p e r f i c i a l i successivi di g; i 

quali v e n g o n o d u n q u e ad a s s u m e r e u n r u o l o i m p o r t a n t i s s i m o n e l l o stu-

d i o d e l l e a n o m a l i e l o c a l i , d o v u t e a d i s t r i b u z i o n i di densità s i t u a l e a 

p i c c o l a p r o f o n d i t à ; f r a questi il secondo p a r a m e t r o d i f f e r e n z i a l e 



S U L L A R I D U Z I O N E R E G I O N A L I - , E S U L M E T O D O D E L L E D E R I V A T E S E C O N D E 1 5 7 

(A., è poi q u e l l o p a r t i c o l a r m e n t e interessante, poiché esso può 

essere c a l c o l a t o a g e v o l m e n t e come il l i m i t e «lato (lai Pizzetti o, p i ù f a -

c i l m e n t e ancora, p e r la regola dell'Hospital, come 

(A» g)v. = 4 l i m . [ 3 ] 
fi —0 d (fi2) 

C a l c o l a t i p r e c i s a m e n t e i v a l o r i m e d i £„ su di u n a serie di cir-

c o n f e r e n z e di raggio decrescente, e r i p o r t a t i i q u a d r u p l i dei v a l o r i 

ottenuti come o r d i n a t e i n u n sistema c a r t e s i a n o in cui l'asse d e l l e 

ascisse ahhia come p a r a m e t r o fi-, l'angolo che la tangente n e l l ' o r i g i n e 

a l l a c u r v a o t t e n u t a r a c c o r d a n d o i p u n t i r a p p r e s e n t a t i v i f o r m a con l'as-

se delle ascisse, ha come tangente il cercato. 

A l t r i p r o c e d i m e n t i p i ù r a p i d i , se p u r e meno precisi, possono ve-

n i r e a p p l i c a t i p e r il calcolo n u m e r i c o di detto ( A 2 g ) 2 . 

4. Ciò premesso, v e n i a m o a studiare p i ù da v i c i n o il significato 

meccanico del secondo p a r a m e n t r o d i f f e r e n z i a l e di B e l t r a n i d e l l a gra-

v i t à , su di u n a s u p e r f i c i e ^ che, p e r ragioni di semplicità, a m m e t t e r e -

m o essere s u p e r f i c i e e q u i p o t e n z i a l e o di l i v e l l o del c a m p o ; si i n t e n d e 

che, se i v a l o r i della gravità n o n fossero stati m i s u r a t i d i r e t t a m e n t e su 

questa, essi d o v r e b b e r o i m m a g i n a r s i ad essa r i d o t t i secondo i consueti 

p r o c e d i m e n t i c o n v e n z i o n a l i . 

P o t r e m o i n f i n e d e f i n i r e il secondo p a r a m e t r o d i f f e r e n z i a l e scriven-

do in f o r m a v e t t o r i a l e [ 3 ] 

(A2 g ) v = d i v g r a d v g [ 4 ] 

in cui 

g r a d v g — grad g — grad gXv- v 

è la c o m p o n e n t e s u p e r f i c i a l e su ^ del g r a d i e n t e di g. Con v si è indi-

cato il v e r s o r e della n o r m a l e a ^ ( d i r e t t o v e r s o l'alto), che c a r a t t e r i z z a 

l a congruenza r e t t i l i n e a delle n o r m a l i ; n e l m e n t r e con n i n d i c h e r e m o 

n e l seguito il v e r s o r e delle tangenti alle l i n e e di f o r z a del campo, p u r e 

d i r e t t o v e r s o l'alto, che c a r a t t e r i z z a invece la congruenza c u r v i l i n e a 

delle l i n e e di f o r z a . Si ha d u n q u e n = v su —, e poi 

d n d v 

d 1' d I> 
[6] 

a essendo l ' o m o g r a f i a di B u r a l i - F o r t i generalizzata, e (tv la sua compo-

n e n t e s u p e r f i c i a l e (4). 



1 5 8 A N T O N I O M \ R U S S I 

Si ha dunque, p r e n d e n d o la divergenza di [ a ] : 

( A 2 g ) s = A . g — H g r a d g x v — grad ( g r a d g X v ) = A „ ? — H ~ — ^ 

d v a v -
[ 7 ] 

• ™ T 2(o2 1 d g , , in cui f i = div v = — e la c u r v a t u r a media di (co e la 

g g da 

velocità a n g o l a r e di r o t a z i o n e della Terra). 

Si osservi ora che, n e l m e n t r e si ha o v v i a m e n t e , su 

dg dg 
— — = [ 8 ] 
d v d n 

non a l t r e t t a n t o può dirsi p e r le d e r i v a t e s e c o n d e ; ed i n f a t t i 

fd'"g d grad g 
— = grad ( g r a d g x O X v = — v • v + Kc grad gX^ = 

l dvs dP 2 

d grad g d grad g 
= —vv—— n-n 191 

d f dP 

p e r c h é K c v = o v ; i n v e c e 

d~g d orad g 
— = g r a d ( g r a d g X « ) X n = P n n + A." a grad g X n = 
dn• d P 

= ~ + = [ 1 0 ] 
dv" d\-

in cui F = mod g r a d v lg g è la p r i m a c u r v a t u r a della linea di f o r z a . 

A sua volta, il calcolo di iS.»g f o r n i s c e ( 4 ) 

à ì g = g(C + F'-) [11] 

dove C = H- — 2K [ 1 2 ] 

è l a c u r v a t u r a di Casorati di S (K n e è la c u r v a t u r a totale o gaussiana). 

T e n e n d o conto di ciò, al (A» g)v p u ò essere data u n a delle se-

guenti f o r m e 

( A , g ) v = 2 g (H- - K + F--) + 2 o r H - = 
dn2 

1 1 3 1 

La p r i m a in p a r t i c o l a r e ci dice che il ( A . - d i f f e r i s c e dalla 

d e r i v a l a seconda della g r a v i t à secondo l a v e r t i c a l e , p e r t e r m i n i d i e 

d i p e n d o n o dalla c u r v a t u r a della s u p e r f i c i e e q u i p o t e n z i a l e e della linea 



S U L L A R I D U Z I O N E R E G I O N A L E E S U L M E T O D O D E L L E D E R I V A T E S E C O N D E 1 5 9 

di f o r z a , e che in g e n e r a l e non sono a l l a t t o t r a s c u r a b i l i . Cosi ad esem-

p i o si a v r e b b e , p e r il c a m p o n o r m a l e d e l l a g r a v i t à ( c a m p o di Somi-

gliana) alla l a t i t u d i n e di 4 5 ° : 

d ~ g = — 1 4 , 4 9 5 X 1 0 ~ 1 5 c m - ' sec"* , 
dn2 

nel m e n t r e i t e r m i n i d e r i v a n t i dalla c u r v a t u r a del c a m p o a m m o n t a n o 

a 1 4 , 5 0 1 X IO 5 cm"1 s e c - , tanto c h e il A> s u p e r f i c i a l e della gravità 

r i s u l t a u g u a l e a 0 , 0 0 6 X IO"5 cm'1 sec"2. 

5. A l t r e f o r m u l e espressive, che possono t o r n a r e a v o l t e u t i l i , si 

h a n n o q u a n d o si consideri i n v e c e del c a m p o g della g r a v i t à , q u e l l o 

del suo l o g a r i t m o n a t u r a l e . 

L a c o n s i d e r a z i o n e del l o g a r i t m o della g r a v i t à , anziché della gra-

v i t à stessa, presenta il vantaggio di a t t r i b u i r e al suo g r a d i e n t e l e di-

m e n s i o n i di u n a c u r v a t u r a ; ed a l l e sue d e r i v a t e seconde (od alla diver-

genza del suo g r a d i e n t e ) le d i m e n s i o n i di u n a c u r v a t u r a totale. Ciò 

è m o s t r a t o c h i a r a m e n t e d a l l e f o r m u l e c h e s e g u o n o : 

grad lg g — F N' -— (- H | n ( f o r m u l a di B r u n s ) 
\ g ì 

[ 1 4 ] 

in cui A ' è il v e r s o r e della n o r m a l e p r i n c i p a l e alla l i n e a di f o r z a . 

Facili calcoli d a n n o i n o l t r e 

1 J \ a n 
[ 1 5 ] 

g1 g dn \ d n 

e poi 

( A J g g h = C + F"-+ " W 
d n 

Trieste — Istituto di Topografìa e Geodesia dell'Univ. — Marzo 

1953. 

RIASSUNTO 

Si, richiamano alcune ricerche di Pizzetti, che consentono di otte-

nere, con procedimenti applicabili in pratica, la divergenza del gra-

diente superficiale della gravità (secondo parametro differenziale di 

Beltrami della gravità in superficie). Queste ricerche vengono messe 



1 6 0 A N T O N I O M \ R U S S I 

iti relazione con i metodi della riduzione regionale e delle derivate 

seconde, che sono stati proposti recentemente dagli Autori americani 

per le pratiche applicazioni, in gravimetria. 

Nel caso in cui la superficie sulla quale si calcola tale divergenza 

sia di livello, il secondo parametro differenziale si esprime assai sem-

plicemente mediante gli elementi geometrici e meccanici del campo. 

SUMMARY 

Some formulae given by Pizzetti are recalled, tvhich allow to 

obtain by practical procedures the divergence of tlie surface gradient 

of gravity (second differential parameter of Delirami of surface gra-

vityj. Sudi researclies are related to the metliods of regional reduction 

and of the second derivatives, which have been recently proposed for 

practical applications by American authors. 

ÌT henever the surface consiclered be a level surface of the poten-

tial fichi, the second differential parameter may be easily expressed 

by means of the geometrie and dynamic elements of the field itself. 

B I B L I O G R A F I A 

( ! ) W . RAYMOND GRIKFIN, Residuili Gravity in Tlieory and Practice. G e o p h y s i c s , 

v o i . X I V , J a n u a r y , 1 9 4 9 . — THOMAS A . ELKINS, The Second Derivatives Method 

of Gravity Interpretalion. G e o p h y s i c s . v o i . X V I , J a n u a r y , 1 9 5 1 . — J . J . JAKOSKY, 

Exploration Geophysics, pag. 4 1 5 e segg., L o s A n g e l e s , 1 9 5 0 . 

( 2 ) P . PIZZETTI, Sul significato geometrico del secondo jyaramelro differenziale 

di una funzione soi>ra una superficie qualunque. R e n d . R . A c c . dei L i n c e i , v o i . 

X V I I I , 1 ° seni., 1 9 0 9 . 

( 3 ) C. BURALI-FORTI e R . MAKCOLONGO, Analisi Vettoriale Generale e Applica. 

zioni. T r a s f o r m a z i o n i l i n e a r i , B o l o g n a , Z a n i c h e l l i , 1 9 2 9 , pag. 227. 

( 4 ) A . MARBSSI, Fondamenti di Geodesia intrinseca. M e m o r i a n . 7 d e l l a C o m -

m i s s i o n e G e o d e t i c a I t a l i a n a , M i l a n o , 1 9 5 0 .