T E O R I A P E R L A D E T E R M I N A Z I O N E 

D E L C O N T E N U T O R A D I O A T T I V O D E I M I N E R A L I 

I 

DONATO P A L U M B O 

Introduzione. — M o l t i s p e r i m e n t a t o r i , ( 1 ) , ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ), si sono 

r e c e n t e m e n t e o c c u p a t i d e l l a d e t e r m i n a z i o n e del c o n t e n u t o di m a t e r i a l i 

r a d i o a t t i v i i n m i n e r a l i p e r m e z z o d e l l a a u t o r a d i o g r a f i a , o t t e n u t a m e -

d i a n t e l ' u s o di e m u l s i o n i n u c l e a r i . A l c u n i d i essi ( 3 ), ( 5 ), (°) h a n n o 

a n c h e c e r c a t o di d e t e r m i n a r e , o l t r e l ' a t t i v i t à t o t a l e d e l m a t e r i a l e , 

i r a p p o r t i t r a l e q u a n t i t à d i e l e m e n t i r a d i o a t t i v i a p p a r t e n e n t i a l l e 

v a r i e f a m i g l i e , s u p p o s t e o 110 in e q u i l i b r i o s e c o l a r e . 

D ' a l t r a p a r t e , l a d e t e r m i n a z i o n e d e l l ' e s i s t e n z a o m e n o d i t a l e e q u i -

l i b r i o r a p p r e s e n t a u n n o t e v o l e p r o b l e m a , l a cui s o l u z i o n e i n t e r e s s a l a 

G e o l o g i a e l a V u l c a n o l o g i a . O r a , m e n t r e l ' a t t i v i t à t o t a l e p u ò e s s e r e 

d e d o t t a d a l s e m p l i c e c o n t e g g i o d e l l e t r a c c e di p a r t i c e l l e n n e l l ' e m u l -

s i o n e , gli a l t r i d u e p r o b l e m i r i c h i e d o n o l a d e t e r m i n a z i o n e d e l l a di-

s t r i b u z i o n e d e l l e t r a c c e in f u n z i o n e d e l l a l u n g h e z z a di esse n e l l ' e m u l -

s i o n e , o di g r a n d e z z e a n a l o g h e ( p r o i e z i o n i o r i z z o n t a l e o v e r t i c a l e d e l 

p e r c o r s o ) . D a l p u n t o di v i s t a p r a t i c o ci s e m b r a p i ù c o m o d a l a r a p p r e -

s e n t a z i o n e di q u e l l o c h e p o t r e b b e c h i a m a r s i l o s p e t t r o i n t e g r a l e d e l l e 

t r a c c e , c i o è l a d e t e r m i n a z i o n e d e l n u m e r o di t r a c c e a v e n t i c a m m i n o 

t o t a l e n e l l ' e m u l s i o n e ( o p r o i e z i o n i o r i z z o n t a l e o v e r t i c a l e ) , m a g g i o r e 

di u n a q u a n t i t à p r e f i s s a t a . D e l r e s t o , a n a l i t i c a m e n t e , si passa s u b i t o , 

p e r s e m p l i c e d e r i v a z i o n e r i s p e t t o ad r, d a l l o s p e t t r o i n t e g r a l e a q u e l l o 

d i f f e r e n z i a l e ( n u m e r o di t r a c c e a v e n t i c a m m i n o t o t a l e , o p r o i e z i o n i , 

o r i z z o n t a l i o v e r t i c a l i , c o m p r e s o t r a r ed r - f dr). 

Si n o t i c h e , p e r d e t e r m i n a r e l a p r o i e z i o n e v e r t i c a l e v e r a , e q u i n d i 

il p e r c o r s o t o t a l e d e l l e p a r t i c e l l e a n e l l ' e m u l s i o n e , ( e l e l o r o e q u i v a -

l e n t i i n c m . di aria), o c c o r r e c o n o s c e r e i l m o d o i n cui l ' e m u l s i o n e si 

è d e f o r m a t a d u r a n t e l o s v i l u p p o . D i s o l i t o si t i e n e c o n t o d i t a l e d e f o r -

m a z i o n e m o l t i p l i c a n d o l a p r o i e z i o n e v e r t i c a l e , m i s u r a t a al m i c r o s c o p i o , 

p e r u n o p p o r t u n o c o e f f i c i e n t e ; a m m e t t e n d o cioè c h e l a c o n t r a z i o n e 

sia s t a t a u n i f o r m e i n t u t t o l o spessore d e l l ' e m u l s i o n e . 



2 3 0 D O N A T O P A L U M B O 

D e l l ' a s p e t t o t e o r i c o dei p r o b l e m i s o p r a a c c e n n a t i , si sono o c c u p a t i 

d i v e r s i A u t o r i ( 6 ), ( 7 ), ( s ), (°j, ( 1 0 ) . 

S e b b e n e quasi t u t t e l e f o r m u l e c h e r i c a v e r e m o in questa p r i m a 

n o t a s i a n o s t a t e t r o v a t e , n e l caso p a r t i c o l a r e in cui sia v a l i d a l a [ 1 ' ] , 

da q u a l c u n o degli A u t o r i citati, ci s e m b r a n o n i n u t i l e d e d u r l e con 

u n m e t o d o u n i t a r i o d i e , c o m e sarà m o s t r a t o i n seguito, si p r e s t a ad 

essere f a c i l m e n t e g e n e r a l i z z a t o . 

Ci p r o p o n i a m o q u i n d i di d e d u r r e , i n m o d o m o l t o s e m p l i c e , l e 

f o r m u l e elle d a n n o il n u m e r o di t r a c c e p e r c m 2 di e m u l s i o n e esposta 

e p e r s. d'esposzione, in f u n z i o n e , sia d e l l a l u n g h e z z a t o t a l e , c h e d e l l e 

p r o i e z i o n i o r i z z o n t a l e e v e r t i c a l e , e di m o s t r a r e c o m e d a l l a m i s u r a di 

q u e s t e g r a n d e z z e , su u n n u m e r o c o n v e n i e n t e m e n t e g r a n d e di tracce, 

si possa r i s a l i r e a l l a s o l u z i o n e dei p r o b l e m i a c c e n n a t i . 

Caso di un solo range. — C o n s i d e r i a m o u n m i n e r a l e l i m i t a t o i n f e -

r i o r m e n t e d a l p i a n o di t r a c c i a AB, posto a c o n t a t t o con e m u l s i o n e 

n u c l e a r e , l i m i t a t a s u p e r i o r m e n t e d a l l o stesso p i a n o . S u p p o n i a m o c h e 

il m i n e r a l e c o n t e n g a n u c l e i r a d i o a t t i v i di d i v e r s a s p e c i e ; sia nt il nu-

m e r o di t a l i n u c l i d i p e r c m 3 ; la r e l a t i v a costante di d i s i n t e g r a z i o n e , 

e q u i n d i n\ il n u m e r o di p a r t i c e l l e a emesse in 1 s. da t u t t i i n u c l i d i 

d e l l a specie i m a c o n t e n u t i in 1 c m 3 di m i n e r a l e (ni"i.'L è i n d i c a t o da 
c 

H. v . B u t t l a r ed F. G. H o u t e r m a n s ( s ) con Ni). S i a n o R n , R»i i r a n g e s 

d e l l e p a r t i c e l l e i n q u e s t i o n e n e l m i n e r a l e e n e l l ' e m u l s i o n e . 

Si h a e v i d e n t e m e n t e (v. fig. 1 ) : 

— + — = 1 [ l ' I 

In questa n o t a s u p p o r r e m o v a l i d a , c o m e v i e n f a t t o a b i t u a l -

m e n t e , (-1), ( 3 ), (7), ( s ) l'ipotesi di B r a g g - K l e e m a n n , c h e ci p e r m e t t e 

di p o r r e Ru = 7?| ; R2i = (i2 Ri ; essendo R-, il r a n g e in c m d ' a r i a 
Uj, l̂o d u e coefficienti c a r a t t e r i s t i c i del m i n e r a l e e d e l l ' e m u l s i o n e , 

m a i n d i p e n d e n t i d a l l ' e n e r -

gia d e l l e p a r t i c e l l e a , l a cui 

d e t e r m i n a z i o n e a p p r o s s i m a -

ta p u ò f a r s i , m e d i a n t e l e r e -

gole di B r a g g - K l e e m a n n , co-

n o s c e n d o l a c o m p o s i z i o n e 

c h i m i c a del m e z z o ( 1 1 ) . 

Fig- 1 I n d i c a n d o con s la distan-

A 
\ b B 



T E O R I A P E R L A D E T E R M I N A Z I O N E D E L C O N T E N U T O R A D I O A T T I V O D E I M I N E R A L I 2 3 1 

za d e l g e n e r i c o n u e l i d e e m i t t e n t e d a l p i a n o AB, e con 0 l ' a n g o l o f o r -

m a t o d a l l a t r a i e t t o r i a d e l l a p a r t i c e l l a emessa con l a n o r m a l e ad AB, 

e p o n e n d o s = [ i j z, b = | j r ' , cos 1) = v, la [].'] si s c r i v e : 

r / — Ri — [1] 
V 

z ^ 0 ; 0 ^ V < 1 [2] 

11 n u m e r o Fi di t r a c c e , s o d d i s f a c e n t i a t a l u n e c o n d i z i o n i geome-

t r i c h e , c h e s a r a n n o s p e c i f i c a t e sotto, p r o d o t t e p e r c m 2 di e m u l s i o n e 

e p e r s., sarà d a t o d a : 

Fl= — I n, ha ds . d Q = J _ / n a;« dz . dv [ 3 ' ] 
4 « J 2 J s 

essendo l ' u l t i m o i n t e g r a l e esteso ad u n d o m i n i o S del p i a n o (v, z), do-

m i n i o d e f i n i t o , u n i t a m e n t e a l l e [ 2 ] , d a l l e a l t r e l i m i t a z i o n i i m p o s t e a 

v, z d a l l e c o n d i z i o n i g e o m e t r i c h e v o l u t e . N e l l ' i p o t e s i c h e ili '/ '1 e i< A 

n o n d i p e n d a n o da s, cioè c h e il m i n e r a l e , a l m e n o n e l l e p o c h e d i e c i n e 

di m i c r o n utili (*l, sia o m o g e n e o r i s p e t t o ad s, la [ 3 ' ] d i v e n t a : 

F ; = — LI. 71; A" I dz .dv— — U, n,).-" a [ 3 ] 
2 J s 2 ' 

essendo o l ' a r e a del d o m i n i o S. 

Il n u m e r o di t r a c c e /i(r), p r o d o t t e p e r c m 2 di e m u l s i o n e e s., 

a v e n t i n e l l ' e m u l s i o n e c a m m i n o r', ( m i s u r a t o in cm d'aria), t a l e c h e 

sia Ri 5=- r ' S5- r, sarà dato d a l l a [ 3 ] , in cui, p e r l a [ 1 ] , il d o m i n i o S 

è d e f i n i t o d a l l e [ 2 ] , e d a l l a R i ^ R , — da epiesta: 

v 

(Ri — r)t>r~z^?0. Q u i n d i S c o i n c i d e col t r i a n g o l o OAB, (fig. 2 ) ; 

o = J/2 ( « i — r)- Ne s e g u e : 

h (r) = (R, - r), p e r 0 ^ r ^ R> ; f , (r) = 0, p e r r > 
4? 

[ 4 ] 

r i s u l t a t o b e n n o t o . 

C a l c o l i a m o o r a il n u m e r o di tracce, i|»i(r), a v e n t i p r o i e z i o n i v e r -

t i c a l i y', (in cm d'aria), t a l i c h e s i a : 

R^y'^y 

(*) S e |i, rij n o n è c o s l a n t e su tutta la s u p e r f i c i e , i n d i c h e r e m o con t a l e p r o d o t t o 
il v a l o r e m e d i o . 



230 D O N A T O P A L U M B O 

M o l t i p l i c a n d o la [ 1 ] p e r v — cos t), si l i a : 

y' — vRt — z 

S i a v r à q u i n d i , p e r il d o m i n i o S, l a l i m i t a z i o n e Ri > v R i - z ^ - y ^ 

c i o è 

vRi-y^-z^R, (v—1) 

c h e , u n i t a m e n t e a l l e [ 2 ] , dà, p e r S, il t r i a n g o l o CAD (fig. 2). Q u i n d i : 

_ ( R i - r ) 2 

2 R, 

Ne segue, p e r l a [ 3 ] : 

T|'.(y)=Htra,X" { R \ / Y , p e r O ^ j r ^ t f , ; ^ ( y ) = 0 , p e r y>R,. 
4/?; 

[ 5 ] 

C a l c o l i a m o i n f i n e il n u m e r o , rpil*), di tracce, p r o d o t t e p e r ciu-

di e m u l s i o n e e p e r s., a v e n t i p r o i e z i o n i o r i z z o n t a l i x', ( i n cm. d'aria), 

t a l i c h e sia R ^ x'^ x. L a [ 1 ] d à : 

x! = sen il>(/?; — 
c o s t ì 

= ( ! - » » ) I I ì ( R ì ~ -

I l d o m i n i o S, i n q u e s t o caso è d e f i n i t o , u n i t a m e n t e a l l e [ 2 ] , d a l l a 

l i m i t a z i o n e : 

(Ri— — 



T E O R I A P E R L A D E T E R M I N A Z I O N E D E L C O N T E N U T O R A D I O A T T I V O D E I M I N E R A L I 231 

c i o è : 

R,—x(l—v , r - V . v R -, 1 - ( 1 — 

Q u i n d i S (fig. 2) è d e l i m i t a t o dall'asse v e d a l l ' a r c o , con z > 0 , 

d e l l a c u r v a di e q u a z i o n e : 

z = v Ri — x(l-v"-) 

l a q u a l e taglia l'asse v n e l p u n t o E di ascissa v° =—(H2—x2) ' . 
Ri 

S i lia q u i n d i : 

Ri v — xv (1 — t r ) dv— 
(Ri-x)-

2 Hi 

d a cui, p e r l a [ 3 ] : 

(R—x)-
cpi(x)=\ilnilia ' ^ , p e r ; cpi(*) = 0 , p e r x>R{. 

4 R, 
[6] 

La d e t e r m i n a z i o n e esatta di questa f o r m u l a , a p a r t i r e d a l l e ipo-

tesi s o p r a a m m e s s e , è stata t e n t a t a da B u t t l a r e H o u t e r m a n s ( 8 ) ; que-

sti A A . , p e r ò , f o r s e p e r u n a p o c o f e l i c e scelta d e l l a v a r i a b i l e i n d i -

p e n d e n t e , n o n p e r v e n g o n o a l l a [ 6 ] , La f o r m u l a è stata i n v e c e tro-

v a t a s u c c e s s i v a m e n t e da V a n S t i j v e n d a e l ( 1 2 ) ed i n d i p e n d e n t e m e n t e 

d a I m b ò e C a s e r t a n o ( 1 0 ) . 

È n o t e v o l e la c o i n c i d e n z a d e l l a [ 6 ] con la [ 5 ] : p e n s i a m o e b e 

t a l e c o i n c i d e n z a possa s f r u t t a r s i p e r u n c o n t r o l l o d e l l a l e g i t t i m i t à d e l l e 

ipotesi f a t t e . 

Caso generale. — S u p p o n i a m o o r a di a v e r e n e l n o s t r o m i n e r a l e , 

c o n d i s t r i b u z i o n e o m o g e n e a r i s p e t t o a z, p s p e c i e d i v e r s e di n u c l i d i 

a t t i v i (<. P e n s i a m o questi n u c l i d i o r d i n a t i s e c o n d o i r a n g e s c r e s c e n t i 

d e l l e n da l o r o emesse, ed i n d i c h i a m o con n, l e l o r o c o n c e n t r a z i o n i 

m e d i e p e r c m ' , con À'.1 l e r i s p e t t i v e c o s t a n t i di d i s i n t e g r a z i o n e a , con 

R, il p e r c o r s o in a r i a d e l l e « emesse (R[ ^ Rj^j), (i = 1 , ... p). 

A m m e t t i a m o p e r s e m p l i c i t à clic si possa s u p p o r r e c h e ciascun 

n u c l i d e e m e t t a p a r t i c e l l e <t m o n o e n e r g e t i c h e . ( I n caso c o n t r a r i o biso-

g n e r à c o n t a r e ciascun n u c l i d e (ante v o l t e q u a n t i sono i g r u p p i m o n o -

e n e r g e t i c i di p a r t i c e l l e a da esso emesse), e c h e li, sia costante. 



230 DONATO P A L U M B O 

a) I n d i c a n d o con / ( r ) il n u m e r o di t r a c c e p e r c m 2 d i g e l a t i n a 
e S., a v e n t i n e l l ' e m u l s i o n e c a m m i n o t o t a l e r ( i n cm di a r i a ) , r' <> r 

si h a : f(r)= Ì k J k ( r ) , e p e r l a [ 4 ] : 
1 

J(r)= ^ vk nk \ka (Rk _ r ) ^ i i l v k „ t X t a Rk — Ìknkhar] (R^r^Rk) 
4 Ì+Ì 4 i+i 4 i+i [7] 

4 
c h e r a p p r e s e n t a u n s e g m e n t o di r e t t a . P o r r e m o p o i : u(r)= —/(r). 

Hi 
L a /(r), cioè l o s p e t t r o i n t e g r a l e d e l l e t r a c c e , e l a g r a n d e z z a p r o -

p o r z i o n a l e zi(r), s a r a n n o q u i n d i r a p p r e s e n t a t e da p o l i g o n a l i , i cui l a t i 

a v r a n n o r a p p o r t i d i r e t t i v i , i n v a l o r e a s s o l u t o , d e c r e s c e n t i . L e ascisse 

d e i v e r t i c i d e l l a s p e z z a t a zt(r), s o n o i v a l o r i d e i r a n g e s . I n d i c h e r e m o 

c o n i/0, « i . . . l e c o r r i s p o n d e n t i o r d i n a t e . L a d i f f e r e n z a t r a i r a p p o r t i 

d i r e t t i v i mi, n»i4-t, di d u e s u o i l a t i c o n s e c u t i v i dà e v i d e n t e m e n t e : 

| m i | - | B . H . 1 | = n 1 X , a [ 7 ' ] 

Si n o t i c h e i l l a t o imo t a g l i a l'asse d e l l e o r d i n a t e u n e l p u n t o 

(0, u0i) d a t o d a : 

u,° = 2 k R k n k X k a 

q u i n d i 

7/0 ,,o. 
f t i = ' [ 7 " ] 

L a [ 7 ' ] p u ò s c r i v e r s i n e l l a f o r m a , f o r s e p i ù c o m o d a : 

X « * n | = = » ' - i - ' " - [ 8 ] 
R—/?i_t R,+l-Ri 

Si p u ò q u i n d i d e t e r m i n a r e g r a f i c a m e n t e , o con s e m p l i c i s s i m i cal-

c o l i , l a c o n c e n t r a z i o n e d e i v a r i n u c l i d i , senza f a r e a l c u n a i p o t e s i sul-

l ' e q u i l i b r i o d e l l e f a m i g l i e r a d i o a t t i v e a l l e q u a l i a p p a r t e n g o n o , c o n o -

s c e n d o s o l o i v a l o r i d i / ( r ) p e r i soli v a l o r i di r c o i n c i d e n t i c o n i r a n g e s 

d e i d i v e r s i n u c l i d i a t t i v i . 

E v i d e n t e m e n t e è p i ù s e m p l i c e i l c a l c o l o r e l a t i v o a l n u c l i d e d i 

r a n g e m a s s i m o , c h é i n t a l caso, l a [ 7 ] a s s u m e l a f o r m a 

M p _ 1 = ( R p - K p _ 1 ) nf Xpa, d a c u i : 



T E O R I A P E R L A D E T E R M I N A Z I O N E D E L C O N T E N U T O R A D I O A T T I V O DEI M I N E R A L I 231 

S e i v a r i n u c l i d i c o s t i t u i s c o n o u n a f a m i g l i a r a d i o a t t i v a in e q u i -

l i b r i o s e c o l a r e , n e l l ' i p o t e s i c b e n o n v i s i a n o b i f o r c a z i o n i , ( i l c b e p u ò , 

con o t t i m a a p p r o s s i m a z i o n e a s s u m e r s i n e l caso d e l l a f a m i g l i a d e l l ' U 2 3 8 , 

m a n o n p e r q u e l l a del Th 232), si a v r à : 

Ili Ai" = cost. 

q u i n d i , p e r l a [ 7 " ] , i p r o l u n g a m e n t i dei l a t i d e l l a p o l i g o n a l e c h e 

r a p p r e s e n t a l o s p e t t r o i n t e g r a l e d e l l a f a m i g l i a i n e q u i l i b r i o , incon-

t r e r a n n o l'asse d e l l e u i n p u n t i a v e n t i , tra l o r o , d i s t a n z e p r o p o r z i o n a l i 

a i ranges. 

S e m p r e n e l caso d e l l ' e q u i l i b r i o , se si d i s p o n e di u n a statistica suf-

ficientemente ricca, l a [ 8 ' ] p e r m e t t e di r i c o s t r u i r e l o s p e t t r o i n t e g r a l e 

d e l l a f a m i g l i a , p a r t e n d o d a l l a sola conoscenza d e l n u m e r o di t r a c c e 

a v e n t i l u n g h e z z a s u p e r i o r e al p e n u l t i m o r a n g e . Nel caso d e l l a f a m i -

glia del T o r i o , bisogna t e n e r e o v v i a m e n t e conto d e l l a b i f o r c a z i o n e 

del TliC. 

Questa f a m i g l i a , a causa d e l l a b r e v i t à d e l l e v i t e m e d i e dei suoi 

c o s t i t u e n t i , p u ò s e m p r e r i t e n e r s i i n e q u i l i b r i o . In t a l e f a m i g l i a , i l ThC' 

e m e t t e p a r t i c e l l e a a v e n t i r a n g e m a g g i o r e , n o n solo di q u e l l e degli 

e l e m e n t i d e l l a stessa f a m i g l i a , m a a n c h e di t u t t e q u e l l e d e l l e f a m i g l i e 

del l'I! 2 3 8 e d e l l ' U 2 3 5 . 
Q u i n d i , d i s p o n e n d o d e l l o s p e t t r o i n t e g r a l e p r o d o t t o da u n m i -

n e r a l e c h e c o n t e n g a u n m i s c u g l i o di f a m i g l i e r a d i o a t t i v e , a n z i c h é usa-

r e l e [ 7 ' ] , [ 7 " ] , [ 8 ] , sarà p i ù c o m o d o d e t r a r r e , p e r m e z z o d e l l a [ 8 ' ] , 

l o s p e t t r o i n t e g r a l e d e l l a f a m i g l i a del Th i n e q u i l i b r i o . 

Lo s p e t t r o r i m a n e n t e a n d r à i n t e r p r e t a t o p e r m e z z o d e l l e f o r m u l e 

g e n e r a l i . 

ò l P r e n d e n d o c o m e v a r i a b i l e l a p r o i e z i o n e o r i z z o n t a l e (o v e r -

ticale), d e l l e t r a c c e n e l l ' e m u l s i o n e , p e r il n u m e r o cp (.r i, o p p u r e i|> ( y ì , 

di t r a c c e a v e n t i p r o i e z i o n e o r i z z o n t a l e x', (o v e r t i c a l e y'), x' ^ x, ( o p -

p u r e y ' > • y ) , si a v r à , p e r [ 5 ] , [ 6 ] : 

i' u, i' ( R k — x ) 2 
cp(*) = nkAk cpk ( x ) = -1— n k A" • — = 

i 4 i + i l \ k 

u. P ti, P ti. P " k A k a 
= ~L^nk Ak Rk - ( v k „ k Ak ) x+ ( 2 k ) *s (Ri<X^Rì+l) 

4 i + i 2 i + i 4 i + i Rk 

[ 9 ] 

La cp(A) r i s u l t a c o n t i n u a con l e sue d e r i v a t e p r i m e , i n t u t t o l ' i n -

t e r v a l l o 0 <; x R p. Lo s p e t t r o i n t e g r a l e sarà q u i n d i r a p p i ' e s e n t a t o da 



2 3 6 D O N A T O P A L U M B O 

4 

l i n a c a t e n a di a r c h i di p a r a b o l e . P o s t o , c o m e s o p r a u(x) = — <p(.r), 

e d i n d i c a n d o c o n u h i ì ì + j , Mì+i|2 r i s p e t t i v a m e n t e l e o r d i n a t e d e i p u n t i 

d i ascisse Ri, Ri-^,, + jRì-j_t) si t r o v a f a c i l m e n t e : 

np » k h a _ " i + » i + i ~ 2 " i + ' l ^ 

i+J Rk ~ 2(Ri+l-Rf-

" i Ai" _ H i _ t + » i — 2 llj—1|2 _ l l j + l l i + l — 2 «i-l-l|2 

2 R i ~~ ( R i - R i - , ) 5 ( R i + 1 - R i ) ' ! 

P e r l a d e t e r m i n a z i o n e di FI,, si h a l a f o r m u l a , a n a l o g a a l l a [ 8 ' ] : 

n f À „ 0 = [ 9 " ] 
( R p - K p - , ) 2 

A n a l o g a m e n t e a q u a n t o d e t t o s o p r a , n e l caso d e l l a d i s t r i b u z i o n e 

d e i c a m m i n i t o t a l i , q u e s t ' u l t i m a p e r m e t t e , di d e t r a r r e d a l l o s p e t t r o 

i n t e g r a l e o t t e n u t o s p e r i m e n t a l m e n t e , q u e l l o d e l l a f a m i g l i a del t o r i o . 

N e l l ' i p o t e s i c h e l e s o l e f a m i g l i e p r e s e n t i n e l m i n e r a l e s i a n o q u e l l e 

d e l Th, e d U 2 3 8 , l ' e q u i l i b r i o o m e n o di q u e s t ' u l t i m a f a m i g l i a p u ò 

e s s e r e s t u d i a t o p i ù c o m o d a m e n t e , a n z i c h é s u l l o s p e t t r o o t t e n u t o spe-

r i m e n t a l m e n t e , su q u e l l o r i c a v a t o d o p o a v e r d e t r a t t o da q u e s t o l o s p e t -

t r o i n t e g r a l e d e l l a f a m i g l i a d e l T o r i o . L ' i n t e r p r e t a z i o n e d e l l o s p e t t r o 

d e l l a f a m i g l i a d e l l ' U r a n i o , così o t t e n u t o , p o t r à e s s e r e f a t t a p e r m e z z o 

d e l l a [ 9 ] , 0 , p i ù s e m p l i c e m e n t e , ( e q u e s t a o s s e r v a z i o n e v a l e a n c h e p e r 

i l caso «), si p o t r a n n o d e t r a r r e da q u e s t ' u l t i m o s p e t t r o , n o t a n d o c h e 

i l r a n g e p i ù l u n g o d e l l a f a m i g l i a a p p a r t i e n e al R a d i o C/, l e t r a c c e 

d o v u t e agli e l e m e n t i c o m p r e s i t r a i l R a d i o e d i l P o l o n i o , f a c e n d o u s o 

d e l l a [ 9 " ] . I n f a t t i q u e s t i e l e m e n t i s o n o t u t t i di v i t a m o l t o b r e v e , e 

q u i n d i , c e r t a m e n t e , i n e q u i l i b r i o t r a l o r o . 

c) G l i s p e t t r i d i f f e r e n z i a l i s o n o d a t i d a l l e d e r i v a t e , ( c a m b i a l e di 

segno), d e l l e [ 7 ] , [ 9 ] . 

Il p r i m o è c o s t i t u i t o da u n a g r a d i n a t a di s e g m e n t i r e t t i l i n e i , pa-

r a l l e l i a l l ' a s s e r ; l a d i s t a n z a t r a d u e g r a d i n i c o n s e c u t i v i è p r o p o r z i o -

n a l e ad n. 

Il s e c o n d o si r i d u c e , a l l a 

= [10] 
2 i-H \ Rk 

c h e r a p p r e s e n t a u n a s p e z z a t a di s e g m e n t i di r e t t a . 



T E O R I A P E R L A D E T E R M I N A Z I O N E D E L C O N T E N U T O R A D I O A T T I V O DEI M I N E R A L I 231 

Ringraziamo il prof. M. Santangelo, per averci proposto questo cal-

colo, e per i numerosi consigli datici. 

Palermo — Istituto di Fisica — Febbraio 1953. 

RIASSUNTO 

Considerando una lamina piana di spessore grande rispetto al per-

corso delle jxirticelle <», conlenente atomi radioattivi < , sovrapposta 

ad una emulsione nucleare, viene risolto il problema della determi-

nazione del numero di tracce prodotte nell'emulsione dalle particelle 

« emesse, in funzione della loro lunghezza, della loro proiezione oriz-

zontale e della loro proiezione verticale, nell'ipotesi, generalmente am-

messa, che, per le particelle ti, i percorsi nella materia, siano propor-

zionali a quelli nell'aria. 

Indicando con f ( x ì , ip (x), ip (xi il numero di tracce prodotte per 

air di emulsione e secondo, aventi rispettivamente, nell'emulsione, lun-

ghezza totale, proiezioni orizzontale o verticale, maggiori di x, (es-

sendo x misurato in cm d'aria equivalenti), si ha: 

4 i-j-i 

/?; < X < Ri+l 

cp (.t)=H< (x)= v k ^ (Rk - x)* 
4 i+i Rk 

In queste formule 111 è il rapporto tra il percorso nel minerale e 

quello in aria; R I ? . . . R P i ranges delle particelle a emesse (lai vari 

nuclidi, misurali in cm d'aria e disposti in ordine crescente, n k , À k " 

il numero di nuclidi della specie k"m per cm3 e la corrispondente 

costante di disintegrazione a. 

Queste formule sono indipendenti da ogni ipotesi sull'equilibrio 

delle famiglie radioattive presenti nel minerale. 

SUMMARY 

Considering a piane lamina containing alpha-radioactive atoms, 

u liose tliickness is great ivith respect to the range of the alpha particles, 

and exposed to nuclear emulsion ; the problem of the determination 

of the number of tracks produced in the emulsion by the alpha parti-



230 DONATO P A L U M B O 

cles is resolved as a function of their lengtlis, and of their liorizontal 

and vertical projections. Il e liave used the hypothesis, gencrally ad-

mitted, that for alpha particles, the range in materials is proportional 

to that in air. 

Indicating icitli f (x), qp (xì, i|'(x) the number of tracks produced 

per cm2 of emulsion and second, iihose total length, liorizontal and 

vertical projection in emulsion is greater tlian x , (x in cm of air 

equivalent), ice obtain: 

4 i 4 - i 

qp ( * ) = H' ( x ) = 7 ^ k — — ( I h — 
4 i + i K k 

In these formulae iti is the ratio of the range in the minerai to 

that in air: Rj. . . Rp the ranges of the alpha particles emitted by the 

various nuclides, in cm airequivalent and arranged in increasing 

order, nk and Xka are respectively, the number of nuclides of the 

specie k n m per cm3, and the Constant of alpha disintegration. 

These formulae are independent of any hypotheses on the state 

of equilibrium of the radioactive families present in the minerai. 

B I B L I O G R A F I A 

F1) H. YAGODA' Radioactive measurements ivith nucìear emulsiona ( N . V . 1 9 4 9 ) . 

Gap. V I I . 

( 2 ) F . B A C H E L E T , E . M . F E R R E T T I - S F O R Z I N I , F . I P P O L I T O : N . C i n i . , V I L I , 8 5 1 ( 1 9 5 1 ) 

( 3 ) S . MILONE-TAMBURINO, A . STELLA: N . C i n i . , I X , 2 5 3 ( 1 9 5 2 ) . 

( l ) E. E. PICCIOTTO: B u l l . P l i y s . N u c l . B r u x e l l e s , N. 33 ( 1 9 5 2 ) . 

( 5 ) H. v . BUTTLAR, N. ISAAC: B u l l . P l i v s . N n c l . B r u x e l l e s , N. 36 ( 1 9 5 2 ) . 

( « ) J . W . B R E M N E R : P I - O C . P h y s . S o c „ A 6 1 , 2 5 ( 1 9 5 1 ) . 

C ) I . C U R I E : J o u r . P l i y s . e t R a d . , 7 , 3 1 3 ( 1 9 1 6 ) . 

( S ) H. v . BUTTLAR, F. G . HOUTERMANS: G e o c . et C o s m o c . A c t a , 2, 43 ( 1 9 5 1 ) . 

(0) R . D. EVANS: P l i y s . R e v . , 4 5 , 2 9 ( 1 9 3 4 ) ; i b . 65, 2 1 6 0 944). 

( 1 0 ) G . I M B Ò - L . C A S E R T A N O : A n n a l i d i G e o f i s i c a , I I I , 4 ( 1 9 5 0 ) , p a g . 4 7 5 . 

: A n n a l i di G e o f i s i c a , V , 1 ( 1 9 5 2 ) , pag. 1. 

( n ) H . Y A G O D A : o . e . , p a g . 8 3 . 

( 1 2 ) VAN STIJVENDAEL : B u l l . P l i y s . N u c l . B r u x e l l e s , N. 2 8 ( 1 9 5 1 ) .