S U L L E P R O P R I E T À E L A S T I C H E 

D E L M A N T E L L O I N T E R N O D E L L A T E R R A 

P . E . V A L L E 

Introduzione. — L ' i p o t e s i c l i c lo s t r a t o D del m a n t e l l o della T e r r a 
sia s o s t a n z i a l m e n t e u n i f o r m e e ciie n e l l o s t r a t o la d i s t r i b u z i o n e della 
t e m p e r a t u r a si avvicini alla d i s t r i b u z i o n e a d i a b a t i c a , è stata r e c e n t e -
m e n t e a v v a l o r a t a dalle r i c e r c h e di F . B i r c l i f 1 ). 

Q u e s t e r i c e r c h e h a n n o i n o l t r e posto in e v i d e n z a c h e i m a t e r i a l i 
c h e c o s t i t u i s c o n o lo s t r a t o D, p r e s e n t a n o , a p r e s s i o n e zero, u n ' e l a s t i -
cità t a n t o e l e v a t a da n o n p o t e r essere i d e n t i f i c a t i con nessuno dei 
c o m u n i s i l i c a t i . I n p a r t i c o l a r e v i e n e esclusa la p o s s i b i l i t à clic tali ma-
teriali possano essere i d e n t i f i c a t i con l ' o l i v i n a . 

L ' e l a s t i c i t à d e l l o strato D è p e r a l t r o c o n f r o n t a b i l e con la elasti-
c i t à di a l c u n i ossidi c o m e MgO, Al>0.\, TiO->, la cui densità è i n o l t r e 
assai p r o s s i m a alla d e n s i t à dello s t r a t o a p r e s s i o n e zero, o t t e n u t a p e r 
e s t r a p o l a z i o n e dal m o d e l l o A di K . E . B u l l e n . 

Questo f a l l o h a i n d o t t o F . B i r c l i a r i t e n e r e c h e lo s t r a t o D sia 
c o s t i t u i t o da ossidi di m a g n e s i o , s i l i c i o e f e r r o , in f a s i di a l t a pres-
s i o n e , a v e n t i u n a s t r u t t u r a a n a l o g a a q u e l l a degli ossidi s o p r a c i t a t i . 

N e l l o s t r a t o C si a v r e b b e r o g r a d u a l i c a m b i a m e n t i di f a s e o di 
m a t e r i a l e , o p p u r e , c o n t e m p o r a n e a m e n t e , di f a s e e m a t e r i a l e . 

L e r i c e r c h e di B i r c l i si b a s a n o sulla t e o r i a delle d e f o r m a z i o n i 
finite, sui dati di l a b o r a t o r i o di P . W . B r i d g m a n e sui v a l o r i d e l l e 
o n d e s i s m i c h e di H . J e l f r e y s ( 4 I . Si a m m e t t e poi, in a c c o r d o con tutte 
le m o d e r n e d i s t r i b u z i o n i della densità n e l l ' i n t e r n o della T e r r a , c h e 
il c a m p o g r a v i t a z i o n a l e a b b i a , n e l l o s t r a t o D , un v a l o r e p r a t i c a m e n t e 
c o s t a n t e . 

L a v a l u t a z i o n e d e l l ' e l a s t i c i t à dello s t r a t o D a pressione zero, v i e n e 
e f f e t t u a t a da F . B i r c l i m e d i a n t e il c a l c o l o , a tale p ressio ne, del rap-
p o r t o 

4 
= V i i r , 

3 
[ 1 ] 

e 

in cui Ks è l ' i n c o m p r e s s i b i l i t à a d i a b a t i c a , o la densità, n e t't l e 
v e l o c i t à d e l l e o n d e s i s m i c h e l o n g i t u d i n a l i e t r a s v e r s a l i , r i s p e t t i v a m e n t e . 



3 7 4 P. E. VALLE 

TABELLA I 

h 
k m 

vl 
km/sec 

vt 
km/sec 

V 

g / c m 3 

1000 
1 2 0 0 
1400 
1 6 0 0 
1800 
2 0 0 0 
2 2 0 0 
2 4 0 0 
2 6 0 0 
2 8 0 0 

11,42 
11,71 
11,99 
12,26 
12,53 
12,79 
13,03 
13,27 
13,50 
13,64 

6,36 
6,50 
6,62 
6,73 
6,83 
6,93 
7,02 
7,12 
7,21 
7,30 

4,68 
4 , 8 0 
4,91 
5,03 
5,13 
5 , 2 4 
5,34 
5,44 
5 , 5 4 
5,63 

A l l o scopo di o t t e n e r e m a g g i o r i i n f o r m a z i o n i sulle p r o p r i e t à ela-
s t i c h e d e l l o s t r a t o D, i n q u e s t a n o t a , m e d i a n t e la t e o r i a classica dei 
s o l i d i , si c a l c o l a s e p a r a t a m e n t e i l v a l o r e delle v e l o c i t à d e l l e o n d e si-
s m i c h e l o n g i t u d i n a l i e t r a s v e r s a l i , a p r e s s i o n e z e r o e a l l a t e m p e r a t u r a 
della s o m m i t à d e l l o s t r a t o . V e n g o n o a l t r e s ì c a l c o l a t i i v a l o r i di a l c u n i 
p a r a m e t r i p e r i l c o n f r o n t o con i r i s u l t a t i di F . B i r c h . 

L a d i s t r i b u z i o n e d e l l a densità c o r r i s p o n d e n t e al m o d e l l o A di 
K . E . B u l l e n ( 2 3 ) e l e v e l o c i t à d e l l e o n d e s i s m i c h e di H . J e f f r e y s ( 4 ) 
c o s t i t u i s c o n o i d a t i di p a r t e n z a . Questi dati sono c o n t e n u t i n e l l a ta-

Valore del parametro di Griineisen alla sommità dello strato D. 
— L o s t r a t o D si trova m o l t o p r o b a b i l m e n t e a d u n a t e m p e r a t u r a 
s u p e r i o r e a l l a t e m p e r a t u r a di D e b y e , il c u i v a l o r e m e d i o n e l l o s t r a t o 
può essere v a l u t a t o c i r c a 1 0 0 0 °C. O r a ad u n a t e m p e r a t u r a v i c i n a ai 
1 0 0 0 °C i l c a l o r e specifico degli ossidi a c c e n n a t i n e l p r e c e d e n t e para-
g r a f o e dei s i l i c a t i è m o l t o p r o s s i m o al v a l o r e classico dei c r i s t a l l i 
i o n i c i f 1 ). P e r t a n t o l e v e l o c i t à i s o t e r m e delle o n d e e l a s t i c h e longitu-
d i n a l i e t r a s v e r s a l i , sono date r i s p e t t i v a m e n t e d a l l e espressioni (r') 

b e l l a I . 

[ 2 ] 

n e l l e q u a l i l ' i n d i c e 1 c o n t r a s s e g n a i l v a l o r e delle grandezze alla som-



SULLE PROPRIETÀ ELASTICHE DEL MANTELLO INTERNO DELLA TERRA 375 

mità dello strato. T a l e sommità verrà assunta, convenzionalmente, alla 
profondità di 1000 k m . 

L a velocità isoterma delle onde trasversali coincide con la velo-
cità a d i a b a t i c a , m e n t r e p e r le onde longitudinali risulta 

« Y T J [ 4 ] 

I n questa relazione a è la dilatazione termica, y il p a r a m e t r o 
di Grùneisen e T la t e m p e r a t u r a assoluta. D a t o c h e « è dell'ordine 
di IO"5 e y è compreso fra 1 e 2, tenuto conto c h e la t e m p e r a t u r a 
media nello strato D è quasi sicuramente i n f e r i o r e ai 5000 ° K , in pri-
ma approssimazione si potrà r i t e n e r e 

M s — («ili T 

L a [ 2 ] e la [ 3 ] possono essere scritte nella f o r m a 

v 0 ò c>t \ e / 

vi> a Qi \ g / 

Sostituendo in queste relazioni i valori di Vi, vt e p contenuti n e l l a 
taliella I, si ottengono due sistemi di equazioni n e l l e incognite y 4 i, 
y , , , rispettivamente. 

L a soluzione dei due sistemi, effettuata col metodo dei m i n i m i 
quadrati, ha fornito 

yu = 1,421 + 0,006 
[ 5 ] 

y l t = 1,169 + 0,C04 

R i c o r d a n d o che il parametro di Griineisen è dato da ( 5 ) 
Y — i L l h A l i [ 6 ] 

3 

risulta 
Yi = 1,253 [ 7 ] 

Valore della densità dello strato D a pressione zero e alla tem-
peratura della sommità dello strato. — Questo valore può essere f a c i l -



3 7 6 P. E. VALLE 

niente ottenuto dall'equazione di stato ( 5 ) 

P ~ Pi = Kn 

nella quale 

(2 T ) 1 ' 3 

3 

2 r C l 
/• I — 

21" 

A 
(T — T ( ) 

r = Yl.+ 
ì 

(Vii — Y 4 I) 

+ 

[ 8 ] 

[ 9 ] 

4 i r , , 

ó t'-j. 

I n base ai risultati del paragrafo precedente si h a 

r = 1,600 [ 1 0 ] 

Posto quindi nella [ 8 ] p = 0, pi = 0,392 megabars, come risulta 
dal modello A di K . E . B u l l e n (2":l), KlT2±Ktb= 3,579 megabars, 
T — T i , o = (_•„ , risolvendo si ottiene 

Co = 4,07 g/cms [11] 

Valori delle velocità delle onde elastiche nello strato D a i>res-
sione zero e alla temperatura della sommità dello strato. — Introdu-
cendo nella [ 2 ] e nella [ 3 ] i valori di y , i , y j t , v n , vu, £>, e e » , 
si ottengono le velocità delle onde elastiche, nei m a t e r i a l i c h e costi-
tuiscono lo strato D, a pressione zero e alla temperatura della som-
m i t à dello strato. I n d i c a n d o con t;tìi e v0t queste velocità, risulta 

Voi = 9,67 km/sec 

Vot = 5,59 km/sec 

I l cocfficienie di Poisson a c il rapporto 

rr0 = 0,25 . 

il>0 = 51,8 (km/sec)2 

R i c o r d a n d o poi che y q = costante, si ha 

yu = 1,44 

[12] 

sono dati quindi da 

[ 1 3 ] 

[ 1 4 ] 

[ 1 5 ] 

Nella fig. 1 viene mostrato l ' a n d a m e n t o delle velocità delle onde 
longitudinali e trasversali nello strato D, in funzione della densità. L e 
curve sono state calcolate m e d i a n t e la [ 2 ] e la [ 3 ] , m e n t r e i punti 
rappresentano i dati della t a b e l l a 1. 



SULLE PROPRIETÀ ELASTICHE DEL MANTELLO INTERNO DELLA TERRA 3 7 7 

F i g . ] - V e l o c i t à delle onde sismiche nello strato D del mantello della T e r r a in 
funzione della densità. 



378 P. E. VALLE 

La funzione 1 — g"1 d 0 / d r nello strato D. — F . B i r c h h a mo-
strato che questa funzione, la quale è stata considerata p e r l a p r i m a 
volta da K . E . B u l l e n (°), può essere posta n e l l a f o r m a (-1) 

+ « Y T A + (a y T ) 2 B + a <I> t g~l C [ 1 6 ] 
dr \ 3p jT 

nella qtiale t è la differenza t r a il gradiente attuale di temperatura 
e i l gradiente adiabatico, g il c a m p o gravitazionale e A, B e C sono 
funzioni di p a r a m e t r i adimensionali. 

F i g . 2 - L a funzione 1 — g~' 
A<I> 
5 T nello strato D del m a n t e l l o della T e r r a . 

I l t e r m i n e più i m p o r t a n t e a secondo m e m b r o della [ 1 6 ] è i l pri-
mo, i l quale, in base alla teoria classica dei solidi, è espresso dalla 
relazione ( 5 ) 

3K, 

P I r 3 e 
[ 1 7 ] 

Nella fig. 2 è riportato l ' a n d a m e n t o di (3 KT/dp).r, in funzione 
della profondità, calcolato con i dati della t a b e l l a I m e d i a n t e la [ 1 7 ] , 
n e l l a qtiale si è posto 2 T = 3,2. L a figura c o n t i e n e i n o l t r e l'analogo 
andamento ottenuto da F . B i r c h dalla teoria delle deformazioni finite 



SULLE PROPRIETÀ ELASTICHE DEL MANTELLO INTERNO DELLA TERRA 379 

e i v a l o r i di 1 — g'-AI>/Ar c a l c o l a t i dallo slesso B i r c l i con l e velocità 
di H . J e f f r e y s , assumendo g = IO3 cm/sec 2 . 

Confronto con i risultati di F. Birch. — I l c o n f r o n t o tra i valori 
di vari p a r a m e t r i c a l c o l a t i da F . B i r c h e q u e l l i o t t e n u t i nei p r e c e d e n t i 
p a r a g r a f i , v i e n e e f f e t t u a t o n e l l a t a b e l l a I I . 

L a v e l o c i t à delle o n d e l o n g i t u d i n a l i e trasversali a pressione zero 
c o n t e n u t e n e l l a t a b e l l a I I , s e b b e n e si r i f e r i s c a n o alla densità c o r r i s p o n -
d e n t e a l l a t e m p e r a t u r a della s o m m i t à d e l l o strato, n o n si r i s c o n t r a n o 
in nessuno dei c o m u n i s i l i c a t i (7"8). 

Q u e s t o risultato c o n v a l i d a q u e l l o o t t e n u t o p r e c e d e n t e m e n t e da 
F . B i r c h m e d i a n t e la t e o r i a delle d e f o r m a z i o n i finite. 

P e r a l t r o i l v a l o r e r e g o l a r e del coefficiente di P o i s s o n trovato a 
p r e s s i o n e z e r o , m o s t r a c h e i m a t e r i a l i c h e c o s t i t u i s c o n o l o s t r a t o D 
non p r e s e n t a n o , a t a l e pressione, a l c u n a p r o p r i e t à e l a s t i c a e c c e z i o n a l e . 
R i m a n e p e r ò a p e r t a la q u e s t i o n e della c o m p o s i z i o n e e s t r u t t u r a dello 
s t r a t o Z), s e b b e n e il s u g g e r i m e n t o di F . B i r c h c h e esso sia c o s t i t u i t o 
da ossidi di m a g n e s i o , s i l i c i o e f e r r o in fasi di a l t a pressione, costi-
tuisca u n a b a s e di r i c e r c a . 

TABELLA I I 

Parametri relativi allo strato D a pressione zero * 

P a r a m e t r o e unità 
T e o r i a dei solidi 

e Modello A 

T e o r i a 
delle d e f o r m a z i o n i 

finite ( B i r c h ) 

<!>„ ( k m / s e c ) 2 51.8 51 

0 o ( g / c m 3 ) 4,07 4 ( M o d e l l o A) 

B u l k m o d u l u s ( m e g a b a r s ) 2,11 2,04 
y„ ( a d i m e n s i o n a l e ) 1,44 1,47 

13 ^ T D P'T ( a d i m e n s i o n a l e ) 4,01 4,00 

vnl ( k m / s e c ) 9,67 — 
vol ( k m / s e c ) 5,59 — 
c n ( a d i m e n s i o n a l e ) 0,25 — 
(in ( m e g a b a r s ) 1,27 — 
E o ( m e g a b a r s ) 3,17 — 

Roma — Istituto Nazionale di Geofisica — Settembre 1953. 

( * ) I valori ottenuti m e d i a n t e la teoria dei solidi si r i f e r i s c o n o alla t e m p e r a -
t u r a della s o m m i t à dello strato, m e n t r e i valori ottenuti da B i r c h m e d i a n t e la 
t e o r i a delle d e f o r m a z i o n i finite si r i f e r i s c o n o alla t e m p e r a t u r a m e d i a dello strato. 



3 8 0 P . E . VALLE 

RIASSUNTO 

Mediante la teoria classica dei solidi vengono calcolate le velo-
cità delle onde elastiche, nello strato D dell'interno della Terra, a 
]>ressione zero e alla temperatura della sommità dello strato. 

Si è ottenuta una velocità pari a 9,67 km/sec per le onde longi-
tudinali e pari a 5,59 km/sec per le onde trasversali. 

Nessuno dei comuni silicati presenta velocità così elevate. 
Questo risultato è in eccellente accordo con le ricercha effettuate 

da F. Birch. 

SUMMARY 

The velocities of elastic ivaves in the D layer of the Earth at 
zero pressure and at the temperature of the top of the layer are 
calculated hy means of the classical theory of solids. 

These velocities are found to he 9,67 km/sec for longitudinal ivaves 
and 5,59 km/sec for shear ivaves. 

None of the experimental values of nave velocities in common 
silicates satisfies the requirements for layer D. 

This results are in excellent agreement with the results obtained hy 
F. Birch. 

B I B L I O G R A F I A 

( ! ) BIRCH F _ Elasticity and costiliilion of Earth's interior. J . Geopliys. Res. 57, 
227-286 (1952). 

( 2 ) BULLEN K . E., The problem of the Earth's density variations. Bull. Seism. 
Soc. Airi. 32, 19-29 (1942). 

( 3 ) BULLEN K . E., Introdnction to the theory of seismology. Cambridge, Uni-
versity Press (1947). 

( 4 ) JEFFREYS H „ The time of P, S and S K S and the velocities of P and S. 
Geopliys. Suppl. 4, 498-533 (1939). 

( 3 ) VALLE P . E., Una equazione di stato per i solidi. Annali di Geofìsica, 6, 
183-197 (1953). 

( 6 ) BULLEN K . E., Compressibility - pressure hipotesis and the Earth's interior. 
Geophys. Suppl. 5, 355-368 (1949). 

C) BIRCH F., Handbook of physical constants. Geol. Soc. Ani. Special papers 
(1950). 

( S ) GUTENBERG B . (Editor), Internai constitulion of the Earth. Dover Publica-
tions (1951).