U L T E R I O R E S T U D I O S U L L E S E S S E D E L L A G O D I B O L S E N A D . DI FILIPPO Richiami teorici. — C h r y s t a l , p e r l o sviluppo della sua t e o r i a sulle o s c i l l a z i o n i l i b e r e , c o n s i d e r a i l l a g o c o m e u n c a n a l e finito di s e z i o n e v a r i a b i l e con l a p r o f o n d i t à , m a n o n i n m a n i e r a b r u s c a . E g l i p o n e l ' a s s e x s u l l a s u p e r f i c i e del l a g o , l u n g o l a l i n e a di m a s s i m a pro- f o n d i t à e l ' o r i g i n e ad u n a e s t r e m i t à del l a g o stesso, l'asse y o r i z z o n t a l e e l ' a s s e z v e r t i c a l e , ed i n o l t r e i n d i c a con S ( : r ) l ' a r e a di u n a g e n e r i c a sezione n o r m a l e all'asse x, e con b(x) l a c o r r i s p o n d e n t e a m p i e z z a alla s u p e r f i c i e l i b e r a . C o n s i d e r a i n f i n e t r a s c u r a b i l i , dopo u n t e m p o t, gli s p o s t a m e n t i di u n a p a r t i c e l l a , soggetta ad u n a c e r t a azione, l u n g o l'asse y e c h i a m a con E e £ r i s p e t t i v a m e n t e gli s p o s t a m e n t i orizzon- tali s e c o n d o l'asse x e q u e l l i v e r t i c a l i secondo z. S c r i t t a l ' e q u a z i o n e della c o n t i n u i t à e t e n u t o c o n t o d e l l ' e q u a z i o n e f o n d a m e n t a l e d e l l ' i d r o d i n a m i c a di E u l e r o , con la c o n d i z i o n e c h e gli s p o s t a m e n t i v e r t i c a l i r i s u l t i n o t r a s c u r a b i l i r i s p e t t o a l l a p r o f o n d i t à del l a g o , p e r v i e n e a l l a s e g u e n t e e q u a z i o n e del m o v i m e n t o ( c h e p o r t a il suo n o m e ) : 8 t- ò v" dove u=S(x) | è i l v o l u m e del l i q u i d o c h e a t t r a v e r s a S(x) a causa dello s p o s t a m e n t o o r i z z o n t a l e , e v= j b(x)dx è l ' a r e a della supeii ficie del l a g o c o m p r e s a tra l ' o r i g i n e e l a s e z i o n e c o n s i d e r a t a . I n o l t r e egli c o n s i d e r a l a f u n z i o n e a {v) —S(x)b(x) e r i p o r t a t i i v a l o r i di v(x) sulla ascissa e i c o r r i s p o n d e n t i a (v) s u l l ' o r d i n a t a , t r a c c i a l a « c u r v a n o r m a l e » o c u r v a di C h r y s t a l c h e r a p p r e s e n t a l a sezione del l a g o r i d o t t o . P o i c h é u n a sessa è u n a o s c i l l a z i o n e s t a z i o n a r i a , l a « u » è u n a f u n z i o n e p e r i o d i c a e si può m e t t e r e n e l l a f o r m a u — P sen n ( t — r) dove P è u n a f u n z i o n e di v. 4 0 6 I). DI F I L I P P O Boi sera LAGO D I B o l s e n a S c a l a 0 1 2 3 U L T E R I O R E S T U D I O S U L L E S E S S E DEL LAGO DI HOLSENA 4 0 7 Nel caso che si tratti (li un lago di ampiezza « b » costante, di sezione rettangolare ma di profondità variabile, tale c h e S(x) = bh(x), supponendo che si abbia a che fare con oscillazioni stazionarie, la [ 1 ] diviene 6 g h (x) 0 . [ 2 ] Se poi si conside- ra il caso particolare di un lago parabolico completo, simmetrico e concavo, e l'origine degli assi si sposta al c e n t r o del lago e si indica con h la mas- sima profondità e con a la semilunghezza del lago ridotto I fig. 2), allora A a 0 5 A' Fig. 2 li Ix) = h • 1 [ 3 ] P o n e n d o ir == — e c a ph la [ 2 ] assume la f o r m a (V P (1 — iv-) f- c P = 0 6 u" e questa, introducendo le funzioni delle stesse, ci dà per « u » l'espres- sione ; h (1 — iv-) = u = ) AC (r, w) + BS(c, w) | sen n (t — T) [ 4 ] nella (piale A c B sono costanti a r b i t r a r i e e C{c, tv) e S(c, w) sono date dalle C ( r , w) = l • S (c, w) = u" c .. c ( c — 1 - 2 ) 4 U - i u . 2 1 • 2 X 3 • 4 [5] 2 - 3 K 3 + r ( c - 2 - 3 ) i 2 - 3 X 4 - 5 4 0 8 I). DI F I L I P P O G l i spostamenti v e r t i c a l i r i s u l t a n o di conseguenza l = — — = — — — = — — j A C'{c,w) + B S'(c, w) | sera n ( t — n 8 x a 5 w a ' dove C'(c,w) e S'(c,w) sono l e derivate delle f u n z i o n i delle sesse ri- spetto a tv. D a l l a [ 4 ] risulta c h e u. = 0 p e r tv = + 1 e dato c h e sussistono le r e l a z i o n i C ( c , — 1) = C(c, 1) e S(c, — 1) — —S(c, 1), d e b b o n o essere soddisfatte l e seguenti condizioni l i m i t e A C ( c , l ) + B S(c, 11 = 0 A C ( c , l ) — B S ( c , 1 ) = 0 T e n e n d o conto della p r o p r i e t à delle soluzioni di una e q u a z i o n e l i n e a r e del secondo ordine, in questo caso si può scrivere C(c,w) S'(c,w) — C ' ( c , tv) S(c,w) — 1 ; r i s u l t a quindi c h e C ( c , l ) e S ( c , 1) n o n possono essere n u l l e contempo- r a n e a m e n t e e p e r t a n t o o B = 0 , C ( c , l ) = 0 , o p p u r e A — 0 , S(c, 1) = 0 , Quando c assume uno dei valori non f r a z i o n a r i 1 * 2 ; 2 - 3 ; 3 - 4 ; ... v.(v -j- 1), a l t e r n a t i v a m e n t e le C ( c , i^) e S(c,w) si a n n u l l a n o o si ridu- c o n o a f u n z i o n i i n t e r e razionali di w. I n queste condizioni è p e r t a n t o possibile c a l c o l a r e i valori delle ampiezze degli spostamenti v e r t i c a l i £ c h e s a r a n n o dati dalle relazioni t = C ( c 2 S - I ; w ) «era ra2S_1 (t — T) a [6] g ^ = S' (c2S ; w) sen n„s (t — T) a r i s p e t t i v a m e n t e per le ampiezze delle sesse dispari e pari. U L T E R I O R E S T U D I O S U L L E S E S S E DEL LAGO DI B O L S E N A 4 0 9 I periodi relativi si possono ottenere f a c i l m e n t e dalla 7 e ricordando c h e si h a T = , f o 7 ì h con cy — v (v + 1) dove v = 1, 2, 3 . . . Applicazione al lago di Bolseiui. — I n un precedente lavoro so- no stati determinati gli elementi delle c a r a t t e r i s t i c h e i d r o d i n a m i c h e del lago di B o l s e n a con i metodi di H i d a k a e di Defant. P o i c h é la curva di Chrystal è m o l t o prossima ad una parabola (vedi fig. 3) e la f o r m a del lago assimilabile ad un rettangolo, è stato possibile appli- c a r e per la prima volta il metodo proposto da Chrystal, nel caso di un lago p a r a b o l i c o completo. Nella t a b e l l a I sono r i p o r t a t i i dati adoperati n e l primo lavoro e c h e sono stati rilevati dalla carta del lago di B o l s e n a dell'Atlante dei 4 1 0 I). DI F I L I P P O l a g h i i t a l i a n i di D e A g o s t i n i , ove s o n o state t r a c c i a t e 2 5 se z i on i , di- s t a n t i l ' u n a d a l l ' a l t r a 5 0 0 m e n o r m a l i a l l a l i n e a a l l a superficie, assunta c o m e asse d e l l e x. TABELLA I sez. d t- ( * ) A: o (v) N. km k m 2 Kn : k m 3 0 0,0 0,00000 —56,81275 0,000000 1 0,5 2,21950 —54,59325 0,203290 2 1,0 5,47150 - - 5 1 , 3 4 1 2 5 0,992445 3 1,5 8,87825 —47,93450 1,564414 4 2,0 12,38825 — 4 4 , 4 2 4 5 0 2,303440 5 2,5 16,37375 —40,43900 4,526775 6 3,0 20,75475 —36,05800 6,301200 7 3,5 25,19375 — 3 1 , 6 1 9 0 0 7,493048 8 4,0 29,36450 —27,44825 8,862042 9 4,5 34,37125 —22,44150 8,701275 10 5,0 39,53300 —17,27975 8,900899 11 5,5 44,74500 —12,06775 9,592736 12 6,0 50,19700 — 6,61575 11,226815 13 6,5 55,64250 — 1,17025 11,534864 14 7,0 60,01850 + 3,20575 10,961528 15 7,5 66,00475 + 9,19200 10,490775 16 8,0 71,38075 + 14,56800 10,094545 17 8,5 76,62775 + 19,81500 10,329237 18 9,0 81,77150 + 2 4 , 9 5 8 7 5 9,271762 19 9,5 86,63125 + 2 9 , 8 1 8 5 0 8,122936 20 10,0 91,33350 + 3 4 , 5 2 0 7 5 7,598414 21 10,5 95,77900 + 38,96625 6,754010 22 11,0 100,41600 + 4 3 , 6 0 3 2 5 5,958452 23 11,5 104,33900 + 4 7 , 5 2 6 2 5 4.870289 24 12,0 108,08525 + 5 1 , 2 7 2 5 0 3,468000 25 12,5 111,47475 + 5 4 , 6 6 2 0 0 1,258687 26 13,0 113,62550 + 5 6 , 8 1 2 7 5 0,000000 S e l ' o r i g i n e delle c o o r d i n a t e si p o n e i n s u p e r f i c i e i n c o r r i s p o n - denza del c e n t r o della c u r v a n o r m a l e (fig. 2), l a s e m i l u n g h e z z a del l a g o r i d o t t o è a = 5 6 , 8 1 2 7 5 k m 2 e se si c o n s i d e r a n o l e v(x) r e l a t i v e ad ogni sezione e le c o r r i s p o n d e n t i o(v), si h a n n o , a p p l i c a n d o la [ 3 ] , 27 r e l a z i o n i d a l l e q u a l i , con i l m e t o d o dei m i n i m i q u a d r a t i , si p e r - v i e n e alla r e l a z i o n e h{x) = 10,972 — 0 , 0 0 3 4 * 2 da cui r i s u l t a p e r la m a s s i m a p r o f o n d i t à del l a g o r i d o t t o i l v a l o r e h — 10,972 U L T E R I O R E S T U D I O S U L L E S E S S E DEL LAGO DI B O L S E N A 4 1 1 Nella fig. 3 la parabola trovata è posta in c o n f r o n t o con la « curva n o r m a l e » ed è messa in evidenza la buona approssimazione prevista. Periodi. Calcolato il valore di h e noto «, prendendo per l'accele- razione di gravità il valore g = 0,009803 km/sec-', tenendo conto del valore di c per la sessa c b e si considera, dalla relazione T = 2 ,-t I <\. g h con c v = v (v —f— 1 ) e v = 1, 2, 3 ... è f a c i l e d e t e r m i n a r e i vari periodi. I n f a t t i , nell'espressione del periodo, posto i valori detti di a, h, g e con Cj = 1 -2, si ottiene per il periodo della uninodale il valore T i = 12m,83 m e n t r e per e;> — 2 • 3 il periodo della b i n o d a l e risulta To = 7r a,41 Ponendo invece C:Ì = 3 - 4 per la trinodale T3 = 5 m ,24 e infine per la quadrinodale, con f4 = 4 ' 5 , si perviene al valore T 4 = 4'»,06 Come si può vedere dallo specchietto seguente, i p r i m i tre valori trovati vanno d'accordo, anche se leggermente i n f e r i o r i , con quelli ot- tenuti con i due metodi precedentemente applicati e altresì con i va- lori medi rilevati dalle registrazioni di Palazzo e riportati n e l lavoro citato. unidodale 12'",83 13 ,05 13 ,15 13 ,23 P e r i o d i binodale trinodale quadrinodale 7'", 41 7 ,90 8 ,20 7 ,92 5m,24 5 ,40 5 ,35 5 ,40 4'", 06 3 ,80 metodo di Chrystal „ „ Hidaka „ " Defant medi osservati regi- strazioni Palazzo. 4 1 2 I). DI F I L I P P O L ' u l t i m o valore ottenuto è m o l t o prossimo al periodo 3"',8 rilevato c o m e m e d i a di due valori dalla registrazione di Palazzo a B o l s e n a , va- lore elle n e l l ' a l t r a nota si dava appunto c o m e p r o b a b i l e periodo della quadrinodale. Spostamenti verticali e nodi. G l i spostamenti v e r t i c a l i lungo la sezione del lago sono stati ottenuti applicando l e f o r m u l e [ 6 ] e po- nendo in esse i v a l o r i di c relativi ad ogni sessa. P e r l ' u n i n o d a l e i n f a t t i jl t, = — C' (c, , ir) sen n, (t — t) a dove per ei = l " 2 C ( c i , tv) = 1 — tv2 e r i c o r d a n d o c h e tv = — , si h a in definitiva sen (t — T ) a 2 A x Posto come al solito £ = 1 all'estremo del lago si sono ottenuti, p e r l e varie sezioni, i valori delle ampiezze riportati n e l l a t a b e l l a IT. L ' u n i n o d o cade n e l centro del lago ridotto in corrispondenza di una distanza di 6,634 k m da Marta. P e r la b i n o d a l e gli spostamenti verticali sono dati dalla relazione g 'Q = S' (c„ , w) sen n., (t — t) a dove per c 2 = 2 - 3 si h a dalla seconda delle [ 6 ] S (c2 , tv) = tv — it 3 ; derivando e sostituendo nella espressione di £ , risulta B ! ar — 3 x° , Q = I sen n„ (t — T ) I binodi si h a n n o se £ = 0 e precisamente per or — 3 * 2 = 0 da cui r i s u l t a n o