Su alcune disposizioni elettrodiche interessanti processi elettrocinetici in terreni saturi d'acqua A. CREA Studiamo il fenomeno elettrogeosmotieo, nel caso stazionario di u n campione di ter- reno saturo d'acqua in cui si faccia fluire corrente elettrica mediante due elettrodi indefiniti, cilindrici non coassiali (v. fig. l a ) , o cilindrico l'anodo, piano il catodo e paral- lelo alle generatrici anodiche (v. fig. l i ) . Supporremo che all'interno dell'anodo si eserciti artificialmente u n a pressione idrau- lica Ha maggiore o uguale della pressione esistente al catodo (Z/A). Sia anodo che catodo si penseranno permeabili all'acqua, per esempio forellati. Useremo i simboli seguenti: q = vettore di flusso idraulico; j = vettore densità di corrente elettrica II — pressione idraulica nel p u n t o generi- co del campione; V - potenziale elettrico nel p u n t o gene- rico del campione; Ha = pressione idraulica anodica Hk = pressione idraulica catodica VA = potenziale anodico VK — potenziale catodico a = conduttività elettrica del terreno I = corrente elettrica totale P = resistenza elettrica; k = coefficiente di permeabilità idraulica (Darcy) ke = coefficiente elettroosmotico [A — keja = coefficiente mediamente in- variantivo. § 1 - L'equazione fondamentale del fenomeno (che congloba le legge di Darcy ed Hel- mholz), è q = — />' grad H + [x j [1] e le condizioni di continuità d\v~q = 0 , di v j = 0 . [1'] Inoltre, d e t t o V (x, y) il potenziale elet- trico, si avrà anche j = — a grad V [1"] Applicando l'operatore divergenza alla [1] e tenendo conto delle [1'], si ottiene subito di® (grad H) = — — + - = 0 2 ì) x2 ò y2 e dalla [1"], applicando ancora l'operatore divergenza e tenendo conto della seconda delle [1'] d i v j = - o div (gradi + ^ J = 0 . [3] 200 A. CREA Alle [2] e [3] a n d r a n n o aggiunte le condi- zioni al contorno, come segue: per la [2]: R (x, y) = Ha sull'anodo, H (x, y) = Hk sul catodo, per la [3] V (x, y) = VA sull'anodo, V (x, y) = VK sul catodo. [4] Il problema, p e r t a n t o , è identico sia per la pressione idrostatica che per il potenziale elettrico: t r o v a r e u n a funzione armonica (p (x, y) (che può essere la pressione o il potenziale elettrico) che su anodo e catodo assuma valori costanti prefissati. Consideriamo dapprima u n a circonferenza nel piano w, di centro nel p u n t o w = 0 e raggio arbitrario i?; essa a v r à equazione | w\2 = R2 ove | w | è il modulo di te; indicando con sopralineature i coniugati dei numeri com- plessi, potremo scrivere la precedente equa- zione: z — a z — a \ w\2 = w w = • = az — 1 a z — 1 \z\2 — 2aR(z) + a2 ~ a2 \z\2 — 2aR(z) + 1 Ma z2 = x2 + y2, R (z) = x, quindi l'equazione precedente si scrive, dopo ovvie semplificazioni: (x_ af + y2 (ax — l)2 + a2y2 = R2 . [6] Allo scopo di risolvere il problema di Dirichlet ora posto, introduciamo i due piani complessi (z = x + iy) e w = u + iv), e t r a essi poniamo la corrispondenza subor- dinata dalla funzione complessa w = [5] (a costante reale > 1 ) , analitica nel piano « salvo nel p u n t o « = - in cui essa ha u n a a singolarità polare del primo ordine. Come è ben noto dalla teoria delle f u n - zioni di u n a variabile complessa, la corri- spondenza così posta f r a i piani (z) e (te) è generalmente conforme, nel senso che vengono conservati gli angoli f o r m a t i f r a loro da due archi di curva uscenti da un p u n t o del piano (z), nel passaggio al p u n t o e alle curve corrispondenti del piano (w); f a n n o eccezione le singolarità della funzione, e i p u n t i in cui si annulla la derivata della funzione. È altresì noto, dalla teoria delle f u n - zioni armoniche, che una trasformazione conforme nel piano m u t a funzioni armoniche in funzioni armoniche. Studiamo ora brevemente la corrispon- denza definita dalla [5], mettendone in evi- denza alcune proprietà fondamentali. L a [3] ridotta in f o r m a intera, può scri- versi: x2 + y2 — 2«(1 — R2) a2 R2 X + 1- - R 2 a2R2 = 0 [6'] che è l'equazione di u n a circonferenza del piano (z = x-\-iy) di centro J^J , o j , e di raggio R (1—a2 1— R2a2 (si noti che ciò comporta, essendo a > 1 , R > j , che è la curva corrispondente, nel piano (z) alla generica circonferenza con centro nell'ori- gine del piano (tv). Si noti poi che alla cir- conferenza di raggio R = l e centro nel- l'origine del piano (tv) corrisponde la circon- ferenza di raggio 1 e centro nell'origine del piano z, qualunque sia a. Alla circonferenza del piano (w) con cen- tro nell'origine e raggio Ti — - corrisponde u n a circonferenza di raggio infinito, e con centro all'infinito nella direzione dell'asse delle x: cioè la r e t t a di equazione (come si ricava sempre dalla [6]) [18] SU A L C U N E DISPOSIZIONI E L E T T E O D I C I I E , ECC. 201 parallela all'asse y e a. distanza > 1 da esso. ~ a Sia ora u n a r e t t a per l'origine del piano w, detto w0 = u0 + iv0 un suo punto, l'equa- zione di tale r e t t a può scriversi: iv = twn [8] z — a az — 1 w0 t (x — a) (ax — 1) + ay2 (ax — l)2 + a2ìf ( a 2 - 1 ) y = u0t , [9] (ax — .l)2 + a2 y2 Eliminando t f r a le [9] e posto 0 = A otteniamo: (x — a) (ax — 1) + ay2 (a2 - 1 )y = A cioè a2 + 1 , a2 — 1 x2 + ìf- x — l - « + 1 = 0 a a che è l'equazione di u n a circonferenza di a2 + 1 „ a2 •— 1 centro | 1 + A2 2 a , A e di raggio , passante, qualunque sia A, 1 per i p u n t i (a, o) e — , o : inoltre, al varia- re di A, i centri di tali circonferenze hanno ascissa costante, quindi sono situati su u n a r e t t a che coincide con quella di equazione [7]. Le circonferenze di equazione [6] e [10] sono m u t u a m e n t e ortogonali, come assicura il c a r a t t e r e conforme della corrispondenza, e come è del resto facile verificare diretta- mente; per ogni p u n t o del piano (z = x + iy) ne passa u n a ed u n a sola di ciascuna fami- glia, eccetto che per i punti, singolari per la corrispondenza, (a, o), (—, o) per cui non passa nessuna delle circonferenze [6] e pas- sano t u t t e le [10]. essendo t un p a r a m e t r o reale. La curva corrispondente nel piano (z) soddisfa alla relazione da cui, ponendo z = x + iy e separando il reale dall'im m aginario Fig. 2 La fig. 2 mostra l'andamento dei sistemi di circonferenze [t3] e [10]. due § 3. Con l'ausilio della corrispondenza stu- diata nel paragrafo precedente, mostreremo nel presente paragrafo come sia possibile trasformare il dominio compreso f r a i nostri elettrodi, pensato a p p a r t e n e n t e al piano (z), in u n a corona circolare nel piano (w). Assumiamo l'asse delle ascisse passante per i centri delle circonferenze sezioni degli elettrodi e consideriamo come coordinate di u n p u n t o del piano (z) i rapporti f r a le coordinate effettive e il raggio della circon- ferenza catodica esterna (il che, ovvia- mente, corrisponde a scegliere tale raggio come u n i t à di misura), il che comporta che la circonferenza esterna avrà, nel nuovo siste- m a di coordinate (« coordinate ridotte») rag- gio unitario. Siano a ^ e a ^ (—1 < », < x2 < 1 ) le coordinate r i d o t t e delle intersezioni della circonferenza interna coll'asse delle ascisse. Si è già visto (v' § 2) che la circonferenza di raggio unitario nel piano (z) corrisponde alla circonferenza unitaria nel piano (w); per conseguire il nostro scopo, basterà far vedere 202 A . C R E A che è possibile specializzare nella [6] a ed R, in modo che la circonferenza che ne risulta (corrispondente, come si è visto, a u n a circonferenza del piano (tv) con centro nell'origine) coincida con la circonferenza interna (anodo). All'uopo, intersechiamo la [6] con l'asse delle ascisse, e imponiamo che le ascisse dei p u n t i di intersezione coinci- dano con Xx e x2 r i s p e t t i v a m e n t e : tali ascisse sono fornite dalle soluzioni dell'equa- zione: 2 a (1 — R2) a2 — R2 x2 — v x + = 0 111 1 — a2 R2 1 — a2 R2 ' J che sono d a t e d a : a (1 — R2) R(a2— 1) X ~ 1 — a2 R2 111 a2 R2 — 1 Essendo poi a2 — 1 > 0, a2 R2 — 1 > 0 dovrà essere x, = Xo = a ( 1 — R2) R (a2 —1) 1 — a2 R2 ~ 1 — a2 R2 ' a(l—R2) R(a2— 1) [12 a2 R2 a2 R2 — 1 R = 1 — x,x2 ± I (1— a^2) (1— x22) a = R l+x1xl+\(l—xì2) (1— x22) [13'] 1 — x1x2 + 1(1—^) (1 P e r t a n t o l'assunto è dimostrato: notiamo esplicitamente che alla circonferenza interna nel piano (z) corrisponde la circonferenza esterna n e l p i a n o (w). Risolviamo ora il problema di Dirichlet posto nel § 1. A questo scopo trasformiamo il dominio compreso f r a i due elettrodi secondo le modalità del § 3, risolviamo il problema di Dirichlet per il dominio tra- sformato (corona circolare) e invertiamo la trasformazione. P e r quanto d e t t o alla fine del § 3, occorrerà considerare, nel piano (?<•), l'anodo esterno al catodo (v. flg. 3). JT ___ fi ) Jjj 7 O *4K/|V " Con qualche calcolo, è facile vedere che le [12] comportano le due equazioni: fa+aO «2 —2 (1+a^) a + (x2+xx) = 0 (xì—x1)R» — 2(l—x1x2)R + (x2—x1) = 0 [12'] che a m m e t t o n o le soluzioni 1 + x,x2 ± l/(l —xx2) (1 —x22) [13] nelle quali vanno assunti segni concordi. Poiché deve essere, per ipotesi, a > 1, e le due soluzioni della prima delle [12'] sono positive e u n a inversa dell'altra, occorrerà scegliere nelle [13] il segno positivo, per cui è F i g . 3 Ovviamente, per ragioni di simmetria, e per cose note, la funzione che risolve il nostro problema per la corona circolare è del tipo: q>(r) = A lg r + B con r distanza del p u n t o generico dall'ori- gine, e A e B costanti da determinare con l'ausilio delle condizioni ai limiti. P e r la pressione idrostatica avremo H (R) = A lg R + B = Ha (sull'anodo) II (!) = B Hk (sul catodo) e quindi e, con procedimento analogo per il poten- ziale elettrico V (r), V(r) = Va~~Jk l g r+VK x2 x1 e risulta anche R > 1 (anche le soluzioni della seconda delle [12'] sono f r a loro reci- proche). lg-R Tenendo conto che è / (x — a)2 + y2 r = w (ax-l)2-\-a2y2 SU A L C U N E D I S P O S I Z I O N I E L E T T R O D I C H E , ECO Come è facile vedere, e come è fisicamente ovvio, t a l e flusso catodico ha un a n d a m e n t o del tipo della tìg. 4, simmetrico rispetto all'asse dei centri degli elettrodi,massimo dove le superfiei elettrodiche sono più vicine, minimo nel p u n t o d i a m e t r a l m e n t e opposto. Le linee di flusso nell'interno dei d u e elettrodi, sono le circonferenze [10]. È poi facile calcolare la corrente elettrica (per la [5]), otteniamo, nel piano (Z = x-\-iy) 2 lg li (ax — l)2-\-a2y2 V(xv) = ~A ~ V k le { X ~ + V 1 [X,,J)~ 21gR {ax-l)2 +a2y2 ' K [14] che risolvono il nostro problema. N a t u r a l - mente, (a) ed (R) h a n n o i valori forniti totale fluente f r a gli elettrodi: b a s t a ricor- IIK dalle [13']. Dalle [14], passando in coordinate polari nel piano (z), con polo l'origine, o t t e n i a m o H(o,0) = H a — Hk J ' / —2 a ti cos 0 + a 2 = 2 l g R g a2'/ — -2no cos(9 + 1 V(e,0) = [ 1 4 ' ] _ VA — VK g 2 — 2 a g cosi? + a2 „ ~ 2 lg R g a2g2 — 2 « g cos (9 + 1 K da cui è facile risalire al flusso idrico cato- dico, m e d i a n t e la [1]: i n f a t t i = \ Ì)Q JQ= 1 \ < > g / e = 1 A2-1 & (HA - HA-) + K (JA ~ LÀ lg R a2 — 2a cos •& + 1 [15] Qk (0) = - d a r e che, per la [1"], è (W h = — cr a (a2 —1) \ òo )o= 1 v l - v K e quindi 1 gR a2 —2a coati + 1 I = I jk ds = (A) g(a2 — 1) (F^-UA) f lg 7? dfl - 2a cos $ + 1 2 n a ( V A l g />' [16] d a cui la resistenza elettrica del dispositivo r = V V lg R 2 TI a [1- 200 A. CREA § 5. Studiamo ora il caso in cui ad un anodo cilindrico indefinito, parallelo alle genera- trici dell'anodo (v. fig. 5). I)i conseguenza, per il flusso catodico, si ha a2 + 1 = %n cioè a = x0 + | x02 — 1 (dovendo essere a > 1). Con tale valore di a, al catodo corrisponde nel piano (w) la circonferenza di centro nell'origine e raggio — < 1, in- a t e r n a alla circonferenza t r a s f o r m a t a del- l'anodo. Allora, con procedimento p e r f e t t a m e n t e analogo a quello del § 4, si giunge alle relazioni H (x, y) h a - H a 2 lg « lg (x-a)2+y2 [ax—l)2+a2y2 (x-a)2+y2 3 a V (x, y) = A , K lg — + V, [ , J I 2 lg a n {ax—l)2+a2y2 A [18] ìk (y ) = — ÒH 7>X x = x Le equazioni fondamentali sono ancora quelle del paragrafo 1, con le stesse condi- zioni al contorno. Risolveremo ancora il problema usando la rappresentazione del § 2: b a s t e r à f a r vedere che è possibile, trasfor- mare, ancora mediante la [5], il dominio illimitato t r a t t a g g i a t o in fig. 4, in una corona circolare. Usando come coordinate ridotte, il rap- porto f r a le coordinate effettive e il raggio anodico, l'anodo, di raggio unitario e centro nell'origine si trasforma nella circonferenza di raggio unitario e centro nell'origine nel piano (w)-, per dimostrare l'asserto, basterà f a r vedere d e t t a x0 la distanza ridotta del catodo dell'origine, che è possibile deter- minare a in modo che la r e t t a [7] coincida col catodo; il che ovviamente comporta . lfl(«2-l) k(HA-HK) + KAVA~V«) lgfl (a2 — l ) 2 + 4a2ìf |-lg, che è massima per y — 0 (cioè nel punto in cui la normale al catodo per il centro dell'anodo interseca il catodo stesso; punto in cui le superfìci elettrodiche sono più vicine) decrescente al crescere di y in valore assoluto, nulla all'infinito. La fig. 6 m o s t r a l ' a n d a m e n t o ^ di qk lungo il catodo. F i g . 6 Anche in t a l caso è immediato il calcolo della corrente totale / e della resistenza F. Sempre tenendo presente la (1"), abbiamo [20] [21] SU A L C U N E D I S P O S I Z I O N I E L E T T R O D I C H E , ECC. 205 CONCLUSIONE. Le disposizioni elettrodiche qui studiate per la prima volta riguardano s t r u t t u r e di elettrodi cilindrici ad assi paralleli di cui uno è incluso t o t a l m e n t e nell'altro, cilindri coassiali, eccentrici, elettrodi esterni l'un l'altro, piano-cilindrici, ecc. Queste disposizioni polari possono ricor- rere frequentemente nella prospezione geo- elettrica utilizzante quali elettrodi fori di sonda t u b a t i anche parzialmente, ricorrono spesso nella elettrogeotecnica in processi eletta-osmotici bifilari introdotti dalla scuola russa (Netushil-Lomizé), sono dimostrative per quanto riguarda le caratteristiche di direzionabilità del nuovo processo dielet- troiniezioni di leganti chimici.