S U L G R A D I E N T E A D I A B A T I C O D I T E M P E R A T U R A N E L L ' I N T E R N O D E L L A T E R R A PAOLO EMILIO VALLE 1. — I l gradiente adiabatico di temperatura nell'interno della Terra ha una notevole importanza in molte questioni di carattere geofisico. Esso è espresso dalla nota relazione termodinamica m r « m 3P /„ Q CP nella quale T è la temperatura assoluta, a la dilatazione termica, q la densità, cp il calore specifico a pressione costante ed S l'entropia. Se si ammette l'equilibrio idrostatico e si indica con li la pro- fondità e con g l'accelerazione di gravità, risulta dp = q gdh e la [ 1 ] può essere scritta nella forma (3T\ _ Tag Kdh)s cp [ 2 ] o anche d l o g T= ^dh [ 3 ] cp Fino a qualche anno fa, il rapporto « /cp veniva dedotto da misure di laboratorio eseguite su varie rocce ignee. Nel mantello della T e r r a il suo valore medio era ritenuto pari a circa 1 . 5 1 0 - l s g erg - . Recentemente J . Verhoogen I r) ha proposto un nuovo metodo per la valutazione del suddetto rapporto, allo scopo di eliminare l'incon- veniente dell'estrapolazione dei valori ottenuti in laboratorio, alle alte pressioni esistenti nel mantello della Terra. I l suo procedimento richiede però alcune semplificazioni, le quali appaiono alquanto arbitrarie. In questa nota viene indicato un me- todo per il calcolo del rapporto a/cp, basato sulla teoria di un solido ideale, nell'ipotesi che la temperatura assoluta sia un poco superiore alla temperatura di Debye relativa alle onde longitudinali. Si am- 4 2 PAOI.O E M I L I O V A L L E mette poi la reversibilità dei processi termodinamici, ciò che del resto è già implicito [ 1 ] , Viene effettuato il calcolo del rapporto a/cv e l'integrazione della [ 3 ] per il mantello. L'aumento di temperatura per compressione adiabatica nel nucleo, viene valutato soltanto nello strato E , mediante l'estensione del me- todo sopra accennato. 2. — - È noto (2"3"4) clie un solido, il quale, in seguito ad una dila- tazione o compressione isotropa ed omogenea, assuma il volume V, reagisce alla pressione esterna p con due tipi di pressioni i n t e r n e : l'uno dovuto agli sforzi statici, l'altro all'agitazione termica. Mentre la valutazione del primo tipo di pressione interna è piuttosto difficile e richiede una dettagliata conoscenza della struttura del solido, la valuta- zione del secondo tipo di pressione interna è relativamente semplice. Gli atomi di un solido non possono muoversi liberamente, ma oscillano intorno a determinate posizioni di equilibrio, facendo na- scere onde elastiche completamente diffuse. L'agitazione termica può essere associata a queste onde, la cui lunghezza però non può essere inferiore al doppio della distanza tra due particelle. Ne consegue che lo spettro delle frequenze è limitato superiormente. Se si indicano con l'indice 1 le grandezze clic si riferiscono alle onde longitudinali e con l'indice t le grandezze che si riferiscono alle onde trasversali, la frequenza massima è data da nella quale v„, è la velocità, supposta indipendente dalla frequenza, ed N il numero di atomi contenuti nel volume V, che nel seguito verrà assunto come volume specifico. La pressione dovuta all'agitazione termica, coincide con la pres- sione di radiazione dei due tipi di onde, e può scriversi ( 2 ) Um rappresenta l'energia media di oscillazione. L'equazione di stato di un solido ideale, il quale sia sottoposto soltanto a variazioni isotrope ed omogenee di volume, è quindi della forma (m = l, t) [ 4 ] P=f(V)+?mPl 'ai (m — I, t, t) S U L G R A D I E N T E « D I A B A T I C O DI T E M P E R A T U R A N E L L ' I N T E R N O D E L L A T E R R A 4 3 La pressione (li radiazione delle onde trasversali deve essere contata due volte in relazione alle due possibili direzioni di vibrazione di queste onde. Posto Pi=2n, pm ( m = l,t,t) [5] si ottiene facilmente dalla [4] TT l 1 , 3 logvA , n Tri 1 a log vA \ 3 3 log q ) \ 3 3 log q j Le energie medie di oscillazione U\ ed U, sono pari all'energia complessiva di N oscillatori, considerati come indipendenti, la cui frequenza non può superare V| e v, rispettivamente. Ad una certa temperatura Ui ed [/, saranno in generale differenti. Si supponga che la temperatura sia alquanto superiore alla tempera- tura di Debye relativa alle onde longitudinali, essa sarà superiore an- che alla temperatura di Debye relativa alle onde trasversali, dato cbe queste ultime posseggono una velocità minore delle prime. Tn questo caso è facile vedere (2"3'4) cbe l'energia media di oscillazione dei due tipi di onde, tende ad assumere il comune valore classico N k T, dove k è la costante di Boltzmann, e quindi si potrà scrivere uì = ut = u e l'energia media totale sarà pari a 3 U, poiché l'energia media delle onde trasversali deve essere contata due volte. La pressione interna di radiazione assume allora la forma 3 log ( o t W ) r , , , PÌ=Q U L6 J 3 log e Si indichino ora con xT e .r.s rispettivamente la compressibilità isoterma ed adiabatica, con cv il calore specifico a volume costante, da note relazioni di termodinamica, si ha 3 p \ a _ ~ST)y xT C, P A. a Cv _ a _ _ / 3p,\ [7-| 3 T / v 4 4 PAOLO E M I L I O V A L L E nella quale Tenendo conto della [ 6 ' ] e della [ 8 ] si ottiene dalla [7] 3 log (p Vi 3 log( ricordando poi che risulta in definitiva i ' x s = [ 8 ] [ 9 ] [10] v r a cD tv vt- 3 3 log (p VjVt2)1, 3 IOK o [ 1 1 ] È questa una relazione c-lie consente il calcolo del r a p p o r t o r i / c p , mediante la conoscenza della velocità delle onde longitudinali e tra- sversali e della densità, indipendentemente dalla composizione chimica del solido. Pertanto questa relazione si presenta particolarmente adatta per il calcolo di a /'e,, nel mantello della Terra. 11 gradiente adiabatico si ottiene sostituendo la [ 1 1 ] nella [ 3 ] e si ha d l o g T= ve- vx- 3 3 log (p t|ti!)'/i 3 log p dh [ 1 2 ] Si consideri infine uno strato di materiale omogeneo, nel quale la variazione della densità sia dovuta alla sola compressione adiaba- tica. Si avrà allora 1 / 3 p XsQg= [ — e 3h L e quindi dalla [ 1 2 ] , tenuto conto della [ 1 0 ] . risulta f 3 Q V,Vt~ = c o s t a n ; e [ 1 3 ] come si era già ottenuto in un precedente lavoro ( 5 ) per altra via. S U L G R A D I E N T E « D I A B A T I C O DI T E M P E R A T U R A N E L L ' I N T E R N O D E L L A T E R R A 4 5 Questa equazione può essere applicata agli strati nei quali l'anda- mento della densità è stato calcolato supponendo l'equilibrio adiaba- tico e una costituzione omogenea. 3. — La temperatura di Debye relativa alle onde longitudinali alla profondità di 33 km è presumibilmente alquanto inferiore a 1000" K , mentre in prossimità del nucleo vale circa 2000" K . Queste tempera- ture non sembrano essere eccessivamente elevate e si può quindi rite- nere che l'ipbtesi sotto la quale è stata dedotta la [ 1 1 ] sia verificata. P e r la valutazione del rapporto a/c,„ occorre conoscere la velo- cità di propagazione delle onde longitudinali e trasversali in funzione della densità. Ora la conoscenza dei dati sismici, della massa, della densità media e del momento di inerzia, non è sufficiente a determi- nare univocamente l'andamento della densità nell'interno della Terra. Pertanto il calcolo di tale andamento è stato eseguito sotto varie ipotesi ed è stata calcolata più di una distribuzione della densità. In base ai valori della velocità delle onde sismiche calcolati da PI. Jeffreys I6"7), K. E. Bullen (8Ì, allo scopo di eliminare l'indetermi- nazione del problema, considera due casi: i) clic la densità vari in modo continuo attraverso tutto il nucleo centrale, e cioè nelle regioni E, F e G, ii) che la densità al centro della Terra sia più grande di 10 gcm"3 che nel caso i). Le due ipotesi conducono ad una distribuzione TABELLA I ;i km ti i, i> p 10 km sec 'i km sec — 1 g t r a - 3 , d i n e c m " cm sec ,—i oys (on V i y3 33 7,75 4,35 3,32 100 7,95 4,45 | 3,38 200 8,26 4,60 3,47 300 8,58 4,76 3,55 413 8,97 | 4,96 3,64 500 9,56 5,28 3,89 600 10,25 5,66 4,13 800 11.00 6,13 4,49 1000 11,42 6.36 4,68 1200 11,71 6,50 4.80 1400 11,99 6,62 • 4,91 1600 12,26 6,73 5,03 1800 ; 12,53 6.83 5,13 2000 12,79 6,93 5,24 2200 13,03 7,02 5,34 2400 , 13,27 7.12 5,41 2600 13,50 7,21 5,54 2800 j 13,64 7,30 5,63 2898 ! 13,64 7,30 5,68 0,009 0,031 0,065 0,100 0,141 0,173 0,213 0,300 0,392 0,49 0,58 0,68 0,78 0,88 0,99 1,09 1,20 1,32 1.37 985 11.7359 989 12.1611 992 12.8150 995 13,4809 998 ' 14,2994 1000 15,9174 1001 17,7590 999 f 20,2738 995 21,6283 991 22,5055 988 23,3112 986 24,1296 985 24,8699 986 25,6448 990 26,3572 998 27,1024 1009 27,8232 1026 28,4550 1037 28,6232 4 6 PAOI.O E M I L I O V A L L E della densità lievemente diversa nel mantello, mentre nel nucleo si ha un divario più accentuato. Successivamente W. II. Ramsey (") e lo stesso Bullen ( 1 0 ) hanno studiato nuove distribuzioni della densità, ba- sate su altre ipotesi. D'altra parte anche l'andamento della velocità delle onde sismiche nell'interno della Terra è stato ricalcolato da B. Gutenberg ( n ) , par- tendo da nuovi dati sperimentali, e i suoi risultati differiscono in modo abbastanza sensibile dai valori precedentemente calcolati da Jeffreys. L'Autore della presente ricerca si è servito delle velocità calcolate da Jeffreys e, per quanto riguarda il mantello, delle densità calcolate da Bullen in un lavoro precedente alla formulazione delle ipotesi i) e ii) (1 2). I valori delle densità usate sono intermedi fra quelli delle If» o'f jìtm' Km >fc ' — — — - — — - — — j j 1 — 1 —f— —r *P01 Afilli : (C ir Vf'j ' . 7. FI- u, U F 1 Tt IO! O'T! o/ Jl"*l ri l eulllM : TASILI* I 1 *P01 Afilli : (C ir Vf'j ' . 7. FI- u, U F 1 Tt IO! O'T! o/ Jl"*l ri l eulllM : TASILI* I | I L 1 | M 1 | | 1 | 1 | 1 F i g . 1 due ipotesi e ne differiscono soltanto per qualche unità percentuale. Per quanto riguarda il nucleo sono stati considerati separatamente i due casi sopraccennati. Dal lavoro di Bullen sono stati tolti altresì i valori della gravità e della pressione, i quali peraltro sono stati accuratamente calcolati anche da G. Boaga (13"14), che ne ha inoltre fornito le espressioni ana- litiche in funzione della profondità. I dati relativi al mantello sono contenuti nella tabella l e i dati che si riferiscono al nucleo nella tabella IV. 4. — Nella valutazione del rapporto u/cp, l'operazione più delicata S U L G R A D I E N T E « D I A B A T I C O DI T E M P E R A T U R A N E L L ' I N T E R N O D E L L A T E R R A 4 7 è costituita (lai calcolo della derivata che compare a secondo membro della [ 1 1 ] Si è notato che se si moltiplica per l'espressione (p vt v,)V3 si ottiene una funzione lineare nella p. Pertanto si può scrivere vivls)V3 = a-\-b p [ 1 4 ] Eccettuato il valore della funzione in prossimità del nucleo, l'espres- sione a secondo membro della precedente relazione rappresenta molto bene i valori del primo membro, calcolati con i dati della tabella I. Mediante il metodo dei minimi quadrati è stato calcolato il valore delle costanti a e b, e si è ottenuto a = — 12,14000 ; b = 7,21467 e quindi la [ 1 4 ] si può scrivere (o f i f , ) 2 ^ = 7 , 2 1 4 6 7 p ^ — 1 2 , 1 4 p ^ [ 1 5 ] Gli scarti F, tra i valori calcolati mediante la [ 1 5 ] e i valori calcolati dai dati della tabella I, sono contenuti nella tabella I I . TABELLA I I Q e e E 3,32 — 0,0768 4,80 + 0,0151 3,38 — 0,0845 4,91 + 0,0272 3,47 — 0,0799 5,03 — 0,0202 3,55 + 0,0088 5,13 — 0.0014 3.64 + 0,1780 5,24 — 0,0201 3,89 — 0,0077 5,34 — 0,0291 4,13 - f 0,1024 5,44 — 0,0054 4,49 + 0,0199 5,54 — 0.0061 4.68 + 0,0036 5,63 — 0,0236 Lo scarto più elevato si trova in corrispondenza di p = 4,64, cioè alla profondità di 413 km, proprio in corrispondenza della discon- tinuità del secondo ordine. Tale scarto non è però tanto elevato da introdurre seri errori nel calcolo del rapporto a/cP. La forma della [15] non sembra essere del tutto fortuita, almeno per quanto riguarda il primo termine a secondo membro. Da essa infatti si ricava ( i M » ) 1 / 3 = 7 , 2 1 4 6 7 p 1 / s — 1 2 , 1 4 p % [16] 4 8 PAOI.O E M I L I O V A L L E Se si pensasse ora di estrapolare annientando la densità fino a valori per i quali il secondo termine a secondo membro della [16] diventi trascurabile di fronte al primo, tenuto conto cbe la velocità delle onde F i g . 2 trasversali sta in un rapporto press'a poco costante con la velocità delle onde longitudinali, si otterrebbe 1 / 3 M - 7 1 r i = c o s t Q L17J Ora ad altissime densità corrispondono altissime pressioni, alle quali è lecito supporre cbe gli elettroni degli atomi si comportino quasi come un gas di Fermi ( 1 5 ). Se questo punto di vista è giusto, la [17] deve avere la stessa forma dell'equazione cbe fornisce la velocità delle onde longitudinali in un gas di elettroni. Effettivamente, tenuto conto cbe per un gas di Fermi, a temperature non altissime, vale l'equazione di stato 51 p= cost Q 13 si ottiene »/ Vi= cost p 3 che coincide formalmente con la [17] Ulteriori considerazioni su questo argomento uscirebbero dai li- miti del presente lavoro. S U L G R A D I E N T E « D I A B A T I C O DI T E M P E R A T U R A N E L L ' I N T E R N O D E L L A T E R R A 4 9 TABELLA I I I 11 km 3 log ( o ' v , 2 ) 1 / , 3 log l> — 1 0 » C|. g erg 1 T TS3 33 1,694 4.86 1 100 1,658 4,50 — 200 1,608 4,02 1,0 70 300 1,568 3,61 — 413 1,526 3,20 1,16, 500 1,429 2,63= .— 600 1,354 2,17 1,21, 800 1,266 1,78= — 1000 1,228 1,60 1,31, 1200 l,206r, 1,49 — 1400 1,188 1,39 1.39, 1600 1,169 1,30 — 1800 1,155 1,22 1,46, 2000 1,140 1.14= — 2200 1,127 1,08 1,53» 2400 1.114= 1,03 — 2600 1,103 0,98 ],59„ 2800 1.093 0,95 1,62, 2898 (1,088) (0,95) (1,64.) La seconda colonna della tabella ITI contiene i valori di 3 log (QViVts)%/ 3 log p e la terza colonna il rapporto a/cv, il cui andamento in funzione della profondità è mostrato nella fig. 2. Nella fig. 3 è ri- portato l'andamento del rapporto a/cv con la pressione, ma è bene ricordare cbe la temperatura nell'interno della Terra non è costante. Si può tuttavia ammettere che alle alte pressioni esistenti nel man- \ "3 \ "3 \ P IO 1 0 2 0 1 0 4 0 5 0 6 0 7 0 » 09 1.1 I l 1.5 u F i g . 3 tello, in prima approssimazione, l'influenza della temperatura sul rap- porto a /e,, sia trascurabile, rispetto alla influenza della pressione. Sotto questa ipotesi è stato calcolato il rapporto T/T3 3, dove T 3 3 indica la temperatura a 33 km, e i risultati sono contenuti nella ta- 5 0 PAOI.O E M I L I O V A L L E bella I I I . Da essi si vede cbe il gradiente adiabatico diminuisce al crescere della profondità. Se per es. si pone T33 = 1000° K , si otten- gono i seguenti valori medi nei diversi strati. S T R A T O GRADIENTE MEDIO gradi k m - 1 B 0,42 C 0,25 s D 0,17„ 5. — A rigore, la teoria precedente non potrebbe essere applicata al nucleo, dato che esso, almeno per quanto riguarda lo strato /?, si presenta come liquido. 2 0 0 4 0 0 600 800 1000 1200 1100 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 F i g . 4 Un liquido come è noto (2"i), è costituito da una struttura cri- stallina, nella quale vi sono molti posti vuoti o, meglio, molte buche di potenziale. Gli atomi non sono quindi del tutto obbligati ad ese- guire oscillazioni intorno a posizioni di equilibrio, ma hanno una certa probabilità di muoversi quasi liberamente dalla loro posizione attuale ad un'altra adiacente e momentaneamente vuota. Ne consegue che la pressione interna di agitazione termica non coincide esattamente con la pressione di radiazione delle onde longitudinali, le sole possibili in un liquido, né l'energia interna sarà pari all'energia di oscillazione media di queste onde. Peraltro sotto le fortissime pressioni esistenti nel nucleo, è da presumere che un liquido conservi una struttura molto S U L G R A D I E N T E « D I A B A T I C O DI T E M P E R A T U R A N E L L ' I N T E R N O D E L L A T E R R A 5 1 più vicina a quella del solido da cui proviene, di quanto non accada alle ordinarie pressioni di laboratorio. In altre parole è da presumere cbe la percentuale delle buche di potenziale non sia troppo elevata. Non sembra quindi del tutto arbitrario applicare la precedente teoria anche al nucleo, con la condizione vt = 0. Procedendo in modo analogo a quello indicato per lo stato solido, si ottiene facilmente la T 2̂898 T 2̂898 T vf U C I - / E • tp IL ! 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 «00 5000 h F i g . 5 relazione che lega la densità, la temperatura e la velocità delle onde longitudinali in una trasformazione adiabatica reversibile. Si ha con qualche passaggio f i ^ c o s t a n t e e * , 3 [ 1 8 ] e non è necessaria la condizione che la temperatura sia superiore alla temperatura di Debye. TABELLA I V h k m e ( i ) g c m - 3 0 ( i i ) g c m - 3 V I k m s e c — 1 T ~ifT ( i ) J.280S T "rT ( Ì Ì ) Ì 2 S 8 S 2 8 9 8 9 , 7 9 , 1 8 , 1 0 1 1 3 5 0 ( 1 1 0 , 5 9 , 8 8 , 9 l , 1 2 s 1 , 1 2 » 4 0 0 0 1 1 , 1 1 0 , 3 9 , 5 1 1 , 2 2 8 1 , 2 2 » 4 5 0 0 1 1 , 6 1 0 , 8 9 , 9 7 l , 3 0 o 1 , 3 0 3 4 9 8 2 1 1 , 9 1 1 , 1 1 0 , 4 4 1 . 3 8 o 1 , 3 7 7 52 PAOI.O E M I L I O V A L L E L'andamento della densità nello strato E del nucleo, è stato calco- lato da Bullen nell'ipotesi che in tutto lo strato il materiale sia omo- geneo e l'equilibrio adiabatico. Pertanto l'equazione [18] è stata ap- plicata a questo strato e i risultati sono contenuti nella tabella I V . Essi differiscono molto poco nei due casi i) e ii). La fig. 5 mostra l'andamento del rapporto T/To.sos nel caso i). Roma — Istituto Nazionale di Geofisica — Gennaio 1952. RIASSUNTO Mediante la teoria di un solido ideale si calcola, nel mantello della Terra, il rapporto tra la dilatazione termica e il calore specifico a pressione costante, dai dati della velocità delle onde sismiche longi- tudinali e trasversali e della densità. Risulta che tale rapporto decresce con l'aumentare della profon- dità, passando dal valore di 4.8610"12 g erg'1 a 33 km, al valore di 0,9510"12 g erg'1 in prossimità del nucleo. Viene calcolato nel mantello l'andamento adiabatico con la pro- fondità del rapporto T / T 3 3 , dove T:ìm è la temperatura a 33 km, e se ne deducono i valori approssimati del gradiente. L'analogo rapporto T/To898 nello strato E del nucleo, viene va- lutato con l'estensione della teoria. SU M MARY On the basis of the theory of an ideal isotropie solid body, and starding from seismic data, the ratio of the coefficient of the thermal expansion to the specific heat at Constant pressure in the Earth mantle, has been calculated. It appears tliat such a ratio decreases by increasing of the depth, going from 4.8610 12 g erg1 at the depth of 33 Km to 0 , 9 5 1 0 1 2 g erg1 near the bottoni of the mantle. The adiabatic behaviour of the ratio T / T : n (T:):i means the tempe- rature at 33 Km of depth) by varying of the depth, has been calculated and the approximate values of the gradient have been deduced. Through the extention of tliat theory, the similar ratio T/Tasos» referring to the E region of the core, has been estimated. S U L G R A D I E N T E «DIABATICO DI T E M P E R A T U R A N E L L ' I N T E R N O DELLA TERRA 5 3 B I B L I O G R A F I A ( ! ) VERHOOCEN J . : The Adiabatic Gradient in the Mantle. T r a n s . A m e r . G e o - p h y s . U n i o n 32, 4 1 4 3 ( 1 9 5 1 ) . ( - ) BRILLOUIN L . : Tenseurs en Mécanique et en Elastiche. M a s s o n , P a r i s ( 1 9 4 6 ) . ( : Ì ) BRILLOUIN L . : IFave Propagation in Periodic Structures. Me G r a w - H i l l , New Y o r k ( 1 9 4 6 ) . ( 4 ) SLATER J . C . : Introduction to Chemical Physics. Me G r a w - H i l l , New Y o r k ( 1 9 3 9 ) . ( " ) VALLE P . E . : Sull'aumento di temperatura nel Mantello della Terra per compressione adiabatica. A n n . G e o f . , I V , 4 7 5 4 7 8 ( 1 9 5 1 ) . (0) JEFFREYS H . : The Times of P, S and SKS, and the Velocities of P and S. M . N . R . A . S . G e o p h y s . S u p p l . I V , 498-533 ( 1 9 3 9 ) . ( ' ) JEFFRFYES I I . : The Times of the Core Waves ( s e c o n d p a p e r ) . M . N . R . A . S . G e o p h y s . S u p p l . I V , 594-615 ( 1 9 3 9 ) . ( S ) BULLEN K . E . : Introduction of the Teory of Seismology. C a m b r i d g e , U n i - v e r s i t y P r e s s ( 1947). (9) RAMSEY W . H . : On the Nature of the Eartli's Core. M . N . R . A . S . G e o p h y s . S u p p l . V , 4 1 0 4 2 6 ( 1 9 4 9 ) . ( 1 0 ) BULLEN K . E . : A ti Earth Model Jìased on a Compressibility - Pressure Hypotesis. M . N . R . A . S . G e o p h y s . S u p p l . V I , 50-59 ( 1 9 5 0 ) . ( N ) GUTENBERG B . : On the Layer of relatively low Wave velocity at a Depth of about 80 kilometers. B u l l . S e i s m . S o c . A m . 38, 121-148 ( 1 9 4 8 ) . ( 1 2 ) BULLEN K . E . : The Problem of the Earth's Density Vuriation. B u l l . S e i s m . S o c . A m . 30, 235-250 ( 1 9 4 0 ) . ( 1 3 ) BOACA G . : Sopra l'ipotesi di Bullen sulla variazione discontinua della densità nell'interno della Terra e sulla conseguente variazione della gravità. P o n - tificia A s s . S c i e n t . V , n . 2 ( 1 9 4 1 ) . ( 1 4 L BOACA G . : Sulla variazione della pressione nell'interno della Terra con ri- ferimento a variazione discontinua della densità. A c c a d e m i a d ' I t a l i a , S e r i e V I I , I I I , 619-625 ( 1 9 4 2 ) . (15) RAMSEY W . H . : On the Compressibility of the Earth. M . N . R . A . S . G e o p h y s . S u p p l . V I , 4 2 4 9 ( 1 9 5 0 ) .