S U L L A C U R V A T U R A E T O R S I O N E D E L C A M P O D I G R A V I T A ' ANTONIO MAKUSSI 1. -—• C o n s i d e r a n d o d u e p u n t i P i e Po d e l c a m p o e s t e r i o r e di gra- v i t à t e r r e s t r e , a b b a s t a n z a p r o s s i m i f r a d i l o r o , e d i d u e v e r s o r i (ver- t i c a l i ) ili e d n2 d i r e t t i v e r s o l ' a l i o clie sono t a n g e n t i alle l i n e e di f o r z a i n Pj e P<, gli assi d i t a l i d u e v e r s o r i n o n s a r a n n o , i n g e n e r a l e , c o m p l a n a r i f r a di l o r o . Q u a n d o i d u e p u n t i g i a c c i o n o s u l l a m e d e s i m a s u p e r f i c i e e q u i p o t e n z i a l e i ! , t a l e d i f e t t o d i c o m p l a n a r i t à si t r a d u c e , c o m ' è b e n n o t o , n e l l a p r e s e n z a d e l l a t o r s i o n e g e o d e t i c a di n e l l a d i r e z i o n e Pi P>; pos to p r e c i s a m e n t e Pu — Pi = st, con t v e t t o r e u n i - t a r i o , ed s l u n g h e z z a d e l s e g m e n t o Pi P» c h e s u p p o r r e m o p i c c o l a d e l p r i m o o r d i n e , si h a d a l l e f o r m u l e di F r e n e t g e n e r a l i z z a t e — — = y.a t + xnb , [1] ,s d o v e b è u n v e r s o r e t a l e c h e tt, b, n) f o r m i u n a t e r n a p o s i t i v a d e s t r o r s a , "/.„ è la p r i m a c u r v a t u r a o flessione d e l l a s u p e r f i c i e n e l l a d i r e z i o n e t c o n s i d e r a t a , e r a la t o r s i o n e g e o d e t i c a di iì n e l l a stessa d i r e z i o n e . L ' i n d i c e a c a r a t t e r i z z a poi l a d i r e z i o n e t, p e r l a r a g i o n e c h e a p p a r i r à i n seguito. M a , a l l o stesso m o d o , c o n s i d e r a n d o i d u e p u n t i P i e Pu n o n p i ù s u l l a m e d e s i m a s u p e r f i c i e e q u i p o t e n z i a l e , m a c o m u n q u e n e l l o s p a z i o , s a r à p o s s i b i l e d e f i n i r e q u e l l e c h e p e r a n a l o g i a p o t r e m o c h i a m a r e an- c o r a curvatura e torsione del campo di gravità, n e l l a d i r e z i o n e c a r a t - t e r i z z a t a d a l v e r s o r e a t a l e c h e P>—Pi — sa. S o n o q u e s t e c a r a t t e r i s t i c h e c h e ci p r o p o n i a m o di e s a m i n a r e , m o - s t r a n d o i n p a r t i c o l a r e c o m e la s e c o n d a (la t o r s i o n e ) sia p i e n a m e n t e d e t e r m i n a t a m e d i a n t e la b i l a n c i a di E ò t v o s di s e c o n d o t i p o , c o n g i u n t a con la m i s u r a d e l l a g r a v i t à , e r i c e r c a n d o poi l e d i r e z i o n i di c u r v a - t u r a e di t o r s i o n e n u l l a del c a m p o . 2. —• P e r q u e s t o , p o n i a m o a — s i n z . t -f- cos z . n [2] 2 0 2 A N T O N I O M A R U S S I d o v e z r a p p r e s e n t a d u n q u e l a d i s t a n z a z e n i t a l e d i a, e t la d i r e z i o n e d e l l a s u a p r o i e z i o n e su s u p e r f i c i e e q u i p o t e n z i a l e p a s s a n t e p e r P i . P e r lo s p o s t a m e n t o s u p e r f i c i a l e d a Px a P p i e d e d e l l a l i n e a d i f o r z a p e r Po, s p o s t a m e n t o l a c u i g r a n d e z z a è s s i n z, si h a d a l l a f o r - m u l a p r e c e d e n t e — ^ L = K A T + R A B ; L 3 ] n e l m e n t r e p e r l o s p o s t a m e n t o l u n g o l a l i n e a d i f o r z a , l a c u i g r a n - d e z z a è s cos z, si h a p e r cose b e n n o t e _ —/ g r a d v log g = / B , [ 4 ] s cos z o v e / è l a c u r v a t u r a ( e s s e n z i a l m e n t e p o s i t i v a ) d e l l a l i n e a d i f o r z a , e B la s u a n o r m a l e p r i n c i p a l e ; / r a p p r e s e n t a o v v i a m e n t e a n c h e il m o - d u l o d e l l a c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e d e l g r a d i e n t e l o g a r i t m i c o d e l l a g r a v i t à . S c o m p o n e n d o B s e c o n d o t e b si h a p o i B = cos i|>. t + sin iji. b [ 5 ] e d in d e f i n i t i v a , s o m m a n d o l e [ 3 ] e [ 4 ] —-• 1 - = (v.n sin z + / c o s z cos t(>) t + ( t a s i n z -f f cos 2 s i n iji) b. s [6] D e f i n i a m o d u n q u e p e r a n a l o g i a c o m e curvatura Ca e torsione T a d e l c a m p o d e l l a d i r e z i o n e a l e : C„ = -,ca s i n z + / cos z cos \|i ^ T a = T a sin z + f cos z sin i|i M a a q u e s t e f o r m u l e si p u ò d a r e a l t r a f o r m a p i ù e s p r e s s i v a , f a - c e n d o a p p a r i r e solo e l e m e n t i a s s o l u t i . I n d i c a t a p r e c i s a m e n t e c o n a l ' a n o m a l i a d i t r i s p e t t o a ct, c{ e s s e n d o l a d i r e z i o n e p r i n c i p a l e d i c u r - v a t u r a Xi, si h a p e r l a f o r m u l a d i E u l e r o ~/.a = y.j cos 2 a -f y.s s e n 2 a ; [ 8 ] e p o i sin 2 a * « = - £ — < * , - * . ) [ 9 ] ap = •{> — a S U L L A C U R V A T U R A F. T O R S I O N E DEL C A M P O DI CRAVITÀ 2 0 3 i> essendo l ' a n g o l o o r i z z o n t a l e f r a B e C\. E d u n q u e Ca = (v.j cos 1 a + x2 sin 2 a) sin z -f J cos z cos (•&—a) sin 2 a sin z [ 1 0 ] / . = (Xj -— x() + / c o s z sin (fi—a). 2 Sono q u e s t e l e e s p r e s s i o n i c e r c a t e . 3. -—- Ci si p u ò o r a c h i e d e r e : esistono d i r e z i o n i n e l l o spazio se- c o n d o le q u a l i la c u r v a t u r a d e l c a m p o è n u l l a ? o p p u r e secondo l e q u a l i la t o r s i o n e è n u l l a ? od i n f i n e d i r e z i o n i s e c o n d o le q u a l i l a tor- s i o n e e la c u r v a t u r a sono e n t r a m b i n u l l e ? R i s p o n d e n d o alla p r i m a d o m a n d a , e p o n e n d o C'u = 0, si h a l ' e q u a z i o n e t g z = = J _ c o s j f t — r i ) _ ; [ n ] x ( cos" « -f x2 sin" a c h e r a p p r e s e n t a u n sistema oc 1 di d i r e z i o n i . Q u e s t e t a g l i a n o , sulla s f e r a r a p p r e s e n t a t r i c e , u n a c u r v a , d e l cui a s p e t t o ci p o s s i a m o r e n d e r e s u b i t o c o n t o o s s e r v a n d o i n t a n t o c h e il m i n i m o v a l o r e del d e n o m i n a - t o r e è u g u a l e al m i n o r e x f r a x, e x„ : ed il m a s s i m o v a l o r e del n u - m e r a t o r e è u g u a l e ad /. D u n q u e la t a n g e n t e d i z si m a n t i e n e s e m p r e i n f e r i o r e al r a p p o r t o — e cioè, se si v u o l e , al r a p p o r t o f r a il raggio x m a s s i m o di c u r v a t u r a della s u p e r f ì c i e e q u i p o t e n z i a l e , ed il raggio di p r i m a c u r v a t u r a della l i n e a di f o r z a . T a l e r a p p o r t o è n o r m a l m e n t e assai p i c c o l o ; p e r il c a m p o n o r m a l e a 45°, esso v a l e circa 0,0053; e d u n q u e , in q u e s t o caso, la d i s t a n z a z e n i t a l e della l i n e a di c u r v a t u r a n u l l a si m a n t i e n e i n f e r i o r e a 18'. A n n u l l a n d o s i z, a t e n d e a i> + 9 0 ° ; e cioè la c u r v a a m m e t t e i n z = 0 u n a t a n g e n t e di a n o m a l i a ft + 9 0 ° , p e r p e n d i c o l a r e d u n q u e alla c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e del g r a d i e n t e della g r a v i t à . A n c h e la c u r v a si trova t u t t a da u n a p a r t e di q u e s t a t a n g e n t e , e p r e c i s a m e n t e d a l l a p a r t e o p p o s t a a q u e l l a verso la q u a l e t a l e c o m p o n e n t e è rivolta. N e l caso p a r t i c o l a r e i n cui x 1 = x s , l ' e q u a z i o n e r a p p r e s e n t a , sul p i a n o tan- g e n t e alla s f e r a d e l l e d i r e z i o n i n e l l o zenit, u n piccolo c e r c h i o (vedi le figure c h e i l l u s t r a n o t r e casi d i s t i n t i , dove le d i m e n s i o n i della c u n a sono s t a t e f o r t e m e n t e esagerate). 4. — Le d i r e z i o n i di torsione n u l l a si o t t e n g o n o p o i d a l l ' e q u a z i o n e Ta = — (x. — x.) sin n cos a sinz + f cos z sin (ft — a) = 0 ; [12] 2 0 4 ANTONIO M A R U S S I L e tre l i g u r e r a p p r e s e n t a n o , i n p r o i e z i o n e s t e r e o g r a f i c a z e n i t a l e , i l u o - g h i «li c u r v a t u r a n u l l a ( l i n e a tratteg- giata) e q u e l l i «li t o r s i o n e n u l l a ( l i n e a c o n t i n u a ) d e l c a m p o di g r a v i t à , traccia- ti s u l l a sfera u n i t a r i a d e l l e d i r e z i o n i . 11 c e r c h i o e s t e r n o r a p p r e s e n t a l ' o r i z z o n t e ; 7. lo z e n i t . Ci e c» r a p p r e s e n t a n o l e d i r e - z i o n i p r i n c i p a l i di c u r v a t u r a d e l l a su- p e r f i c i e e q u i p o t e n z i a l e . Le d i m e n s i o n i d e i l u o g h i di c u r v a t u r a n u l l a s o n o for- t e m e n t e e s a g e r a t e . Fig. 1 - L a t i t u d i n e 4 5 ° ; c a s o n o r - m a l e / » = 0 ; y.\ = 157,1 ; / = 0,83 ; x.—x.,= 0,53 ; — - = 1,566 x, x. S U L L A C U R V A T U R A F. T O R S I O N E DEL C A M P O DI CRAVITÀ 2 0 5 tolti i casi {} = 0, il = 90", o p p u r e x1 = x2, c h e s a r a n n o e s a m i n a t i a p a r t e , q u e s t a ci d à : f I s i n i) c o s i ) \ J-13-J sin a cos a P e r {)•—0, i) —̂ 90", x , = x2, si h a n n o invece le s o l u z i o n i : / ("Xj — x2) cos a .1 p e r 9 = 0 : a = 0 , t g z — per A = 90": a = 90° , tg z = (Xj — x2) sin a p e r x , = x 2 a. = il , s = 90° clic r a p p r e s e n t a n o : la p r i m a , il p i a n o v e r t i c a l e c o n t e n e n t e c\ ed il p i a n o ad esso n o r m a l e c h e f o r m a con l ' o r i z z o n t e u n a n g o l o la cui t a n g e n t e è u g u a l e a —-—— (vedi fig. 1 c h e raffigura il caso n o r m a l e a 45° di l a t i t u d i n e ; qui / = 0,830, v.l — x„ = 0,530; " = 0 , 6 3 9 , le c u r v a t u r e essendo m i s u r a t e in IO"'1 km"1); la s e c o n d a , il p i a n o ver- ticale c o n t e n e n t e c< ed il p i a n o ad esso p e r p e n d i c o l a r e i n c l i n a t o c o m e si è visto s o p r a ; la terza i n f i n e , l ' o r i z z o n t e ed il p i a n o v e r t i c a l e c h e c o n t i e n e la c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e d e l g r a d i e n t e g r a v i m e t r i c o . N e l caso g e n e r a l e s i n t e t i z z a t o d a l l a [ 1 3 ] , la c u r v a sferica r a p p r e - s e n t a t r i c e h a l ' a s p e t t o r a f f i g u r a t o in p r o i e z i o n e s t e r e o g r a f i c a ( l i m i t a t a - m e n t e alla m e t à s u p e r i o r e della s f e r a r a p p r e s e n t a t r i c e ) n e l l e figg. 2 e 3, dove s o n o a l t r e s ì r i p o r t a t i i p a r a m e t r i a d o t t a t i . 11 r a m o della c u r v a c h e passa p e r lo zenit, h a q u i c o m e t a n g e n t e il v e r t i c a l e di a n o m a - lia f}, c o m e s u b i t o si vede. 5. — R i s p o n d e n d o alla t e r z a d o m a n d a , e tolto il caso s i n g o l a r e d e l l o zenit, n e l q u a l e c u r v a t u r a e t o r s i o n e p e r d o n o significato, a p p a r e c h e u n a sola d i r e z i o n e è s i m u l t a n e a m e n t e di t o r s i o n e e di c u r v a t u r a e n t r a m b i n u l l e ; l u n g o q u e s t a d i r e z i o n e le v e r t i c a l i si m a n t e n g o n o d u n - q u e p a r a l l e l e f r a di loro, ed essa r a p p r e s e n t a p e r c i ò la l i n e a isozeni- tah;. Q u e s t a p u ò a n c h e o t t e n e r s i u g u a g l i a n d o le [11] e [ 1 3 ] ; ciò c h e f o r n i s c e t& a — t e il 1 - 1 - t>r et t^ il ^ ;K„) X ' - ' " - 1 [ u ] tg a x, 4- x, tg2 « 2 0 6 A N T O N I O M A R U S S I e q u a z i o n e c h e si s o d d i s f a p o n e n d o tg a = —- tg fr . [ 1 5 ] Q u e s t a f o r n i s c e d u n q u e l ' a n o m a l i a della l i n e a i s o z e n i t a l e . 6. — P e r q u a n t o c o n c e r n e l ' e f f e t t i v a d e t e r m i n a z i o n e della cur- v a t u r a e d e l l a t o r s i o n e d e l c a m p o di g r a v i t à , c h e p o s s o n o essere pro- s p e t t a t e sia d a u n p u n t o d i vista r e g i o n a l e , sia d a u n p u n t o d i vista locale, i m e t o d i a s t r o n o m i c o - g e o d e t i c i r i s p o n d o n o , a l m e n o t e o r i c a m e n - te, al p r i m o p u n t o d i v i s t a ; e q u e l l i b a s a t i s u l l ' i m p i e g o d e l l a b i l a n c i a d i t o r s i o n e , al secondo. O c c o r r e p e r ò o s s e r v a r e s u b i t o c h e , n e l m e n t r e la b i l a n c i a d i E ò t v ò s d e l s e c o n d o t i p o , i n t e g r a t a con la d e t e r m i n a z i o n e d e l l a g r a v i t à , definisce p i e n a m e n t e la t o r s i o n e del c a m p o , n o n cosi ac- c a d e p e r la c u r v a t u r a , a m e n o d i r i c o r r e r e a b e n n o t i p r o c e d i m e n t i d i i n t e g r a z i o n e . N e l m e t o d o a s t r o n o m i c o - g e o d e t i c o , d e t e r m i n a t e n i ed n2 in P i e P2 m e d i a n t e m i s u r e a s t r o n o m i c h e d i l a t i t u d i n e e di l o n g i t u d i n e , l ' a z i m u t a s t r o n o m i c o A e la d i s t a n z a z e n i t a l e z di Po s u l l ' o r i z z o n t e d i Pu e la d i s t a n z a r e a l e s f r a i d u e p u n t i (cosa q u e s t ' u l t i m a c h e si p u ò o t t e n e r e con g r a n d e a p p r o s s i m a z i o n e d a l l e t r i a n g o l a z i o n i o, con t u t t o r i g o r e , m e d i a n t e il g e o d i m e t r o ) , sarà n o t o il v a l o r e « r e g i o n a l e » Ca e T a della c u r v a t u r a e della t o r s i o n e n e l l a d i r e z i o n e A c o n s i d e r a t a ; p o s t o a l l o r a A = a + v ; X = f> + v [16] con c b e v e / sono r i s p e t t i v a m e n t e gli a z i m u t a s t r o n o m i c i della dire- zione di c u r v a t u r a x4, e del g r a d i e n t e s u p e r f i c i a l e d e l l a g r a v i t à , si h a n n o le d u e e q u a z i o n i C„ = [x.j cos2 (A — v) -(- x2 sin 2 (A — v)] sin z + f cos z cos (/_ — A) _ s i n 2 (A — v ) s i n z , v . . T. = i ! (x.„ — x j + 7 cos z sin ('/ — A) [17] 2 n e l l e 5 i n c o g n i t e x ( , x2, J , v, y; o n d e t r e osservazioni di q u e s t o t i p o o p p o r t u n a m e n t e scelte, f a t t e i n t o r n o al p u n t o 1 1, c o n s e n t o n o teorica- m e n t e di d e t e r m i n a r e t u t t e le i n c o g n i t e c e r c a t e . P e r q u a n t o si r i f e r i s c e p o i alla d e t e r m i n a z i o n e l o c a l e m e d i a n t e la b i l a n c i a d i Eòtvos, b a s t a r i f l e t t e r e c h e le i n d i c a z i o n i d i q u e s t o stru- m e n t o sono d o v u t e alla n o n c o m p l a n a r i t à d e l l e l i n e e d i a z i o n e della gravità agli e s t r e m i d e l b i l a n c i e r e ; e p r e c i s a m e n t e il m o m e n t o tor- S U L L A C U R V A T U R A F. T O R S I O N E DEL C A M P O DI CRAVITÀ 2 0 7 c e n t e r i s p e t t o alla v e r t i c a l e è d a t o , i n u n a b i l a n c i a i d e a l e f o r m a t a d a d u e m a s s e m u g u a l i p u n t i f o r m i d i s p o s t e secondo i l v e r s o r e a p i ù v o l t e c o n s i d e r a t o , collocate ad u n a d i s t a n z a a , d a Mtt = m a2 g T u sin z . [18] N o t o a d u n q u e g, e m i s u r a t o il m o m e n t o con i c o n s u e t i pro- c e d i m e n t i s t r u m e n t a l i , r i m a n e p i e n a m e n t e d e t e r m i n a t o T„; q u a t t r o osservazioni ( a l l e q u a l i se n e deve a g g i u n g e r e , c o m e b e n n o t o , p e r r a g i o n i s t r u m e n t a l i u n a q u i n t a ) d e t e r m i n a n o p e r c i ò le q u a n t i t à x „ — x , , f , v e e con esse l a t o r s i o n e d e l c a m p o i n u n a d i r e z i o n e q u a l u n - q u e ; e q u i n d i a n c h e il l u o g o d e l l e d i r e z i o n i di t o r s i o n e n u l l a consi- d e r a t o i n p r i n c i p i o . Trieste — Istituto di Topografia e Geodesia dell'Univ.— Giugno 1952. RIASSUNTO Partendo dalle analoghe entità sulle superfici, si generalizza per il campo di gravità terrestre la nozione di curvatura e di torsione; si studiano in particolare i luoghi di curvatura e di torsione nulla, e si mostra in qual modo si possano determinare mediante misure astro- nomico-geodeticlie o mediante la bilancia di Eótvòs del secondo tipo queste quantità. SU M MARY The defìnitions of curvature and torsion are extended to the gravity field of the Earth; the loci of nuli curvature and torsion are sought; the theoretical possihility of determining the quantities so defined by means of astronomico-geodetic observations or by the Eótvós balance of the second kind is shoivn.