S U L L E O S C I L L A Z I O N I L I B E R E D E L L A G O D I A L B A N O P . CALOI - M . GIORGI M. G i o r g i (*) lia f a t t o l a d e t e r m i n a z i o n e d e g l i e l e m e n t i f o n d a - m e n t a l i d e l l e sesso d e l l a g o di A l b a n o , a p p l i c a n d o al m e d e s i m o i m e - t o d i d i H i d a k a e d i D e f a n t . L a c u r v a n o r m a l e d e l l a g o (fig. 1) c o n s e n t e p e r ò l ' a p p l i c a z i o n e di lino d e i m e t o d i d i C h r y s t a l , e s p o s t o e d esteso d a C a l o i a d a l c u n i l a g b i i t a l i a n i (2"3'4). L a c u r v a n o r m a l e d e l l a g o di A l b a n o p u ò i n f a t t i e s s e r e s c h e m a - t i z z a t a c o m e d a fig. 2. 1. Vediamo come il problema può essere risolto analiticamente. —- R i f e r i a m o l a c u r v a n o r m a l e ad u n s i s t e m a d i assi c a r t e s i a n i con o r i g i n e i n O i , e s s e n d o v e r s o At il senso p o s i t i v o d e l l e ascisse e v e r s o M q u e l l o d e l l e o r d i n a t e . Se f a c c i a m o O j Ai = «, , O, An ~ a2 , OiM — h , 0 , P = p , OtQ = q , l e e q u a z i o n i d e l l e r e t t e 1 e 2 d i v e n g o n o hL(x) = h[ 1 - ^ - ) » h(*) = h(l + j - ) . P o n i a m o 2 ' r Si h a [ 2 ] f a , 1 g h I g h 1 a i V gh V « 2 kh ) 'gh \ U t u T m j AJ^wJ+B^aJ j sin n (t-t) h ( ì ^ 1 / , f c o 1 ) + B t y o K ) j 8 Ì n n ( r - | / , ( < » , ) + » , ! > > , ) | s i n n ( t - t) n ( t - r ) , [ 2 ] 2 4 8 p . c a l o i - m . g i o r g i dove J e 1 sono s i m b o l i d i f u n z i o n i di Bessel e di N e u m a n n rispet- t i v a m e n t e . N e l l e [ 2 ] s o n o da d e t e r m i n a r e l e c o s t a n t i A,, Blf A-z, B2, n va- l e n d o s i d e l l e c o n d i z i o n i ai l i m i t i . Delle p r i m e q u a t t r o , c o n s i d e r i a m o i r a p p o r t i A/B. L e c o n d i z i o n i ai l i m i t i cui d e b b o n o s o d d i s f a r e le [2] c o n s e g u o n o « c o . ! \ >6 | "P « <8 5? 60 V( X) F i g . 1 d a l l ' a n n u l l a r s i di ; agli e s t r e m i P e Q d e l lago e d a l l a legge di con- t i n u i t à . Si b a : x=p i ?i=° ; *= -<] i ?»=o i x = = 0 , ^ — ìo , t 4 = t 2 , W ^ r t ' i , , m„ — na„ . ̂ [3] P e r le p r i m e d e l l e [ 3 ] , c o n s e g u e d a l l e [2] — e p e r l e [1] — A J A n f o + B * y1(n|32) = 0 A B„ w . ) J{ (n 3g) [ 4 ] [5] P e r * = 0 , iol=nal , c o „ = r e « s . P e r u n a p r o p r i e t à delle f u n z i o n i d i Bessel lini J,(( o) cn->-0 y { (o>) = 0 . [6] s u l l e o s c i l l a z i o n i l i b e r e d e l l a c o d i a l b a n o 2 4 9 O r a , p e r p — * - a u q—>-«2, JIfi,—>- 0, / i P 2 — 0 ; q u i n d i , d a l l e [ 4 ] , [ 5 ] e p e r l e [6] : A v r e m o p e r t a n t o B , = £ , = 0 . £,0), —-AlJl(col) sin n(t— T) . _ li — AJ(.(coj) sin n(t—t) Esm„ =A2J1((»2) sin - t) li 2 a. " A„J0((ÙS) s i n n ( « — t ) P e r il s e c o n d o g r u p p o d e l l e [ 3 ] , c o n s e g u e d a l l e [ 7 ] (n et,)- (nn„)=0 I A l , . . A , [7] M L ' e l i m i n a z i o n e di A,, An c o m p o r t a l ' a n n u l l a r s i d e l d e t e r m i n a n t e dei coefficienti = 0 ./,(««,) —/,(rarts) /0(ra«t) / 0 ( r e u 2) L ' e q u a z i o n e dei p e r i o d i è q u i n d i / . ( n o , ) U n n J + U n u J / 1 ( n a , ) = 0 .«" D a l l a [ 7 ' ] si d e d u c e a„ ./, (rea,) [8] , i 2 = yli . «1 J , (na 2 ) (§) La [ 8 ] poteva d e d u r s i d i r e t t a m e n t e da u n caso p i ù c o m p l e s s o trattato da C a l o i , s t u d i a n d o l e sesse del l a g o di L e v i c o (5). R i f e r i a m o c i alla [ 1 3 ] di q u e l la- v o r o e o s s e r v i a m o che p e r n a , - v O è 7 0 ( u a 3 ) = l , J , ( ( i a , ) = 0. Q u e l l a e q u a - z i o n e d i v i e n e allora Ma per u f i , — 0 è lin i J ( ( « P , ) . ' V , ( n ^ , ) 0 ; la (*) q u i n d i v i e n e a c o i n c i d e r e c o n la [ 8 ] , 2 5 0 p . c a l o i • m . g i o r g i si P o s t o C = — - / , ( « « , ) , a v r e m o [ 9 ] ^ Jt(mt) • / ; f1co1 = C o 1 — — sin n ( f — t ) Ji ("«,) Ch /,(«>,) . CJ = — s i n n(t — T) 2 (ria,) r Ji K ) • „ , fsft)g = C a s —5 s i n n(/ — i) " A (raag) r h / 0 ( o > „ ) . C „ = - C - — — sin nlt—T) 2 / . ( n o . ) I P e r o g n i p e r i o d o 7' = — t r a t t o d a l l a [ 8 ] , l a [ 9 ] dà l ' a n d a m e n t o n degli s p o s t a m e n t i o r i z z o n t a l i e v e r t i c a l i . I p u n t i di z e r o d e l l a f u n z i o n e Jo{(o) d a n n o la p o s i z i o n e dei n o d i p e r o g n i p e r i o d o d ' o s c i l l a z i o n e . Si o t t e n g o n o i n o d i n e l t r a t t o 0] A], A 2 Q P A, r i s p e t t i v a m e n t e Ot A2, m e d i a n t e le r a d i c i d e l l ' e q u a z i o n e 7 o ( c o ) = 0, c h e s i a n o m i n o r i d i n « j , r i s p e t t i v a m e n t e d i ria*. 2. Applichiamo la teoria esposta al lago di Albano. —• C o n i d a t i c h e h a n n o c o n s e n t i t o d i c o s t r u i r e l a c u r v a n o r m a l e , si s o n o o t t e n u t e l e e q u a z i o n i d e l l e r e t t e 1 e 2. L ' i n t e r s e z i o n e d i 1 e 2 ( p u n t o M) è ri- s u l t a t o di c o o r d i n a t e X = 179,418 . IO4 m 2 Y = 64090,5 . IO4 i n 3 . A v r e m o p e r t a n t o «i = 179,4.10 4 m 2 ; ax = 428,1.10 4 m 2 ; h = 64090,5.10 4 m 3 45,25 sec ; a > = 107,98 sec s u l l e o s c i l l a z i o n i l i b e r e d e l l a c o d i a l b a n o 2 5 1 Periodi. Le p r i m e t r e s o l u z i o n i d e l l a [ 8 ] c o r r i s p o n d o n o , con g r a n - d e a p p r o s s i m a z i o n e , a ri = Oy02936; n = 0,0515016; n — 0,0714. Avre- m o q u i n d i p e r i p e r i o d i d e l l ' u n i - , hi- e t r i n o d a l e i v a l o r i r , = 214s , To = 122s , T3 = 88" . Nodi. D a l l a 1" d e l l e [ 1 ] r i s u l t a l _ , "\TV 2 71(1 , I v a l o r i «li di e « i , figurano l e [ 1 0 ] ; p e r cui, p e r i n o d i n e l t r a t t o Oi A i , a v r e m o * = 1 7 9 , 4 1 — di, T 2 8 4 . 3 d o v e 0)4 è il v a l o r e c h e a n n u l l a Jo(o>,), t a l e c h e r i s u l t i — c o m e si h a d a l l a [ 1 ] -—• ( i ) , < n « 1 . S e m p r e d a l l e [ 1 ] , si h a , p e r il ( r a t t o OyA2, X— — a„ 1 d>„ r 2 71(1., P e r i v a l o r i di a 2 e a 2 d a t i d a l l e [ 1 0 ] , la f o r m u l a r e l a t i v a ai n o d i n e l t r a t t o Oi An d i v i e n e o». T V x = — 428,1 1- 6 7 8 , 5 [12] d o v e co2 s o n o r a d i c i d e l l ' e q u a z i o n e 7o((r>„) = 0, c h e s o d d i s f a n o alla c o n d i z i o n e o i 2 < w r „ . P e r l ' u n i n o d a l e è « a , = 1,329 . L e p r i m e r a d i c i d e l l ' e q u a z i o n e / 0 ( ( D ) = 0 s o n o 2,4048 ; 5,5201 ; 8,6537 ; 11,7915 ; ecc. P o i c h é n e s s u n a d i t a l i r a d i c i è m i n o r e d i n ctj, n e s e g u e c h e l ' u n i - n o d o non è t r a t t o Oi An . S e m p r e p e r l ' u n i n o d o si h a n ciò = 3,170 ; l ' u n i n o d o r i s u l t a q u i n d i n e l t r a t t o Ox An, p o i c h é 2,4-048 < m i n. P o n i a m o n e l l a [12] co2 = 2,4048; p o i c h é 1 \ = 214 sec, o t t e r r e m o .v = — 181,81 . IO4 in 2 . L'ascissa d e l l ' u n i n o d o v a l e p e r t a n t o V(x,) = 361,23 . IO4 in 2 2 5 2 p . c a l o i - m . g i o r g i L ' i m i n o d o c a d e q u i n d i t r a le sezioni 11" e 12" e dista d a l l ' o r i - gine (lato M o n t e Cavo) m 2009. P e r i b i n o d i si h a : n u i — 2,330; n a 2 = 5,561. N e s s u n b i n o d o si h a q u i n d i n e l t r a t t o Oi A i . P o s t o n e l l a [12] T 2 = 122 s e co2 = 5,5201 e co2 = 2,4048 rispetti- v a m e n t e , si t r o v a c h e i d u e b i n o d i h a n n o ascisse V (.To') = 185,73 . IO4 ; V(x2") — 5 2 7 , 4 8 . IO4 e d i s t a n o m 1191 e 2850 r i s p e t t i v a m e n t e d a l l ' e s t r e m o origine. P e r i t r i n o d i è n n i ~ 3,231, ; i a 2 = 7,71: u n o dei n o d i è q u i n d i n e l t r a t t o 0,Alt gli a l t r i d u e c a d o n o n e l t r a t t o Oi An. F a t t o n e l l a [11] coi = 2,4048, essendo T3 = 88% si t r o v a c h e il p r i m o t r i n o d o c a d e t r a la 3" e la 4" sezione, a v e n d o un'ascissa V ( * 3 ' j = 80,00 . IO4 m 2 , e dista d a l l ' e s t r e m o o r i g i n e .va' = m 703 . La p o s i z i o n e degli a l t r i d u e t r i n o d i si o t t i e n e con la [ 1 2 ] , fa- c e n d o i n essa T3 — 88s e ro2 = 5,5201; co 2 = 2,4048 r i s p e t t i v a m e n t e . Si t r o v a così c h e il t r i n o d o m e d i o e il t e r z o t r i n o d o h a n n o l e ascisse 3 8 8 , 0 8 . IO4 ni 2 e d i s t a n o d a l l ' e s t r e m o o r i g i n e ni 2125 e m 3097 ri- s p e t t i v a m e n t e . Andamento degli spostamenti verticali. — L ' a n d a m e n t o d e l l e am- piezze i n senso v e r t i c a l e si d e t e r m i n a a p p l i c a n d o la 2" e la 4" d e l l e [ 9 ] . La c o n t i n u i t à degli s p o s t a m e n t i n e l passaggio d a l t r a t t o Ax Oh al t r a t t o Oi Ao si assicura m o l t i p l i c a n d o i coefficienti delle r e l a z i o n i no- m i n a t e p e r J j ( n « i ) . Ecco i r i s u l t a t i . P e r la sessa uninodale: S e z i o n i 0 1 2 3 ! 4 5 6 6 bis 7 •-! S p o s t a m e n t i relativi ],00 0.968 0.925 0.870 0.808 0.724 0.645 0.605 0.492 S e z i o n i 8 9 10 11 uninodo 12 13 11 15 16 S p o s t a m e n t i relativi 0.415 0.305 0.182 0.041 00 — 0 . 1 4 4 —0.344 —0.527 — 0 . 7 6 0 —1.041 S e z i o n i 17 18 19 20 S p o s t a m e n t i r e l a t i v i — 1 . 2 3 4 —1.453 — 1 . 6 0 4 —1.692 P e r la sessa binodale : S e z i o n i 0 1 2 3 4 5 6 6|]jS ] bin 7 8 S p o s t a m e n t i relativi 1 0.903 0.779 0.626 0.470 0.275 0.113 0.039 0 —0.049 —0.181 s u l l e o s c i l l a z i o n i l i b e r e d e l l a c o d i a l b a n o 2 5 3 S e z i o n i 9 l o 1 1 1 2 13 14 15 2 bWO 1 6 17 18 S p o s t . r e i . —(1.336 — 0 . 4 6 8 — 0 . 5 7 1 — 0 . 6 3 4 — 0 . 6 1 5 — 0 . 0 . 5 2 4 — 0 . 3 1 0 0 — 0 . 0 2 4 0.453 0.945 S e z i o n i 19 2 0 S p o s t a m e n t i r e l a t i v i 1,336 1,583. \ \ t i / \ V \ x 9 10 II > JZ 15 11 15 ,16 17 1920 N / \ v J \ \ \ 1 \ \ l \ F i g . 3 P e r la sessa trinodale: S e z i o n i 0 1 2 3 4 p trinodo 5 6 6 bis " 8 9 S p o s t . r e i . 1 0.818 0.597 0.348 0.120 0 — 0 . 1 2 0 5 — 0 . 2 7 4 — 0 . 3 2 8 — 0 . 3 5 6 — 0 . 4 0 1 — 0 . 3 9 6 S e z i o n i 10 1 1 2'trin. 1 2 13 1 1 15 16 IT 3 tPin- 18 19 S p o s t . r e i . — 0 . 3 2 5 — 0 . 1 9 0 0 0.028 0.263 0.436 0.544 0.465 0.147 0 — 0 . 4 1 2 — 0 . 9 6 5 S e z i o n i 20 S p o s t . r e i . - 1.357. Le figg. 3, 4 d a n n o la r a p p r e s e n t a z i o n e grafica dei v a l o r i o t t e n u t i . Andamento degli spostamenti orizzontali. — L ' a n d a m e n t o d e l l e a m p i e z z e i n senso o r i z z o n t a l e si d e t e r m i n a a p p l i c a n d o l a l a e la 3a 2 5 4 p . c a l o i - m . g i o r g i d e l l e [ 9 ] , con u n p r o c e d i m e n t o analogo a q u e l l o seguito p e r l ' a n d a m e n t o degli s p o s t a m e n t i in senso v e r t i c a l e . Si o t t e n g o n o i seguenti v a l o r i : P e r la sessa uninodale: S e z i o n i 0 1 2 3 4 5 6 (ibis Spostamenti relativi 0 0.177 0.266 0.343 0.405 0.168 0.511 0.528 S e z i o n i 7 8 9 10 11 molla 12 13 S p o s t a m e n t i relativi 0.585 0.685 0.799 0.898 0.983 1.00 1.06 1.11 Sezioni 11 15 16 17 18 1 ) 20 Spostamenti relativi 1.12 1.10 1.03 0.898 0.687 0.432 0 ^ ' / "M „- • - * — \ \ 'f ^ / I ~~\7 li) 19 L ) -X \ 8 -̂o IO II I? N l) ~H 7~ \ \ \ v. y Fig. 4 P e r l a binodale: Sezioni 0 1 2 3 4 5 6 Spostamenti relativi 0 0.300 0.430 0.520 0.567 0.581 0.557 Sezioni (ibis I binodo 7 8 9 10 11 12 Spostamenti relativi 0.534 0.539 0.545 0.543 0.497 0.407 0.273 0.067 Sezioni 13 14 15 2 blHOdO 16 17 13 19 Spostamenti relativi —0.171 —0.386 —0.637 —0.822 —0.832 —0.920 —0.841 —0.587 S e z i o n i 20 Spostamenti relativi 0. P e r l a trinodale: Sezioni 0 1 2 3 4 | trinodo 5 6 Spostamenti relativi 0 0.396 0.531 0.581 0.558 0.519 0.456 0.323 s u l l e o s c i l l a z i o n i l i b e r e d e l l a c o d i a l b a n o 2 5 5 S e z i o n i 6 bis 7 8 9 i o i l li IrInodo 1 2 S p o s t a m e n t i r e l a t i v i 0.249 0.196 0.071 — 0 . 0 9 5 — 0 . 2 5 4 — 0 . 3 8 5 — 0 . 4 6 2 — 0 . 4 6 6 S e z i o n i 1 3 1 1 1 5 16 1 7 li] Irlnodo 1« 1 9 S p o s t a m e n t i r e l a t i v i — 0 . 4 3 6 — 0 . 3 1 2 — 0 . 0 4 7 0.301 0.629 0.705 0.789 0.645 S e z i o n i 20 S p o s t a m e n t i r e l a t i v i 0. C o n f o r m e m e n t e alla t e o r i a , i m a s s i m i s p o s t a m e n t i n e i d u e sensi •— v e r t i c a l e e o r i z z o n t a l e — si v e r i f i c a n o n e l l a p a r t e del lago, dove si osservano le m i n o r i p r o f o n d i t à (figg. 3 e 4). Roma •— Istituto Nazionale, di Geofisica — Maggio 1952. RIASSUNTO Si espone la pratica applicazione del metodo di Chrystal (dia de- terminazione degli elementi fisici (spostamenti e periodi) relativi al- le sesse del lago di Albano. I risultati che si ottengono sono in buon accordo con quelli de- terminati con altri metodi e, conformemente alla teoria, i massimi spostamenti verticali ed orizzontali si verificano nella parte del lago dove si osservano minori profondità. SUMMARY The practical application of Crystal's method for determination of pliysical elements (displacements and periods) of the seiches of Albano lal>e is exposed. The results ichich have been obtained agree enough ivith those determinai by other methoils and according to the theory higliest vertical and horizontal amplitudes occur u-here smaller depths are observed. B I B L I O G R A F I A O ) GIORGI M., Studio delle s e s s e del Ingo ili Albano. A n n a l i di G e o f i s i c a , v o i . I, 3 ( 1 9 4 8 ) . ( 2 ) CALOI P., Le sesse del lago di Garda. P a r t e I I . A n n a l i di G e o f i s i e a , I, 2 ( 1 9 4 8 ) . ( 3 ) CALOI P . , Sui periodi di oscillazione libera del Verbano. A n n a l i di G e o f i - s i c a , I, 3 ( 1 9 4 8 ) . ( 4 ) CALOI 1'., DI FILIITO D . e SPADEA M . C., Ulteriore studio sulle oscillazioni libere del lago di Scanno. A n n a l i di G e o f i s i c a , V , 1 ( 1 9 5 2 ) . ( 5 ) CALOI I \ , Oscillazioni libere del lago di Levico. A n n a l i di G e o f i s i c a , I V , 2 ( 1 9 5 1 ) .