S U L L ' A U M E N T O D I T E M P E R A T U R A N E L M A N T E L L O D E L L A T E R R A P E R C O M P R E S S I O N E A D I A B A T I C A PAOLO EMILIO VALLE 1. — L'aumento della temperatura nell'interno della T e r r a , do- vuto a compressione adiabatica, ha una notevole importanza in diverse questioni di carattere geofisico (*). La sua stima è stata eseguita da diversi autori, estrapolando al- l'interno della T e r r a i valori del rapporto fra la dilatazione termica e il calore specifico a pressione costante, determinati in laboratorio per varie rocce ignee. Solo recentemente e stato fatto un tentativo per una valutazione in base alla teoria dei solidi ( 2 ). Questa nota ha l o scopo di mostrare come si possa pervenire fa- cilmente ad una relazione che lega la densità, l a temperatura e la velocità delle onde longitudinali e trasversali di un solido ideale, sottoposto ad una particolare trasformazione adiabatica e a quali ri- sultati conduce la sua applicazione all'interno della T e r r a . 2. — È noto che l'agitazione termica in un solido si può pensare dovuta ad onde longitudinali e trasversali completamente diffuse ( 3 r*), per le quali esiste un limite inferiore alla lunghezza d'onda, in con- seguenza della struttura discontinua del solido stesso. L o spettro delle frequenze dei due tipi di onde è quindi limitato superiormente. Se si usano gli indici l e t per distinguere le grandezze che si riferiscono rispettivamente alle onde longitudinali e trasversali, la fre- quenza limite per ciascun tipo di onda è data da dove vm è la velocità, supposta indipendentemente dalla frequenza, ed TV il numero di atomi contenuti nel volume V. Un solido così definito, cioè come un sistema continuo che am- metta un limite superiore per le frequenze delle onde elastiche, è il solido isotropo ideale. [1] (m = l,t) 4 7 6 P A O L O E M I L I O V A L L E I l numero complessivo delle oscillazioni è uguale ad N per le onde longitudinali e a 2 N per le onde trasversali. Pertanto, il solido va trattato come un sistema di 3 N oscillatori armonici, dei quali 2V hanno la frequenza limite v, e 2 N la frequenza limite v,. I n questa schematizzazione la meccanica quantistica permette il computo stati- stico dell'entropia S (3~6). La sua variazione elementare risulta data da • ^ " - - ( ^ R - J R B - 1 2 1 (M = Z, F, t) nella quale R è la costante dei gas e D(Xm) = —-— f -f- — Xm [ 3 ] Xms J et- 1 8 o Se si introducono le temperature di Dehye ©„,, ossia si pone E M = J T L [ 4 ] (m = l,t) dove h è costante di Plank e k la costante di Boltzmann, risulta Xm = [ 5 ] essendo T la temperatura assoluta. I l secondo membro della [ 2 ] è quindi funzione della tempera- tura assoluta e del volume tramite le 0 m . Si supponga ora di eseguire sul solido una trasformazione adia- batica reversibile, sottoponendolo ad una variazione isotropa ed omo- genea di volume. Si avrà dD D dX X ii dXm=0 [ 6 ] (m = J, t, t) Se la temperatura T è molto inferiore alle temperature di Debye, cioè X m è molto grande, si ha ^ T * " ^ m e si ottiene, tramite le [ 6 ] , [ 5 ] , [4] ed [1], S U L L ' A U M E N T O DI T E M P E R A T U R A N E L M A N T E L L O DELLA TERRA 477 T 3 / 1 2 -| ] = c o s t a n t e [ 8 ] e \ nella quale p è la densità, mentre se Xm è piuttosto piccolo si può usare lo sviluppo — + [ 9 ] 20 1680 e risulta in modo analogo, per 0 m < < l ' 20 T , j o p t i v t ! =costante [lfl] È molto importante il fatto che la [ 8 ] e la [10] siano indipen- denti dalla composizione chimica del solido. La [ 8 ] e la [10] si identificano se si pone V\=] 3 vt. 3. — Nell'interno della Terra, il valore della temperatura di Dehye relativa alle onde longitudinali è presumibilmente intorno ai 1700" K alla profondità di 1000 km e ai 2000° K alla profondità di 2898 km, ossia alla base del mantello. Le temperature di Debye, re- lative alle onde trasversali, sono circa 1/y 3 volte le precedenti. È noto che fra queste due profondità si può ritenere che i ma- teriali presentino l'omogeneità richiesta per l'applicazione della [8] o della [10], e che l'andamento della densità sia adiabatico ("). I presunti valori delle temperature di Debye sopracitati in rela- zione al probabile valore della temperatura esistente alla profondità di 1000 km, richiedono l'uso della [ 1 0 ] , In base alle grandezze contenute nella tabella I (6~7), T A B E L L A I Profondità t'i Q km km sec 1 km sec 1 g c m ~ 3 1000 11,42 6,36 4,68 2600 13,50 7,21 5,54 2898 13,64 7,30 5,68 4 7 8 PAOLO E M I L I O V A L L E l dalla [10] si ottiene Dalla [ 8 ] si otterrebbe T — 1 23 T 1 2808— J 1 1000 Cioè la temperatura alla base del mantello sarebbe circa 1,24 volte la temperatura a 1000 km, se il materiale fosse stato compresso adiabaticamente. È ' interessnte il confronto con il calcolo eseguito da J . Verhoo- gen ( 2 ). La [ 8 ] e la [10] forniscono rispettivamente 1̂000 ^S6oo = 1.22 7 1 0 0 0 mentre il predetto autore ottiene T s t 0 = 1 > 1 8 7\ooo Roma — Istituto Nazionale di Geofisica — Dicembre 1951 RIASSUNTO Viene stabilita una relazione fra la densità, la temperatura e la velocità delle onde longitudinali e trasversali relativa ad una parti- colare trasformazione adiabatica di un solido ideale. L'equazione, applicata al mantello della. Terra, conduce al risul- tato che la temperatura in prossimità del nucleo sarebbe circa 1,24 volte, la temperatura alla profondità di 1000 km, se la compressione dei materiali fosse avvenuta adiabaticamente. B I B L I O G R A F I A ( ' ) BENFIELD A . E . : Temperature in an accreting Earth. Trans. Amer. Geophys Union 31, 53-57 (1950). ( - ) VERHOOCEN J . : The Adiabatic Gradient in the Mantle. Trans. A m e r . Geophys. U n i o n 32, 41-43 (1951). ( 8 ) BRILIOUIN L . : Teuseurs en Mècanique et en Èlasticité. Masson, Paris (1946). ( 4 ) BRILLOUIN L . : [Fave Propagation in Periodic Structures. Me Gran-Hill. New- Y o r k (1946). ( S ) SLATER J . C . : Introduction to Chemical Physics. Me. Gran-Hill.. New Y o r k (1939). ( ° ) BULLEN K . E . : The Problem of the Earth'x Density Variation. Bull. Seism. Soc. Am. 30, 235-250 (1940). ( 7 ) BULLEN K . E . : Introduction of the Teory of Seismology. Cambridge Uni- versity Press (1947).