R E G I S T R A Z I O N E D E L L E O M ) E L O N G I T Ì D I N A L I DI B R E V E P E R I O D O RI:N\TO LI \I ni v l n oncia l o n g i t u d i n a l e p r o v o c a u n a c o n d e n s a z i o n e d e l m e z z o at- t r a v e r s o il q u a l e e—a -i p r o p a g a . I a l e c o n d e n s a z i o n e p u ò e s s e r e r i v e - l a t a con un a p p a r a l o s u g g e r i t o d a B e n i o i l ' ( ' ) nel c a s o p a r t i c o l a r e ilei le o n d e s i s m i c h e l o n g i t u d i n a l i . K-so c o n s i s t e i n u n a c a v i t à s i e r i c a r i c a v a t a i n u n t e r r e n o , p r e f e r i b i l m e n t e r o c c i o s o ( f i g . 1). D e t t a c a v i t a c o m u n i c a con l ' a t m o s f e r a p e r m e z z o di u n t u b o T a n c h e r i p i e n o in p a r t e di l i q u i d o . U n p i c c o l o c a p i l l a r e m a n t i e n e c o s t a n t e il l i v e l l o del l i q u i d o e fa sì c h e non -i r i s e n t a n o l e v a r i a z i o n i l e n t e di v o l u m e , c a u s a t e d a v a r i a z i o n i di t e m p e r a t u r a o di p r e s s i o n e a t m o s f e r i c a . L n ' o n d a l o n g i t u d i n a l e i n c i d e n t e fa v a r i a r e il v o l u m e d e l l a - f e r a e q u i n d i p r o d u c e u n o s p o s t a m e n t o del l i v e l l o del l i q u i d o n e l t u b o . S i a s = a s e n cn|/ — 1 e q u a z i o n e d e l l o n d a l o n g i t u d i n a l e r i f e r i t a al c e n t r o d e l l a s f e r a ( e è la v e l o c i t à eli p r o p a g a z i o n e d e l l e o n d e l o n g i t u d i n a l i nel t e r r e n o ) : il l i v e l l o del l i q u i d o nel t u b o 7 -i s p o s t e r à a l l o r a di h = —- co a cos cot [ 2 ] Ac dove V„ è il v o l u m e d e l l a - f e r a ed I l a s e z i o n e del t u b o . Q u e s t a for- m u l a è s l a t a s t a b i l i t a d a .Benioil' p a r t e n d o d a l l a v a r i a z i o n e d i v o l u m e A V= — I a d V [ 3 ] d o v e o è la c o n d e n s a z i o n e d o v u t a a l i o n d a i n c i d e n t e d e f i n i t a d a Ss a — , e f a c e n d o la s e g u e n t e i p o t e s i : c/) la v i b r a z i o n e l o n g i t u d i n a l e i n c i d e n t e h a u n a l u n g h e z z a di onda m o l t o p i ù g r a n d e del r a g g i o d e l l a - f e r a : q u e s t a i p o t e s i è q u a s i t ' j BKNIOFF 11.. B u l l , ol' t h e S e i - i u o l o g i c a l S o e . o f . A n i . - 1 9 3 5 , 25, p a g . 3 0 7 . 2 0 8 R E N A T O C I A L D E A s e m p r e v e r i f i c a l a nel caso d e l l e o n d e s i s m i c h e o r d i n a r i e , c l i c h a n n o in g e n e r a l e u n a l u n g h e z z a vi o n d a m o l l o g r a n d e . M a e v i d e n t e m e n l e B e n i off. n e l «no c a l c o l o , s u p p o s e i n o l i l e : b) l ' i m p e d e n z a m e c c a n i c a d e l l ' a p p a r a t o è t r a s c u r a b i l e ; e ) l ' o s c i l l a z i o n e d e l l e d i v e r s e p o r z i o n i d e l l a s u p e r f i c i e di sepa- r a z i o n e Ira il t e r r e n o ed il l i q u i d o è i d e n t i c a p u n l o p e r p i l l i l o a l l a o s c i l l a z i o n e i n c i d e n t e p e r a m p i e z z a e f a s e . V e d i a m o a n z i t u t t o c o m e i n l l u i s e a l ' i m p e d e n z a m e c c a n i c a s u l l o spo- s t a m e n t o d e l l i v è l l o del l i q u i d o nel tulio T , s e m p r e s u p p o n e n d o va- l i d e l e i p o t e s i a ) e e ) : a p p u n t o i n b a s e a tali i p o t e s i , il c a l c o l o è m o l t o s e m p l i f i c a t o , g i a c c h é la v a r i a z i o n e di p r e s s i o n e , d o v u t a a l l a v i - b r a z i o n e i n c i d e n t e , si p u ò r i t e n e r e c o s t a n t e , i s t a n t e p e r i s t a n t e , in tutti i p u n t i d e l l a s f e r a . Si h a i n f a t t i p e r q u e s t a v a r i a z i o n e d i p r e s - sione A P = e a [ 4 ] dove £ è il m o d u l o di c o m p r e s s i b i l i t à del l i q u i d o ; o r a , se si s u p p o n e la l u n g h e z z a d ' o n d a d e l l a v i b r a z i o n e i n c i d e n t e m o l t o p i ù g r a n d e del r a g g i o d e l l a s f e r a , si p u ò r i t e n e r e a c q u i n d i a n c h e A P , c o s t a n t e p e r ogni punto d e l l a s f e r a , i s t a n t e p e r i s t a n t e . Si c o n s i d e r i ora ( f i g . 1} la sfera d i r a g g i o K. il t u b o T d i se- z i o n e - ( , r i e m p i l o di l i q u i d o f i n o a l l ' a l t e z z a l e sia li l o s p o s t a m e n t o del l i v e l l o r i f e r i t o a l l a sua p o s i z i o n e d i e q u i l i b r i o . D a l l a b e n nota r e l a z i o n e di e l a s t i c i t à A P = — e — [ 5 ] V si p u ò t r o v a r e il v a l o r e d e l l a p r e s s i o n e e s e r c i t a t a n e l l i q u i d o p e r effetto d e l l a v a r i a z i o n e di v o l u m e : q u e s t a p r e s s i o n e a g i s c e sul l i q u i d o c h e si trova nel t u b o T , p r o d u c e n d o v i u n a v a r i a z i o n e d i l i v e l l o li: p e r c i ò nel A l d e l l a [ 5 ] si d e v e c o n s i d e r a r e non solo l a v a r i a z i o n e di v o l u m e d o v u t a a l l a c o n d e n s a z i o n e , m a a n c h e la v a r i a z i o n e li I do- vuta al f a t t o che il l i q u i d o v i e n e ad o c c u p a r e un v o l u m e m a g g i o r e , in s e g u i t o a l l ' i n n a l z a m e n t o li del l i v e l l o n e l t u b o T ; n e l d e n o m i n a t o r e d e l l a [ 5 ] p o i , al posto di P , si p o t r à p o r r e il v o l u m e ' o d i tutto il l i q u i d o c o n t e n u t o s i a n e l l a s f e r a , sia n e l t u b o ; ciò si p u ò a m m e t t e r e , -e si s u p p o n e c h e I « sia m o l l o p i ù g r a n d e del v o l u m e spostato d u r a n t e mi o s c i l l a z i o n e . La p r e s s i o n e a l l ' i n t e r n o s a r à q u i n d i A V+hA A I ' = — e \ , . N. „ — \ l t E G l S T K V Z I O N E D E I . I . E O N D E L O N G I T U D I N A L I 2 0 9 S e -i s u p p o n e i n o l t r e c l i c l ' a l t e z z a / del tubo -iu p i ù p i c c o l a d e l l a lunghe •zza d ' o n d a d e l l a v i b r a z i o n e nel l i q u i d o , si p u ò a m m e t t e r e c h e la m a s s a del l i q u i d o c o n t e n u t o n e l tubo T si -posti tutta i n s i e m e : si p u ò a l l o r a a p p l i c a r e a q u e s t a m a s s a m l ' e q u a z i o n e d i m o l o , e -i h a così, t r a s c u r a n d o gli a t t r i t i , d'h A A> m — =—E A) —E — li di» r„ v0 e cioè in b a s e a l l a ! I ) r i f e r i t a a l c e n t r o d e l l a s f e r a ed a l l a [ I j d-h A- Aa< o m -(- E — li — E eos o)/ di- I n T a l e e q u a z i o n e a n i m e l l e c o m e è n o l o l ' i n t e g r a l e p a r t i c o l a r e f Amo ,- , eos mi j_o j mc({}~—or) dove la p u l s a z i o n e di r i s o n a n z a 12 d e l l a p p a r a t o è d a t a da Q = 1 ' T E . = r , I ' I o » " o q u e s t a f o r m u l a è i d e n t i c a a ( l u c i l a d e i r i s o n a t o r i di H e l m h o l t z : c i ò è e v i d e n t e , e - s c n d o s i a l o f a l l o un r a g i o n a m e n t o a n a l o g o ( q u i e , è la v e l o c i t à di p r o p a g a z i o n e d e l l e v i b r a z i o n i nel l i q u i d o ) . Nel caso poi c h e si c o n s i d e r i una f r e q u e n z a i n c i d e n t e l a u t o pic- c o l a da p o t e r t r a s c u r a r e o>2 r i s p e l l o a d la |') | d i v e n t a J 0 nm li = — eos (0/ Ai- ri iv >i i d e n t i l i c a con la |2| t r o v a t a d a B e n i o i l . S e l ' i p o t e s i t/) non è p i ù v a l i d a , la c o n d e n s a z i o n e non p u ò p i ù r i t e n e r s i c o s t a n t e in ogni p u n t o d e l l a - f e r a : q u i n d i la p r e - s i o n e v a r i a da p u n t o a p u n t o e si p r o p a g a n e l l ' i n t e r n o . I n o l t r e , se si avessero d e l l e v i b r a z i o n i la cui l u n g h e z z a d o n d a fosse tanto p i c c o l a da g e n e r a r e d e l l e o n d e s t a z i o n a r i e n e l l ' i n t e r n o d e l l a s f e r a , l ' a t t a c c o del tubo 7 p o t r e b b e c a p i t a r e in u n a p o s i z i o n e q u a l u n q u e r i s p e t t o a l l e zone ven- t r a l i ed a ( i n c i l e n o d a l i : -i u d r e b b e r o a v e r e q u i n d i in q u e s t o p u n t o d e l l e p r e s s i o n i c h e d i p e n d e r e b b e r o non solo d a l l a m p i e z z a e d a l l a f r e q u e n z a d e l l ' o n d a i n c i d e r n e , m a a n c h e e « o p r a t u t t o d a l l a d i r e z i o n e di p r o v e n i e n z a d e l l ' o n d a . P e r e v i t a r e q u e s t o i n c o n v e n i e n t e c h e p o t r e b b e p r e s e n t a r s i q u a l o r a 58 R E N A T O C I A L D E A -i v o l e s s e r o r e g i s t r a r e d e l l e v i o l a z i o n i di p i c c o l a l u n g h e z z a d o n d a , o c c o r r e f a r e u n a v a r i a n t e a l l ' a p p a r a t o s o p r a d e s c r i t t o . I a l e v a r i a n t e c o n s i s t e n e l p o n e il t u b o T i n t e r n a m e n t e a l l a s f e r a ( f i g . 2), in m o d o c h e l a s u a e s t r e m i t à a p e r t a i n f e r i o r e si trovi p r o p r i o al c e n t r o . O g n i p o r z i o n e d e l l a s f e r a si p u ò a l l o r a c o n s i d e r a r e c o m e u n a s o r g e n t e c h e e m e t t a , d u r a n t e la sua v i b r a z i o n e , d e l l e o n d e p r o p a g a n i c s i n c l l i n t e r n o d e l l a s f e r a : ora t u t t e le a z i o n i di q u e s t e o n d e a r r i v e r a n n o al c e n t r o con u n o stesso r i t a r d o r e l a t i v a m e n t e a l l e v i b r a z i o n i d e l l e r i s p e t t i v e s o r g e n t i , c i o è d e l l e d i v e r s e p o r z i o n i d e l l a s u p e r f ì c i e d e l l a s f e r a . Si p u ò cosi f a r e 1 i p o t e s i c h e la p r e s s i o n e n e l c e n t r o a l l ' i s t a n t e I sia p r o p o r - z i o n a l e a l l a v a r i a z i o n e di v o l u m e d e l l a s f e r a a l l ' i s t a n t e ! — ( e , è la v e l o c i t à ili p r o p a g a z i o n e di u n a v i b r a z i o n e e l a s t i c a nel l i q u i d o ) ed a l l a v a r i a z i o n e di v o l u m e d e l l i q u i d o c o n t e n u t o nel t u b o T l ' e l a t i v a ali i s t a n t e t: a n c h e o r a si s u p p o n e c h e l ' a l t e z z a / d e l l i v e l l o del l i q u i d o sia p i c c o l a r i s p e t t o a l l a l u n g h e z z a d ' o n d a d e l l a v i b r a z i o n e n e l l i q u i d o : si h a q u i n d i d a l l a s o l i l a r e l a z i o n e di e l a s t i c i t à — ( - T 7 > R - R ' B P e r c a l c o l a r e la v a r i a z i o n e di v o l u m e d e l l a s f e r a , d o v u t a ad u n ' o n - da l o n g i t u d i n a l e i n c i d e n t e di e q u a z i o n e [ 1 ] , m p o t r e b b e p a r t i r e d a l l a REGISTRAZIONE DELLE ONDE LONGITUDINALI 2 1 1 | i j . p o n e n d o p e r ò a f u n z i o n e d e l l a p o s i z i o n e e del t e m p o . M a si p u ò p i ù s e m p l i c e m e n t e c o n s i d e r a r e il v o l u m e d e l s o l i d o i n f i n i t e s i m o g e n e - i a t o da una corona c i r c o l a r e c o a s s i a l e a l i asse v. d u r a n t e la sua o s c i l l a - z i o n e e p o i i n t e g r a r l o a t u t t a la s f e r a . C o n s i d e r i a m o a l l o r a u n a co- rona c i r c o l a r e e l e m e n t a r e c o m p r e s a tra d u e coni di a p e r t u r a (| e cp-j-eZrp ( l i g . 3 ) : t u t t a la c o r o n a -i s p o s t e r à di un t r a t t o s d a t o d a l l a [ 1 ] , s u p p o n e n d o c l i c l ' a l t e z z a del s e g m e n t o sia tanto p i c c o l a da r i t e - n e r e s c o s t a n t e su tutta la c o r o n a ; in l a i m o d o si v i e n e a f o r m a r e u n so- l i d o i n f i n i t e s i m o c o m p r e s o Ira la sfera i n i z i a l e e la s u p e r f i c i e d e l l a corona s p o s t a l a : il suo v o l u m e è d a t o e v i d e n t e m e n t e d a l l a s u p e r f i c i e d e l l a corona p e r l ' a l t e z z a , clic è r a p - p r e s e n t a t a d a l l a p r o i e z i o n e di s sul- la n o r m a l e a l l a s f e r a e q u i n d i da 3 "\ \ d t 1 1 V •'VX I X . . . 1 \ I R / / dV — 2.T R~ SENI| d'p a cosip senio 1 ed essendo .v = — R cosip, si h a di -.. 2.-t R- a senip cos<| s e n ( t R c o s q s e n 2rc I — -4 - T }. [ 7 ] La |T] va i n t e g r a t a p e r i|> v a r i a b i l e da 0 a -"t- L i n t e g r a z i o n e è i m m e d i a t a - e -i o p e r a la s o s t i t u z i o n e 2 re R y — — — cosi) = p eosij 1. con la q u a l e si o t t e n g o n o i d u e i n t e g r a l i . , 1 a/~ , 1 a/r , Al — — / — senco/y cosv dy — — cosco? v s e n v a y ' 2:r * " / 2,-t - - - di cui il p r i m o è n u l l o e l ' a l t r o v a l e a)'~ , / sen (3—-j3cos|3 \ A F — -J coso)/ (sen|"3 — |3eos|3) = -j- 4,-t R~a coscof. re \ ) [ 8 ] 60 R E N A T O C I A L D E A P e r v a l o r i di (3 m i n o r e d i 1. cioè p e r l u n g h e z z e d ' o n d a m o l l o p i ù g r a n d i di R. la [ 8 ] si p u ò s v i l u p p a r e i n s e r i e , o t t e n e n d o A V = — 4jt R - a Z (—1)" — lì'2"-1 cos cot (271+1)! e se -i t r a s c u r a n o i t e r m i n i di g r a d o s u p c r i o r e , si o t t i e n e i i - V,ao) A 1 = cos co/ da cui -i p u ò f a c i l m e n t e o t t e n e r e la f o r m u l a 1 2 ] di B e n i o f f . Per t r o v a r e la v a r i a z i o n e h dei l i v e l l o d e l l i q u i d o , si a p p l i c h i l ' e c p i a z i o n e di m o t o a l l a m a s s a d e l l i q u i d o c o n t e n u t o n e l tubo T. e d a l l a [ 6 ] d'h , A~ , 4 jt zA s e n t ì —Rcosfi / R\ m e — h = R~a cos co l d'1 V0 P 0 \ ) t a l e e q u a z i o n e a m m e t t e c o m e i n t e g r a l e p a r t i c o l a r e 4 ITE R''Aa I sentì—Bcostì / R li = — • 1 — • cos col t — m i ' , Q2—co2 pr d o v e c o m e al solito c )'• ± < I • In q u e s t a f o r m u l a c o m p a i o n o v a r i f a t t o r i , d e i q u a l i è b e n e f a r e u n a r a p i d a a n a l i s i . O l t r e a l l ' a m p i e z z a a d e l l a v i b r a z i o n e i n c i d e n t e , il p r i m o f a t t o r e c o n t i e n e a l c u n e g r a n d e z z e c a r a t l e r i s t i c l i e d e l l a s f e r a e del l i q u i d o a d o p e r a t o . Il s e c o n d o f a t t o r e l i e n e conto c h e l u t t o il si- stema ha u n a p r o p r i a f r e q u e n z a di r i s o n a n z a . Il terzo f a t t o r e è u n a f u n z i o n e di (3 di cui si r i p o r t a n e l l a fi