S U I P E R I O D I D I O S C I L L A Z I O N E L I B E R A D E L V E R B A N O P I E T R O CALOI 1. — I n u n l a v o r o p r e c e d e n t e , d e d i c a t o a l l e sesso d e l lago M a g - g i o r e ( ' ) , o s s e r v a v a m o c h e la f o r m a d e l l a c u r v a n o r m a l e r e l a t i v a a l l a g o e r a c o s ì c o m p l i c a t a da r e n d e r e « a r d u a se n o n i m p o s s i b i l e » l ' a p - p l i c a z i o n e di u n o d e i m e t o d i p r o p o s t i da C h r y s t a l . H o voluto! e g u a l - m e n t e c i m e n t a r m i i n q u e s t o s e n s o , a n c h e p e r c h é , l a c o m p l e s s i t à d e l lago fa sì c l i c i v a l o r i c a l c o l a t i p e r i p e r i o d i d e l l e ses=c r e l a t i v e s i a n o s e n s i b i l m e n t e d i v e r s i a s e c o n d a d e l m e t o d o u s a t o , s p e c i e p e r q u a n t o si r i f e r i s c e a l l e o s c i l l a z i o n i di m i n o r n o d a l i t à . Fig. 1 F r a q u e l l i p r o p o s t i da C h r y s t a l , h o r i t e n u t o c l i c il solo m e t o d o c h e s c h e m a t i z z a l a c u r v a n o r m a l e in t r a t t i r e t t i l i n e i r a c c o r d a t i f o s s e a p p l i c a b i l e , c o n q u a l c h e s p e r a n z a di s u c c e s s o . N e l l a s e c o n d a p a r t e di u n m i o l a v o r o s u l l e sesse del G a r d a ( 2 ) h o r i a s s u n t o la r e l a t i v a t e o r i a , r e t t i f i c a n d o u n a sua i n e s a t t e z z a . P e r - t a n t o . m i l i m i t o q u i a r i p o r t a r e l e e q u a z i o n i c h e d a n n o gli s p o s t a - m e n t i o r i z z o n t a l e e v e r t i c a l e lic = | ! JJiv) 4- B Y ^ o j sin n ( t — r) 'C = — i A JUM + B * „ ( « > ) ! s i n n(l _ t ) , 2 a ( ) [1] s u i P E R I O D I r i O S C I L L A Z I O N E L Ì B E R A I E L \ E R R A N O 3 7 7 ..ve ti. li sono c o s t a n t i l e s a l e d a l l a r e l a z i o n e / i ( . 0 = /i(l —• ). r e l a - u iva al f o n d o del lago ( s u p p o s t o a t r a t t i r e t t i l i n e i ) . .1 e B c o s t a n t i he r i s u l t a n o d a l l ' i n t e g r a z i o n e d e l l ' e q u a z i o n e di C h r y - t a l . Ji (.ir). 1 i ( " ' ) — i = 0 . 1 — f u n z i o n i di Bessel e N e u m a n n deH'arsiomento ir— 2ri a | 1 x a | gh , ' 2] 2 rt -•cndo n = - { I = p e r i o d o ) . T L a c u r v a n o r m a l e del \ e r h a n o . quale fu da noi d e t c r m i n a t a c o n ila fitta r e t e di 77 sezioni sL) u n a c a r t a h a t i m e t r i c a al 5 0 0 0 0 , è r i - odotta n e l l a fig. 1. La s c h e m a t i z z a z i o n e c h e ne ho f a t t o è d e l tipo r a p p r e s e n t a t o ella fig. 2 . P o n i a m o O !,=«, O f , Ii: 0 , 1 / - Il n o - q M I, 2 O ! - (( O O, r2 O O r () \ I, Y . f = 3 O . I - a, OA\ — h, o r --• /. 1 . M = 1 V I ! . R i f e r i a m o la curva n o r m a l e cosi s c h e m a t i z z a t a a t r e sistemi ili --i c a r t e s i a n i o r t o g o n a l i . L ' o r i g i n e del p r i m o si I l e n i a sia in O,: l a s s e d i r e t t o p o s i t i v a m e n t e verso A , , l ' a - s e \ p o s i l i v a m e n l e verso M. Oue- lo p r i m o sistema r a p p r e s e n t a la p a r t e di curva n o r m a l e f r a A.j e A , , ia O l ' o r i g i n e del s e c o n d o sistema c a r t e s i a n o . L e c o o r d i n a t e di O.. i s p e t t o al p r i m o s i s t e m a sono ( — ' " . . o ) : x è i n t e s o p o s i t i v o da O, A, Q A- Oj 0, 0 2 A, P A0 h, / / p i e t r o c a i x j i \erso ( ) , . y 2 p o s i t i v o d a O., v e r s o N , . Il t e r z o s i s t e m a h a o r i g i n e ii (),, x:, e s s e n d o p o s i t i v o e o n l a l o v e r s o O , , y 3 p o s i t i v o d a 0:l v e r s o -V h e c o o r d i n a t e di 0 3 r i s p e t t o al p r i m o s i s t e m a s o n o (—r.... o> l i c e o le e q u a z i o n i d e l l e r e t t e I e 2 . r i f e r i t e al p r i m o s i s t e m a : hi{x)=hl 11 — J L j , h.Jx) = Jil 1 1 - f . [ 3 ] L ' a n a l o g a d e l l a 3 r i f e r i t a al s e c o n d o s i s t e m a »:,(*) = »* (i—-] r-n e q u e l l a d e l l a I r i f e r i t a al t e r z o s i s t e m a FT1(*) = 7 L . , ( l + — J [ 5 ] V e n g o n o i n o l t r e l e r e l a z i o n i 1 "/Ì 1 tv 1 I 1 a, 1 A'/', 1 2nn„ . I X : « . , 2r;2 « 1 1 V 1 g'>. 1 2na„ . : « . , 1 •~ — —r— 1 1 1 a., 1 g'>. 1 2na„ . 1 + :V ; f ' : i 2(i.. 2 ( 7 . . . F1 r„ 1 g'h 1 2 n n i - 1 + a.. ; f ' : i 1 g^i ' 1 F1 a. 1 g'h 1 2 n n i - ' 1 + X ; « i fi " <1 1 1 ' 1 + ; « i 1 a, [ 6 ] 5 e r le [ 1 ] a v r e m o ? , » ' , = } A J A i v J + B ^ , ( „ - , ) | s i n ti (t t| -L = T " S A M « ' i ) + B i Y M ! s i n n ( £ - r ) ^ 2 o i t ) ? s « - s = L . / 1 ( « r 2 ) - i - / i 2 Y 1 ( , r 2 ) j sin „ ( / — t ) S U I P E 1 U 0 U I DI O S C I L I . A Z I O N E L I B E R A D E L \ E R R A N O l ' I = - * - ) AJ0(H\j) + B2Yu(IC2) j «in f i ( f — T ) 2(i„ I \ : , " • » = j AJXUJ + B.Y^W,) | « i n n ( f — t ) l,J,,(«•,)+ B:J„(u-,) { «in r i ( f — t ) r : i 2a.. I ' AJ^irJ + BJ^ir,) j s i n r i ( f — T ) f ' ] J 1 J „ ( i O + £ f 4 Y 0 ( i f 4 ) j « i n n ( t — T) -1 4 ' ' d o v e l e p r i m e d u e . la ó:l e la 6 a sono r i f e r i t e al p r i m o s i s t e m a , m e n - t r e la 3 a e la f s o n o r i f e r i t e al s e c o n d o s i s t e m a e l e u l t i m e d u e a. terzo s i s t e m a . N e l l e [ 7 ] s o n o da d e t e r m i n a r e le n o v e e o s t a n t i I,. B,. - L . B ... B,, n, v a l e n d o c i d e l l e c o n d i z i o n i ai l i m i t i . C o n s i d e r i a m o d e l l e p r i m e o t t o il r a p p o r t o ii/Bi. L e c o n d i z i o n i a i l i m i t i « o l i o : a g l i e s t r e m i P e Q del l a g o d e v ' e s s e r e c = 0 : x,- p , ?. = 0 ; .v:; —q , ?< = () . [8] I n o l t r e , p e r * t = o ; , . [ 9 ] P e r il p u n t o f L . .r. = + r , , a\, = 0 ; = , [ 1 0 7 P e r iì p u n t o 0 •V1 ~~'ri , *i: = 0 i = U , = [ 1 1 ] D a l l e [ 7 ] , r i c o r d a n d o le [ 6 ] e ]>er l e 1 8 ] , si h a + = 0 , BJA.,=—Ji{nÌK'] , [ 1 2 ] 1 t ( n |L) o p p u r e B„ L [ 1 3 ] P e r . T , = 0 è — - = — - ; p e r ;VT= + R , , = 0 «Ì h a ir, ir.,— 3, U._ ir. a. p e r xl — —r... x = 0 è a n c o r a n\ i c , = P e r c u i , r i c o r d a n d o l e [ 9 j [ 1 0 ] e [ 1 1 ] e p o s t o P j t f L , " ; ) •"= l ' i ( n | L ) / , ( « « „ ) — J l [ n \ i i ) Y 1 (rido) p 0 ( P s , a j = y , ( r i [ g / „ ( « « „ ) — / 1 ( n p 2 ) y „ f f i « ; ) n r F,!!'1), , (/1) = V 1 ( n P 4 ) ./,(nu.,)—,/,(ri|i,)l',(ri(i 4 ) PoU'i 7 «i» = /clnit,) - J . ( n ( 3 4 ) l ' 0 ( » « 4 ) , l'I P I E T R O CALOl h a .-/j/jInUj) - I^Y.JrmJ = /(./-.lix.i : « , ! ' „ ( ; m , ) = A..J{(n () / 0 ! n p i ) "l 1*2 a : //, 1' 0 ( P . . « 8 ) 0 0 (1 0 0 0 0 - r «.. 0 • " i l " : 0 0 0 (1 0 v (n P,3 Ps P i i P a " , = 0 [ 1 6 j V . („,3..| " 4 l ' i ( " P j ) S U I P E R I O D I DI O S C I L L A Z I O N E L I B E R A D E L Y E R B A N O L a [ 1 6 ] v a l e n e l ! i p o l e s i c l i c gli e s t r e m i del l a g o s i a n o s m u s s a t i . In r e a l t à , in .-/,,- A„ il la~(i-,, q = al. N e l l e [ 4 ] , [ 5 ] a v r e m o p e r t a n t o E ' i n o l t r e , 1 , = 0 , p 4 = o . Hm'I±Wà=0 : l u n ^ ^ - U 0 l ' i O ^ , ) j34 = 0 Ì'I("ÌJj.|1 p e r cui d a l l e [ 1 4 ] P . ( ? - . ((..I , . . P01,3., , (/„) , hm 1 1 ' - = , / , ( / ? « . , ) ; /im r — -./0(MH„) I m i ' r ' ^ = . / 1 ( n « j | ; /mi — ! - = . / „ ( « « . , ) j34 = 0 , 3 4 = 0 5 ' i C " ^ ) L a [ 1 6 ] , o s s e r v a n d o c l i c j3( a , A., <7.. /;., «„ A, « 4 « 4 /(, (7, d i v i e n e a l l o r a , m o l t i p l i c a n d o la 5 a e la 6 1 r i g a p e r — - , a.. ./,(/)((,) Y , ( / u t , ) o — j j i m t . , ) - y , ( r i a . , ) 0 - / 0 ( n « , ) Y 0 ( m V 0 •/„(««..) Y o ( " < t : . ) <> « J X K , •/,(«?,) Y I ( n ^ ) 0 0 0 ,) «i:-,,../,!., - / . ( " P i ) W i > «A><«"«> 0 0 0 , 0 0 0 ^ ( n ^ , ) -/,(«'(.,) 0 0 » .7„(»P..) y „ ( " H , | , / 0 { n a t ) [ ! " ] 2 . — P a s s i a m o a l l a s o l u z i o n e d e l l a [ 1 7 ] . D a i dati r e l a t i v i a l l a c u r v a n o r m a l e , p e r i q u a l i r i m a n d o al la- v o r o c i t a t o ( ' ) - si o t t i e n e , n e l c a s o d e l l a s c h e m a t i z z a z i o n e p r e s c e l t a . /K = 16.0 x 10 o r ' , «, = 1.3025x 10'ni" . Ir,= 1-1.8 x 10" m1 a , = 71* , 175 « , = •2920 x 10' ni r, = -256 x ] 0 " in" 88 «,. = 1212 . 6 « , = •1265 x 1 0 ' n r h, = 128,8 x 10" ni2 re, = 772 - 645 . Ì L = . 0 7 4 6 6 <1., —i- = 2 . 3 0 8 3 = . 0 3 3 7 8 P I E T R O CALOI L e q u a z i o n e (lei p e r i o d i d i v i e n e p e r l a n l o I ) ( n ) J,( 164,29») ì^116l,29/i i 0 — J, • 71.175» i 1',(71.175»i n 70(164,29H) !'„( 164,29«.) il J,j 71.175//) V„i 71.175» i II 7,157,688») 1,(57,688/n 7„l 772,645/n 0 II II () 7,(57,688») V*0(57,688»,l 7,(772.645/n I) 0 II I) 0 II 7,(41,977/11 1^(41,977/1) 7,(1242,6») 0 II n 7„t41,977»i }"0(41,977//i 7„(1242.6»> [18] f.a r i s o l u z i o n e della [ 1 8 ] è s i a l a p r o p o s t a a l l ' I s t i l u t o p e r le A p p l i - c a z i o n i del C a l c o l o , t a n t o b e n e m e r i t o p e r l ' a u s i l i o v a l i d i s s i m o c h e t o r n i s c e a l l a r i c e r c a s c i e n t i f i c a . F u r o n o d e s u n t i p e r le p r i m e sei r a d i c i p o s i t i v e di I ) ( n ) i se- guenti v a l o r i = 0 . 0 0 2 3 1 , ri i = 0 . 0 0 6 8 2 71, = 0 . 0 0 3 5 2 ?i, = 0 . 0 0 7 7 8 7i, = 0 . 0 0 5 0 5 7i ,, = 0 . 0 0 9 6 3 . cui c o r r i s p o n d o n o , a m e n o d i 5\ i p e r i o d i T , = 15'",35 TV, = 2 0 " ' . 7 5 T , = 13"'.5 T-, = 29"', 75 J , = 1 5 " , 3 5 T , = I0"\85 p e r le p r i m e sei sesse del \ c i b a n o . 3 . — Nel l a v o r o p r e c e d e n t e sulle sesse del l a g o M a g g i o r e si s o n o o t t e n u t i i s e g u e n t i v a l o r i p e r le sesse u n i - b i - e L r i n o d a l i : ri\ V , col m e t o d o D e f a n i 48"\7 3 7 " ' . 4 2 3 m , 4 » » H i d a k a 4 7 m , 4 3 3 " ' , 7 2 ] " ' , 0 . L a c c o r d o tra i v a l o r i o t t e n u t i c o n i ti c m e t o d i , s o d d i s f a c e n t e p e r la scssa u n i n o d a l e , cessa di e s s e r l o p e r la b i n o d a l e . m e n t r e è b u o n i s s i m o p e r la I r i n o d a l e . Q u e s t e d i v e r s i t à , p a r t i c o l a r m e n t e sen- sibili p e r la b i n o d a l e , v a n n o a t t r i b u i t e a l l e n o t e v o l i v a r i a z i o n i c l i c il b a c i n o del Iago p r e s e n t a in l a r g h e z z a e n e l l ' a n d a m e n t o d e l l a l i n e a dì v a l l e ; v a r i a z i o n i c h e lo d i s c o s t a n o s e n s i b i l m e n t e d a l l e i p o l e s i su ni p o g g i a n o le v a r i e t e o r i e . C o m u n q u e , e i n t e r e s s a n t e o s s e r v a r e e l l e , p r e s c i n d e n d o d a l l a b i n o d a l e . i p e r i o d i d e l l e scsse u n i n o d a l e ci t r i n o - d a l e c a l c o l a t i con Ire m e t o d i d i f f e r i s c o n o m o l t o p o c o e la d i f f e r e n z a è p a r t i c o l a r m e n t e p i c c o l a p e r la I r i n o d a l e . p e r la q u a l e i v a l o r i o t - tenuti c o n i m e l o d i di H i d a k a e di C h r y s t a l p r a t i c a m e n t e c o i n c i d o n o . S U I P E R I O D I DI O S C I L L A Z I O N E L 1 I Ì E R A D E L V E R S A N O 383 E " n o l o c l i c , q u a l u n q u e «ia il m e t o d o usato, i v a l o r i c a l c o l a t i p e r i pei iodi d e l l e sesse di m a g g i o r e n o d a l i t à d i n e r i s c o n o s e m p r e m e n o col c r e s c e r e d e l l a n o d a l i t à . P e r t a n t o i v a l o r i dei p e r i o d i d e l l e sess3 a q u a t t r o , c i n q u e e sei n o d i c a l c o l a t i in q u e s t o l a v o r o , possono r i t e n e r c i m o l t o p r o s s i m i a q u e l l i r e a l i . A n c o r a non è stalo p o s s i b i l e o t t e n e r e b u o n e r e g i s t r a z i o n i d e l l e se«-e del \ o r b a n o . C o m u n q u e dai v a l o r i finora o s s e r v a l i , s e m b r a c l i c i p e r i o d i f o r n i t i dal m e t o d o di H i d a k a s i a n o i p i ù a t t e n d i b i l i . Roma — Istituto Nazionale (li Geolìsica — aprile 1918. RIASSUNTO Partendo dalle busi della teoria di Clirystal, si sviluppa un me- todo analitico per la determinazione dei periodi di oscillazione libera delle acque del Lago Maggiore. Risolta Vequazione dei periodi — costituita da un determinante di sesto ordine — . .si sono calcolati i ndori dei periodi corrispondenti alle oscillazioni libere di uno. due, tre. ... sei nodi. B I B L I O G R A F I A I ) C A L O I I ' . . D E P A N F I L I » M . . G I O I I C I M . . P E H O N A C I F . , Le sesse del l.m>o Mag- giore. « A n n a l i di G c o f i s i e a » . I , 2 ( 1 9 4 8 ) . ( - ) C A L O I /'.. Le sesse del Lago di Garda. P a r t e I I « A n n . di G e o f . » I , 2 ( 1 9 4 8 1 .