Microsoft Word - 1 Sampul Depan.doc 48  PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINIER ORDE-TINGGI UNTUK AKAR BERGANDA Mohammad Jamhuri Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang j4m3sh@gmail.com Abstrak Dalam paper ini dikembangkan sebuah metode Orde-Empat untuk mencari akar berganda dari persamaan nonlinier. Metode tersebut di dasarkan pada metode Orde-Lima dari Jarrat (untuk akar-akar sederhana) yang hanya memerlukan satu perhitungan fungsi dan tiga kali perhitungan turunan. Efisiensi informasi dari metode tersebut sama dengan metode-metode dengan orde yang lebih rendah. Untuk kasus-kasus akar berganda, telah ditemukan metode-metode yang hanya memerlukan satu kali perhitungan turunan. Sehingga metode-metode tersebut lebih efisien jika dibandingkan dengan metode-metode lainnya. Kata kunci: akar berganda, Orde-tinggi, Persamaan Nonlinier. 1. Pendahuluan Ada berbagai macam literature untuk masalah penyelesaian persamaan nonlinier dan sistem persamaan nonlinier. Lihat pada contoh Ostrowski (1960), Traub (1964), Neta (1983) dan pada referensi-referensi yang lainnya. Dalam penelitian ini akan dikembangkan sebuah metode titik-tetap Orde-tinggi untuk penyelesaian akar berganda. sebenarnya terdapat banyak metode yang dapat digunakan untuk mencari akar dari persamaan nonlinier 0, lihat Neta (1983). Metode Newton hanya salah satu metode orde-satu kecuali yang dimodifikasi sehingga menjadi orde-dua tingkat konvergensinya, lihat Rall (1996) atau Schroder (1996). Untuk memodifikasi diperlukan pengetahuan tentang multiplicity. Traub (1964) telah menyarankan penggunaan sebuah metode untuk atau , beberapa metode tersebut memerlukan turunan yang libih tinggi dari pada yang digunakan untuk masalah akar sederhana yang hanya memiliki satu akar. Sehingga yang pertama dari metode-metode tersebut adalah mengetahui multiplicity . Dalam beberapa hal, terdapat metode orde-tinggi yang dikembangkan oleh Hamsen dan Patrick (1977), Victory dan Neta (1987), dan Dong (1987). Karena secara umum tidak dapat diketahui multiplicity-nya, Traub (1964) menyarankan sebuah jalan untuk mengaproksimasinya pada saat iterasi. Sebagai contoh, metode Newton yang dimodifikasi dengan tingkat konvergensi kuadratik adalah 1 Dan metode Halley (1964) dengan tingkat konvergensi kubik adalah 1 2 2 2 Dimana adalah kependekan dari . Metode orde-tiga lainnya telah dikembangkan oleh Victory dan Neta (1987) yang didasarkan metode orde-empat-nya King (1973) untuk akar-akar sederhana.  Penyelesaian Persamaan Nonlinear Orde‐Tinggi untuk Akar Berganda  Volume 1 No. 1 November 2009 49     3 Dimana 2 1 1 1   4 Dan 1 5 Sebelumnya, dua metode orde-tiga telah dikembangkan oleh Dong (1987), keduanya memerlukan informasi yang sama dan keduanya juga didasarkan pada keluarga metode- metode orde-empat (untuk akar-akar sederhana) oleh Jarrat (1966): 1 1 1 6 1 1 1 1 1 7 Dimana . Langkah awal dari metode yang akan dibentuk disini adalah metode Jarrat (1996) yang diberikan 8 Dimana seperti diatas dan 9 Jarrat (1996) telah menunjukkan bahwa metode ini (untuk akar sederhana) adalah dari orde-lima jika parameter-parameter yang dipilih adalah sebagai berikut: 1, 1 8 , 3 8 , 1 6 , 2 3 10 Metode tersebut memerlukan satu fungsi-dan tiga turunan-untuk setiap langkah perhitungan. Sehingga efisiensi informasi adalah 1.25 (Traub, 1964). Karena Jarrat (1996) tidak memberikan konstanta error asymptotic-nya, maka digunakan Redfern (1994) untuk memperolehnya, 1 24 1 2 1 4 1 8 Dimana diberikan oleh 14 dengan 1. 2. Skema Baru untuk Orde-Tinggi Untuk memaksimalkan orde-konvergensi untuk sebuah akar dengan perkalian harus ditentukan enam parameter , , , , , _3. Misalkan , ̂ , adalah error pada untuk iterasi ke- , yaitu: ̂ Mohammad Jamhuri  50 Volume 1 No. 1 November 2009 Jika dan di expansi menggunakan deret Taylor (setelah dipotong sampai orde ke- , ) diperoleh ! 12 atau ! 1 13 dimana ! ! , 14 1 ! 1 15 Untuk mengekspansi dan digunakan manipulasi symbolic, seperti Redfern (1994), diperoleh 1 ! ̂ 1 1 ̂ 2 ̂ 16 ̂ 1 1 1 2 1 2 1 1 2 17 Dimana untuk memudahkan dipilih 2 18 sehingga 1 ! 19 dimana 2 3 1 2 4 2 3 3 2 2 2 25 21 4 21 34 2 12 13 48 6 2 20 Error-nya diberikan oleh  Penyelesaian Persamaan Nonlinear Orde‐Tinggi untuk Akar Berganda  Volume 1 No. 1 November 2009 51 2 ̂ 1 2      8 5 6 ̂ 4 4 1 3 7 ̂ 4 21 Dimana ̂ 2 1 ̂ 22 Berikutnya ekspansi dalam bentuk 1 ! 1 1 2 ! 23 dimana 1 3 1 ̂ 2 1 6 3 2 ̂ 32 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 24 Dimana 16 2 1 7 2 1 8 6 1 3 15 1 1 2 7 4 8 1 1 6 3 16 4 1 16 1 32 2 4 2 4 2 1 2 5 2 8 16 2 48 2 5 51 98 5 27 26 8 24 2 48 2 5 35 42 128 2 1 32 2 Berikutnya substitusikan 13 , 15 , 19 dan 23 kedalam 8 dan expansi kuasi menggunakan deret Taylor, sehingga diperoleh 26 Mohammad Jamhuri  52 Volume 1 No. 1 November 2009 Dimana koefisien tergantung pada parameter-parameter , , , , . Kelima parameter tersebut dapat digunakan untuk menghilangkan koefisien , , dan . Sehingga orde dari metode tersebut adalah 4. Sebenarnya, kecuali untuk 2, digunakan dan sehingga hanya 4 parameter yang di gunakan. Ini merupakan syarat perlu untuk memperoleh metode orde-empat. TABEL 1. Hasil dari contoh 2 0 0.8 0.1296 0.6 0.4096 1 1.00074058 0.21954564 5 1.02772227 0.31600247 2 2 1.00000014 0.750396 13 Karena sangat kompleknya persamaan di atas, parameter-parameter yang digunakan untuk 2,3,4,5 dan diberikan dalam tabel 2 berikut ini. Metode-metode tersebut semuanya memiliki orde-empat. TABEL 2. Parameter-parameter hasil contoh 2 2 2 3 4 5 6 1 4 3 3 2 2 5 2 3 2 5 2 3 1 3 3 5 4 0.064783 0.021737 0.008212 1 2 1 2 2 25 108 43 72 0.437458 0.430345 0.368149 2 3 1 4 25 72 7.904129 18.815436 39.687683 0 2 125 72 5.912818 15.894083 35.699379 1 2 2 9 13 18 5 1296 37 108 0.236261 0.164791 0.120179 3 8 7 8 2 25 81 5 972 0.154675 0.101387 0.073031 1 8 1 8 2 25 0.083527 0.069672 0.057025 Batas kesalahan diberikan oleh 27 Dimana , , dan adalah yang diberikan dalam table diatas untuk setiap . Untuk 3, dapat dipilih dengan parameter dengan bebas untuk menyamakn . Ringkasnya, dalam penelitian ini telah dihasilkan metode orde-empat yang menggunakan satu fungsi dan tiga turunan dalam setiap iterasi. Efisiensi informasi pada metode-metode tersebut adalah 1, seperti metode-metode yang telah disebutkan diatas untuk akar-akar yang banyak. Indeks efisiensinya adalah 1.4142 yang lebih rendah daripada metode-metode orde-tiga. Dalam hal 2 diperoleh sebuah metode yang hanya memerlukan dua perhitungan turunan 0 sehingga efisiensi informasinya adalah 4/3 dan indeks efisiensinya adalah 1.5874.  Penyelesaian Persamaan Nonlinear Orde‐Tinggi untuk Akar Berganda  Volume 1 No. 1 November 2009 53 3. Simulasi Numerik Dalam contoh pertama ini digunakan sebuah polynomial kuadratik yang mempunyai dua akar pada 1. 2 1 28 Dalam contoh ini, dimulai dengan 0, dan kekonvergenannya diperoleh dalam 1 iterasi. Dalam contoh kedua, diambil polynomial yang mempunyai dua akar pada 1. 2 1 29 Dimulai pada 0.8, metode ini konvergen dalam 1 iterasi. Jika dimulai dengan 0.6, metode ini memerlukan 2 kali iterasi. Hasil perhitungannya diberikan dalam table 1. Hasil yang sama juga diperoleh jika dimulai dengan 0.8 dan 0.6 untuk konvergen pada 1. Contoh berikutnya adalah polinomial dengan 3 akar pada 1. 8 24 34 23 6 30 Iterasinya dimulai dengan 0 dan hasilnya diringkas dalam tabel 3. Contoh lainnya dengan 2 akar pada 0 adalah 31 Dimulai pada 0.1 metode ini konvergen dalam 1 iterasi, tetapi jika nilai awalnya dimulai pada 0.2, metode ini konvergen dalam 1 iterasi. Hasil perhitungannya diberikan dalam tabel 4. Contoh terakhir adalah polinomial yang mempunyai akar ganda pada 1 3 8 6 24 19 32 TABEL 3. Hasil dari contoh 3 0 0 6 1 0.95239072 0.23148417 3 2 0.99999683 0.63 16 TABEL 4. Hasil dari contoh 4 0 0.1 0.11051709 1 0.2 0.48856110 1 1 0.12654311 4 0.16013361 9 0.17709827 3 0.31369352 7 2 0.3739 20 0 0.14341725 15 0 TABEL 5. Hasil dari contoh 5 0 0 19 1 1.46056319 9.725126111 2 1.00101187 0.368806435 4 3 1 0 Mohammad Jamhuri  54 Volume 1 No. 1 November 2009 Daftar Pustaka Dong, C., (1987), A family of multipoint iterative function for finding multiple zeros of nonlinear equations, Int. J. Comput. Math., 21, pp 363-367 Halley, E., (1964), A New, Exact and Easy Method of Finding The Roots of Equations Generally and that without Any Previous Reduction., Phil. Trans. R. Soc. London, 18, pp 136-148. Hansen, E., Patrick, M., (1977), A family of root finding methods, Numer. Math., 27, pp 257-269. Jarrat, P., (1966), Some Fourth Order Multipoint Methods for Solving Equations, Math. Comp., 20, pp 434-437. Jarrat, P., (1996), Multipoints Iterative Methods for Solving Certain Equations, Comput. J., 8, pp 398-400. King, R.F., (1973), A Family of Fourth Order Methods for Nonlinear Equations, SIAM J. Numer. Anal., 10, pp 876-879. Neta, B., (1983), Numerical Methods for The Solution of Equations, Net-A-Sof, California. Ostrowski, A.M., (1960), Solution of Equations and System of Equations, Academic Press, New York. Rall, L.B., (1996), Convergence of The Newton Process to Multiple Solutions, Numer. Math., 9, pp 23-37. Redfern, D., (1994), The Maple Handbook, Springer-Verlag, New York. Schroder, E., (1996), Uber unendlich viele algorithm zur auflosung der gleichungen, Math. Ann., 2, pp 23-37. Traub, J.F., (1964), Iterative Methods for the Soslution of Equations, Prentice Hall, New Jersey. Victory, H.D., Neta, B., (1987), A higher order method for multiple roots of equations, Int. J. Comput. Math., 21, pp 363-367.