1 Abdul Aziz - Analisis Critical Value


ANALISIS CRITICAL ROOT VALUE PADA  DATA NONSTATIONER 
 

Abdul Aziz 
 

Dosen Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi  

Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang 

e-mail : abdulaziz_uinmlg@yahoo.com 

 

ABSTRACT 

A stationery process can be done t-test, on the contrary at non stationery process t-test cannot be done 

again because critical value of this process isn’t t-distribution. At this research, we will do simulation of 

time series AR(1) data in four non stationery models and doing unit root test to know critical value at t-

test of non stationery process. From the research is yielded that distribution of critical point for t-test of  

non stationery process comes near to normal with restating simulation of random walk process which 

ever greater. Result of acquirement of this critical point has come near to result of Dickey-Fuller Test. 

From this research has been obtained critical point for third case which has not available at tables result 

of Dickey-Fuller Test. 

 

Key Words: non stationery, unit root test, critical value, distribution, simulation 

 

ABSTRAK 

Pada sebuah data stationer dapat dilakukan t-test, sebaliknya pada data nonstationer t-test tidak dapat 

dilakukan lagi karena critical root value (titik akar kritis) untuk proses ini tidak berdistribusi t. Pada 

penelitian ini, kami akan melakukan simulasi data time series AR(1) dalam empat model nonstationer dan 

dilakukan unit root test untuk mengetahui critical value pada t-test proses nonstationer. Dari penelitian 

dihasilkan bahwa distribusi titik kritis untuk t-test proses nonstationer mendekati normal dengan 

perulangan simulasi proses random walk yang semakin besar. Hasil perolehan titik kritis ini sudah 

mendekati dari hasil Dickey-Fuller Test. Dari penelitian ini telah diperoleh titik akar kritis untuk kasus 

ketiga yang belum ada di tabel hasil Dickey-Fuller Test. 

 

Kata Kunci: nonstationer, unit root test, critical root value, distribusi, simulasi 

 
 

PENDAHULUAN 

Multivariate time series banyak dipakai 

dalam permodelan ekonomi. Dengan beberapa 

time series yang saling berpengaruh sehingga 

membentuk suatu model time series baru yang 

dinamakan sebagai vector autoregression (VAR). 

Pada proses stationer dapat dilakukan t-test, 

sebaliknya pada proses nonstationer t-test tidak 

dapat dilakukan lagi karena critical value untuk 

proses ini tidak berdistribusi t.  

Pada penelitian ini, kami akan melakukan 

simulasi data time series AR(1) nonstationer dan 

dilakukan unit root test untuk mengetahui critcal 

value pada t-test proses nonstationer. 

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka 

pada penelitian ini kami merumuskan 

permasalahan yaitu bagaimana critical value dan 

distribusinya untuk t-test pada proses 

nonstationer secara simulasi dengan kasus: 

a. True process: 1t t ty y e−= +  dengan estimated 
regression: 

1t t ty y eβ −= +  
b. True process: 1t t ty y e−= +  dengan estimated 

regression: 0 1 1t t ty y eβ β −= + +  

c. True process: 0 1t t ty y eβ −= + +  dengan 
estimated regression: 

0 1 1t t ty y eβ β −= + +  
d. True process: 0 1t t ty y eβ −= + +  dengan 

estimated regression: 

0 1 1 2t t ty y t eβ β β−= + + +  
masing-masing model dengan siginifikansi 

kepercayaan 5% dan 10%. 

Metode yang akan digunakan pada 

penelitian ini adalah metoda simulasi. Unit root 

test dilakukan dengan perulangan data simulasi 

menggunakan software MATLAB versi 6.5., 

hingga diperoleh suatu nilai yang konvergen. 

 

 

KAJIAN PUSTAKA 

Misalkan suatu proses time series AR(1), 

 1t t ty y eβ −= +  (1) 
dengan et  white noise. Jika |β| < 1 maka MA(∞) 

representasinya adalah 

 

1

i
t t i

i

y eβ
∞

−
=

= ∑
 

(2) 



Abdul Aziz 

  

2  Volume 2 No. 1 November 2011 

dengan 

 [ ] 0tE y =  (3) 
dan 

 ( )
2

21
tVar y

σ
β

=
−

 (4) 

yang bebas dari variabel t, sehingga dikatakan 

sebagai stationary process. Sebaliknya, jika β = 1 

maka MA(∞) representasinya adalah 

 

1 0
t t i i

i i

y e e
∞ ∞

−
= =

= =∑ ∑  (5) 

dengan 

 [ ] 0tE y =  (6) 
dan 

 ( ) 2tVar y tσ=  (7) 
yang merupakan fungsi dari variabel t, sehingga 

dikatakan sebagai nonstationary process. 

Jika {yt} stationary process maka hipotesis 

 
0 1: 0, : 0H Hβ β= ≠  (8) 

adalah t-test valid. Sebaliknya, hipotesis 

 
0 1: 1, : 1H Hβ β= <  (9) 

adalah t-test yang tidak valid, karena {yt} adalah 

proses nonstasioner di bawah H0. Untuk 

melakukan uji t dengan hipotesis kedua di atas 

perlu dibuat critical value tersendiri agar menjadi 

valid. 

Critical value t-test untuk proses 

nonstasioner dapat diperoleh dengan dua cara: 

1. menggunakan estimasi koefisien 
autoregressive 

 �( )1t T β= −  (10) 
2. menggunakan estimasi OLS terhadap residual 

variance 

 
�

�( )
1

testt
Var

β

β

−
=  (11) 

 

dengan 

 � ( ) 1' 'X X X yβ −=  (12) 
dan 

�( ) � ( ) ( )1 12 '' '
1

e e
Cov X X X X

T
β σ − −= =

−

ɵ ɵ
 (13) 

yang distribusinya dapat diketahui secara 

simulasi dengan siginifikansi kepercayaan 

tertentu dengan aturan tolak hipotesis null jika 

nilai statistik (t-test) kurang dari nilai kritis 

(critical value). 

 

 

METODE PENELITIAN 

Dalam melakukan penelitian ini, kami 

menyusun beberapa langkah prosedur yang 

dilakukan dari awal hinga akhir penelitian 

dengan bantuan bahasa pemrograman komputer, 

yaitu: 

1. Membangkitkan dua true process dengan 
model random walk tanpa drift (konstanta), 

 1t t t
y y e−= +  (14) 

 dan dengan drift (konstanta), 

 1
1t t ty y e−= + +  (15) 

masing-masing berukuran 50 x 1. 

2. Melakukan perhitungan t-test untuk kasus 
pertama: 

Kasus 1, time series yang dibangkitkan dengan 

model true process tanpa drift, 1t t ty y e−= + , 
yang akan diestimasi dengan model regresi 

tanpa konstanta ataupun time trend, 

1t t ty y eβ −= +  
Dengan hipotesis: 

 
0 1: 1, : 1H Hβ β= <  (14) 

dan  

 

( )
1

testt
Var

β
β

−
=  (15) 

dimana: 

  (16) 

  (17) 

  (18) 

  (19) 

  (20) 

  (21) 

3. Melakukan perhitungan t-test untuk kasus 
kedua: 

Kasus 2, time series yang dibangkitkan dengan 

model true process tanpa drift, 1t t ty y e−= + , 
yang akan diestimasi dengan model regresi 

dengan konstanta tanpa time trend,  

0 1 1t t ty y eβ β −= + +  
Dengan hipotesis: 

 
0 1 1 1: 1, : 1H Hβ β= <  (22) 

dan  

  (23) 

dimana : 

 ( ) [ ]1 0 1' ' 'X X X yβ β β
−

= =  (24) 

  (25) 

  (26) 

  (27) 

( ) 1' 'X X X yβ −=

1tX y −=

ty y=

( ) ( ) 12 'Var X Xβ σ −=
2 '

1

e e

T
σ =

−
e y X β= −

( )
1

1

1
testt

Var

β
β

−
=

[ ]11 tX y −=

ty y=

( ) ( ) 12 'Covar X Xβ σ −=



Analisis Critical Root Value Pada Data Nonstationer 

 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  3 

  (28) 

  (29) 

4. Melakukan perhitungan t-test untuk kasus 
ketiga: 

Kasus 3, time series yang dibangkitkan dengan 

model true process dengan drift, 

11t t ty y e−= + + , yang akan diestimasi dengan 
model regresi dengan konstanta tanpa time 

trend, 0 1 1t t ty y eβ β −= + +  
Dengan hipotesis: 

 
0 1 1 1: 1, : 1H Hβ β= <  (30) 

dan  

  (31) 

dimana : 

 ( ) [ ]1 0 1' ' 'X X X yβ β β
−

= =  (32) 

  (33) 

  (34) 

  (35) 

  (36) 

  (37) 

5. Melakukan perhitungan t-test untuk kasus 
keempat: 

Kasus 4, time series yang dibangkitkan dengan 

model true process dengan drift, 

11t t ty y e−= + + , yang akan diestimasi dengan 
model regresi dengan konstanta dan time 

trend, 0 1 1 2t t ty y t eβ β β−= + + +  
Dengan hipotesis: 

 0 1 1 1: 1, : 1H Hβ β= <  (38) 
 

 

dan  

  (39) 

dimana : 

 ( ) [ ]1 0 1 2' ' 'X X X yβ β β β
−

= =  (40) 

  (41) 

  (42) 

  (43) 

  (44) 

  (45) 

6. Mengulangi langkah (1) sampai dengan (5) 
hingga 50.000 kali. 

7. Menentukan titik kritis pada signifikansi 0.05 
(dengan mengambil data persentil ke 5) dan 

0.10 (dengan mengambil data persentil ke 10) 

dari data t-test (berukuran 5.000) untuk 

masing-masing kasus. 

8. Melakukan time plot terhadap dua true 
process yang dibangkitkan terakhir kali. 

9. Melakukan histogram untuk distribusi t-test 
pada keempat kasus. 

10. Menganalisis hasil ouput program. 
11. Mengambil kesimpulan. 
 

 

HASIL DAN PEMBAHASAN 

Berikut ini merupakan hasil output 

simulasi komputer untuk mengetahui distribusi 

dan nilai kritis t-test pada proses non stationer 

dengan menggunakan  estimasi OLS terhadap 

residual variance dengan menggunakan data 

simulasi berukuran 50 yang dilakukan perulang-

an hingga 50.000 perulangan dengan dua model 

true process, persamaan (14) dan (15). 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gambar 1: Time Plot Data Terakhir 

2 '

2

e e

T
σ =

−
e y X β= −

( )
1

1

1
testt

Var

β
β

−
=

[ ]11 tX y −=
ty y=

( ) ( ) 12 'Covar X Xβ σ −=
2 '

2

e e

T
σ =

−
e y X β= −

( )
1

1

1
testt

Var

β
β

−
=

[ ]11 tX y t−=
ty y=

( ) ( ) 12 'Covar X Xβ σ −=
2 '

3

e e

T
σ =

−
e y X β= −



Abdul Aziz 

  

4  Volume 2 No. 1 November 2011 

Perolehan data t-test untuk masing-masing kasus 

berukuran 50.000 adalah sebagai berikut: 

Tabel 1. Statistitik Deskriptif Critical Value 
 Mean Median Minimum Maximum 

Kasus 1 -0.4146 -0.4934 -4.4895 3.8730 

Kasus 2 -1.5403 -1.5587 -6.2006 2.1809 

Kasus 3 -0.2422 -0.2413 -5.1322 4.7800 

Kasus 4 -2.2031 -2.1837 -5.9714 1.4687 

 

Dari 50.000 data tersebut diambil data percentil 

ke-5 dan ke-10, sehingga diperoleh critical value 

masing-masing sebagai berikut: 

Tabel 2. Tabel Critical Value 

 α = 0.05 α = 0.10 

Kasus 1 -1.96 -1.62 

Kasus 2 -2.95 -2.62 

Kasus 3 -1.92 -1.55 

Kasus 4 -3.52 -3.20 

Hasil ini dapat berbeda untuk setiap kali 

dilakukan penelitian simulasi. Namun dengan 

besarnya ukuran data simulasi (50.000) maka 

dapat dijamin untuk diterima sesuai dengan 

hukum bilangan besar. 

 

Sedangkan dari tabel Dickey-Fuller Test pada tabel 

B.6 Hamilton J.D.(1994) diperoleh  

Tabel 3. Tabel Dickey-Fuller Test 

 α = 0.05 α = 0.10 

Kasus 1 -1.95 -1.62 

Kasus 2 -2.86 -2.57 

Kasus 3 - - 

Kasus 4 -3.41 -3.12 

 

Distribusi titik kritis untuk masing-masing kasus 

tampak seperti empat gambar berikut: 

 

 
Gambar 2: Distribusi Critical Value Kasus 1 

 

 
Gambar 3: Distribusi Critical Value Kasus 2 



Analisis Critical Root Value Pada Data Nonstationer 

 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  5 

 
Gambar 4: Distribusi Critical Value Kasus 3 

 

 
Gambar 5: Distribusi Critical Value Kasus 4 

 

 

PENUTUP 

Distribusi titik kritis untuk t-test proses 

nonstationer mendekati normal dengan 

perulangan simulasi proses random walk yang 

semakin besar. Hasil perolehan titik kritis ini 

sudah mendekati dari hasil Dickey-Fuller Test. 

Dari penelitian ini telah diperoleh titik kritis 

untuk kasus ketiga yang belum ada di tabel hasil 

Dickey-Fuller Test. 

Untuk pengembangan penelitian selanjut-

nya dapat dilakukan untuk metode selain 

simulasi atau distribusi critical value pada proses 

dengan model yang lain. 

 

 

 

 

DAFTAR PUSTAKA 

[1]. Bibby,  John,  Prediction  And  Improved  
Estimation  In  Linear  Models, John Wiley & 

Sons, 1979. 

[2]. Gujarati, D., Basic Econometrics, McGraw-
Hill, Inc., 1978 

[3]. Greene, William.H, Econometrics Analysis, 
Macmillan, Inc., 1995 

[4]. Hamilton, D.J., Time Series Analysis, 
Princeton University Press, New Jersey, 1994. 

[5]. Hogg & Craig, Introduction to Mathematical 
Statistics, Macmillan, Inc., 1978. 

[6]. Judge,  G.G.,  et.al.,  The  Theory  and  Practice  
of  Econometrics,  John Wiley & Sons, Inc., 

1985. 



Abdul Aziz 

  

6  Volume 2 No. 1 November 2011 

[7]. Judge, G.G., et.al., Introduction to Theory 
and Practice of Econometrics, John Wiley & 

Sons, Inc., 1988. 

[8]. Netter,  J.,  et.al.,  Applied  Linear  Statistical  
Models,  Richard  D.Irwin, Inc., 1990. 

[9]. Wonnacot, J.R. & Thomas Wonnacott, 
Econometrics, John Wiley and Sons, Inc., 1979. 

[10]. Walpole & Myers, Probability and Statistics 
for Engineers and Scientists, Macmillan Inc., 

1989.