Winarni - PENJADWALAN JALUR BUS DALAM KOTA _15_ PENJADWALAN JALUR BUS DALAM KOTA DENGAN MODEL PETRINET DAN ALJABAR MAX-PLUS (STUDI KASUS BUSWAY TRANSJAKARTA) Winarni Jurusan Matematika FKIP Universitas Adhi Buana Surabaya email: winarni_its@yahoo.com ABSTRAK Jaringan jalur bus dalam kota merupakan salah satu fasilitas transportasi umum yang memegang peranan penting dalam kehidupan masyarakat kota yang mempunyai karakteristik mobilitasnya cukup tinggi. Jaringan bus TransJakarta (Busway) di Jakarta merupakan salah satu contohnya. Jaringan bus tersebut dibangun antara lain sebagai solusi permasalahan di sektor angkutan umum dan memberikan pilihan solusi untuk mengatasi kemacetan lalu lintas di Jakarta. Salah satu masalah penting dalam sistem transportasi tersebut yang menjadi keluhan masyarakat adalah mengenai ketidakpastian waktu tunggu kedatangan bus di tiap-tiap halte, hal ini dimungkinkan antara lain karena belum adanya penjadwalan yang baik pada sistem tersebut. Dalam penelitian ini akan dilakukan penjadwalan keberangkatan bus menggunakan pendekatan aljabar max-plus dengan terlebih dahulu mengkontruksi model sistem dengan Petrinet. Studi kasus dalam penelitian ini adalah jaringan bus TransJakarta. Dari penelitian ini diharapkan memperoleh desain jadwal keberangkatan bus di tiap halte pada masing-masing koridor. Kata kunci: jalur bus dalam kota, penjadwalan, aljabar max-plus, Petrinet, busway. PENDAHULUAN Karakteristik daerah perkotaan yaitu antara lain padat penduduknya dan masyarakat- nya mempunyai mobilitas yang cukup tinggi tersebut menjadikan masyarakat kota sangat bergantung pada kebutuhan transportasi. Tentunya hal ini berdampak besar pada arus lalu lintas di jalan raya, sehingga kepadatan bahkan kemacetan arus lalu lintas pun hampir tidak bisa dihindarkan masyarakat setiap hari. Terlebih lagi dengan semakin meningkatnya taraf perekono- mian masyarakat dan semakin mudahnya kredit kendaraan bermotor yang tidak diiringi dengan adanya upaya peningkatan dan perbaikan mutu fasilitas dan regulasi sistem transportasi umum secara optimal mengakibatkan pengguna kendaraan pribadi semakin meningkat. Peman- dangan kemacetan arus lalu lintas dan dampak- nya antara lain polusi udara, stress, pemborosan bahan bakar minyak (BBM) dan lain-lain adalah hal menyedihkan yang harus dihadapi dan dialami masyarakat hampir setiap hari. Peningkatan dan perbaikan mutu fasilitas dan regulasi dalam pelayanan transportasi umum secara optimal yang mampu memberikan kepuasan kepada masyarakat, setidaknya dapat memberikan alternatif pada masyarakat untuk lebih memilih menggunakan jasa transportasi umum daripada menggunakan kendaraan pribadi sendiri-sendiri. Jika masyarakat sudah lebih tertarik menggunakan jasa transportasi umum, hal ini berarti penggunaan kendaraan pribadi berkurang sehingga mengurangi kemacetan arus lalu lintas di jalan raya dan secara tidak langsung ikut memberikan kontribusi pada penghematan BBM. Saat ini di Jakarta khususnya sedang terus dikembangkan jaringan transportasi Trans- Jakarta dalam upaya untuk mengatasi kemacetan, salah satunya adalah busway. Jika dilihat dari perencanaannya dan terlepas dari kesadaran masyarakat mengenai jalur khusus busway yang relatif masih kurang, sistem tersebut mempunyai peluang besar untuk berhasil, terlebih lagi ketika harga BBM semakin mahal. Mengutip suatu artikel mengenai busway, dikatakan bahwa peranan busway semakin penting ketika harga BBM naik (http://bataviabusway.blogspot.com). Namun, sejauh ini masih banyak keluhan dari pengguna antara lain mengenai ketidak- pastian kedatangan bus di tiap-tiap halte, terkadang cepat terkadang cukup lama bahkan ketika bus sudah datang di halte namun bus sudah penuh penumpang. Dengan sistem yang ada saat ini, para pengguna jasa bus TransJakarta seringkali harus menunggu bus dengan ketidakpastian. Meskipun kondisi halte dalam keadaan kosong, tidak menjamin penumpang bisa langsung naik bus yang datang berikutnya, terutama pada jam-jam sibuk (http://TransJakartainfo.com). Hal ini dimung- kinkan karena belum adanya penjadwalan pada sistem tersebut yang dapat mengoptimalkan alokasi jumlah armada sehingga kebutuhan Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 193 pengguna jasa bus TransJakarta dapat terpenuhi selain kendala operasional lainnya. Kajian yang mengarah pada tujuan memperbaikan sistem transportasi umum perlu terus dikembangkan. Terkait dengan masalah ini, mulai tahun 90an hingga saat ini kajian teori Aljabar Max-Plus untuk pemodelan, analisis dan kontrol antara lain dalam jaringan transportasi, bidang manufaktur, jaringan komunikasi dan sistem komputer terus berkembang. Berdasarkan uraian di atas, dalam penelitian ini dikaji model Petrinet dan model aljabar max-plus untuk mendesaian penjadwalan suatu jaringan transportasi umum dalam hal ini jalur bus dalam kota dengan studi kasus jaringan busway TransJakarta. SISTEM JARINGAN BUSWAY TRANSJAKARTA Jakarta adalah salah satu kota termacet di Indonesia. Saat ini, di Jakarta sedang terus dikembangkan jaringan transportasi dalam upaya untuk mengatasi kemacetan, antara lain jaringan busway TransJakarta. Adapun denah jaringan busway TransJakarta baik yang sudah beroperasi atau sedang dalam proses dapat dilihat pada Gambar 1. (http://bataviabusway.blogspot.com) Dalam makalah ini, yang akan dikaji adalah jaringan bus TransJakarta (busway) di Jakarta dengan jumlah koridor yang sudah aktif beroperasi sampai dengan bulan November 2008 yaitu sebanyak 7 koridor seperti dalam Gambar 1. Ada sedikit perubahan pada koridor 6, yaitu rute Ragunan–Halimun menjadi Ragunan–Dukuh Atas 2. Sedangkan jumlah armada maksimum yang dialokasikan untuk tiap-tiap koridor berdasarkan data yang diperoleh dari Kantor Badan Layanan Umum TransJakarta dapat dilihat pada Tabel 1. (untuk hari kerja dari jam 05.00- 08.00) Gambar 1. Denah Busway Koridor 1 s/d 15 Tabel 1. Alokasi Bus Tiap Koridor Busway Koridor 1 (Blok M -Kota) Pemberangkatan bus dari Pool ke Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Blok M/M.Agung Kota/H.I 05:00 - 06:00 4,5 20 12 8 06:00 - 07:00 1,8 50 17 13 07:00 - 08:00 1,1 80 18 14 Koridor 2 (Pulo Gadung - Harmoni) Pemberangkatan bus dari Pool ke Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Pulo Gadung/Asmi Harmoni/Pedongkelan 05:00 - 06:00 5 20 12 8 06:00 - 07:00 2 43 13 10 07:00 - 08:00 2 43 0 0 Koridor 3 (Kalideres - Harmoni - Pasar Baru) Pemberangkatan bus dari Pool ke Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Kalideres Harmoni 05:00 - 06:00 6 20 8 12 06:00 - 07:00 2,4 46 16 10 07:00 - 08:00 2,4 46 0 0 Koridor 4 (Pulo Gadung - Dukuh Atas 2) Pemberangkatan bus dari Pool ke Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) PuloGadung Dukuh Atas 2 05:00 - 06:00 5 20 12 8 06:00 - 07:00 3 30 6 4 07:00 - 08:00 3 30 0 0 Koridor 5 (Ancol - Kampung Melayu) Pemberangkatan bus dari Pool ke Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Ancol Kp. Melayu 05:00 - 06:00 5,6 18 6 12 06:00 - 07:00 4,3 22 2 3 07:00 - 08:00 3,7 27 2 2 Koridor 6 (Ragunan - Dukuh Atas 2) Pemberangkatan bus dari Pool ke Periode Headway (menit) Alokasi bus (unit) Ragunan Dukuh Atas 2 05:00 - 06:00 5 20 12 8 06:00 - 07:00 3 31 7 4 07:00 - 08:00 3 31 0 0 Winarni 194 Koridor 7 (Kampung Melayu Periode 05:00 - 06:00 - 07:00 - Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus sebelumnya. Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25 29 Agustus, 21 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah hala man makalah ini, data tersebut tidak ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan MODEL PETRINET Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960 salah satu alat untuk memodelkan diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan transisi dan keadaan ( place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan harus dip berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah output dari transisi. Berikut ini adalah definisi Petrinet: Definisi 1. Petrinet adalah 4 P : himpunan berhingga place, Winarni Koridor 7 (Kampung Melayu Periode Headway (menit) - 06:00 - 07:00 - 08:00 Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus sebelumnya. Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25 gustus, 21–23 O 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah hala man makalah ini, data tersebut tidak ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan MODEL PETRINET Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960 salah satu alat untuk memodelkan diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan transisi dan keadaan ( place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan harus dipenuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah output dari transisi. Berikut ini adalah definisi Petrinet: Definisi 1. (Cassandras, 1993). Petrinet adalah 4-tuple : himpunan berhingga place, Koridor 7 (Kampung Melayu - Headway (menit) 5 3,3 3,3 Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25 Oktober, dan 12 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah hala man makalah ini, data tersebut tidak ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan Gambar 2. Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A. Petri pada awal 1960-an. Ini merupakan salah satu alat untuk memodelkan diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan transisi dan keadaan (state) berkaitan dengan place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan enuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah output dari transisi. Berikut ini adalah definisi Petrinet: (Cassandras, 1993). tuple (P, T, A, w) : himpunan berhingga place, P = { Tabel 1 - Kampung Rambutan) Headway (menit) Alokasi bus (unit) Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25 ktober, dan 12 November 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah hala man makalah ini, data tersebut tidak dapat ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan Gambar 2. Graf Jaringan Busway Petrinet dikembangkan pertama kali oleh an. Ini merupakan salah satu alat untuk memodelkan sistem event diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan ) berkaitan dengan place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan enuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah output dari transisi. Berikut ini dengan {p1, p2, . . . , pn Tabel 1. (lanjutan…) Kampung Rambutan) Alokasi bus (unit) 20 30 30 Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus Adapun data waktu tempuh antar halte di tiap koridor yang diperoleh dari obsevasi di lapangan selama beberapa hari yaitu tanggal 25– ovember 2008. Namun, karena terbatasnya jumlah hala- dapat ditampilkan lengkap dalam makalah ini dan hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap. susun gra berikut: Jaringan Busway Petrinet dikembangkan pertama kali oleh an. Ini merupakan sistem event diskrit. Pada Petrinet, event berkaitan dengan ) berkaitan dengan place. Dalam sistem event diskrit, perubahan keadaan terjadi karena adanya perubahan event. Agar suatu event dapat terjadi, beberapa keadaan enuhi terlebih dahulu. Place dapat berfungsi sebagai input atau output suatu transisi. Place sebagai input menyatakan keadaan yang harus dipenuhi agar transisi dapat terjadi. Setelah transisi terjadi maka keadaan akan berubah. Place yang menyatakan keadaan tersebut adalah output dari transisi. Berikut ini n}, T : himpunan berhingga transisi, A : himpunan arc, w : fungsi bobot, berarah. Node dari gra diambil dari himpunan place diambil dari himpunan transisi Petrinet arc untuk menghubungkan dua node atau ekival yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini d dengan struktur multigraf representasi Petrinet secara grafik akan digunakan notasi masing menyatakan himpunan place input ke transisi matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993) (lanjutan…) Pemberangkatan bus dari Pool ke Kp. Melayu 8 0 0 Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap. Berdasarkan data susun graf dari jaringan busway adalah sebagai berikut: Jaringan Busway : himpunan berhingga transisi, : himpunan arc, : fungsi bobot, Petrinet berarah. Node dari gra diambil dari himpunan place diambil dari himpunan transisi Petrinet diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau ekivalen dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini d dengan struktur multigraf representasi Petrinet secara grafik akan digunakan notasi masing menyatakan himpunan place input ke transisi tj dan output dari transisi matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993) I( O( Volume 1 No. Pemberangkatan bus dari Pool ke Kp. Melayu Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap. Berdasarkan data-data di atas dapat di dari jaringan busway adalah sebagai : himpunan berhingga transisi, : himpunan arc, A ⊆ (P × T : fungsi bobot, w : A → {1, 2 dapat digambarkan sebagai graf berarah. Node dari graf diambil dari himpunan place diambil dari himpunan transisi diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau en dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini d dengan struktur multigraf representasi Petrinet secara grafik akan digunakan notasi I(tj) dan masing menyatakan himpunan place input ke dan output dari transisi matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993) (tj) = {pi : (pi, (tj) = {pi : (tj , Keterangan: Warna arc BM - KT : Koridor 1 PG - HAR : Koridor 2 KD - PB : Koridor 3 PG - DA2 : Koridor 4 ANC - KM : Koridor 5 RG – DA2 : Koridor 6 KM - KR : Koridor 7 Node KT : Kota HAR : Harmoni DA1 : Dukuh Atas 1 DA2 : Dukuh Atas 2 BM : Blok M SN : Senen SNS : Senen Sentral PG : Pulo Gadung KD : Kalideres PB : Pasar Baru MN1 : Mantraman 1 MN2 : Mantraman 2 HL : Halimun ANC : Ancol KM : Kampung Melayu RG : Ragunan KR : Kampung Rambutan : Skywalk Volume 1 No. 4 Pemberangkatan bus dari Pool ke Kp. Rambutan 12 10 0 Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap. data di atas dapat di dari jaringan busway adalah sebagai : himpunan berhingga transisi, T = {t1, t2 T) ∪ (T × P), 2, 3, . . . }. dapat digambarkan sebagai graf berupa place yan diambil dari himpunan place P atau transisi yang diambil dari himpunan transisi T. Pada graf diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau en dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini d dengan struktur multigraf. Dalam membahas representasi Petrinet secara grafik akan ) dan O(tj) yang masing masing menyatakan himpunan place input ke dan output dari transisi tj matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi persamaan berikut (Cassandras, 1993) , tj) ∈ A} , pi) ∈ A} Koridor 1 Koridor 2 Koridor 3 Koridor 4 Koridor 5 Koridor 6 Koridor 7 Kota Harmoni Dukuh Atas 1 Dukuh Atas 2 Blok M Senen Senen Sentral Pulo Gadung Kalideres Pasar Baru Mantraman 1 Mantraman 2 Halimun Ancol Kampung Melayu Ragunan Kampung Rambutan Skywalk Mei 2011 Pemberangkatan bus dari Pool ke Kp. Rambutan Ket: Headway adalah interval waktu di ujung koridor antara keberangkatan bus dengan keberangkatan bus hanya dirangkum dalam tabel 2. Data tersebut data di atas dapat di- dari jaringan busway adalah sebagai , t2, . . . , tm}, □ dapat digambarkan sebagai graf berupa place yan1g atau transisi yang . Pada graf diperbolehkan menggunakan beberapa arc untuk menghubungkan dua node atau en dengan memberikan bobot ke setiap arc yang menyatakan jumlah arc. Struktur ini dikenal . Dalam membahas representasi Petrinet secara grafik akan ) yang masing- masing menyatakan himpunan place input ke tj. Secara matematis definisi tersebut dapat ditulis menjadi Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 195 Dengan istilah lain, I(tj) = {pi : (pi, tj) ∈ A} menunjukkan I(tj) adalah himpunan upstream place untuk transisi tj dan O(tj) = {pi : (tj , pi) ∈ A} menunjukkan O(tj) himpunan downstream place untuk transisi tj. Notasi yang sama dapat digunakan untuk mendeskripsikan input dan output transisi untuk place pi, yaitu I(pi) = {tj : (tj , pi) ∈ A} O(pi) = {tj : (pi, tj) ∈ A} I(pi) = {tj : (tj , pi) ∈ A}menunjukkan I(pi) adalah himpunan upstream transisi untuk place pi dan O(pi) = {tj : (pi, tj) ∈ A} menunjukkan O(pi) himpunan downstream transisi untuk place pi . Grafik Petrinet terdiri dari dua macam node yaitu lingkaran dan garis/persegipanjang kecil. Lingkaran menyatakan place sedangkan garis/persegipanjang kecil menyatakan transisi. Arc disimbolkan dengan panah yang menghubungkan place dan transisi. Pada Petrinet tidak diperkenankan adanya arc antara place dengan place atau antara transisi dengan transisi. Arc yang menghubungkan place pi ke transisi tj berarti pi ∈ I(tj). Jika bobot arc dari place pi ke transisi tj adalah k ditulis w(pi, tj) = k , maka terdapat k arc dari place pi ke transisi tj atau sebuah arc dengan bobot k. Transisi pada Petrinet menyatakan event pada sistem event diskrit dan place merepresentasikan kondisi agar event dapat terjadi. Token adalah sesuatu yang diletakkan di place yang menyatakan terpenuhi tidaknya suatu kondisi. Secara grafik token digambarkan dengan dot dan diletakkan di dalam place. Jika jumlah token banyak maka dituliskan dengan angka. Definisi 2. (Cassandras, 1993). Penanda (marking) x pada Petrinet adalah fungsi x : P → {0, 1, 2, . . . }. □ Penanda dinyatakan dengan vektor yang berisi bilangan bulat nonnegatif yang menyatakan jumlah token yaitu X = [x(p1), x(p2), . . . , x(pn)]T. Jumlah elemen x sama dengan banyak place di Petrinet. Elemen ke-i pada vektor X merupakan jumlah token pada place pi, x(pi) ∈ {0, 1, 2, . . .}. Definisi 3. (Cassandras, 1993). Petrinet bertanda (marked) adalah 5-tuple (P, T, A, w, x0) dimana (P, T, A, w) adalah Petrinet dan X0 adalah penanda awal. □ Selanjutnya Petrinet bertanda cukup disebut Petrinet dan istilah tanda tersebut disebut token. Seperti pemodelan sistem pada umumnya, maka harus didefinisikan keadaan (state) pada Petrinet. Keadaan pada Petrinet adalah token Petrinet. Definisi 4. (Cassandras, 1993). Keadaan (state) Petrinet bertanda adalah X = [x(p1), x(p2), . . . , x(pn)]T. □ Jumlah token pada place adalah sebarang bilangan bulat nonnegatif, tidak harus terbatas (bounded). Ruang keadaan (state space) X pada Petrinet bertanda dengan n place didefinisikan oleh semua vektor berdimensi n dengan elemen- elemennya adalah bilangan bulat nonnegatif, sehingga x(pi) Î {0, 1, 2, 3, ... }. Tetapi, dalam menyusun Petrinet perlu dihindari terjadinya ledakan (blow up) token pada satu atau lebih token, karena hal ini menunjukkan Petrinet tersebut tidak stabil. Definisi 5. (Cassandras, 1993). Transisi tj ∈ T pada Petrinet bertanda dikatakan enabled jika x(pi) ≥ w(pi, tj), ∀ pi ∈ I(tj) □ Definisi 6. (Cassandras, 1993). Fungsi perubahan keadaan, f : {0, 1, 2, . . . }n ×T → {0, 1, 2, . . . }n pada Petrinet bertanda (P, T, A, w, X0) terdefinisi untuk transisi tj ∈ T jika dan hanya jika x(pi) ≥ w(pi, tj), ∀ pi ∈ I(tj) Jika f(x, tj) terdefinisi maka ditulis x′ = f(x, tj), dimana x′(pi) = x(pi) − w(pi, tj) + w(tj , pi), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . ., m □ Keadaan di mana tidak ada transisi yang enabled disebut keadaan terminal dan Petrinet mengalami deadlock. Sistem dikatakan tidak stabil jika terjadi ledakan (blow up) pada nilai variabel keadaannya. Variabel keadaan dari Petrinet adalah jumlah token pada setiap place. Jika jumlah token pada satu atau lebih place bertambah menuju ke tak hingga maka dikatakan Petrinet tidak stabil. Penyusunan Petrinet yang baik diharapkan menghindari terjadinya deadlock dan tidak stabil Untuk menyusun model Petrinet dan model Aljabar Max-Plus yang dibahas dalam penelitian ini, diperlukan spesifikasi fisik sebagai berikut: a) Jalur-jalur dalam jaringan busway (koridor), seperti yang sudah dipaparkan di atas. b) Jumlah dan distribusi bus di tiap-tiap koridor dapat dilihat pada Tabel 2. c) Aturan sinkronisasi antar keberangkatan bus Berdasarkan data waktu tempuh rata-rata antar halte dan data alokasi bus tiap koridor serta mempertimbangkan kondisi halte ujung dan halte transit, maka diperoleh distribusi bus di tiap lintasan (dengan waktu referensi 07.30) seperti pada Tabel 2 di bawah ini. Data tersebut selanjutnya diasumsikan tetap. Tabel 2. Waktu Tempuh, Distribusi Bus, dan Pendefinisian Variabel Winarni 196 Volume 1 No. 4 Mei 2011 Koridor Variabel Keberangkatan dari Menuju ke halte Waktu Tempuh (menit) Jumlah bus yang beroperasi 1 x1 Blok M Dukuh Atas 1 19,71 18 1 x2 Dukuh Atas 1 Harmoni 15,23 12 1 x3 Harmoni Kota 12,83 7 1 x4 Kota Harmoni 10,98 9 1 x5 Harmoni Dukuh Atas 1 20,21 17 1 x6 Dukuh Atas 1 Blok M 14,21 5 2 x7 Pulo Gadung Senen 19,5 10 2 x8 Senen Harmoni 17 9 2 x9 Harmoni Senen 15,86 8 2 x10 Senen Pulo Gadung 16,75 8 3 x11 Kalideres Harmoni 24,67 10 3 x12 Harmoni Pasar Baru 8 4 3 x13 Pasar Baru Harmoni 6,24 2 3 x14 Harmoni Kalideres 26,5 11 4 x15 Pulo Gadung Mantraman 2 24,38 9 4 x16 Mantraman 2 Halimun 12,61 4 4 x17 Halimun Dukuh Atas 2 5,07 2 4 x18 Dukuh Atas 2 Halimun 2,64 1 4 x19 Halimun Mantraman 2 10,1 3 4 x20 Mantraman 2 Pulo Gadung 25 8 5 x21 Ancol Sentral Senen 25,47 8 5 x22 Sentral Senen Mantraman 1 15,3 4 5 x23 Mantraman 1 Kp. Melayu 10,31 2 5 x24 Kp. Melayu Mantraman 1 8,63 2 5 x25 Mantraman 1 Sentral Senen 11,47 3 5 x26 Sentral Senen Ancol 17,39 6 6 x27 Ragunan Halimun 37,69 13 6 x28 Halimun Dukuh Atas 2 5,07 2 6 x29 Dukuh Atas 2 Ragunan 34,32 11 7 x30 Kp. Melayu Kp. Rambutan 52,81 16 7 x31 Kp. Rambutan Kp. Melayu 43,14 13 Berdasarkan observasi di lapangan mengenai kondisi sistem jaringan busway dan berdasarkan hasil perhitungan jumlah bus yang beroperasi pada waktu referensi pukul 07.30 seperti terlihat pada Tabel 2 di atas, maka dapat disusun aturan sinkronisasi pada jaringan busway dengan 7 koridor tersebut sebagai berikut i) Koridor 1 (BLOK M - KOTA): BM – HAR – DA1 – KT � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari DA1 menuju HAR (ke arah KT) dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari DA1 menuju BM keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari HL menuju DA2 (yang berasal dari MN2) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari HL menuju DA2 (yang berasal dari RG) menuju DA2 dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari DA2 ke DA1. � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju KT dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju DA1 (ke arah BM) keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-9) dari KD menuju HAR (ke arah PB), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari PB menuju HAR (ke arah KD), dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari SN menuju HAR (yang berasal dari PG). ii) Koridor 2 (PULO GADUNG - HARMONI): PG – SN - HAR � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari PG menuju SN (ke arah HAR) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari MN2 menuju PG (yang berasal dari DA2). � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SN menuju HAR menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari ANC menuju SNS (ke arah KM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-2) dari MN1 menuju SNS (ke arah ANC) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SNS ke SN. Dan sedikit berbeda dengan lintasan lain, halte-halte yang disinggahi dari SN ke HAR dan dari HAR ke SN berbeda, sehingga keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SN menuju HAR juga Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 197 menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari HAR menuju SN. � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju SN menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-9) dari KD menuju HAR (ke arah PB), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari PB menuju HAR (ke arah KD), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari KT menuju HAR (ke arah BM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-11) dari DA1 menuju HAR (ke arah KT). � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SN menuju PG menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari ANC menuju SNS (ke arah KM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-2) dari MN1 menuju SNS (ke arah ANC) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SNS ke SN. iii) Koridor 3 (KALIDERES – PASAR BARU): KD – HAR – PB � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju PB dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HAR menuju KD keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari KT menuju HAR (ke arah BM), menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-11) dari DA1 menuju HAR (ke arah KT), dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari SN menuju HAR. iv) Koridor 4 (PULO GADUNG – DUKUH ATAS 2) : PG – MN2 – HL – DA2 � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari PG menuju MN2 (ke arah DA2) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari SN menuju PG (yang berasal dari HAR). � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN2 menuju HL dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN2 menuju PG keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-3) dari SNS menuju MN1 (ke arah KM) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari KM menuju MN1 (ke arah ANC) dan masing- masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SNS ke SN. � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari DA2 menuju HL (ke arah PG) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-17) dari BM menuju DA1 (ke arah KT) dan menunggu menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-16) dari HAR menuju DA1 (ke arah BM) dan masing- masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari DA1 ke DA2. � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari HL menuju MN2 (ke arah PG) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-12) dari RG menuju HL (ke arah DA2). v) Koridor 5 (ANCOL – KAMPUNG MELAYU): ANC – SNS – MN1 – KM � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SNS menuju MN1 (ke arah KM) dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari SNS menuju ANC keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-7) dari HAR menuju SN (ke arah PG) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-9) dari PG menuju SN (ke arah HAR) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari SN ke SNS. � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN1 menuju KM dan keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari MN1 menuju SNS (ke arah ANC) keduanya menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-8) dari PG menuju MN2 (ke arah DA2) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-2) dari HL menuju MN2 (ke arah PG) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari MN2 ke MN1. � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari KM menuju MN1(ke arah ANC) menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-12) dari KR menuju KM. vi) Koridor 6 (RAGUNAN – DUKUH ATAS 2): RG – HL – DA2 / DA2 – RG � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari DA2 menuju RG menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari HL menuju DA2 (yang berasal dari MN2). Selain itu juga menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-17) dari BM menuju DA1 (ke arah KT) dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-16) dari HAR menuju DA1 (ke arah BM) dan masing-masing ditambah waktu tempuh rata-rata untuk berjalan lewat skywalk dari DA1 ke DA2. vii) Koridor 7 (KAMPUNG MELAYU – KAMPUNG RAMBUTAN): KM – KR � Keberangkatan bus yang ke-(k+1) dari KM menuju KR menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k-1) dari MN1 menuju KM. Berdasarkan spesifikasi fisik di atas, maka dapat disusun model Petrinet untuk penjadwalan keberangkatan bus. Selanjutnya dari model Winarni 198 Volume 1 No. 4 Mei 2011 Petrinet berikut, dapat diterjemahkan menjadi model aljabar max-plus (dan sebaliknya). Pertama, disusun Petrinet untuk tiap koridor, kemudian disinkronisasi berdasarkan aturan sinkronisasi di atas. Petrinet yang disusun berikut ini dimaksukan untuk menggambarkan sinkronisasi antar keberangkatan bus berdasarkan aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas, namun tidak dimaksudkan untuk menggambarkan pergerakan jaringan bus secara simultan. Dengan pendefinisian Petrinet sebagaimana telah dijelaskan di atas, maka Petrinet yang disusun untuk permasalahan ini adalah Petrinet dengan waktu yang dikarakterisasi oleh P, T, A, w , X0, dan T , yaitu sebagai berikut: P : himpunan berhingga place, P = {p1, p2, ..., p43}, dengan jumlah token pada place p1, p2, ..., p31 menunjukkan jumlah distribusi bus pada masing- masing rute yang bersesuaian, sedangkan token pada p32, p33, ..., p43 tidak menunjukkan jumlah bus, namun dikondisikan untuk menyusun Petrinet yang sesuai untuk permasalahan ini. T : himpunan berhingga transisi, T = {t1, t2, ..., t31}, dalam hal ini akan digunakan notasi untuk masing-masing transisi adalah x yaitu T = {x01, x02, ..., x31}. Transisi-transisi tersebut merepresentasi- kan event keberangkatan bus di halte-halte ujung koridor dan halte transit. Hal ini bertujuan agar sesuai dengan notasi yang digunakan dalam penyusunan model aljabar max-plus. A : himpunan arc, A ⊆ (P × T) ∪ (T × P), yaitu A = {(x01, p1), (p1, x02), (x02, p2), (p2, x03), (x03, p3), (p3, x04), (x04, p4), (p4, x05), (x05, p5), (p05, x06), (x06, p6), (p6, x01), (p2, x14), (x14, p2), (p2, x12), (x12, p2), (p2, x09), (x09, p2), (x03, p8), (p8, x03), (x03, p11), (p11, x03), (x03, p13), (p13, x03), (x05, p11), (p11, x05), (x05, p13), (p13, x05), (x05, p8), (p8, x05), (x07, p7), (p7, x08), (x08, p8), (p8, x09), (x09, p9), (p9, x10), (x10, p10), (p10, x07), (x07, p20), (p20, x07), (x08, p9), (p9, x08), (x09, p11), (p11, x9), (x09, p13), (p13, x09), (x09, p4), (p4, x09), (x11, p11), (p11, x12), (x12, p12), (p12, x13), (x13, p13), (p13, x14), (x14, p14), (p14, x11), (x12, p4), (p4, x12), (x14, p4), (p4, x14), (x12, p9), (p9, x12), (x14, p9), (p9, x14), (x15, p15), (p15, x16), (x16, p16), (p16, x17), (x17, p17), (p17, x18), (x18, p18), (p18, x19), (x19, p19), (p19, x20), (x20, p20), (p20, x15), (x15, p10), (p10, x15), (x19, p27), (p27, x19), (x21, p21), (p21, x22), (x22, p22), (p22, x23), (x23, p23), (p23, x24), (x24, p24), (p24, x25), (x25, p25), (p25, x26), (x26, p26), (p26, x21), (x24, p31), (p31, x24), (x27, p27), (p27, x28), (x28, p28), (p28, x29), (x29, p29), (p29, x27), (x29, p17), (p17, x29), (x30, p30), (p30, x31), (x31, p31), (p31, x30), (p32, x02), (p32, x06), (p33, x18), (p33, x29), (p34, x08), (p34, x10), (p35, x22), (p35, x26), (p36, x16), (p36, x20), (p37, x23), (p37, x25), (p38, x02), (p38, x06), (p39, x18), (p39, x29), (p40, x8), (p40, x10), (p41, x22), (p41, x26), (p42, x16), (p42, x20), (p43, x23), (p43, x25), (x17, p32), (x28, p38), (x01, p33), (x05, p39), (x21, p34), (x25, p40), (x07, p35), (x09, p41), (x22, p36), (x24, p42), (x15, p37), (x9, p43)} Fungsi bobot, w : A → {1, 2, 3, . . . }, yaitu semua arc dalam himpunan A tersebut bobotnya adalah 1, kecuali w(x17, p32) = w(x28, p38) = w(x01, p33) = w(x05, p39) = w(x21, p34) = w(x25, p40) = w(x07, p35) = w(x09, p41) = w(x22, p36) = w(x24, p42) = w(x15, p37) = w(x9, p43) = 2. X0 = [18 12 7 9 17 5 10 9 8 8 10 4 2 11 9 4 2 1 3 8 7 5 2 2 3 6 13 2 11 16 13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2], masing-masing menunjukkan jumlah token awal pada p1, p2, ..., p43. T adalah vektor yang elemen-elemennya merepresentasikan waktu tempuh perjalanan tiap-tiap rute, durasi waktu tersebut disertakan pada setiap place yang, dimana τi disertakan pada place pi, untuk p1 s/d p31 masing-masing disertakan τ1 s/d τ31 yang menunjukkan waktu tempuh perjalanan dengan keberangkatan x01 s/d x31, sedangkan untuk p32 s/d p43 masing-masing disertakan τ32 s/d τ43 yang menunjukkan waktu tempuh perjalanan yang bersesuaian ditambah waktu tempuh untuk berjalan di skywalk, karena p32 s/d p43 berkaitan dari kedatangan dan keberangkatan bus dihalte-halte yang ada dihubungkan dengan skywalk. Hal ini dapat dilihat lebih lengkap pada Gambar 3. Inisialisasi X0 untuk place p1, p2, ..., p31 disesuaikan dengan distribusi bus yang beroperasi pada tiap-tiap rute berdasarkan Tabel 2, sedangkan jumlah token pada p32, p33, . . . , p43 masing-masing diinisialisasi dengan token sebanyak 2 token. Hal ini dimaksudkan agar downstrem transisi dari place p32, p33, ..., p43 enable. Selain itu, semua arc dalam Petrinet ini diberikan bobot 1, kecuali arc (x17, p32), (x28, p38), (x01, p33), (x05, p39), (x21, p34), (x25, p40), (x07, p35), (x09, p41), (x22, p36), (x24, p42), (x15, p37), (x9, p43) diberi bobot 2. Secara fisik, nilai bobot sama dengan 2 dan 2 token pada p32, p33, ..., p43 tersebut maksudnya bahwa kedatangan x17, x28, x01, x05, x21, x25, x07, x09, x22, x24, x15, x19, masing-masing ditunggu oleh 2 keberangkatan bus lainnya, sebagai contoh adalah: kedatangan penumpang dari keberangkatan x01 (dari Blok M ke Dukuh Atas 1) ditunggu oleh keberangkatan x18 (dari Dukuh Atas 2 ke Halimun) dan x29 (dari Dukuh Atas 2 ke Ragunan). Hal ini direpresentasikan oleh arc (x01, p33), (p33, x18), dan (p33, x29), perlu diperhatikan pula bahwa durasi waktu yang tertera pada place adalah p33 adalah 19,71 + 5, ini menunjukkan 19,71 menit adalah waktu yang diperlukan untuk perjalanan dengan keberangkatan x01 dan 5 menit adalah waktu yang diperlukan untuk berjalan melalui skywalk dari Dukuh Atas 1 ke Dukuh Atas 2. Hal ini dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 4 dengan koridor 1, bahwa penumpang Jurnal CAUCHY dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya representasi arc ( dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui skywalk Dukuh Atas. Sehingga, MODEL AL Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing, Kedinamikan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait Sidi-Moh, A., dkk., 2008). Penggunaan pen dalam sistem even diskrit dinamik adalah karena aljabar max mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar max dengan kemampuannya untuk diadaptasikan pada masalah yang event-graph (Nait Aljabar max dalam sistem manufaktur dan pada masalah masalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian seperti sinkro yang terjadi ketika distribusi resources diperlukan (Nait Sebelum, menyusun model aljabar max plus, berikut diberikan konsep dasar mengenai struktur aljabar sebagai berikut: Rmax R ∪ { =ε Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086 dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya representasi arc (x05, dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui skywalk Dukuh Atas. Sehingga, MODEL ALJABAR MAX Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing, Kedinamikan dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait Moh, A., dkk., 2008). Penggunaan pen dalam sistem even diskrit dinamik adalah karena aljabar max-plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar max dengan kemampuannya untuk diadaptasikan pada masalah yang graph (Nait-Sidi Aljabar max-plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalah masalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian seperti sinkronisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources diperlukan (Nait-Sidi- Sebelum, menyusun model aljabar max plus, berikut diberikan konsep dasar mengenai struktur aljabar Rmax sebagai berikut: max menotasikan himpunan bilangan real −∞= } dengan dua operasi biner max dan Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max ISSN: 2086-0382 dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya , p39), (p39, x18 dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui skywalk Dukuh Atas. Sehingga, x Gambar 3 JABAR MAX-PLUS Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing, dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait Moh, A., dkk., 2008). Penggunaan pendekatan aljabar max dalam sistem even diskrit dinamik adalah karena plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar max dengan kemampuannya untuk diadaptasikan dapat dimodelkan dengan Sidi-Moh, A., dkk., 2008). plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalah masalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian nisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources -Moh, A., dkk., 2008). Sebelum, menyusun model aljabar max plus, berikut diberikan konsep dasar mengenai max oleh Baccelli, dkk menotasikan himpunan bilangan real } dengan dua operasi biner max dan Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max 0382 dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya 18), dan (p39, x dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui x18 (dari Dukuh Gambar 3. Petrinet Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing, dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait dekatan aljabar max-plus dalam sistem even diskrit dinamik adalah karena plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). Pendekatan dengan aljabar max-plus terkenal dengan kemampuannya untuk diadaptasikan dapat dimodelkan dengan Moh, A., dkk., 2008). plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalah masalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian nisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources Moh, A., dkk., 2008). Sebelum, menyusun model aljabar max plus, berikut diberikan konsep dasar mengenai ccelli, dkk (1992) menotasikan himpunan bilangan real } dengan dua operasi biner max dan Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max dari koridor 1 dapat transit ke koridor 4 melalui skywalk Dukuh Atas. Demikian halnya x29) dimaksudkan untuk menjamin sinkronisasi koridor 6 dengan koridor 1, bahwa penumpang dari koridor 1 dapat transit ke koridor 6 melalui (dari Dukuh Atas 2 ke Halimun) dan Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan bus menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk keberangkatan Petrinet untuk Jaringan Busway Sistem transportasi dapat dikatakan sebagai Sistem Dinamik Event Diskrit (SDED) sama halnya sebagai sistem manufakturing, dari sistem tersebut digambarkan sebagai evolusi perlakuan sistem selama diberikan waktu periodenya. Sistem transportasi dinamik diatur dengan sinkronisasi, paralelisasi dan kejadian yang serentak/concurrency (Nait- plus dalam sistem even diskrit dinamik adalah karena plus dapat menangani dengan mudah proses sinkronisasi (Braker, 1990). plus terkenal dengan kemampuannya untuk diadaptasikan dapat dimodelkan dengan Moh, A., dkk., 2008). plus dapat dilihat penerapannya dalam sistem manufaktur dan pada masalah- masalah yang berkaitan dengan jaringan transportasi yang sering berasal dari kejadian nisasi antara resources dan konflik yang terjadi ketika distribusi resources Sebelum, menyusun model aljabar max- plus, berikut diberikan konsep dasar mengenai 1992) menotasikan himpunan bilangan real } dengan dua operasi biner max dan plus yang masing dan operasi Elemen netral untuk operasi dan elemen netral untuk operasi Operasi times disebut aljabar max sebagai plus adalah sebagai berikut: Suatu barisan untuk 0(x barisan untuk semua Dalam hal ini, bus yang ke dan berdasarkan model koridor sebelum sinkronisasi disusun sinkronisasi sebagai berikut: Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max Atas 2 ke Halimun) dan Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan bus x01 dan x05. menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk keberangkatan Jaringan Busway plus yang masing dan ⊗ . Untuk setiap operasi ⊕ dan maksba def =⊕ Elemen netral untuk operasi dan elemen netral untuk operasi Operasi ⊕ dibaca times. Himpunan R disebut aljabar max sebagai maxℜ = { R Adapun bentuk umum model aljabar max plus adalah sebagai berikut: Suatu barisan ( (kx untuk 0≥k , di mana 0)0 x= adalah barisan ( )x k dapat ditulis (kx untuk semua k Dalam hal ini, bus yang ke-k di suatu halte. Berdasarkan data di Tabel 1 dan berdasarkan model koridor sebelum sinkronisasi disusun model aljabar max sinkronisasi sebagai berikut: Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max Atas 2 ke Halimun) dan x29 (dari Dukuh A Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan . Hal tersebut dimaksudkan untuk menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk keberangkatan bus pada jaringan busway. Jaringan Busway plus yang masing-masing dinotasikan dengan Untuk setiap ba, dan ⊗ dengan ),(maks ba dan Elemen netral untuk operasi dan elemen netral untuk operasi dibaca o-plus dan operasi . Himpunan Rmax dengan operasi disebut aljabar max-plus dan didefinisikan = { Rmax, ⊕ , ⊗ Adapun bentuk umum model aljabar max plus adalah sebagai berikut: ):)(( Nkkx ∈ ()1 kxAk ⊗=+ , di mana A h kondisi awal. ( ) dapat ditulis 0) xA k ⊗= ⊗ 0≥ . (Heidergott, B., dkk, 2006) )(kx adalah waktu keberangkatan di suatu halte. Berdasarkan data di Tabel 1 dan berdasarkan model Petrinet koridor sebelum sinkronisasi model aljabar max sinkronisasi sebagai berikut: Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max (dari Dukuh A Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan Hal tersebut dimaksudkan untuk menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk bus pada jaringan busway. masing dinotasikan dengan ∈ Rmax, didefinisikan dan aba def +=⊗ Elemen netral untuk operasi ⊕ adalah dan elemen netral untuk operasi ⊗ adalah dan operasi ⊗ dengan operasi ⊕ plus dan didefinisikan ⊗ , ε , e }. Adapun bentuk umum model aljabar max plus adalah sebagai berikut: dapat dibangun )k ∈A R xn×max , ∈x kondisi awal. Secara ekivalen . (Heidergott, B., dkk, 2006) adalah waktu keberangkatan di suatu halte. Berdasarkan data di Tabel 1 dan Petrinet masing koridor sebelum sinkronisasi, maka dapat model aljabar max-plus sebelum sinkronisasi sebagai berikut: Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus 199 (dari Dukuh Atas 2 ke Ragunan) keduanya harus menunggu kedatangan Hal tersebut dimaksudkan untuk menjamin adanya sinkronisasi antara koridor 1 dan 6 sebagaimana aturan sinkronisasi yang telah diberikan di atas. Berikut ini Petrinet untuk bus pada jaringan busway. masing dinotasikan dengan ⊕ , didefinisikan b+ adalah ∞−= def ε adalah 0 def e = . dibaca o- ⊕ dan ⊗ plus dan didefinisikan Adapun bentuk umum model aljabar max- bangun oleh (1) ∈ Rn dan Secara ekivalen (2) . (Heidergott, B., dkk, 2006) adalah waktu keberangkatan dan Tabel 2, masing-masing , maka dapat plus sebelum Winarni 200 Volume 1 No. 4 Mei 2011 )8(38,24)1( )7(25)1( )1(24,6)1( )3(8)1( )9(67,24)1( )10(5,26)1( )7(86,15)1( )8(17)1( )9(5,19)1( )7(75,16)1( )16(21,20)1( )8(98,10)1( )6(83,12)1( )11(23,15)1( )17(71,19)1( )4(21,14)1( 1516 2015 1314 1213 1112 1411 910 89 78 107 56 45 34 23 12 61 −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx )15(81,52)1( )12(14,43)1( )1(07,5)1( )12(69,37)1( )10(32,34)1( )2(47,11)1( )1(63,8)1( )1(31,10)1( )3(3,15)1( )7(47,25)1( )5(39,17)1( )2(1,10)1( )(64,2)1( )1(01,5)1( )3(61,12)1( 3031 3130 2829 2728 2927 2526 2425 2324 2223 2122 2621 1920 1819 1718 1617 −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ ⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx kxkx (3) Dengan aturan sinkronisasi yang sudah dijelaskan pada bagian sebelumnya, maka model aljabar max-plus (3) menjadi sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))1(55)1(55)16(21,20)1( )8(17)1(24,6)9(67,24)8(98,10)1( )6(83,12)1( )8(17)1(24,6)9(67,24)11(23,15)1( )1(55)1(55)17(71,19)1( )4(21,14)1( 281756 8131145 34 8131123 281712 61 −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+ −⊗=+ −⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+ −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗=+ kxkxkxkx kxkxkxkxkx kxkx kxkxkxkxkx kxkxkxkx kxkx ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))2(47,113)7(47,253)7(86,15)1( )8(98,10)1(24,6)9(67,24)11(23,15)8(17)1( )2(47,113)7(47,253)7(86,15)9(5,19)1( )7(25)7(75,16)1( 2521910 41311289 2521978 20107 −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+ −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗⊕−⊗=+ −⊗⊕−⊗=+ kxkxkxkx kxkxkxkxkxkx kxkxkxkxkx kxkxkx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))8(17)8(98,10)11(23,15)1(24,6)1( )3(8)1( )8(17)8(98,10)11(23,15)9(67,24)1( )10(5,26)1( 8421314 1213 8421112 1411 −⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+ −⊗=+ −⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕−⊗=+ −⊗=+ kxkxkxkxkx kxkx kxkxkxkxkx kxkx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))1(63,83)3(3,153)2(1,10)1( )12(69,37)(64,2)1( )16(71,195)17(71,195)1(01,5)1( )3(61,12)1( )1(63,83)3(3,153)8(38,24)1( )7(75,16)7(25)1( 24221920 271819 511718 1617 24221516 102015 −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗⊕⊗=+ −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗=+ −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗⊕−⊗=+ kxkxkxkx kxkxkx kxkxkxkx kxkx kxkxkxkx kxkxkx (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))7(86,153)9(5,193)2(47,11)1( )2(1,103)8(38,243)1(63,8)1( )12(14,43)1(31,10)1( )2(1,103)8(38,243)3(3,15)1( )7(86,153)9(5,193)7(47,25)1( )5(39,17)1( 972526 19152425 312324 19152223 972122 2621 −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗⊕−⊗=+ −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗⊗⊕−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗=+ kxkxkxkx kxkxkxkx kxkxkx kxkxkxkx kxkxkxkx kxkx ( ) ( ) ( ) ( ))1(07,5)16(21,205)17(71,195)1(07,5)1( )12(69,37)1( )10(32,34)1( 17512829 2728 2927 −⊗⊕−⊗⊗⊗−⊗⊗⊕−⊗=+ −⊗=+ −⊗=+ kxkxkxkxkx kxkx kxkx ( )( ) )16(81,52)1( )1(31,10)12(14,43)1( 3031 233130 −⊗=+ −⊗⊕−⊗=+ kxkx kxkxkx Selanjutnya, model (4) dapat dinyatakan dalam bentuk umum model aljabar max-plus pada persamaan (1), yaitu sebagai berikut: ( ))1()1( 1 pkxAkx p M p −+⊗=+ ⊕ = (5) dengan Ap adalah matriks berukuran n x n dan n adalah jumlah variabel. Matriks Ap adalah matriks yang berkaitan dengan )1( pkx −+ . Dan M dalam hal ini adalah jumlah bus maksimum di antara semua lintasan dalam grap pada Gambar 2. Berdasarkan Tabel 2 di atas, maka n adalah 31 Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 201 dan M adalah 18 yaitu pada koridor 1 lintasan Blok M menuju Dukuh Atas 1. Sehingga, nantinya ada 18 buah matriks yaitu A1 sampai dengan A18. Dalam hal ini, model pada (4) dapat dinyatakan dalam bentuk umum model max-plus pada persamaan (1) menjadi )()1( kxAkx ⊗=+ (6) dengan )(kx vektor berdimensi nM), yang didefini- sikan sebagai 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T n n n x k x k x k x k x k x k M x k M      = − − + − + −       ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ (7) di mana notasi T pada persamaan di atas menunjuk- kan transpose dan A matriks berukuran (n.M) x (nM) yaitu                 = − εεε εεε εεε max max max max 121 I I I I AAAA A MM ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ ⋯ (8) dimana maxI adalah matriks n x n dengan elemen diagonalnya adalah e dan elemen lainnya adalah ε , dan e dalam matriks A di atas adalah matriks n x n dengan semua elemennya adalah ε . Dan )(kx seperti pada persamaan (7). Dalam permasalahan ini, vektor )(kx berdimensi 558 dan matriks A berukuran 558 x 558) Dengan Scilab dan Max-Plus Toolbox diperoleh bahwa nilai karakteristik matriks A tersebut adalah 3.9542857 (λ = 3.9542857) dan eigen vektor dari matriks A yaitu vx. Nilai karakteristik ini menunjukkan performa dari sistem penjadwalan keberangkatan bus, maksudnya bahwa setiap 3.9542857 menit sekali terjadi pemberangkatan bus di tiap-tiap halte atau dengan kata lain periode keberangkatan bus di tiap-tiap halte adalah 3.9542857 menit. Jika jadwal keberangkatan bus adalah periodik dan diberikan waktu keberangkatan awal )0(x dengan jumlah bus yang beroperasi sama seperti pada Tabel 2, maka dapat disusun jadwal keberangkatan bus untuk keberangkatan- keberangkatan selanjutnya, dengan evolusi )0()1( )1( xkx k ⊗=+ +⊗λ (8) Nilai dalam vektor vx adalah mewakili menit, karena keterbatasan halaman vector vx tidak dituliskan dalam makalah ini, hal ini dapat dilihat selengkapnya pada (Winarni, 2009). Misalkan jaringan beroperasi pada pagi hari dimulai pukul 05.00, berarti yang berangkat pertama kali pada jaringan tersebut adalah x3 yaitu pukul 05:00, keberangkatan x1(0) adalah pukul 05:30,001429, x2(0) pukul 05:34,932857, dan seterusnya. Periode antar keberangkatan di masing-masing halte adalah sebesar eigenvalue yaitu 3,9542857. Diperoleh pula bahwa critical circuit pada jaringan tersebut adalah Halte Dukuh Atas 2 – Halimun – Mantraman 2 – Mantraman 1 – Kp Melayu – Mantraman 1 – Mantraman 2 – Halimun – Dukuh Atas 2 karena bobot rata-rata circuit tersebut adalah sama dengan 3,9542857, yaitu maksimum dari bobot rata-rata semua circuit dalam jaringan (eigenvalue). Total waktu tempuh circuit tersebut adalah 55.36 menit dengan jumlah bus yang beroperasi pada circuit tersebut adalah 14 bus. Semua pembahasan di atas adalah dengan mempertimbangkan halte-halte ujung koridor dan halte transit, belum memperhitungkan halte- halte ’kecil’ yaitu halte-halte di sepanjang koridor selain halte ujung koridor dan halte transit. Untuk keberangkatan di halte-halte tersebut cukup ditambahkan waktu tempuh antara halte sebelumnya menuju halte tersebut. Sehingga desain jadwal keberangkatan bus untuk seluruh halte pada jaringan busway dengan 7 koridor dapat dilihat pada Tabel 3 di bagian lampiran. PENUTUP Kesimpulan 1. Dalam penelitian ini telah disusun model Petrinet dan model aljabar max-plus untuk mendesain jadwal keberangkatan jaringan TransJakarta Busway. Petrinet yang dimaksudkan dapat dilihat pada Gambar 3 dan model aljabar max-plus dapat dilihat model (4). Dari model Petrinet dapat diterjemahkan menjadi model aljabar max- plus dan juga sebaliknya. 2. Model (4) dapat dinyatakan dalam bentuk umum model aljabar max-plus yaitu )()1( kxAkx ⊗=+ di mana matriks A berukuran 558 x 558. Dengan Scilab dan Max- plus Algebra Toolbox (Subiono, 2008) diperoleh eigenvalue dari mariks A sama dengan )( Aλ = 3,9542857. Eigenvalue ini menunjukkan bahwa setiap 3,9542857 menit sekali terjadi pemberangkatan bus di tiap-tiap halte atau dengan kata lain periode keberangkatan bus di tiap-tiap halte adalah 3,9542857 menit. Dengan mengambil eigenvektor matriks A sebagai x(0) maka akan dapat ditentukan waktu keberangkatan bus ditiap-tiap halte ujung koridor dan halte transit yang ke-(k+1), untuk k = 0, 1, 2, 3, .... dengan )0()1( )1( xkx k ⊗=+ +⊗λ Winarni 202 Volume 1 No. 4 Mei 2011 3. Desain jadwal keseluruhan halte pada jaringan tersebut dapat dilihat pada Tabel 3 . 4. Diperoleh bahwa critical circuit pada jaringan tersebut adalah Halte Dukuh Atas 2 – Halimun – Mantraman 2 – Mantraman 1 – Kp Melayu – Mantraman 1 – Mantraman 2 – Halimun – Dukuh Atas 2 karena bobot rata-rata circuit tersebut adalah sama dengan 3,9542857, yaitu maksimum dari bobot rata-rata semua circuit dalam jaringan (eigenvalue). Total waktu tempuh circuit tersebut adalah 55.36 menit dengan jumlah bus yang beroperasi pada circuit tersebut adalah 14 bus. Saran 1. Observasi lapangan yang lebih lama dan pengumpulan data waktu tempuh yang lebih lengkap. 2. Melakukan reduksi matriks untuk efisiensi secara komputasi. 3. Dilakukan analisa lebih detail lagi pada Petrinet yang telah disusun tersebut. 4. Melakukan analisa jadwal jika terjadi keterlambatan. 5. Melakukan re-alokasi jumlah bus yang beroperasi pada jaringan, sehingga lebih optimal, misalnya dengan mengurangi alokasi bus pada circuit yang minimum dan menambahkannya pada critical circuit dan dengan mengoptimalkan alokasi bus yang disediakan pengelola. 6. Jika 8 koridor berikutnya (koridor 9 sampai dengan koridor 15) sudah terealisasi, penelitian ini dapat dikembangkan untuk seluruh koridor TransJakarta Busway. DAFTAR PUSTAKA [1] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., dan Quadrat, J. P., (1992), Synchronisation and Linearity, Algebra for Discrete Event Systems. John Wiley and Sons, Inc., New York. [2] Batavia Busway, (16 Juni 2008, tanggal akses: 7 Agustus 2008), Diskusi Busway di Veteran, http://www.bataviabusway.blogspot.com. [3] Batavia Busway, (tanggal akses: 24 Juli 2008), Denah-Busway-v080116.jpg, http://www.bataviabusway.blogspot.com. [4] BLU TransJakarta Busway, (2007), Company profile TransJakarta Busway, Edisi3. [5] Braker, J.-G., (1991), “Max-algebra modelling and analysis of time-table dependent transportation networks”. Proceedings of the First European Control Conference (ECC’91), Grenoble, France, hal. 1831–1836. [6] Cassandras, C.G., (1993), Discrete Event Systems: Modelling and Performance Analysis, Richard D. Irwin, Inc, and Aksen Associates Inc., Amherst. [7] Dieky, A., (2008), Petrinet Toolbox, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. [8] Heidergott, B., Olsder G. J., dan Woude, J. V. D., (2006), Max Plus at Work Modeling and Analysis of Synchronisation Systems: A Course on Max-Plus Algebra and Its Application, Princeton University Press, New Jersey. [9] Nait-Sidi-Moh, A., Manier, M. A., El Moudni, A., (2008), “Spectral analysis for performance evaluation in a bus network”, European Journal of Operational Research, http://www.sciencedirect.com. [10] Suaratransjakarta, (20 Juni 2008, tanggal akses: 1 Agustus 2008), Ketidakpastian menunggu bus, http://www.TransJakartainfo.com. [11] Subiono, (2000), On classes of min-max-plus systems and their application, Thesis Ph.D., Technische Universiteit Delft, Delft. [12] Subiono, Dieky, A., (2008), Max-plus Algebra Toolbox, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. [13] Winarni, (2009), Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota Dengan Aljabar Max-Plus, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. LAMPIRAN Tabel 3. Desain Jadwal Periodik Keberangkatan Busway No. Variabel Halte Keberangkatan Halte Tujuan Kendala 1 x1 Blok-M Masjid Agung 14.21 + x6 atau 4.73 + x6,7 2 x1,1 Masjid Agung Bundaran Senayan 8.75 + x1 3 x1,2 Bundaran Senayan Gelora Bung Karno 3.10 + x1,1 4 x1,3 Gelora Bung Karno Polda Metro 1.02 + x1,2 5 x1,4 Polda Metro Bendungan Hilir 1.17 + x1,3 6 x1,5 Bendungan Hilir Karet 1.74 + x1,4 7 x1,6 Karet Setia budi 1.37 + x1,5 Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 203 8 x1,7 Setia budi Dukuh Atas 1 1.07 + x1,6 9 x2 Dukuh Atas 1 Tosari 19,71+ x1, 10,07 + x17, 10,07 + x28 atau 1.5 + x1,7, 10,07 + x17, 10,07 + x28 10 x2,1 Tosari Bunderan HI 1.47 + x2 11 x2,2 Bunderan HI Sarinah 1.67 + x2,1 12 x2,3 Sarinah Bank Indonesia 1.41 + x2,2 13 x2,4 Bank Indonesia Monumen Nasional 3.07 + x2,3 14 x2,5 Monumen Nasional Harmoni 1.59 + x2,4 15 x3 Harmoni Sawah Besar 15.23 + x2, 17 + x8, 24.67 + x11, 6.24 + x13 atau 6.02 + x2,5, 8 + x8,7, 1.5 + x11,11, 3.58 + x13,2 16 x3,1 Sawah Besar Mangga Besar 4.76 + x3 17 x3,2 Mangga Besar Olimo 2.57 + x3,1 18 x3,3 Olimo Glodok 1.05 + x3,2 19 x3,4 Glodok Kota 1.35 + x3,3 20 x4 Kota Glodok 12.83 + x3 atau 3.11 + x3,4 21 x4,1 Glodok Olimo 3.30 + x4 22 x4,2 Olimo Mangga Besar 1.34 + x4,1 23 x4,3 Mangga Besar Sawah Besar 1.26 + x4,2 24 x4,4 Sawah Besar Harmoni 2.53 + x4,3 25 x5 Harmoni Monumen Nasional 10.98 + x4, 17 + x8, 24.67 + x11, 6.24 + x13 atau 2.54 + x4,4, 8 + x8,7, 1.5 + x11,11, 3.58 + x13,2 26 x5,1 Monumen Nasional Bank Indonesia 5.77 + x5 27 x5,2 Bank Indonesia Sarinah 4.82 + x5,1 28 x5,3 Sarinah Bunderan HI 2.33 + x5,2 29 x5,4 Bunderan HI Tosari 1.29 + x5,3 30 x5,5 Tosari Dukuh Atas 1 3.08 + x5,4 31 x6 Dukuh Atas 1 Setia Budi 20.21 + x5, 10.07 + x17, 10.07 + x28 atau 2.92 + x5,5, 10.07 + x17, 10.07 + x28 32 x6,1 Setia Budi Karet 0.94 + x6 33 x6,2 Karet Bendungan Hilir 1.23 + x6,1 34 x6,3 Bendungan Hilir Polda Metro Jaya 1.04 + x6,2 35 x6,4 Polda Metro Jaya Gelora Bung Karno 1.46 + x6,3 36 x6,5 Gelora Bung Karno Bundaran Senayan 1.08 + x6,4 37 x6,6 Bundaran Senayan Masjid Agung 1.39 + x6,5 38 x6,7 Masjid Agung Blok M 2.33 + x6,6 39 x7 Pulo Gadung Bermis 16.75 + x10, 25 + x20 atau 3.15 + x10,10, 11 + x20,9 40 x7,1 Bermis Pulo Mas 3 + x7 41 x7,2 Pulo Mas ASMI 2.5 + x7,1 42 x7,3 ASMI Pedongkelan 1 + x7,2 43 x7,4 Pedongkelan Cempaka Timur 3 + x7,3 44 x7,5 Cempaka Timur RS Islam 3 + x7,4 45 x7,6 RS Islam Cempaka Tengah 1 + x7,5 46 x7,7 Cempaka Tengah Ps. Cempaka Putih 1 + x7,6 47 x7,8 Ps. Cempaka Putih Rawa Selatan 0.75 + x7,7 48 x7,9 Rawa Selatan Galur 0.75 + x7,8 49 x7,10 Galur Senen 1 + x7,9 50 x8 Senen Atrium 19.5 + x7, 15.86 + x9, 28.47 + x21, 14.47 + x25 atau 3,5 + x7,10, 3.53 + x9,3,12.82 + x21,4, 9.58 + x25,3 51 x8,1 Atrium RSPAD 1 + x8 52 x8,2 RSPAD DEPLU 1 + x8,1 53 x8,3 DEPLU Gambir 1 1 + x8,2 54 x8,4 Gambir 1 Istiqlal 2 + x8,3 55 x8,5 Istiqlal Juanda 2 + x8,4 56 x8,6 Juanda Pecenongan 1 + x8,5 57 x8,7 Pecenongan Harmoni 1 + x8,6 58 x9 Harmoni Balai Kota 17 + x8, 15.23 + x2, 10.98 + x4, 24.67 + x11 , 6.24 + x13 atau 8 + x8,7, 6.02 + x2,5, 2.54 + x4,4, 1.5 + x11,11, 3.58 + x13,2 59 x9,1 Balai Kota Gambir 2 7.57 + x9 60 x9,2 Gambir 2 Kwitang 2.10 + x9,1 61 x9,3 Kwitang Senen 2.66 + x9,2 62 x10 Senen Galur 15.86 + x9, 28.47 + x21, 14.47 + x25 atau 3.53 + x9,3, 12.82 + x21,4, 9.58 + x25,3 63 x10,1 Galur Rawa Selatan 2.11 + x10 64 x10,2 Rawa Selatan Ps. Cempaka Putih 1 + x10,1 65 x10,3 Ps. Cempaka Putih Cempaka Tengah 1.17 + x10,2 66 x10,4 Cempaka Tengah RS Islam 0.95 + x10,3 67 x10,5 RS Islam Cempaka Timur 1.01 + x10,4 68 x10,6 Cempaka Timur Pedongkelan 1.15 + x10,5 69 x10,7 Pedongkelan ASMI 1.81 + x10,6 Winarni 204 Volume 1 No. 4 Mei 2011 70 x10,8 ASMI Pulo Mas 1.27 + x10,7 71 x10,9 Pulo Mas Bermis 1.03 + x10,8 72 x10,10 Bermis Pulo Gadung 2.10 + x10,9 73 x11 Kalideres Pesakih 26.5 + x14 atau 4.05 + x14,11 74 x11,1 Pesakih Sumur Bor 2.64 + x11 75 x11,2 Sumur Bor Rawa Buaya 0.84 + x11,1 76 x11,3 Rawa Buaya Jembatan Baru 1.64 + x11,2 77 x11,4 Jembatan Baru Dispenda 1.36 + x11,3 78 x11,5 Dispenda Jembatan Gantung 1.71 + x11,4 79 x11,6 Jembatan Gantung Taman Kota 1.6 + x11,5 80 x11,7 Taman Kota Indosiar 1.71 + x11,6 81 x11,8 Indosiar Jelambar 3.3 + x11,7 82 x11,9 Jelambar Grogol TriSakti 4.32 + x11,8 83 x11,10 Grogol TriSakti Rs.Sumber Waras 2.55 + x11,9 84 x11,11 Rs.Sumber Waras Harmoni 1.50 + x11,10 85 x12 Harmoni Pecenongan 24.67 + x11, 15.23 + x2, 10.98 + x4, 17 + x8 atau 1.5 + x11,11, 6.02 + x2,5, 2.54 + x4,4, 8 + x8,7 86 x12,1 Pecenongan Juanda 3.68 + x12 87 x12,2 Juanda Pasar Baru 2.93 + x12,1 88 x13 Pasar Baru Juanda 8 + x12 atau 1.38 + x12,2 89 x13,1 Juanda Pecenongan 1.68 + x13 90 x13,2 Pecenongan Harmoni 0.98 + x13,1 91 x14 Harmoni Rs.Sumber Waras 6.24 + x13, 15.23 + x2, 10.98 + x4, 17 + x8 atau 3.58 + x13,2, 6.02 + x2,5, 2.54 + x4,4, 8 + x8,7 92 x14,1 Rs.Sumber Waras Grogol TriSakti 4 + x14 93 x14,2 Grogol TriSakti Jelambar 1.5 + x14,1 94 x14,3 Jelambar Indosiar 2 + x14,2 95 x14,4 Indosiar Taman Kota 2 + x14,3 96 x14,5 Taman Kota Jembatan Gantung 3.47 + x14,4 97 x14,6 Jembatan Gantung Dispenda 1.03 + x14,5 98 x14,7 Dispenda Jembatan Baru 2.5 + x14,6 99 x14,8 Jembatan Baru Rawa Buaya 1.5 + x14,7 100 x14,9 Rawa Buaya Sumur Bor 2 + x14,8 101 x14,10 Sumur Bor Pesakih 1 + x14,9 102 x14,11 Pesakih Kalideres 1.45 + x14,10 103 x15 Pulo Gadung Pasar Pulo Gadung 25 + x20, 16.75 + x10 atau 11 + x20,9, 3.15 + x10,10 104 x15,1 Pasar Pulo Gadung TU Gas 8.17 + x15 105 x15,2 TU Gas Layur 3.18 + x15,1 106 x15,3 Layur Velodrome 1.32 + x15,2 107 x15,4 Velodrome Sunan Giri 2.92 + x15,3 108 x15,5 Sunan Giri UNJ 1.43 + x15,4 109 x15,6 UNJ Pramuka LIA 1 + x15,5 110 x15,7 Pramuka LIA Utan Kayu 3.24 + x15,6 111 x15,8 Utan Kayu Pasar Genjing 0.99 + x15,7 112 x15,9 Pasar Genjing Mantraman 2 0.88 + x15,8 113 x16 Mantraman 2 Manggarai 24.38 + x15, 18.3 + x22, 11.63 + x24 atau 1.25 + x15, 8.28 + x22,3, 5.18 + x24,3 114 x16,1 Manggarai Pasar Rumput 6.69 + x16 115 x16,2 Pasar Rumput Halimun 4.12+ x16,1 116 x17 Halimun Dukuh Atas 2 12.61 + x16 atau 1.8 + x16,2 117 x18 Dukuh Atas 2 Halimun 5.07 + x17, 24.71 + x1, 25.21 + x5 atau 5.07 + x17, 6.5 + x1,7, 7.92 + x5,5 118 x19 Halimun Pasar Rumput 2.64 + x18, 37.69 + x27 atau 2.64 + x18, 4.83 + x27,17 119 x19,1 Pasar Rumput Manggarai 2.43 + x19 120 x19,2 Manggarai Mantraman 2 1.73 + x19,1 121 x20 Mantraman 2 Pasar Genjing 10.1 + x19, 18.3 + x22, 11.63 + x24 atau 5.93 + x19,2, 8.28 + x22,3, 5.18 + x24,3 122 x20,1 Pasar Genjing Utan Kayu 2 + x20 123 x20,2 Utan Kayu Pramuka LIA 1 + x20,1 124 x20,3 Pramuka LIA UNJ 1 + x20,2 125 x20,4 UNJ Sunan Giri 3 + x20,3 126 x20,5 Sunan Giri Velodrome 1 + x20,4 127 x20,6 Velodrome Layur 1 + x20,5 128 x20,7 Layur TU Gas 3 + x20,6 129 x20,8 TU Gas Pasar Pulo Gadung 1 + x20,7 130 x20,9 Pasar Pulo Gadung Pulo Gadung 1 + x20,8 131 x21 Ancol Pademangan 17.39 + x26 atau 3 + x26,4 132 x21,1 Pademangan Jembatan Merah 4 + x21 133 x21,2 Jembatan Merah Pasar Baru Timur 4.96 + x21,1 134 x21,3 Pasar Baru Timur Budi Utomo 5.05 + x21,2 Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Model Petrinet dan Aljabar Max-Plus Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 205 135 x21,4 Budi Utomo Senen Sentral 1.65 + x21,3 136 x22 Senen Sentral Pal Putih 25.47 + x21, 22.5 + x7, 18.86 + x9 atau 9.82 + x21,4, 6.5 + x7,10, 6.53 + x9,3 137 x22,1 Pal Putih Kramat Sentiong 5.42 + x22 138 x22,2 Kramat Sentiong Salemba UI 1.58 + x22,1 139 x22,3 Salemba UI Mantraman 1 3.02 + x22,2 140 x23 Mantraman 1 Tegalan 15.3 + x22, 27.38 + x15, 13.1 + x19 atau 5.28 + x22,3, 4.25 + x15,9, 8.93 + x19,2 141 x23,1 Tegalan Slamet Riyadi 1.3 + x23 142 x23,2 Slamet Riyadi Kebon Pala 1.08 + x23,1 143 x23,3 Kebon Pala Pasar Jatinegara 1.66 + x23,2 144 x23,4 Pasar Jatinegara Kampung Melayu 2.48 + x23,3 145 x24 Kampung Melayu Kebon Pala 10.31 + x23, 43.14 + x31 atau 3.8 + x23,4, 4,29+ x31,12 146 x24,1 Kebon Pala Slamet Riyadi 3.78 + x24 147 x24,2 Slamet Riyadi Tegalan 1.61 + x24,1 148 x24,3 Tegalan Mantraman 1 1.05 + x24,2 149 x25 Mantraman 1 Salemba UI 8.63 + x24, 27.38 + x15, 13.1 + x19 atau 2.18 + x24,3, 4.25 + x15,9, 8.93 + x19,2 150 x25,1 Salemba UI Kramat Sentiong 2+ x25 151 x25,2 Kramat Sentiong Pal Putih 1.58 + x25,1 152 x25,3 Pal Putih Senen Sentral 1.30 + x25,2 153 x26 Senen Sentral Budi Utomo 11.47 + x25, 22.5 + x7, 18.86 + x9 atau 6.58+ x25,3, 6.5 + x7,10, 6.53 + x9,3 154 x26,1 Budi Utomo Pasar Baru Timur 3.28 + x26 155 x26,2 Pasar Baru Timur Jembatan Merah 1.83 + x26,1 156 x26,3 Jembatan Merah Pademangan 3.6 + x26,2 157 x26,4 Pademangan Ancol 5.69 + x26,3 158 x27 Ragunan Dep. Pertanian 34.32 + x29 atau 3.13 + x29,16 159 x27,1 Dep. Pertanian SMK 57 2.86 + x27 160 x27,2 SMK 57 Jati Padang 2.32 + x27,1 161 x27,3 Jati Padang Pejaten 1.48 + x27,2 162 x27,4 Pejaten Buncit Indah 2.27 + x27,3 163 x27,5 Buncit Indah Warung Jati 1.16 + x27,4 164 x27,6 Warung Jati Imigrasi 2.34 + x27,5 165 x27,7 Imigrasi Duren Tiga 2.38 + x27,6 166 x27,8 Duren Tiga Mampang Prapatan 1.72 + x27,7 167 x27,9 Mampang Prapatan Kuningan Timur 2.91 + x27,8 168 x27,10 Kuningan Timur Patra Kuningan 3.12 + x27,9 169 x27,11 Patra Kuningan DepKes 1.23 + x27,10 170 x27,12 DepKes GOR Sumantri 1.37 + x27,11 171 x27,13 GOR Sumantri Karet Kuningan 1.87 + x27,12 172 x27,14 Karet Kuningan Kuningan Madya A 1.29 + x27,13 173 x27,15 Kuningan Madya Ai Setia Budi Utara 0.96 + x27,14 174 x27,16 Setia Budi Utara Latuharhari 1.09 + x27,15 175 x27,17 Latuharhari Halimun 2.48 + x27,16 176 x28 Halimun Dukuh Atas 2 37.69 + x27 atau 4.83 + x27,16 177 x29 Dukuh Atas 2 Setia Budi Utara 5.07 + x28, 24.71 + x1, 25.21 + x5, 5.07 + x17 atau 5.07 + x28, 6.5 + x1,7, 7.92 + x5,5, 5.07 + x17 178 x29,1 Setia Budi Utara Kuningan Madya A 3.59 + x29 179 x29,2 Kuningan Madya A Karet Kuningan 1.27 + x29,1 180 x29,3 Karet Kuningan GOR Sumantri 1.08 + x29,2 181 x29,4 GOR Sumantri DepKes 1.27 + x29,3 182 x29,5 DepKes Patra Kuningan 2.07 + x29,4 183 x29,6 Patra Kuningan Kuningan Timur 1.36 + x29,5 184 x29,7 Kuningan Timur Mampang Prapatan 1.34 + x29,6 185 x29,8 Mampang Prapatan Duren Tiga 4.03 + x29,7 186 x29,9 Duren Tiga Imigrasi 2.29 + x29,8 187 x29,10 Imigrasi Warung Jati 1.93 + x29,9 188 x29,11 Warung Jati Buncit Indah 1.33 + x29,10 189 x29,12 Buncit Indah Pejaten 2.89 + x29,11 190 x29,13 Pejaten Jati Padang 1.02 + x29,12 191 x29,14, Jati Padang SMK 57 2 + x29,13 192 x29,15 SMK 57 Dep Pertanian 2.11 + x29,14 193 x29,16 Dep Pertanian Ragunan 1.62 + x29,15 194 x30 Kampung Melayu Bidara Cina 43.14 + x31, 10.31 + x23 atau 4.29 + x31,12, 3.8 + x23,4 195 x30,1 Bidara Cina Gelanggang Rmj 2.65 + x30 196 x30,2 Gelanggang Rmj Cawang Otista 3.07 + x30,1 197 x30,3 Cawang Otista BNN 2.87 + x30,2 198 x30,4 BNN Cawang UKI 1.4 + x30,3 199 x30,5 Cawang UKI BKN 3.11 + x30,4 Winarni 206 Volume 1 No. 4 Mei 2011 200 x30,6 BKN PGC (Cililitan) 2.46 + x30,5 201 x30,7 PGC (Cililitan) Pasar Kramat Jati 2.4 + x30,6 202 x30,8 Pasar Kramat Jati Pasar Induk 6.43 + x30,7 203 x30,9 Pasar Induk RS. Har. Bunda 11.03 + x30,8 204 x30,10 RS. Har. Bunda Fly Over Ry Bogor 2.7 + x30,9 205 x30,11 Fly Over Ry Bogor Kamp.Rambutan 2.65 + x30,10 206 x31 Kamp. Rambutan Tanah Merdeka 52.81 + x30 atau 12.06 + x30,11 207 x31,1 Tanah Merdeka Fly Over Ry Bogor 3.5 + x31 208 x31,2 Fly Over Ry Bogor RS. Har.Bunda 2.25 + x31,1 209 x31,3 RS. Har. Bunda Pasar Induk 3.08 + x31,2 210 x31,4 Pasar Induk Pasar Kramat Jati 2.71 + x31,3 211 x31,5 Pasar Kramat Jati PGC (Cililitan) 12.02 + x31,4 212 x31,6 PGC (Cililitan) BKN 3.44 + x31,5 213 x31,7 BKN Cawang UKI 1.92 + x31,6 214 x31,8 Cawang UKI BNN 2.21 + x31,7 215 x31,9 BNN Cawang Otista 2.05 + x31,8 216 x31,10 Cawang Otista Gelanggang Rmj 2.02 + x31,9 217 x31,11 Gelanggang Rmj Bidara Cina 2.48 + x31,10 218 x31,12 Bidara Cina Kampung Melayu 1.18 + x31,11