SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI (TURING) DENGAN METODE BEDA 

HINGGA IMPLISIT 

1Junik Rahayu, 2Usman Pagalay, dan 3Ari Kusumastuti 

1,2,3Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 
e-mail: rahayujunik@yahoo.com 

ABSTRAK 

Alan Turing (1952) mengemukakan bahwa sistem interaksi bahan kimia dipengaruhi oleh difusi 
yang tidak stabil yang kemudian berkembang menjadi pola spasial. Hasil dari penelitian ini disebut dengan 
model reaksi-difusi (Turing). 

Pada umumnya model difusi mempunyai difusifitas berupa konstanta. Barras dkk. (2006) mengganti 
mekanisme Murray (2003) dalam menganalisis model ini, sehingga terbentuklah model dengan rasio 
pertumbuhan domain yang tumbuh secara eksponensial sebagai difusifitasnya. Hal inilah yang membuat 
model ini lebih menarik dibandingkan dengan model difusi yang lain. 

Berbagai model matematika dipastikan mempunyai solusi, begitu juga dengan model ini. Paper ini 
membahas penyelesaian numerik pada contoh model. Digunakan metode beda hingga implisit sebagai 
metode dasar menyelesaikan model. Dalam model terdapat dua konsentrasi yang bereaksi untuk mencapai 
suatu kesetimbangan. Dari konsentrasi ini akan diperiksa keterikatan pada pertumbuhan domain dengan 
adanya dinamika gangguan kecil serta pengaruh pertumbuhan domain terhadap penyelesaian numerik 
model. Dari penyelesaian numerik diperoleh bahwa pertumbuhan domain mempengaruhi dua konsentrasi 
dalam model dan penyelesaian numerik. 

Kata kunci: Metode Beda Hingga Implisit, Model Reaksi-Difusi (Turing), Pertumbuhan Domain. 

ABSTRACT 

Alan Turing (1952) telling that chemicals interaction system influenced by unstable diffusion which 
later;then round into pattern of spasial. Result of from this research is referred as with of reaction-diffusion 
(Turing) model’s. 

In general diffusion model’s have coeficient diffuson in the form of constanta. Barras et. al (2006) 
changing mechanism of Murray (2003) in analysing this model, is so that formed by model with domain growth 
ratio which grow by eksponensial as its. This matter make this model more is interesting compared to other 
diffusion model. 

Various mathematics model ascertained to have solution, so also with this model. This Paper study the 
solving of numeric at model of example.Used by different method till implisit as basic method finish model. In 
model there are two concentration reacting to reach an is balance. Than this concentration will be checked by 
binding at domain growth with existence of small trouble dynamics and also influence of domain growth to 
solving of model numerik. From solving of numeric obtained that domain growth influence two concentration 
in model and numerical solution. 

Keywords: Reaction-Diffusion (Turing) Model’s, Finite difference methods, Implicit Scheme,Domain Growth  
Rate. 

 
PENDAHULUAN 

Alan Turing (1952) mengemukakan bahwa 
sistem interaksi bahan kimia dipengaruhi oleh 
difusi yang tidak stabil yang kemudian 
berkembang menjadi pola spasial. Dalam era 
integrasi biologi, model hasil penelitian Alan 
Turing merupakan salah satu contoh pertama 
bagaimana mengintegrasikan proses sederhana 
yang dapat memberikan hasil yang kompleks, 
dalam hal ini, kombinasi dari proses penyetabilan 
yang menghasilkan sistem yang tidak stabil. Pada 
model tersebut, diasumsikan bahwa sel tidak  

bergerak tetapi hanya menanggapi pembedaan 
isyarat kimia. Hasil dari penelitian ini disebut 
dengan model reaksi-difusi (Turing). 

Barras dkk (2006) mengganti mekanisme 
model Murray (2003) dalam menganalisis model 
ini dengan domain pertumbuhan menggunakan 
kinetika Schnakenberg, yang timbul dari suatu 
penerapan hukum aksi massa untuk skema 
trimolecular. Menurut Barras dkk (2006) model 
terdiri dari 2 persamaan diferensial parsial dan 1 
persamaan diferensial biasa, sehingga 
membentuk sistem. Dalam jurnalnya Barras dkk 
(2006) mengungkap bahwa proses transisi dalam  

mailto:rahayujunik@yahoo.com


 Solusi Numerik Model Reaksi-Difusi (Turing) dengan Metode Beda Hingga Implisit 
 

 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 19 
 

model mencapai puncak didorong oleh 
pertumbuhan domain sehingga menghasilkan 
urutan pola. 

Model matematis yang kompleks seperti 
model ini, sukar mendapatkan solusinya dengan 
solusi analitis. Walaupun metode numerik dalam 
pencarian solusi dari suatu sistem juga jarang 
digunakan akhir-akhir ini, akan tetapi metode ini 
merupakan alternatif dalam menyelesaikan 
persoalan matematik. Metode ini dapat digunakan 
untuk mendekati solusi secara eksak.  

Salah satu metode numerik untuk 
menyelesaikan persamaan diferensial parsial 
seperti model ini adalah metode beda hingga. 
Dalam metode beda hingga terdapat bermacam 
skema, salah satunya skema implisit yang stabil 
tanpa syarat. 

KAJIAN TEORI 

A. Analisis Persamaan Diferensial Parsial 
Pada Model Reaksi-Difusi (Turing) 

Suatu persamaan yang di dalamnya 
terdapat turunan parsial dan terdapat dua atau 
lebih variabel bebas maka persamaan tersebut 
disebut persamaan diferensial parsial (partial 
differential equation/pde) (Ayres, 1992). 

Bentuk umum persamaan diferensial 
parsial linear orde 2 dalam 2 variabel bebas 
adalah: 

𝐴𝑓𝑥𝑥 + 𝐵𝑓𝑥𝑦 + 𝐶𝑓𝑦𝑦 + 𝐷𝑓𝑥 + 𝐸𝑓𝑦 + 𝐹𝑓 = 𝐺 

Menurut Sasongko (2010) persamaan di 
atas dapat dinyatakan sebagai kondisi-kondisi 
berikut: 

1. Apabila koefisien , , , , , ,A B C D E F G adalah 

konstanta atau fungsi yang terdiri dari 
variabel bebas saja, maka persamaan tersebut 
disebut linier. 

2. Apabila koefisien , , , , , ,A B C D E F G   adalah 

fungsi dari variabel tak bebas  dan atau 
merupakan turunan dengan orde yang lebih 
rendah daripada persamaan diferensialnya

, ,
u u

x t

  
 
  

maka persamaan tersebut disebut 

kuasilinier. 
3. Apabila koefisien , , , , , ,A B C D E F G  adalah 

fungsi dengan orde turunan yang sama 
dengan orde persamaan diferensialnya 

2 2 2

2 2
, , ,

u u u

x tx t

   
 

   
 

maka persamaan tersebut disebut persamaan 
non-linier.  

Tipe dari persamaan diferensial orde dua 
ditentukan oleh determinan (𝐷) jika: 

a. 
2

4 0,D B AC    maka bertipe Eliptik. 

b. 
2

4 0,D B AC    maka bertipe Parabolik.  

c. 
2

4 0,D B AC    maka bertipe Hiperbolik.  

Model Turing menurut Barras dkk (2006) 
berbentuk: 

2
2

2 2

2
2

2 2

1u u
a uv u

t L x

v d v
b uv v v

t L x

dL
L

dt







 
   

 

 
    

 



 

Dengan mengganti persamaan 
𝑑𝐿

𝑑𝑡
= 𝜌𝐿 menjadi 

persamaan diferensial biasa, diasumsikan 𝐿(0) =
1, maka model menjadi bentuk berikut: 

2

2

2

2

1

( )

(

(

)

)

t xx

t x

t

x

u u a uv u
L t

d
v v b uv v v

t e

L t

L






   

 



  

 

Dari derinisi yang telah diuraikan di atas, 
maka model dapat diklasifikasikan menjadi 
persamaan diferensial parsial kuasilinier orde dua 
tipe Parabolik. 

Solusi model adalah fungsi ( , )u x t  dan 

( , )v x t  yang memenuhi persamaan di atas. Solusi 

tersebut merupakan solusi umum, sehingga 
diperlukan subtitusi kondisi batas dan kondisi 
awal agar didapatkan solusi khusus. Kondisi batas 
yang digunakan pada model adalah Dirichlet 
Boundary Conditions. Untuk interval 0 0.002t   
dan 0 1x  . Nilai batas (0, ) 0.9u t  ;

(0, 0.002) 0.9u  ; (0, ) 1v t   dan (0, 0.002) 1v 

untuk semua .t  Sedangkan kondisi awal yang 
digunakan untuk model adalah ( )L t  yang 

dirumuskan sebagai berikut: 

𝑢(𝑥,0) = 𝑣(𝑥,0) = 𝐿(𝑡) = 𝑒𝜌𝑡 (1) 

Persamaan tersebut akan digunakan untuk 
membuat iterasi numerik pada pembahasan. 

B. Analisis Model Reaksi-Difusi (Turing) 

Pemodelan Matematika mengenai model 
reaksi-difusi dikemukakan oleh Alan Turing 
(1952) yang mengidentifikasi perkembangan 
embrio menjadi dewasa. Dalam penelitiannya 
Alan Turing mengasumsikan bahwa sistem 
interaksi bahan kimia dipengaruhi oleh difusi 
yang tidak stabil yang kemudian berkembang 
menjadi pola spasial.  

Barras dkk (2006) mengganti mekanisme 
model Murray (2003) dalam menganalisis model  



Junik Rahayu, Usman Pagalay, dan Ari Kusumastuti  
 

 

20 Volume 3 No. 1 November 2013 
 

dengan domain pertumbuhan menggunakan 
kinetika Schnakenberg, yang timbul dari suatu 
penerapan hukum aksi massa untuk skema 
trimolecular, sehingga terbentuklah model. Pada 
model diasumsikan proses difusi dalam kasus 
pertumbuhan domain yang tumbuh secara 
eksponensial.  

Selanjutnya Brownian motion untuk 

persamaan 𝑢𝑡 =
1

𝐿(𝑡)2
𝑢𝑥𝑥 + 𝑎 − 𝑢𝑣

2 − 𝜌𝑢 dapat 

dituliskan sebagai, 

𝑢𝑡 −
1

𝐿(𝑡)2
𝑢𝑥𝑥 − 𝑎 + 𝑢𝑣

2 + 𝜌𝑢 = 0 (2) 

Menurut Zauderer (1998:2-5), untuk 

menyelesaikan persamaan  ,u x t
 

di atas, 

digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut: 

1. Ekspektasi dari variabel acak 𝑥 atau disebut 
juga sebagai lokasi perpindahan partikel 
dalam gelombang yang didefinisikan: 

𝐸(𝑥) = 𝑥 = (𝑝 − 𝑞)𝛿 

 dengan C adalah kecepatan difusi, dan dalam 
masalah ini kecepatan difusi dianggap sama 
dengan nol. 

2. Varian dari suatu variabel acak x  atau disebut 
juga dengan besarnya perpindahan yang 
terjadi dari suatu proses difusi, didefinisikan 
sebagai berikut:  

𝑉(𝑥) = 4𝑝𝛿2 
 dengan 𝐷 adalah konstanta atau koefisien 

difusi yang dalam hal ini diasumsikan 
besarnya sama dengan 2/𝐿(𝑡)2.  

3. Asumsi dasar difusi yang digunakan adalah 

 ,u x t yang merupakan distribusi peluang. 

Dimana distribusi peluang dari suatu partikel 
pada langkah x  dan pada waktu yang ke 
t   sama dengan  peluang ketika berada 
pada titik x   pada waktu t   dikalikan 
dengan peluang perpindahan partikel ke arah 
kanan (p)  pada suatu langkah ditambah 
dengan peluang partikel pada saat berada di 

titik x   pada waktu t  dikalikan dengan 
probabilitas perpindahan ke arah kiri (q) pada 

suatu langkah, dimana 1,p q   yang dapat 

dituliskan dalam bentuk berikut:  

𝑢(𝑥,𝑡 + 𝜏) = 𝑝𝑢(𝑥 − 𝛿,𝑡)
+ 𝑞𝑢(𝑥 + 𝛿,𝑡) 

(3) 

 dimana    merupakan partisi waktu. 
4. p  adalah peluang perpindahan partikel ke 

arah kanan, sedangkan  q  adalah peluang 

perpindahan partikel ke arah kiri, dimana 
, .p q R  

Untuk menyelesaikan brownian motion 

persamaan   ,u x t
 
di atas, digunakan deret Taylor 

sebagai berikut: 

a. Untuk 𝑢(𝑥,𝑡 + 𝜏) = 𝑢(𝑥,𝑡) + 𝜏𝑢𝑡(𝑥,𝑡). 
b. Untuk 𝑢(𝑥 − 𝛿,𝑡) = 𝑢(𝑥,𝑡) − 𝛿𝑢𝑥(𝑥,𝑡) +

1

2
𝛿2𝑢𝑥𝑥(𝑥,𝑡). 

c. Untuk 𝑢(𝑥 + 𝛿,𝑡) = 𝑢(𝑥,𝑡) + 𝛿𝑢𝑥(𝑥,𝑡) +
1

2
𝛿2𝑢𝑥𝑥(𝑥,𝑡) 

sedangkan untuk persamaan 𝑣𝑡 =
𝑑

𝐿(𝑡)2
𝑣𝑥𝑥 + 𝑏 +

𝑢𝑣2 − 𝑣 − 𝜌𝑣 dapat ditulis sebagai: 

𝑣𝑡 −
𝑑

𝐿(𝑡)2
𝑣𝑥𝑥 − 𝑏 − 𝑢𝑣

2 + 𝑣 + 𝜌𝑣 = 0. 
 

Menurut Zauderer (1998:2-5), untuk 

menyelesaikan persamaan  ,v x t
 

di atas, 

digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut: 

1. Ekspektasi dari variabel acak 𝑥 atau disebut 
juga sebagai lokasi perpindahan partikel 
dalam gelombang yang didefinisikan: 

    ,E x x p q     

 dengan C adalah kecepatan difusi, dan dalam 
masalah ini kecepatan difusi dianggap sama 
dengan nol. 

2. Varian dari suatu variabel acak x  atau disebut 
juga dengan besarnya perpindahan yang 
terjadi dari suatu proses difusi, didefinisikan 
sebagai berikut: 

  24 ,V x p  

 dengan 𝐷 adalah konstanta atau koefisien 
difusi yang dalam hal ini diasumsikan 
besarnya sama dengan 2𝑑/𝐿(𝑡)2. 

3. Asumsi dasar difusi yang digunakan adalah 

 ,v x t  yang merupakan distribusi peluang. 
Dimana distribusi peluang dari suatu partikel 
pada langkah x  dan pada waktu yang ke 
t   sama dengan  peluang ketika berada 
pada titik x   pada waktu t   dikalikan 
dengan peluang perpindahan partikel ke arah 

kanan  p  pada suatu langkah ditambah 

dengan peluang partikel pada saat berada di 

titik x   pada waktu t  dikalikan dengan 
probabilitas perpindahan ke arah kiri  q  

pada suatu langkah, dimana 𝑝 + 𝑞 = 1, yang 
dapat dituliskan dalam bentuk berikut: 

𝑣(𝑥,𝑡 + 𝜏) = 𝑝𝑣(𝑥 − 𝛿,𝑡)
+ 𝑞𝑣(𝑥 + 𝛿,𝑡) 

(4) 

 dimana    merupakan partisi waktu. 
4. p  adalah peluang perpindahan partikel ke 

arah kanan, sedangkan  q  adalah peluang 



 Solusi Numerik Model Reaksi-Difusi (Turing) dengan Metode Beda Hingga Implisit 
 

 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 21 
 

perpindahan partikel ke arah kiri, dimana 
, .p q R  

Untuk menyelesaikan brownian motion 

persamaan  ,v x t
 
di atas, digunakan deret Taylor 

sebagai berikut: 

a. Untuk  𝑣(𝑥,𝑡 + 𝜏) = 𝑣(𝑥,𝑡) + 𝜏𝑣𝑡(𝑥,𝑡).  
b. Untuk 𝑣(𝑥 − 𝛿,𝑡) = 𝑣(𝑥,𝑡) − 𝛿𝑢𝑥(𝑥,𝑡) +

1

2
𝛿2𝑣𝑥𝑥(𝑥,𝑡). 

c. Untuk 𝑣(𝑥 + 𝛿,𝑡) = 𝑢(𝑥,𝑡) + 𝛿𝑣𝑥(𝑥,𝑡) +
1

2
𝛿2𝑣𝑥𝑥(𝑥,𝑡).   

Nilai parameter, kondisi awal dan kondisi 
batas mengacu pada keterangan Barras dkk 
(2006) dengan 

 
merupakan rasio domain 

pertumbuhan, u
 

dan v
 

adalah dilution 

effect, energi kinetik 0.9a   dan 0.1b   dan 
koefisien difusi 0.06.d   Beberapa nilai   

yang 

sesuai dengan keterangan Barras dkk (2006) yaitu 
0.001,  0.05   

 
 dan 0.01. 

 

C. Metode Beda Hingga Skema Implisit untuk 
Model Reaksi-Difusi (Turing) 

Dibentuk skema beda hingga untuk 
turunan parsial fungsi u  dan v  yang terdiri dari 
dua variabel bebas x  dan .t  Berikut merupakan 
deret Taylor:(Causaon dan Mingham, 2010) 

2

0 0 0
( , ) ( , ) ( , ) ...

2!
xx

x
u x x t u x t u x t


    

 

   
 

1

01
( , ) ,

1 !

n
n

n

x
u x t O x

n






  



        (5) 

Dalam skema implisit, untuk menghitung 
variabel di suatu titik perlu dibuat suatu sistem 
persamaan yang mengandung variabel di titik 
tersebut dan titik-titik sekitarnya pada waktu 
yang sama (Triatmodjo, 2002). Berikut 
merupakan langkah iterasi pada skema implisit: 

 
Gambar 1. Gambar  Skema Implisit 

Gambar skema di atas digunakan untuk 
menghitung turunan petama dan kedua model 
reaksi-difusi (Turing). 

PEMBAHASAN 

A. Metode Beda Hingga Skema Implisit Model 
Reaksi-Difusi (Turing) 

Berikut merupakan model reaksi-difusi 
(Turing): 

{
 
 

 
 𝑢𝑡 =

1

𝐿(𝑡)2
𝑢𝑥𝑥 + 𝑎 − 𝑢𝑣

2 − 𝜌𝑢

𝑣𝑡 =
𝑑

𝐿(𝑡)2
𝑣𝑥𝑥 + 𝑏 + 𝑢𝑣

2 − 𝑣 − 𝜌𝑣

𝐿(𝑡) = 𝑒𝜌𝑡

 

pada persamaan 𝑢𝑡 =
1

𝐿(𝑡)2
𝑢𝑥𝑥 + 𝑎 − 𝑢𝑣

2 − 𝜌𝑢, 

maka dapat dinyatakan bentuk diskritnya sebagai 
berikut: 

−𝛼𝑢𝑖−1
𝑛+1 + (1 + 2𝛼)𝑢𝑖

𝑛+1 − 𝛼𝑢𝑖+1
𝑛+1

= 𝑢𝑖
𝑛 + Δ𝑡(𝑎 − 𝑢𝑖

𝑛(𝑣𝑖
𝑛)2 − 𝜌𝑢𝑖

𝑛 

dengan 𝛼 =
Δ𝑡

𝐿(𝑡)2Δ𝑥2
. Adapun stensilnya dapat 

digambarkan sebagai berikut:

 

Gambar 2. Stensil untuk Persamaan  ,u x t  

Selanjutnya pada persamaan 

2

2
,

( )
t xx

d
v v b uv v v

L t
    

 
maka dapat dinyatakan 

bentuk diskritnya sebagai berikut: 

 
2

1 1 1

1 1
1 2 ( ).

n n n n n n n n

i i i i i i i i
v v v v t b u v v v   

  

 
        

 

dengan 

2 2
.

( )

t
d d

L t x
 


 


 

Stensilnya dapat di lihat pada gambar 3 berikut 
ini. 

Gambar 3. Stensil untuk Persamaan  ,v x t  

Jaringan titik hitung beda hingga implisit 
untuk model pada daerah 𝑥0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅  

dan  𝑡0 ≤



Junik Rahayu, Usman Pagalay, dan Ari Kusumastuti  
 

 

22 Volume 3 No. 1 November 2013 
 

𝑡 ≤ 𝑇 adalah sebagai berikut dapat dilihat pada 
gambar 4.  

 
Gambar 4. Jaringan Titik Hitung Beda Hingga 

Implisit untuk Model. 

Digunakan kondisi awal sebagai berikut: 

𝑢(𝑥,0) = 0.9 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 
𝑣(𝑥,0) = 1 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 

Setelah didapatkan nilai awal dan nilai 
batas, iterasi dilakukan pada hasil diskritisasi 
dengan sesuai jaringan titik hitung pada Gambar 
4.

 
B. Penyelesaian Numerik Model Reaksi-

Difusi (Turing) 

Diselesaikan contoh model reaksi-difusi 
(Turing) pada daerah batas 0 < 𝑥 < 1 dan 0 < 𝑡 <
0.002,  rasio pertumbuhan domain 𝜌 = 0.001, 
energi kinetik 𝑎 = 0.9  dan 𝑎 = 0.1 serta rasio 
koefisien difusi 𝑑 = 0.06 sehingga model dapat 
dituliskan sebagai berikut:  

{
 
 

 
 𝑢𝑡 =

1

𝐿(𝑡)2
𝑢𝑥𝑥 + 0.9 − 𝑢𝑣

2 − 0.001𝑢

𝑣𝑡 =
0.06

𝐿(𝑡)2
𝑣𝑥𝑥 + 0.1 + 𝑢𝑣

2 − 𝑣 − 0.001𝑣

𝐿(𝑡) = 𝑒𝛼𝑡

 (6) 

Dipilih nilai Δ𝑡 = 0.00002 dan Δ𝑥 = 0.01. 
Selanjutnya dilakukan iterasi dengan 

kondisi batas sebagai berikut: 

𝑢(𝑥0, 𝑡) = 𝑢(0,𝑡) = 0.9,𝑢(𝑅,𝑡) = 𝑢(1,𝑡) = 0.9 
𝑣(𝑥0, 𝑡) = 𝑣(0,𝑡) = 1,𝑣(𝑅,𝑡) = 𝑣(1,𝑡) = 1  

sehingga diperoleh:  

𝑢𝑖
𝑛 = 0.9,∀𝑛 = 0,1,2,…,100,∀𝑖 = 0,1,2,…,100 
𝑣𝑖
𝑛 = 1,    ∀𝑛 = 0,1,2,…,100, ∀𝑖 = 0,1,2,…,100 

Langkah berikutnya yaitu dilakukan iterasi 
kondisi awal sebagai berikut: 

𝑢𝑖
𝑛 = 𝑓(𝑡𝑖) = 0.9 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚, ∀𝑛 = 0, 
∀𝑖 = 1,2,…,99.  
𝑣𝑖
𝑛 = 𝑔(𝑡𝑖) = 1 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚, ∀𝑛 = 0, 
∀𝑖 = 1,2,…,99. 

Setelah didapatkan nilai awal dan nilai batas, 
iterasi dilakukan pada hasil diskritisasi sesuai 
jaringan titik hitung pada Gambar 5. 
 

 

Gambar 5. Jaringan Titik Hitung Skema Beda 
Hingga Implisit untuk Model dengan Parameter 

x  dan t  

 
Gambar 6. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥,𝑡) 

terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.001.
 

Gambar 7. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥,𝑡) 
terhadap waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.001.  

 Gambar 8. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥,𝑡) 
terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.001.

 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

Jarak (x)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
u

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10
-3

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

Waktu (t)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
u

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10
-3

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

Waktu (t)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
u



 Solusi Numerik Model Reaksi-Difusi (Turing) dengan Metode Beda Hingga Implisit 
 

 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 23 
 

 
Gambar 9. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥,𝑡) 

terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.001. 

 Gambar 10. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥,𝑡) 
terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.05. 

 
Gambar 11. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥,𝑡) 

terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.05.
 

  
Gambar 12. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥,𝑡) 

terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.05
 

 
Gambar 13. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥,𝑡) 

terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.05. 
 

 
Gambar 14. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥,𝑡) 

terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.01. 
 

 
Gambar 15. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥,𝑡) 

terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.01. 
 

 
Gambar 16. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥,𝑡) 
terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.01. 

 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10
-3

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

Waktu (t)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
v

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

Jarak (x)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
u

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

1.1

Jarak (x)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
v

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

Jarak (x)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10
-3

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

Waktu (t)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
v

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

Jarak (x)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
u

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

Jarak (x)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
v

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10
-3

0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

Waktu (t)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
u



Junik Rahayu, Usman Pagalay, dan Ari Kusumastuti  
 

 

24 Volume 3 No. 1 November 2013 
 

 
Gambar 17. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥,𝑡) 

terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.01. 
 

C. Interpretasi Penyelesaian Numerik Model 
Reaksi-Difusi (Turing) 

Kondisi batas yang digunakan dalam 
bahasan ini adalah 

   0 , 0, 0.9,u x t u t     , 1, 0.9.u R t u t   

   0 , 0, 1,v x t v t      , 1, 1.v R t v t     

hal tersebut diinterpretasi bahwa 
0

x  dan R  

merupakan batas domain yang diselesaikan 

sehingga efek dilusi sebelum 
0

x  dan R  diabaikan. 

Nilai batas 0.9 dapat dimaknai bahwa energi 

kinetik non-dimensional pada titik 
0

0x   sebesar 

0.9  dan nilai batas 1 dapat dimaknai bahwa 
energi kinetik non-dimensional pada titik 𝑥𝑛 = 𝑅 
sebesar 1 pada masing-masing konsentrasi untuk 
semua waktu 𝑡. Dengan adanya kondisi batas yang 
diberikan, maka dapat memberikan batasan 
daerah yang akan diselesaikan. 

Parameter-parameter yang digunakan di 
dalam model yaitu   merupakan rasio 

pertumbuhan domain, u
 

dan v
 

adalah 

dilution effect, energi kinetik pada  0.9a   dan 

0.1b   dan koefisien difusi 0.06.d    

Kondisi awal yang digunakan dalam 
pembahasan contoh model adalah sebagai 
berikut: 

( ) 0, 9 , 0, 1, 2,..., 99
n

i i
u f t bilangan random n i      

( ) 1 , 0, 1, 2,..., 99
n

i i
v g t bilangan random n i      

 

Kondisi tersebut dapat dimaknai bahwa  
energi kinetik non-dimensional pada titik 𝑥0 pada 
waktu 𝑡𝑖 untuk masing-masing konsentrasi 
dipengaruhi oleh adanya penambahan bilangan 
random di belakang suatu konstanta. 

Dengan membandingkan Gambar 1, 2, 3, 4, 
5 dan 6 dapat diketahui bahwa nilai 

 
mempengaruhi perubahan konsentrasi ( , )u x t

 
dan ( , ).v x t

 
Sehingga dapat disimpulkan nilai 

 

mempengaruhi penyelesaian numerik pada model 
reaksi-difusi (Turing). 

PENUTUP 

Berdasarkan pembahasan, dapat diperoleh 
bahwa untuk menyelesaikan model dengan 
menttransformasikan dalam bentuk skema beda 
hingga implisit menggunakan beda maju untuk 
turunan pertama terhadap waktu dan beda 
simetrik untuk tururnan kedua terhadap ruang, 
sehingga diperoleh bentuk diskrit model reaksi-
difusi (Turing) sebagai berikut: 

   
2

1 1 1

1 1
1 2 ( )

n n n n n n n

i i i i i i i
u u u u t a u v u   

  

 
       

 
2

1 1 1

1 1
1 2 ( ).

n n n n n n n n

i i i i i i i i
v v v v t b u v v v   

  

 
        

 

Selanjutnya dilakukan iterasi dengan 
parameter, kondisi batas dan kondisi awal pada 
daerah batas yang telah ditentukan pada hasil 
diskritisasi di atas. Untuk menghitung solusi 
numerik digunakan program yang tertera pada 
Lampiran.  

Berdasar hasil perhitungan diperoleh 
solusi numerik untuk model reaksi-difusi (Turing) 
berupa matriks ukuran 101x101.  Simulasi 

Gambar, menunjukkan rasio domain 
pertumbuhan ( ) mempengaruhi dua konsentrasi 

pada proses difusi serta mempengaruhi 
penyelesaian numerik model.

 
Peneliti lain diharapkan dapat 

mengembangkan penelitian ini dalam kasus dua 
dimensi ataupun dengan menurunkan model yang 
berupa persamaan diferensial parsial menjadi 
persamaan diferensial biasa sehingga dapat 
dibandingkan hasilnya dengan penelitian ini. 

DAFTAR PUSTAKA 

[1] Ayres, F. 1992. Persamaan Diferensial. 
Jakarta: Erlangga. 

[2] Causon, D.M dan Mingham, C.G.. 2010. 
Introductory Finite Difference Methods for 
PDEs. United Kingdom: Ventus Publishing 
Aps. 

[3] Barras, I., Crampin E. J., dan Maini P. K.. 2006. 
Mode Transitions in a Model Reaction-
Diffusion System Driven by Domain Growth 
and noise. Bulletin of Mathematical Biology 
(2006) 68: 981-995. 

[4] Murray, J.D.. 2003. Mathematical Biology 3rd 
edition in 2 volumes: Spatial Models and 
Biomedical Applications. New York: Springer. 

[5] Sasongko, S. B. 2010. Metode Numerik dengan 
Scilab. Yogyakarta: C.V Andi Offset. 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10
-3

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

1.08

1.09

Waktu (t)

K
o
n
s
e
n
tr

a
s
i 
v



 Solusi Numerik Model Reaksi-Difusi (Turing) dengan Metode Beda Hingga Implisit 
 

 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 25 
 

[6] Triatmodjo, B. 2002. Metode Numerik. 
Yogyakarta: Beta Offset. 

[7] Turing, A.M.. 1952. The chemical basis of 
morphogenesis. London: Phil. Trans. R. Soc. 

[8] Zauderer, E.. 1998. Partial Differential 
Equations of Applied Mathematics, Second 
Edition. New York: John Wiley.