EVALUASI PREMI POLIS LAST SURVIVOR PASANGAN SUAMI ISTRI 
MENGGUNAKAN METODE COPULA FRANK 

Irma Fauziah1 

1Program Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta 

e-mail : irma_s2mathUGM@yahoo.com atau irmaristianto08@gmail.com 

ABSTRAK 
 

Tulisan ini mengkaji tentang sebuah produk asuransi, ketahanan hidup, yang didasarkan pada dua 
kelompok umur: pasangan menikah berusia kurang dari 55 tahun dan menikah berusia lebih dari 55 tahun. 
Penilaian premi untuk pasangan menikah yang kurang dari 55 tahun diperoleh dengan metode Frasier 
dengan memperhitungkan probabilitas kematian setelah kematian terjadi dari salah satu tertanggung 
dengan asumsi kematian pasangan menikah adalah independen. Sedangkan untuk pasangan yang sudah 
menikah lebih dari 55 tahun, premi penilaian diperoleh dengan metode Frasier untuk menghitung 
probabilitas kematian dengan menganggap kematian pasangan menikah adalah dependen, asumsi ini 
dimodelkan oleh Frank kopula, dimana kopula ini adalah salah satu dari keluarga kopula Archimedes. 

Kata kunci: Metode Frasier, Frank Copula, Hidup Bersama dan Status Terakhir 

ABSTRACT 
 

This paper introduces an insurance product, Survivorship, based on two age groups : married couples 
less than 55 years old and married couples over 55 years old. Premiums Valuation for married couples who less 
than 55 years are obtained using Frasier method with take into account the lapse rate after death occurs from 
one of the insured with mortality assumption of married couples are independent. While for married couples 
over 55 years, premiums valuation are obtained using Frasier method for calculating the probability of death 
by assuming mortality of married couples are dependent, this assumption is modeled by Frank copula.  This 
copula is one of family Archimedean copula.   

 
Keywords :   Frasier Methods, Frank Copula, Joint Life and Last Survivor Status 

  

PENDAHULUAN 

Di Indonesia, polis asuransi single life lebih 
mendominasi produk-produk asuransi di setiap 
perusahaan asuransi, sedangkan polis asuransi 
last survivor belum begitu banyak mendapat 
perhatian.  Di Kanada, Industri asuransi 
menetapkan harga polis asuransi last survivor 
menggunakan metode Frasier untuk menaksir 
probabilitas kematian tertanggung dengan 
mengasumsikan mortalitas pasangan suami istri 
adalah saling bebas.  Metode ini menaksir 
probabilitas kematian dari tertanggung terakhir 
pada polis last survivor pada tahun tertentu yang 
telah dihitung pada awal tahun berlakunya polis 
last survivor. 

Polis last survivor adalah polis asuransi jiwa 
yang menanggung minimal dua orang dimana 
benefitnya dibayarkan jika semua tertanggung 
meninggal dunia.  Jika tertanggungnya merupakan 
pasangan suami istri maka ada beberapa hal yang 
harus dianalisis terkait valuasi premi last survivor 
yaitu : 

1. Resiko yang dialami pasangan suami istri 
pasangan suami istri kurang lebih mempunyai 
resiko yang sama diantaranya :  

a. Penyakit menular (Margus P, 2002) 

seperti Tubelkolosis (Gusti Arlina, 2003) 

dan penyakit kelamin seperti HIV, AIDS, 

Hepatitis B (Dr.M. Atoillah I, 2007) 

b. Kecelakaan yang dialami bersama 

(Martikeinan P, Valkonen T, 1996) 

c. Stress Cardiomyopathy (Parkes, 1969 ; 

Martikeinan P, 1996; dan Heekyung Youn, 

Arkady Shemyakin, 1999).  Menurut 

Parkes, stress cardiomyopathy terjadi 

pada pasangan suami istri yang berusia 

55 tahun ke atas. 

2. Faktor Lapse 

Lapse adalah kejadian dimana pemegang 
polis tidak melanjutkan kontraknya 
disebabkan tidak sanggup membayar premi. 

mailto:irma_s2mathUGM@yahoo.com
mailto:irmaristianto08@gmail.com


Evaluasi Premi Last Survivor Pasangan Suami Istri Menggunakan Metode Copula Frank 
 

 
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 43 

 

Berdasarkan pertimbangan dua faktor 
tersebut maka dapat disimpulkan produk 
asuransi jiwa last survivor dengan asumsi 
mortalitas pasangan suami istri saling dependen 
yang keduanya hanya dikhususkan untuk 
pasangan suami istri yang keduanya berusia 55 
tahun keatas. Sedangkan faktor lapse setelah 
terjadi kematian dari salah satu pasangan suami 
istri dan asmsi bahwa mortalitas pasangan suami-
istri adalah independen diperhitungkan untuk 
pemegang polis last survivor dengan usia 
pasangan suami istri kurang dari 55 tahun. 

Tulisan ini hanya terbatas pada 
perhitungan premi tunggal bersih asuransi jiwa 
last survivor berjangka 10 tahun yang dihitung 
menggunakan tabel multilife yang memuat angka 
klaim Frasier yang diturunkan dari tabel 
mortalitas single life US female and Male tahun 
2004.  

LANDASAN TEORI 

A. Bunga Majemuk 

Semua polis asuransi jiwa baik single life 
maupun multilife mengharuskan premi dibayar di 
muka sebelum asuransi efektif sedangkan benefit 
baru akan dibayarkan pada masa yang akan 
datang sehingga premi itu dikenakan bunga.  Oleh 
karena itu, perhitungan bunga pada asuransi 
menggunakan teknik perhitungan bunga 
majemuk dan diskonto.  Akumulasi bunga 
majemuk dari dana sebesar Rp 1,. adalah  

𝑎(𝑡) = (1 + 𝑖)𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 ≥ 0 (1) 

dengan i menyatakan suku bunga dalam satu 
periode. Faktor diskonto dinotasikan dengan vt  
yang diberikan oleh,  

𝑎−1(𝑡) = 𝑣 𝑡 =
1

(1 + 𝑖)𝑡
  𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑡 ≥ 0 

(2) 

B. Status Single Life 

a) Fungsi Survival 

Misalkan X adalah variabel random kontinu 
yang menyatakan jatah usia yang akan dijalani 
oleh seorang bayi yang baru lahir, maka fungsi 
distribusi dari X adalah  

𝐹𝑋(𝑥) = Pr(𝑋 ≤ 𝑥) , 𝑥 ≥ 0 (3) 

dan fungsi survival yang menyatakan probabilitas 
seorang bayi yang baru lahir akan mencapai usia x 
tahun adalah 

𝑠(𝑥) = 1 − 𝐹𝑋(𝑥) = Pr(𝑋 > 𝑥) , 𝑥 ≥ 0 (4) 

b) Sisa Usia Bagi (x) 

Notasi T(x) menyatakan sisa usia dari (x) 
dinyatakan dengan T(x) = X – x.  Notasi aktuaria 
yang berhubungan dengan probabilitas tentang 
T(x) dinyatakan sebagai, 

1. Probabilitas (x) akan meninggal t tahun 

kemudian dinyatakan sebagai berikut: 

𝑞𝑥 𝑥 = Pr(𝑇(𝑥) ≤ 𝑡)

= 1 −
𝑠(𝑥 + 𝑡)

𝑠(𝑥)
, 𝑡 ≥ 0  

(5) 

2. Probabilitas (x) akan hidup mencapai usia x+t 

tahun dinyatakan sebagai berikut : 

𝑝𝑡 𝑥 = 1 − 𝑞𝑡 𝑥 = Pr(𝑇(𝑋) > 𝑡)

=
𝑠(𝑥 + 𝑡)

𝑠(𝑥)
, 𝑡 ≥ 0 

(6) 

c) Sisa Usia Bulat Bagi (x) 

Variabel random yang berhubungan 
dengan sisa usia bulat untuk (x) sampai terjadi 
kematian dinotasikan dengan K(x). Fungsi 
distribusi dari K(x) didefinisikan sebagai : 

𝐹𝐾(𝑥)(𝑦) = ∑ 𝑞ℎ 𝑥

𝑘

ℎ=0

= 𝑞𝑘+1 𝑥 ,   𝑦 ≥ 0 (7) 

dan k bilangan bilat terbesar dari y. 

d) Hubungan Tabel Mortalitas dan Fungsi 
Survival 

Misalkan £(x) merupakan variabel random 
yang menyatakan jumlah orang yang masih hidup 
sampai usia x tahun yang dinyatakan dengan  

£(𝑥) = ∑ 𝐼𝑗 (𝑥)

𝑙0

𝑗=1

 

1. £(𝑥)~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑙0, 𝑠(𝑥)) 

2. 𝐼𝑗 ~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 dengan  

𝐼𝑗 = {
1, 𝑗 𝑚𝑎𝑠𝑖ℎ ℎ𝑖𝑑𝑢𝑝 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑥
0, 𝑗 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑙𝑢𝑚 𝑢𝑠𝑖𝑎 𝑥

 

Karena 𝐸[𝐼𝑗 ] = 𝑠(𝑥) maka 𝑙𝑥 = 𝐸[£(𝑥)] =

𝑙0𝑠(𝑥). Probabilitas seseorang yang berusia x akan 

hidup paling sedikit k tahun yaitu 𝑝𝑘 𝑥 =
𝑙𝑥+𝑘

𝑙𝑥
  

maka probabilitas seseorang berusia x akan 
meninggal sebelum mancapai usia x+k tahun 
adalah 

𝑞𝑘 𝑥 = 1 − 𝑝𝑘 𝑥 =
𝑙𝑥+𝑘 − 𝑙𝑥

𝑙𝑥
=

𝑑𝑥
𝑙𝑥

 (8) 

Tabel mortalitas yang digunakan dalam 
tulisan ini adalah life table US male&female 2004. 



Irma Fauziah  
 

 
44 Volume 3 No. 1 November 2013 

 

e) Sistem Pembayaran Benefit Asuransi 
Single Life Berjangka Diskrit 

Misalkan bk+1 menyatakan fungsi benefit 
dan vk+1 menyatakan fungsi diskonto maka 
asuransi berjangka n tahun yang menyediakan 
benefit pada akhir tahun kematian tertanggung 
adalah  

𝑏𝑘+1 = {
1,    𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1
0,                 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

                                 (9) 

Untuk mempermudah perhitungan, 
asumsikan benefitnya sebesar Rp 1,.  Present Value 
pembayaran benefit adalah sebesar zk+1 = bk+1. vk+1  
Variabel random dari zk+1 dinotasikan dengan Z.  

 𝑍 = {
𝑣𝑘+1, 𝐾 = 0,1, … , 𝑛 − 1

0,         𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
                              (10) 

Actuarial Presesnt Value (APV) dari 
asuransi berjangka n tahun adalah 

      


















1

0

1

:|

1

0

11
Pr

n

k

nxxk

n

k

kk

Aq

kxKvvEZE

        

(11)

 

f) Anuitas Jiwa Single Life Berjangka n Tahun 
Diskrit 

Present Value variabel random dari anuitas 
jiwa awal berjangka n tahun sebesar 1 pertahun 
adalah  

 𝑌 = {
�̈�𝐾+1|̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅          0 ≤ 𝐾 ≤ 𝑛

�̈�𝑛|̅̅ ̅                    𝐾 ≥ 𝑛
                              (12) 

dan actuarial present value (APV) nya adalah 

 
::

1 1.. .. ..

1

0 0
x n

n n
k

k nk x x k n x k x

k k

E Y a p q a p v p a
 

 

 

    
           

                                                             

       (13)                              

g) Status Last Survivor 

Kelangsungan status dari m individu yang 
berusia x1, x2,…, xm masih berlangsung jika paling 
sedikit satu dari (x1), (x2),…,(xm) hidup dan status 
ini akan berkahir jika semua individu meninggal 
dunia dinamakan status Last Survivor.  Status ini 
dinotasikan dengan (𝑥1𝑥2 … 𝑥𝑚̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅).  Distribusi sisa 
usia yang lengkap yang akan dijalani oleh status 
last survivor yaitu:  

   1 2 1 2... max ( ), ( ),..., ( )m mK x x x K x K x K x

                      
                  (14)                

dengan K(xi) adalah sisa usia lengkap yang dijalani 
oleh individu ke-i.  Misalkan status last survivor 
pasangan suami istri dengan x menyatakan usia 
suami dan y menyatakan usia istri maka fungsi 

distribusi dari 𝐾(𝑥𝑦̅̅ ̅) dengan asumsi sisa usia 
pasangan suami istri adalah saling bebas  
dinyatakan sebagai, 

                   

  

kykxyxk

kykykyk

kxkxkyk

xyK

qqp

qpq

qpq

kfkxyK













 )(Pr
)(

       (15)         

Probabilitas salah seorang pasangan suami 
istri akan hidup k tahun dinotasikan dengan 

𝑝𝑘 𝑥𝑦̅̅ ̅̅ = 𝑝𝑘 𝑥𝑦 + 𝑝𝑘 𝑥 𝑞𝑘 𝑥 + 𝑝𝑘 𝑦 𝑞𝑘 𝑥  (16) 

C. Sistem Pembayaran Benefit Asuransi Last 
Survivors Berjangka Diskrit 

Jika K menyatakan sisa usia lengkap dari 
status (𝑥𝑦̅̅ ̅) maka  

1. Waktu pembayaran adalah K+1 
2. Present Value pada pembayaran benefit ini 

pada saat polis dikeluarkan sebesar Z = vK+1. 
3. Actuarial Present Value (APV) yaitu : 

   
1

1 1 1

:
0

Pr ( )
n

k k

xy n
k

E Z E v v K xy k A


 



      

                                                      (17) 

D. Anuitas Jiwa Last Survivors Berjangka n 
Tahun Diskrit 

Actuarial present value (APV) dari anuitas 
Last Survivor berjangka n tahun adalah : 

   
1 .. .. ..

1 :

0

Pr ( )
n

k n xy nn xy
k

E Y a K xy k a p a






   
                              

          (18)

 

E. Copula Frank 

 Copula Frank merupakan salah satu 
keluarga copula Archimedean dan pertama kali 
dikenalkan oleh Frank pada tahun 1979 yang 
mempunyai bentuk : 

 
   1 11

, ln 1

1

u v

e e
C u v

e

 





  
  



 
 
 

,                

                                                                 (19) 

Α adalah parameter yang mengukur 
penyimpangan dari asumsi saling bebas. Copula 
ini dibangun dari fungsi pembangkit (generator) 

yang dinotasikan dengan ( )u  yaitu : 

𝜑(𝑢) = ln
𝑒 𝛼𝑢 − 1

𝑒 𝛼 − 1
 

(20) 



Evaluasi Premi Last Survivor Pasangan Suami Istri Menggunakan Metode Copula Frank 
 

 
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 45 

 

dengan fungsi invers yaitu : 

 
  

1
ln 1 1

u
e e

u







 

             (21) 

Copula ini mempunyai kelebihan jika 
dibandingkan dengan keluarga copula 
Archimedean yang lain yaitu : 

1. Dependensi lengkap, copula Frank 
mengijinkan dependensi negative antar 
marginal,       

2. Copula ini digunakan untuk memodelkan data 
yang menunjukkan dependensi yang lemah 

3. Mempunyai batas-batas Frechet-Hoeffding 
yang termuat dalam interval parameter 
dependensi. 

PEMBAHASAN 

A. Status Polis Last Survivor 

Dalam polis Last Survivor yang 
menanggung pasangan suami yang berusia x 
tahun dan istri yang berusia y tahun maka 
terdapat empat status yang bergantung pada 
status hidup keduanya, misalkan A, B, C dan D 
adalah empat status tersebut dengan status A 
menyatakan status pasutri keduanya masih hidup, 
status B menyatakan status bahwa istri masih 
hidup dan suami sudah meninggal, status C 
menyatakan status istri sudah meninggal dan 
suami masih hidup dan status D menyatakan 
status bahwa keduanya sudah meninggal.  Jadi 
asumsi mortalitas pada keempat status 
merupakan bobot rata-rata angka mortalitas yang 
ditunjukkan pada Tabel 1. 

Tabel 1. Populasi dan Status 

Status TP (x) TK (y) PSPAT (k+1) PIF 

A h h 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 = 𝑝𝑘 𝑥 𝑝𝑘 𝑦   ya 

B m h 𝑝𝑘
𝐵

𝑥𝑦 = 𝑞𝑘 𝑥 𝑝𝑘 𝑦   ya 

C h m 𝑝𝑘
𝐶

𝑥𝑦 = 𝑝𝑘 𝑥 𝑞𝑘 𝑦  ya 

D m m 𝑝𝑘
𝐷

𝑥𝑦 = 𝑞𝑘 𝑥 𝑞𝑘 𝑦  tidak 

Keterangan. 
H : hidup 
M : meninggal 
TP : tertanggung pertama 
TK : tertanggung kedua 
PSPAT : probabilitas status pada awal tahun 
PIF : policy in force 

B. Angka Klaim Last Survivor Frasier 

Bill Frasier pada tahun 1978 mengenalkan 
metode pendekatan untuk menghitung 
probabilitas kematian pada tahun tertentu dari 
tertanggung terakhir, yang dihitung pada awal 

berlakunya polis, angka klaim tersebut dinyatakan 
dengan,  

       
     

k x k y x k y k k x k y x k k x k y y kJLS

k

k x k y k x k y k x k y

p p q q p q q q p q
q

p p p q q p

   
    


 

  1

1

k kxy xy

k xy

q q

q







                                                     (22)

 

Dengan 𝑞𝑘 𝑥𝑦̅̅ ̅̅  menyatakan probabilitas bahwa 

kedua tertanggung meninggal dalam k tahun 
pertama. 

Persamaan (22) dapat dinyatakan sebagai 
probabilitas bersyarat, yaitu : 

| |:

A B C

k xy k xy y k xmeninggal k xy x k ymeninggalx k y kJLS

k A B C

k xy k xy k xy

p q p q p q
q

p p p

  
    


 

                                             (23) 

Populasi status A akan berkurang karena 
terjadi kematian salah satu tertanggung maka 
polis bermigrasi ke status B dan C dan jika 
keduanya meninggal maka polis bermigrasi ke 
status D.   

Secara rekursif dinyatakan sebagai :                                                  

 KTBN MTBN 

𝑝𝑘+1
𝐴

𝑥𝑦 = 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 − 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 × 𝑞𝑥+𝑘,𝑦+𝑘̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ − 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 × (𝑞𝑦+𝑘|𝑥ℎ − 𝑞𝑥+𝑘,𝑦+𝑘̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) 

𝑝𝑘+1
𝐵

𝑥𝑦 = 𝑝𝑘
𝐵

𝑥𝑦 − 𝑝𝑘
𝐵

𝑥𝑦 × 𝑞𝑥+𝑘|𝑦𝑚  − 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 × (𝑞𝑦+𝑘|𝑦ℎ − 𝑞𝑥+𝑘,𝑦+𝑘̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) 

𝑝𝑘+1
𝐶

𝑥𝑦 = 𝑝𝑘
𝐶

𝑥𝑦 − 𝑝𝑘
𝐶

𝑥𝑦 × 𝑞𝑦+𝑘|𝑥𝑚  − 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 × (𝑞𝑦+𝑘|𝑥ℎ − 𝑞𝑥+𝑘,𝑦+𝑘̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) 

𝑝𝑘+1
𝐷

𝑥𝑦 = 𝑝𝑘
𝐷

𝑥𝑦  − 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 × 𝑞𝑥+𝑘,𝑦+𝑘̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ − 𝑝𝑘
𝐴

𝑥𝑦 × (𝑞𝑦+𝑘|𝑦𝑚 − 𝑞𝑥+𝑘,𝑦+𝑘̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ) 

  + − 𝑝𝑘
𝐵

𝑥𝑦 × 𝑞𝑥+𝑘|𝑦𝑚  

  + − 𝑝𝑘
𝐶

𝑥𝑦 × 𝑞𝑦+𝑘|𝑥𝑚  

Keterangan. 
KTBN  : klaim total bersih nol 
MTBN : migrasi total bersih nol                                           

C. Pengaruh Tingkat Lapse pada Setiap 
Status  

Jika data tidak tersedia maka seorang 
aktuaris boleh mengasumsikan tingkat lapse yang 
lebih rendah diantara tertanggung yang masih 
hidup (Margus, 2002).   

Untuk menetapkan jumlah populasi pada 
tahun berikutnya berdasarkan asumsi tingkat 
lapse yang diberikan, secara terpisah pada setiap 
status yang berlaku maka, 

status A,  . .1 11
A A e o y A

k xy k xy k xy
P P r

 
    

status B,  . .1 11
B B e o y B

k xy k xy k xy
P P r

 
    

status C,  . .1 11
C C e o y C

k xy k xy k xy
P P r

 
    

dimana 
1

A

k xy
r

  
menyatakan tingkat lapse pada                 

akhir tahun ke k+1 pada status A, 
1

B

k xy
r



menyatakan tingkat lapse pada  akhir  tahun ke 



Irma Fauziah  
 

 
46 Volume 3 No. 1 November 2013 

 

k+1 pada status B, 
1

C

k xy
r


 menyatakan tingkat lapse 

pada akhir tahun ke k+1 pada status C, dan notasi 
. .A e o y

k xy
P menyatakan probabilitas hidup atau 

populasi akhir tahun ke-k pada status A yang 
besarnya dinyatakan dengan  

. .A e o y A

k xy k xy
p p

:

A

k xy x k y k
p q

 
 

 | :
A

k xy y k xhidup x k y k
p q q

  
  

 | :
A

k xy x k yhidup x k y k
p q q

  
                             (25) 

Persamaan ini diperoleh dari persamaan 
(24), dimana persamaan (24) merupakan 
populasi awal tahun.  Sedangkan status D adalah 
status dimana keduanya meninggal maka populasi 
status D tidak berubah. 

D. Model Copula Frank untuk Anuitas dan 
Asuransi Berjangka Last Survivor 

Notasi (𝑥𝑦̅̅ ̅) menyatakan status dari dua 
tertanggung yang berusia x dan y tahun masih 
berlangsung jika salah satu dari (x) atau (y)  masih 
hidup dan status tersebut berakhir jika keduanya 
meninggal dunia disebut status Last Survivor. 

Probabilitas salah satu tertanggung dari 
suami ataupun istri akan hidup mencapai usia x+k 

dan y+k tahun dinotasikan dengan k xyp , 

berdasarkan copula Frank dinyatakan sebagai

                                  
  1 11

1 log 1
1

k yk x
qq

k exy

e e
p

e






   
     
   

           (26) 

             

 
Anuitas awal berjangka n tahun untuk 

status Last Survivor dinotasikan dengan �̈�𝑥𝑦̅̅ ̅̅ :�̅�  

yang besarnya adalah, 

  1..
:

0

1 11
1 log 1

1

k yk x
qq

n
k

xy n e

k

e e
a v

e










    
      
    
    


      (27)

                                                     

Nilai tunai asuransi atau premi tunggal 
bersih asuransi Last Survivor sebesar Rp 1,. selama 
n tahun adalah 

1
1 1

:
0

n
k JLS

k kxyxy n
k

A v p q






  

            
    

11
..

1
1

..
0

1 1 11
log

1 1 1

k yk x

k yk x

qq
n

k

e qq
k

e e e
v

e e e












     
  
     

  


   (28)                                                     

E. Model Copula Frank untuk Premi Last 
Survivor 

Misalkan premi tunggal bersih untuk 
asuransi Last Survivor berjangka n tahun dengan 
benefit sebesar Rp 1,. bagi suami yang berusia x 

tahun dan istri yang berusia y tahun dinotasikan 

dengan 
1

:xy n
P . 

Fungsi kerugian: 

 
.. ..

1 1
1

:

k
k n n xyxy n

L v P a a p



 

   
 

         k = 0,1,2,…,n-1 

 
.. ..

1 1
1

:
0 0

k
k n n xyxy n

E L E v P E a a p



  

           

            

    
    

  
 

11
..

1
1

..
0

1

:
..

1

0

1 1 11
log

1 1 1

1 11
1 log 1

1

k yk x

k yk x

k yk x

qq
n

k

e qq
k

xy n
qq

n
k

e

k

e e e
v

e e e
P

e e
v

e






















     
  
     

  
 

    
     
   
    





                                      (29) 
Contoh 
1. Karena ketidak tersediaan data di lapangan, 

maka sebagai contoh andaikan pasangan 
suami istri yang mempunyai usia lebih dari 55 
tahun mengalihkan resiko ketidakpastian 
hidup dengan mengikuti asuransi berjangka 
last survivor berjangka dengan masa asuransi 
10 tahun, pasangan suami istri tersebut 
berturut-turut berusia 60 tahun dan 55 tahun, 
dengan uang pertanggungan sebesar Rp. 100 
000 000,. dan suku bunga 6% pertahun, 
parameter dependensi mortalitas pasutri 
dihitung menggunakan copula Frank dengan 
mengambil nilai parameter α = -3,367, -3, -2,5, 
-2, -1,5, -1 dan 1(Valdez, Frees, dan Carriere, 
1999) maka premi tahunan netto nya adalah : 

Tabel 2. Premi Netto Tahunan Berjangka 10 
tahun Untuk suami yang berusia 60 tahun dan 
Istri yang berusia 55 tahun 

UPSI P (𝛼) PTN (Rp) 
x = 60 -3.367 292 506.01 
y = 55 -3 273 782.33 

 -2.5 247 579.07 
 -2 220 892.55 
 -1.5 194 163.79 
 -1 167 914.84 
 1 78 471.49 

Keterangan. 
UPSI : usia pasangan suami-istri 
P : parameter 
PTN : premi tahunan netto 

dengan perhitungan sebagai berikut: 

x=60 (1) (2) (3) (4) 
y=55 Mortalitas Single Life  

k qx+k qy+k kqx kqy 
0 0.01176 0.00472 0.00000 0.00000 
1 0.01293 0.00514 0.01176 0.00472 
2 0.01416 0.00559 0.02454 0.00984 
3 0.01536 0.00611 0.03836 0.01538 
4 0.01656 0.00670 0.05313 0.02139 
5 0.01785 0.00739 0.06881 0.02795 
6 0.01933 0.00817 0.08543 0.03513 
7 0.02099 0.00898 0.10311 0.04301 



Evaluasi Premi Last Survivor Pasangan Suami Istri Menggunakan Metode Copula Frank 
 

 
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 47 

 

8 0.02286 0.00978 0.12193 0.05160 
9 0.02492 0.01058 0.14200 0.06087 

10 0.02706 0.01147 0.16339 0.07081 

  
(5) (6) (7) (8) (9) 

α = -3.3 α = -3 α = -2.5 α = -2 α = -1.5 
0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 
0.00019 0.00017 0.00015 0.00013 0.00011 
0.00080 0.00073 0.00063 0.00054 0.00045 
0.00189 0.00172 0.00151 0.00129 0.00109 
0.00352 0.00323 0.00283 0.00245 0.00208 
0.00577 0.00530 0.00467 0.00406 0.00346 
0.00870 0.00803 0.00711 0.00620 0.00532 
0.01242 0.01149 0.01022 0.00896 0.00773 
0.01700 0.01578 0.01410 0.01242 0.01077 
0.02250 0.02096 0.01882 0.01666 0.01452 
0.02898 0.02708 0.02444 0.02175 0.01907 

 
(10) (11) (12) (13) (14) 

α = -1 α = 1 α = -3.3 α = -3 α = -2.5 
0.00000 0.00000 0.00019 0.00017 0.00015 
0.00009 0.00003 0.00061 0.00055 0.00048 
0.00038 0.00014 0.00109 0.00100 0.00088 
0.00091 0.00035 0.00164 0.00151 0.00133 
0.00173 0.00069 0.00225 0.00208 0.00185 
0.00290 0.00117 0.00295 0.00274 0.00245 
0.00448 0.00185 0.00375 0.00349 0.00314 
0.00655 0.00277 0.00463 0.00434 0.00392 
0.00917 0.00399 0.00560 0.00526 0.00478 
0.01244 0.00556 0.00663 0.00626 0.00573 
0.01644 0.00755 0.00775 0.00734 0.00676 

 
(15) (16) (17) (18) (19) 

α = -2 α = -1.5 α = -1 α = 1 vk 
0.00013 0.00011 0.00009 0.00003 1.00000 
0.00041 0.00035 0.00029 0.00011 0.94340 
0.00076 0.00064 0.00053 0.00021 0.89000 
0.00115 0.00099 0.00083 0.00033 0.83962 
0.00161 0.00139 0.00117 0.00049 0.79209 
0.00215 0.00186 0.00158 0.00068 0.74726 
0.00278 0.00242 0.00207 0.00092 0.70496 
0.00349 0.00307 0.00265 0.00122 0.66506 
0.00429 0.00379 0.00330 0.00158 0.62741 
0.00517 0.00461 0.00404 0.00200 0.59190 
0.00615 0.00552 0.00488 0.00252 0.55839 

 
(20) (21) (22) (23) (24) 

α = -3.3 α = -3 α = -2.5 α = -2 α = -1.5 
1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 
0.94322 0.94323 0.94326 0.94328 0.94330 
0.88929 0.88935 0.88944 0.88952 0.88959 
0.83804 0.83817 0.83836 0.83853 0.83870 
0.78930 0.78954 0.78985 0.79016 0.79045 
0.74295 0.74329 0.74377 0.74423 0.74467 
0.69882 0.69930 0.69995 0.70059 0.70121 
0.65680 0.65741 0.65826 0.65910 0.65992 
0.61675 0.61751 0.61856 0.61962 0.62066 
0.57858 0.57949 0.58076 0.58204 0.58330 
0.54221 0.54327 0.54475 0.54625 0.54775 

 
(25) (26) (27) (28) (29) 

α = -1 α = 1 α = -3.3 α = -3 α = -2.5 
1.00000 1.00000 0.00018 0.00016 0.00014 
0.94331 0.94337 0.00054 0.00049 0.00043 
0.88966 0.88987 0.00092 0.00084 0.00073 
0.83886 0.83932 0.00130 0.00119 0.00105 
0.79072 0.79155 0.00168 0.00155 0.00138 
0.74509 0.74638 0.00207 0.00192 0.00172 
0.70180 0.70365 0.00247 0.00230 0.00207 
0.66070 0.66321 0.00287 0.00269 0.00243 
0.62166 0.62491 0.00326 0.00306 0.00279 
0.58453 0.58861 0.00362 0.00342 0.00314 

0.54922 0.55418 0.00396 0.00376 0.00348 

 
 
 

(30) (31) (32) (33) 
α = -2 α = -1.5 α = -1 α = 1 

0.00012 0.00010 0.00008 0.00003 
0.00037 0.00031 0.00026 0.00010 
0.00063 0.00054 0.00045 0.00018 
0.00091 0.00078 0.00065 0.00026 
0.00120 0.00103 0.00087 0.00036 
0.00151 0.00131 0.00111 0.00048 
0.00184 0.00160 0.00137 0.00061 
0.00217 0.00191 0.00165 0.00076 
0.00251 0.00222 0.00194 0.00093 
0.00284 0.00254 0.00223 0.00111 
0.00317 0.00285 0.00253 0.00132 

 
Nilai parameter dependensi α = -3,367 
menunjukkan angka mortalitas yang sangat 
tinggi sehingga premi yang dihasilkan paling 
mahal jika dibandingkan dengan parameter 
dependensi yang lain.  Nilai parameter α = 1 
menunjukkan angka mortalitas last survivor 
yang menurun sehingga premi yang 
dihasilkan paling murah di antara parameter 
dependensi yang lain.  Nilai parameter 
dependensi α yang mendekati nol 
menunjukkan independensi mortalitas 
pasangan suami-istri.   

2. Andaikan pasangan suami-istri yang 

berturut-turut berusia 54 tahun dan 43 tahun 

mengasuransikan diri mereka dengan 

mengambil polis last survivor berjangka 10 

tahun dengan benefit sebesar Rp. 100 000 

000,. dan suku bunga 6%.   

Karena usia pasangan suami-istri dibawah 55 
tahun maka Premi Tunggal Bersih  dihitung 
dengan mengasumsikan mortalitas pasangan 
suami istri yang independen dan tingkat lapse 
5% sampai terjadi kematian pertama dan 1% 
setelahnya.  Besar premi adalah  

 

 

9
1

1
54:43

:101 0

.. 954:34:10

:10
54:43

0

1, 06 1

100000000. 100000000. 63033, 53

1, 06 1

k JLS

k k
xy k

k
xy

k

k

q q
A

P

a q









  






  

dengan perhitungan sebagai berikut :  

x=54 (1) (2) (3) 

y=43 Probabilitas Terjadi Lapse   
  pada Akhir Tahun ke-k+1           

k 1
A

k xy
r

  1
B

k xy
r

  1
C

k xy
r

  

  𝑥ℎ dan 𝑦ℎ  𝑥ℎ 𝑦ℎ  
0 5.00% 1.00% 1.00% 
1 5.00% 1.00% 1.00% 
2 5.00% 1.00% 1.00% 
3 5.00% 1.00% 1.00% 
4 5.00% 1.00% 1.00% 
5 5.00% 1.00% 1.00% 
6 5.00% 1.00% 1.00% 
7 5.00% 1.00% 1.00% 
8 5.00% 1.00% 1.00% 



Irma Fauziah  
 

 
48 Volume 3 No. 1 November 2013 

 

9 5.00% 1.00% 1.00% 
10 5.00% 1.00% 1.00% 

 
 
 

(4) (5) (6) (7) (8)=(4)x(5) 
        Keduanya 
      Meninggal 

x k
q

  y k
q

  k x
q  k yq  :x k y kq    

          
0.00749 0.00188 0.00000 0.00000 0.00001 
0.00795 0.00206 0.00749 0.00188 0.00002 
0.00846 0.00224 0.01537 0.00393 0.00002 
0.00906 0.00244 0.02370 0.00617 0.00002 
0.00981 0.00263 0.03255 0.00859 0.00003 
0.01071 0.00282 0.04204 0.01120 0.00003 
0.01176 0.00301 0.05230 0.01399 0.00004 
0.01293 0.00320 0.06345 0.01695 0.00004 
0.01416 0.00343 0.07556 0.02010 0.00005 
0.01536 0.00370 0.08865 0.02347 0.00006 
0.01656 0.00400 0.10265 0.02707 0.00007 

 

KESIMPULAN 

1. Produk asuransi Last Survivor berjangka 

untuk pasangan suami-istri yang berusia 55 

tahun keatas, premi dimodelkan dengan 

asumsi dependensi mortalitas pasangan 

suami istri menggunakan copula Frank, 

asumsi ini diciptakan sebagai perlindungan 

terhadap resiko finansial perusahaan 

asuransi, 

2. Produk asuransi Last Survivor berjangka 

untuk pasangan suami-istri yang berusia di 

bawah 55 tahun ke bawah, premi dimodelkan 

menggunakan asumsi independensi 

mortalitas pasangan suami-istri dan asumsi 

lapse pada setiap status polis Last Survivor.  

 
REFERENSI 

[1] Bowers, Newton L, Jr.,Gerber, Hans 
U,.etc.1997. Actuarial Mathematics, Second 
Ed.The Society Of Actuaries. Schaunburg 
Illinois 

[2] Frasier, W. M. 1978. Second To Die Joint Life 
Cash Value And Reverses. The Actuary 
(April) : 4 

[3] Frees, E. W., Carriere, and E. Valdez. 1995.  
Annuity Valuation With Dependent 
Mortality. Actuarial Research Clearing House 
2 : 31-80 

[4] Gusti Arlina. 2003. Kekerapan Tuberkolosis 
Paru pada Pasangan Suami-Istri Penderita 
Tuberkolosis Paru yang Berobat di Bagian 
Paru RSUP Adam Malik.  Universitas 
Sumatera Utara 

[5] Heekyung Youn, Shemyakin Arkady.1999. 
Statistical Aspect Of Joint Life Insurance 
Pricing. American Stat. Association : 34-38 

[6] Kellison, Stephen G. 1991. The Theory Of 
Interest. Edisi Kedua. Irwin McGraw-Hill : 
United State Of America 

[7] Margus, Paul. 2002. Generalized Frasier 
Claim Rates under Survivorship Life 
Insurance Policies.  NAAJ 

[8] M. Atoillah I, Dr. 2007.  Epidemiologi 
Hepatitis B 

[9] National Vital Statistics Report, Vol 56, No. 9, 
28 Desember 2007 

[10] Nelsen, B. Roger. 2005. An Introduction to 
Copula. Springer-Verlag, New York 

[11] P Feferman A. 2005. Broken Heart 
Syndrome. Universidade Federal de Sao 
Paulo : Brazil 

[12] Sembiring, R.K.Ph.D.2001. Buku Materi 
Pokok Asuransi Jiwa I dan Asuransi Jiwa II. 
Karunika Jakarta : Universitas Terbuka