SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN POISSON MENGGUNAKAN JARINGAN 
FUNGSI RADIAL BASIS PADA KOORDINAT POLAR 

 
Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri 

Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 
e-mail: fatma.mufida@gmail.com, m.jamhuri@live.com 

 
ABSTRAK 

Persamaan Poisson dalam koordinat polar atau lingkaran merupakan persamaan diferensial parsial linier 

orde dua tipe eliptis. Persamaan ini merupakan bentuk non homogen dari persamaan Laplace. Persamaan Poisson 

pada koordinat polar disini menggambarkan distribusi panas dalam ruang, yang dalam hal ini berbentuk lingkaran. 

Solusi numerik persamaan Poisson diperoleh dengan metode jaringan fungsi radial basis. Dengan metode ini, 

setiap fungsi dan turunannya dapat didekati secara langsung dengan sebuah fungsi basis. Fungsi basis yang 

digunakan adalah fungsi basis jenis multiquadrics. Solusi numerik menggunakan metode jaringan fungsi radial 

basis khususnya metode langsung yang diperoleh dari penelitian ini menunjukkan keakuratan yang t inggi dengan 

diperolehnya galat yang relatif kecil. Dengan galat mutlak maksimum terkecil yaitu 0,00088, dengan pemilihan 

∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 =
𝜋

45
. Ini menunjukkan bahwa metode jaringan fungsi radial basis cukup efektif dalam 

mengaproksimasi persamaan Poisson dengan domain lingkaran. 

 
Kata kunci: Solusi Numerik, Persamaan Poisson, Jaringan Fungsi Radial Basis, Koordinat Polar. 
 

ABSTRACT 

Poisson equation on the polar coordinate is one of the second order partial differential equations of 

elliptic type. This equation is also a special case of Laplace equation and inhomogeneous version of Laplace 

equation. Poisson equation here describes heat conduction on the polar region. Here, we solve Poisson equation 

using radial basis function networks with multiquadrics as a basis function. Numerical experiments show that 

radial basis function network achieves great accuracy. The smallest maximum absolute errors is 0,00088 with 

∆𝑟 = 0,1 and ∆𝜃 =
𝜋

45
. From this result, it can be concluded that radial basis function networks method is effective 

to approximate Poisson equation on the polar coordinate.  

 
Keywords: Numerical Solution, Poisson Equation, Radial Basis Function Networks, Polar Coordinate. 

  
 
PENDAHULUAN  

 Persamaan Poisson merupakan persamaan 

diferensial parsial orde dua tipe eliptis yang 

implementasinya banyak digunakan dalam teknik 

elektro, teknik mesin, dan fisika teori. Dinamai dari 

nama belakang seorang matematikawan Perancis 

yang juga seorang ahli fisika dan geometri Siméon 
Denis Poisson. Dalam fisika teori, persamaan Poisson 

menggambarkan distribusi panas dalam ruang. 

Salah satu metode numerik yang digunakan dalam 

menyelesaikan masalah persamaan diferensial adalah 

jaringan fungsi radial basis (Radial Basis Function 

Networks). Dengan metode ini, setiap fungsi dan 

turunannya dapat didekati secara langsung dengan 

sebuah fungsi basis. Jaringan fungsi radial basis telah 

lama dikenal dalam bidang rekayasa dan teknik 

sebagai jaringan syaraf tiruan yang menggunakan 

fungsi basis sebagai fungsi pengaktif. Gagasan 

jaringan fungsi radial basis diperoleh dari teori 

aproksimasi fungsi. Mengaproksimasi suatu fungsi 

adalah menghampiri fungsi tersebut dengan fungsi 

lainnya. 

Jaringan fungsi radial basis merupakan 

pemetaan dari suatu vektor input dengan p-dimensi ke 

vektor output yang hanya 1 dimensi. Secara aljabar 

disimbolkan dengan f:Rp→R1. Fungsi f  terdiri dari 

himpunan bobot {𝑤𝑗}𝑗=1
𝑚

 dan himpunan fungsi basis 

{ϕ(𝑥𝑖, 𝑐𝑗)}𝑗=1
𝑚

, dengan {𝑥𝑖}𝑖=1
𝑛 . Secara umum, fungsi 

basis dapat ditulis dengan ϕ(𝑥𝑖, 𝑐𝑗) =

√(𝑥𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+ α2, α = var(𝑥). 𝑥𝑖 adalah vektor input 

dan 𝑐𝑗 adalah titik center dari 𝑥 ke-𝑖  [3].  

Koordinat Cartesius bukan merupakan satu-

satunya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu 

titik pada bidang. Karena bentuk geometris di alam 

tidak selalu berupa kotak-kotak atau persegi panjang, 

namun adakalanya berbentuk lingkaran. Sehingga 

sistem koordinat Cartesius menjadi terbatas 

penggunaannya. Cara lain ialah menggunakan sistem 

koordinat polar. 

 

mailto:fatma.mufida@gmail.com


Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri  
 

 
46 Volume 3 No. 4 Mei 2015 

  

KAJIAN PUSTAKA 

1.  Persamaan Poisson 

 Strauss [6] menyatakan bahwa jika sebuah 

persamaan difusi atau persamaan gelombang tidak 

bergantung pada waktu (𝑡), yaitu 𝑢𝑡 = 0 dan 𝑢𝑡𝑡 = 0, 
maka persamaan difusi dan persamaan gelombang 

tersebut menghasilkan persamaan Laplace. 

Persamaan Poisson merupakan bentuk non homogen 

dari persamaan Laplace. 

∇2𝑢 = 𝑓 (1) 

Dengan 𝑓 adalah sebuah fungsi yang diberikan, maka 
disebut persamaan Poisson. 

Bentuk umum persamaan Poisson dalam dua dimensi 

dalam koordinat Cartesius yaitu: 

𝝏𝟐𝒖(𝒙,𝒚)

𝝏𝒙𝟐
+

𝝏𝟐𝒖(𝒙,𝒚)

𝝏𝒚𝟐
= 𝒇(𝒙, 𝒚)  (2) 

Pada domain 𝒙𝒂 < 𝒙 < 𝒙𝒃, 𝒚𝒂 < 𝒚 < 𝒚𝒃. 
Boyce dan DiPrima [1] menyatakan bahwa masalah 

kondisi batas untuk persamaan Poisson 2 dimensi 

(𝒙, 𝒚) dalam sistem koordinat Cartesius adalah: 

𝒖(𝒙𝒂, 𝒚) = 𝒇𝟏(𝒚) 
𝒖(𝒙𝒃, 𝒚) = 𝒇𝟐(𝒚) 
𝒖(𝒙, 𝒚𝒂) = 𝒇𝟑(𝒙) 
𝒖(𝒙, 𝒚𝒃) = 𝒇𝟒(𝒙) 

(3) 

Dengan 𝒇𝟏(𝒚), 𝒇𝟐(𝒚), 𝒇𝟑(𝒙), 𝒇𝟒(𝒙) adalah fungsi-
fungsi yang menyatakan kondisi pada batas-batas 

tersebut. 

 Persamaan Poisson pada sistem koordinat 

polar (𝒓, 𝜽), dengan 𝒖(𝒓, 𝜽) adalah:  

𝝏𝟐𝒖(𝒓,𝜽)

𝝏𝒓𝟐
+

𝟏

𝒓

𝝏𝒖(𝒓,𝜽)

𝝏𝒓
+

𝟏

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖(𝒓,𝜽)

𝝏𝜽𝟐
= 𝒇(𝒓, 𝜽)  (4) 

Dengan domain 𝟎 < 𝒓 < 𝒂 dan 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝒃. Masalah 
kondisi batas untuk persamaan Poisson yang 

domainnya berupa lingkaran (𝒓, 𝜽), kondisi batas 
harus berupa kondisi pada tepi dan pusat lingkaran 

yaitu: 

𝒖(𝒂, 𝜽) = 𝒇(𝜽) 
𝒖(𝟎, 𝜽) = 𝒇(𝜽) 

(5) 

Dengan 𝑎 adalah jari-jari lingkaran dan 𝑓(𝜃) adalah 
fungsi yang menyatakan kondisi pada batas tersebut. 

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Gambar 1 Kondisi Batas pada Koordinat Polar 

 

2.  Sistem Koordinat Polar 

 Pada sistem koordinat polar, sepasang 

koordinat polar suatu titik ditulis dengan (𝑟, 𝜃). 
Sebagai ilustrasi sistem koordinat polar, kita mulai 

dengan menggambar sebuah setengah garis tetap 

yang dinamakan sumbu polar yang berpangkal pada 

sebuah titik pusat O. Titik ini disebut polar atau titik 

asal. Biasanya sumbu polar ini kita gambar mendatar 

dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini 

dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sistem 

koordinat Cartesius.  

 Setiap titik P adalah perpotongan antara 

sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan 

sebuah sinar tunggal yang memancar dari O. Jika r 

adalah jari- jari ingkaran dan θ adalah salah satu sudut 

antara sinar dan sumbu polar. Maka yang dinamakan 

sepasang koordinat polar dari titik P dan ditulis 

dengan P (r, θ) adalah (𝑟, 𝜃) [7]. 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 

Gambar 2 Sistem Koordinat Polar 
 

 Purcell dan Varberg [7] menyatakan bahwa 

andaikan sumbu polar berimpit dengan sumbu x 

positif pada sistem koordinat Cartesius. Maka 

koordinat polar (r, θ) sebuah titik P dan koordinat 

Cartesius (𝒙, 𝒚) titik itu dihubungkan oleh 
persamaan: 

𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 (6) 
𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 (7 

𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 (8) 

𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝒚

𝒙
 

𝜽 = 𝒂𝒓𝒄 𝐭𝐚𝐧
𝒚

𝒙
 

(9) 

3.  Jaringan Fungsi Radial Basis 

 Jaringan fungsi radial basis mulai dikenal 

pertama kali sejak D. S. Broomhead dan David Lowe 

menyampaikan makalahnya yang berjudul Radial 

basis functions, Multi-variable functional 

interpolation and adaptive networks pada tahun 1988 

[2]. Jaringan fungsi radial basis merepresentasikan 

sebuah pemetaan dari vektor input dengan p-dimensi 

ke vektor output yang hanya 1-dimensi. Secara 

matematis jaringan fungsi radial basis ditulis dengan 

f:Rp→R1  [5].  

 Fungsi f pada f:Rp→R1 terdiri dari himpunan 

bobot {𝑤𝑗}𝑗=1
𝑚

 dan himpunan fungsi basis  



Solusi Numerik Persamaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar 
 
 

CAUCHY – ISSN: 2086-0382 47 
  

{ϕ(𝑟𝑖, 𝜃𝑖)}𝑖=1
𝑛 , dengan {𝑟𝑖}𝑖=1

𝑛  dan {𝜃𝑖}𝑖=1
𝑛 . Secara 

umum, fungsi basis dapat ditulis dengan 

ϕ(𝑟𝑖, 𝑐𝑗) = √(𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+ α, α = var(𝑟𝑖). 𝑟𝑖 adalah 

vektor input dan𝑐𝑗 adalah titik center dari 𝑟 ke-𝑖 

[3]. 
 Fungsi basis untuk 2 variabel (𝑟, 𝜃): 

𝛟(𝒓𝒊, 𝜽𝒊, 𝒄𝒋, 𝒅𝒋) = 

√(𝒓𝒊 − 𝒄𝒋)
𝟐
+ (𝜽𝒊 − 𝒅𝒋)

𝟐
+ 𝛃 

(10) 

β =  
var(𝑟𝑖) +  var(𝜃𝑖)

2
 

𝑟𝑖 = vektor input ke-𝑖 
𝜃𝑖 = vektor input ke-𝑖 
𝑐𝑗 = titik center dari 𝑟 ke-𝑖 

𝑑𝑗 = titik center dari 𝜃 ke-𝑖 

α = nilai parameter width untuk 1 variabel 
β = nilai parameter width untuk 2 variabel 
  

METODE PENELITIAN 

Metode yang digunakan dalam 

menyelesaikan secara numerik persamaan Poisson 

pada koordinat polar adalah menggunakan 

pendekatan studi literatur atau library research. 

Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah 

sebagai berikut: 

a) Mentransformasi persamaan Poisson beserta 
kondisi batasnya dari koordinat Cartesius ke 

koordinat polar. 

b) Menurunkan fungsi basis multiquadrics 
terhadap variabel-variabel bebasnya (𝒓, 𝜽) 
hingga turunan kedua. 

c) Mendiskritisasi persamaan Poisson pada 
koordinat polar menggunakan jaringan fungsi 

radial basis serta kondisi batasnya. 

d) Mensubstitukan nilai-nilai input (𝑟𝑖, 𝜃𝑖) dan 
𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) ke dalam persamaan Poisson dalam 
bentuk persamaan jaringan fungsi radial basis 

yang telah diperoleh. 

e) Menghitung nilai bobot 𝑤𝑗. 

f) Menghitung solusi persamaan Poisson pada 
koordinat polar dengan mengalikan nilai 

bobot 𝑤𝑗 yang telah diperoleh dan fungsi basis 

multiquadrics yang tanpa diturunkan. 

g) Melakukan simulasi, menggambarkan grafik, 
serta menganalisis galat.  

h) Memberikan kesimpulan atas hasil penelitian 
yang telah diperoleh serta saran untuk penelitian 
selanjutnya. 

 

PEMBAHASAN 

1.  Transformasi Persamaan Poisson  

 Transformasi persamaan Poisson dari 

koordinat Cartesius ke koordinat polar, dengan 

kaidah rantai (chain rule) diperoleh turunan pertama 

𝑢(𝑥, 𝑦) persamaan (2) terhadap 𝑥 dan 𝑦. 
𝝏𝒖

𝝏𝒙
=

𝝏𝒖

𝝏𝒓

𝝏𝒓

𝝏𝒙
+

𝝏𝒖

𝝏𝜽

𝝏𝜽

𝝏𝒙
  (11) 

𝝏𝒖

𝝏𝒚
=

𝝏𝒖

𝝏𝒓

𝝏𝒓

𝝏𝒚
+

𝝏𝒖

𝝏𝜽

𝝏𝜽

𝝏𝒚
  (12) 

Kemudian turunan kedua 𝑢(𝑥, 𝑦) persamaan (2) 
terhadap 𝑥 dan 𝑦 diperoleh: 

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒙𝟐
 = 

𝒙𝟐

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒓𝟐
− 𝟐

𝒙𝒚

𝒓𝟑
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝝏𝒓
+

𝒚𝟐

𝒓𝟑
𝝏𝒖

𝝏𝒓
+ 

                  
𝒚𝟒

𝒓𝟒
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝟐
+

𝟐𝒙𝒚

𝒓𝟒
𝝏𝒖

𝝏𝜽
  

(13) 

𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒚𝟐
 = 

𝒚𝟐

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒓𝟐
+ 𝟐

𝒙𝒚

𝒓𝟑
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝝏𝒓
+

𝒙𝟐

𝒓𝟑
𝝏𝒖

𝝏𝒓
+ 

                  
𝒙𝟒

𝒓𝟒
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝟐
−

𝟐𝒙𝒚

𝒓𝟒
𝝏𝒖

𝝏𝜽
  

(14) 

Substitusi persamaan (13) dan (14) ke dalam 
persamaan (2): 

 
𝝏𝟐𝒖(𝒙,𝒚)

𝝏𝒙𝟐
+

𝝏𝟐𝒖(𝒙,𝒚)

𝝏𝒚𝟐
= 𝑓(𝑥, 𝑦)

 

        = 𝒇(𝒓, 𝜽) 
𝒚𝟐

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒓𝟐
+𝟐

𝒙𝒚

𝒓𝟑
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝝏𝒓
+

𝒙𝟐

𝒓𝟑
𝝏𝒖

𝝏𝒓
+

𝒙𝟐

𝒓𝟒
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝟐
−

𝟐𝒙𝒚

𝒓𝟒
𝝏𝒖

𝝏𝜽
 

𝒙𝟐

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒓𝟐
−𝟐

𝒙𝒚

𝒓𝟑
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝝏𝒓
+

𝒚𝟐

𝒓𝟑
𝝏𝒖

𝝏𝒓
+

𝒚𝟐

𝒓𝟒
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝟐
+

𝟐𝒙𝒚

𝒓𝟒
𝝏𝒖

𝝏𝜽
+

 

𝒙𝟐

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒓𝟐
+

𝒚𝟐

𝒓𝟑
𝝏𝒖

𝝏𝒓
+

𝒚𝟐

𝒓𝟒
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝟐
+

𝒚𝟐

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝒓𝟐
+

𝒙𝟐

𝒓𝟑
𝝏𝒖

𝝏𝒓
+

𝒙𝟐

𝒓𝟒
𝝏𝟐𝒖

𝝏𝜽𝟐
 

     =
𝒇(𝒓, 𝜽) 

(
𝑥2

𝑟2
+

𝑦2

𝑟2
)

𝜕2𝑢

𝜕𝑟2
+ (

𝑦2

𝑟3
+

𝑥2

𝑟3
)

𝜕𝑢

𝜕𝑟
+ (

𝑥2

𝑟4
+

𝑦2

𝑟4
)

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2
 

    = 𝑓(𝑟, 𝜃) 

(
𝑥2+𝑦2

𝑟2
)

𝜕2𝑢

𝜕𝑟2
+ (

𝑥2+𝑦2

𝑟3
)

𝜕𝑢

𝜕𝑟
+ (

𝑥2+𝑦2

𝑟4
)

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2
   

    = 𝑓(𝑟, 𝜃) 

(
𝑟2

𝑟2
)

𝜕2𝑢

𝜕𝑟2
+ (

𝑟2

𝑟3
)

𝜕𝑢

𝜕𝑟
+ (

𝑟2

𝑟4
)

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2
 = 𝑓(𝑟, 𝜃)   

 
𝜕2𝑢

𝜕𝑟2
+ (

1

𝑟
)

𝜕𝑢

𝜕𝑟
+ (

1

𝑟2
)

𝜕2𝑢

𝜕𝜃2
  = 𝑓(𝑟, 𝜃)   

Sehingga, persamaan Poisson dalam koordinat 
polar diperoleh persamaan (4). Dengan domain 
0 < 𝑟 < 𝑎 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏. Dan kondisi batas 
persamaan (5). 
 

2.  Solusi Numerik Persaaan Poisson 

 Langkah pertama untuk menghitung solusi 

numerik persamaan Poisson (4) menggunakan 

jaringan fungsi radial basis adalah mendiskritisasi 

persamaan Poisson (4). Karena persamaan Poisson 

(4) melibatkan turunan kedua 𝒖(𝒓, 𝜽) terhadap 𝒓 dan 
𝜽, maka untuk menghampiri fungsi 𝒖(𝒓, 𝜽) pada 
persamaan Poisson (4), fungsi basisnya diturunkan 

dua kali terhadap 𝒓 dan 𝜽. Karena menggunakan 
metode langsung, sehingga fungsi basisnya 

diturunkan terhadap variabel bebasnya. 

 𝑢𝑟(𝑟, 𝜃), 𝑢𝑟𝑟(𝑟, 𝜃),  dan 𝑢𝜃𝜃(𝑟, 𝜃) 
digunakan untuk menghampiri fungsi 𝑢(𝑟, 𝜃) pada 
persamaan Poisson (4). Fungsi basis yang 
digunakan adalah jenis multiquadrics. 



Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri  
 

 
48 Volume 3 No. 4 Mei 2015 

  

𝑢(𝑟, 𝜃) = ∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

ϕ(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) (15) 

𝒖𝒓(𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘𝒋

𝒎

𝒋=𝟏

𝛟𝒓(𝒓, 𝜽, 𝒄𝒋, 𝒅𝒋) (16) 

𝒖𝒓𝒓(𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘𝒋

𝒎

𝒋=𝟏

𝛟𝒓𝒓(𝒓, 𝜽, 𝒄𝒋, 𝒅𝒋) (17) 

𝒖𝜽(𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘𝒋

𝒎

𝒋=𝟏

𝛟𝜽(𝒓, 𝜽, 𝒄𝒋, 𝒅𝒋) (18) 

𝒖𝜽𝜽(𝒓, 𝜽) = ∑ 𝒘𝒋

𝒎

𝒋=𝟏

𝛟𝜽𝜽(𝒓, 𝜽, 𝒄𝒋, 𝒅𝒋) (19) 

Dengan ϕ(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) diketahui pada persamaan 

(10), maka  ϕ𝑟 (𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗), ϕ𝑟𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗), 

 ϕ𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) dan  ϕ𝜃𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) diperoleh: 

ϕ𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) =
𝑟−𝑐𝑗

√(𝑟−𝑐𝑗)
2
+(𝜃−𝑑𝑗)

2
+𝛽

  
(20) 

ϕ𝑟𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) =  
(𝜃−𝑑𝑗)

2
+𝛽

((𝑟−𝑐𝑗)
2
+(𝜃−𝑑𝑗)

2
+𝛽)

3
2

  
(21) 

ϕ𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) =
𝜃−𝑑𝑗

√(𝑟−𝑐𝑗)
2
+(𝜃−𝑑𝑗)

2
+𝛽

  (22) 

ϕ𝜃𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) =  
(𝑟−𝑐𝑗)

2
+𝛽

((𝑟−𝑐𝑗)
2
+(𝜃−𝑑𝑗)

2
+𝛽)

3
2

  
(23) 

 Untuk mengaproksimasi persamaan 
Poisson dalam koordinat polar menggunakan 
jaringan fungsi radial basis digunakan persamaan 
Poisson dalam bentuk persamaan jaringan fungsi 
radial basis. Dengan substitusi persamaan (16), 
(17), dan (18) ke dalam persamaan (4), maka: 
𝜕2𝑢(𝑟,𝜃)

𝜕𝑟2
+

1

𝑟

𝜕𝑢(𝑟,𝜃)

𝜕𝑟
+

1

𝑟2
𝜕2𝑢(𝑟,𝜃)

𝜕𝜃2
= 𝑓(𝑟, 𝜃)  

∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

ϕ𝑟𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) +
1

𝑟
∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

ϕ𝑟(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) 

+
1

𝑟2
∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

ϕ𝜃𝜃(𝑟, 𝜃, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) = 𝑓(𝑟, 𝜃) 

∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

[ϕ𝑟𝑟(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) +
1

𝑟𝑖
ϕ𝑟 (𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) 

      +
1

𝑟𝑖
2
ϕ𝜃𝜃(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗)]   = 𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) 

Dengan mensubstitusi persamaan (20), (21), (23) 
maka diperoleh persamaan Poisson dalam bentuk 
persamaan jaringan fungsi radial basis yaitu 
persamaan (24). 

∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

[
(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)

2
+ 𝛽

((𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)

2
+ 𝛽)

3

2

+ 
1

𝑟𝑖

𝑟𝑖 − 𝑐𝑗

√(𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)

2
+ 𝛽

+ 
(24) 

1

𝑟𝑖
2

(𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+ 𝛽

((𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)

2
+ 𝛽)

3

2

]

= 𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) 
 

Pada domain 0 < 𝑟 < 𝑎 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝑏. Dengan 
kondisi batas pada persamaan (5). Dimana 𝑖 =

1,2, … , 𝑛 dan 𝛽 =
𝑣𝑎𝑟(𝑟𝑖)+𝑣𝑎𝑟(𝜃𝑖)

2
. 

 Langkah selanjutnya yaitu menghitung 
niai bobot 𝑤𝑗 . Persamaan (24) akan digunakan 

untuk menghitung nilai bobot 𝑤𝑗 .  

Misal  

𝑨(𝒓𝒊, 𝜽𝒊, 𝒄𝒋, 𝒅𝒋) =
(𝜽𝒊−𝒅𝒋)

𝟐
+𝜷

((𝒓𝒊−𝒄𝒋)
𝟐
+(𝜽𝒊−𝒅𝒋)

𝟐
+𝜷)

𝟑
𝟐

+  

        
𝟏

𝒓𝒊

𝒓𝒊−𝒄𝒋

√(𝒓𝒊−𝒄𝒋)
𝟐
+(𝜽𝒊−𝒅𝒋)

𝟐
+𝜷

 +  

        
𝟏

𝒓𝒊
𝟐

(𝒓𝒊−𝒄𝒋)
𝟐
+𝜷

((𝒓𝒊−𝒄𝒋)
𝟐
+(𝜽𝒊−𝒅𝒋)

𝟐
+𝜷)

𝟑
𝟐

 

Maka persamaan (24) menjadi: 

∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

𝐴(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) = 𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) 

Sehingga, nilai bobot 𝑤𝑗  dapat diperoleh dengan 

perhitungan: 

𝑤𝑗 = 𝐴(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗)
−1

𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) (25) 

Dengan mensubstitusi nilai-nilai input (𝑟𝑖, 𝜃𝑖) ke 
persamaan (25) dan 𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) yang didefinisikan 
dari persamaan Poisson pada koordinat polar 
yang diaproksimasi, dapat dihitung nilai bobot 𝑤𝑗 . 

 Langkah selanjutnya yaitu menghitung 
solusi numerik persamaan Poisson dengan cara 
mengalikan nilai bobot 𝑤𝑗  dengan fungsi basis 

multiquadrics 2 variabel yang tanpa diturunkan. 
Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis 
pada persamaan (10). Sehingga, solusi numerik 
persamaan Poisson (4) adalah: 

�̂�(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) = ∑ 𝑤𝑗

𝑚

𝑗=1

ϕ(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) (26) 

Perhitungan galat 𝜀𝑖 diperoleh dengan: 

[

𝜀1
𝜀2
⋮
𝜀𝑛

] = |

𝑢(𝑟1, 𝜃1)

𝑢(𝑟2, 𝜃2)
⋮

𝑢(𝑟𝑛, 𝜃𝑛)

−

�̂�(𝑟1, 𝜃1)

�̂�(𝑟2, 𝜃2)
⋮

�̂�(𝑟𝑛, 𝜃𝑛)

| (27) 

Besarnya galat menunjukkan seberapa dekat 
solusi eksak dengan solusi numeriknya. 
 



Solusi Numerik Persamaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar 
 
 

CAUCHY – ISSN: 2086-0382 49 
  

3.  Simulasi 

 Untuk lebih memahami cara kerja metode 

jaringan fungsi radial basis, akan ditunjukkan 

simulasi solusi numerik persamaan Poisson pada 

koordinat polar. Persamaan Poisson pada koordinat 

polar yang akan diselesaikan adalah: 
𝝏𝟐𝒖(𝒓,𝜽)

𝝏𝒓𝟐
+

𝟏

𝒓

𝝏𝒖(𝒓,𝜽)

𝝏𝒓
+

𝟏

𝒓𝟐
𝝏𝟐𝒖(𝒓,𝜽)

𝝏𝜽𝟐
=

−𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝜽,  
𝟎 < 𝒓 < 𝟏 dan 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅  

(28) 

Dengan kondisi batas 

𝑢(1, 𝜃) = 0 
𝑢(0, 𝜃) = 0 

(29) 

Domain pada persamaan (28) kemudian dipartisi 

menjadi beberapa data diskrit, dengan ∆𝑟 = 0,05 dan  

∆𝜃 =
𝜋

12
. 

 Langkah pertama untuk menghitung solusi 

numerik persamaan Poisson (28) dengan kondisi 

batas (29) menggunakan jaringan fungsi radial basis 

adalah diskritisasi domain. Domain persamaan 

Poisson kemudian dipartisi dengan ∆𝑟 = 0,05 dan  

∆𝜃 =
𝜋

12
. 𝜃𝑖  tersebut masih dalam satuan derajat (°), 

sehingga dirubah terlebih dahulu ke dalam satuan 

radian supaya dapat dioperasikan dengan 𝑟𝑖. Setelah 
memperoleh 𝑟𝑖 dan 𝜃𝑖  yang telah sama penyebutnya, 
maka domain pada persamaan Poisson dapat 

digambarkan dengan gambar 3 berikut: 

Gambar 3 Diskritisasi Domain Persamaan Poisson 

 

 Setelah membagi domain menjadi beberapa 

titik diskrit, kemudian persamaan Poisson (28) akan 

dirubah menjadi persamaan jaringan fungsi radial 

basis, yaitu pada persamaan (30): 

∑ 𝑤𝑗

525

𝑗=1
[
 
 
 

(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)
2
+ 𝛽

((𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)

2
+ 𝛽)

3

2

+
1

𝑟𝑖

𝑟𝑖 − 𝑐𝑗

√(𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)

2
+ 𝛽

+
1

𝑟𝑖
2

(𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+ 𝛽

((𝑟𝑖 − 𝑐𝑗)
2
+(𝜃𝑖 − 𝑑𝑗)

2
+ 𝛽)

3

2

]
 
 
 

 

= −3 cos 𝜃𝑖  

(30) 

Dengan kondisi batas pada persamaan (29) yaitu 

𝑢(1, 𝜃) = 0 dan 𝑢(0, 𝜃) = 0. Artinya, ketika 𝑟𝑖 =
0,00 dan 𝑟𝑖 = 1,00 maka ruas kanan pada persamaan 

(30) sama dengan 0 atau 𝑓(0, 𝜃𝑖) = 0 dan 𝑓(1, 𝜃𝑖) =
0. 
 Langkah selanjutnya, yaitu menghitung nilai 

bobot 𝑤𝑗. Nilai bobot 𝑤𝑗 dihitung dengan persamaan 

(25): 

𝑤𝑗 = 𝐴(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗)
−1

𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) 

Dengan 𝑖 = 1,2, ⋯ , 525 dan 𝑗 = 1,2, ⋯ , 525. 

Himpunan fungsi basis 𝐴(𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗) yang 

berbentuk matriks 525×525 dan himpunan 𝑓(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) 
yang berbentuk matriks 525×1 diperoleh dengan 
mensubstitusikan nilai-nilai input 𝑟𝑖, 𝜃𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑗 ke 

dalam persamaan (25). Kemudian diperoleh nilai-

nilai bobot 𝑤𝑗 yang berbentuk matriks 525×1.  

 Solusi numerik persamaan Poisson (28) 

dapat dihitung dengan persamaan (31) berikut: 

�̂�(𝒓𝒊, 𝜽𝒊) = ∑ 𝒘𝒋

𝟓𝟐𝟓

𝒋=𝟏

𝛟(𝒓𝒊, 𝜽𝒊, 𝒄𝒋, 𝒅𝒋) (31) 

Hasil simulasi solusi numerik persamaan (28) dengan 

kondisi batas (29) kemudian diperoleh �̂�(𝑟𝑖, 𝜃𝑖) 
seperti dalam gambar 4 berikut: 

Gambar 4 Solusi Numerik Persamaan Poisson 

dengan dengan ∆𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 =
𝜋

12
 

 
Simulasi solusi numerik persamaan Poisson tersebut 

dilakukan dengan program Matlab 2008R. 

 Persamaan Poisson pada koordinat polar 

(𝑟, 𝜃), domainnya berbentuk lingkaran. Persamaan 
ini menggambarkan distribusi panas atau penyebaran 

panas dalam suatu ruang dengan keadaan steady state 

atau tetap. Panas dalam suatu ruang yang berbentuk 

lingkaran menyebar tanpa ada pengaruh waktu, atau 

dapat dikatakan waktu=konstan.  

 Gambar 4 mendeskripsikan bahwa panas 

menyebar pada seluruh ruang/ domain yang 

berbentuk lingkaran dengan jari-jari 1. Kondisi pada 

batas persamaan ini adalah untuk 𝑢(1, 𝜃) = 0 dan 
untuk 𝑢(0, 𝜃) = 0. Artinya, pada saat 𝑟𝑖 = 1 dan 𝑟𝑖 =
0, suhu/ panas ruang adalah sebesar 1 satuan panas.   
 Gambar 4 juga menjelaskan bahwa panas 

menyebar dari 𝑟 = 0 ke 𝑟 = 1. Dan pada saat 
tertentu, panas dalam keadaan meningkat/ suhu naik 

yaitu pada saat 𝑟 = 0,3 sampai 𝑟 = 0,7. Dari gambar 
tersebut terlihat bahwa suhu tertinggi ketika grafik 

berwarna coklat tua yaitu pada 𝑟 = 0,3. Suhu 
terendah terlihat ketika grafik berwarna biru tua yaitu 

𝑟 = −0,3 sampai 𝑟 = −0,7. Dengan kondisi batas 
yang diketahui adalah 𝑢(1, 𝜃) = 0 dan 𝑢(0, 𝜃) = 0, 



Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri  
 

 
50 Volume 3 No. 4 Mei 2015 

  

artinya suhu di pusat lingkaran/ pusat ruang sama 

dengan suhu di batas/ tepi ruang yang pada kasus ini 

berbentuk lingkaran. 

 Perhitungan galat dilakukan untuk 

mengetahui seberapa dekat solusi analitik atau solusi 

eksak dengan solusi numeriknya. Galat diperoleh dari 

selisih antara solusi eksak dan solusi numeriknya. 

Solusi eksak dari persamaan Poisson pada koordinat 

polar 
𝜕2𝑢(𝑟,𝜃)

𝜕𝑟2
+

1

𝑟

𝜕𝑢(𝑟,𝜃)

𝜕𝑟
+

1

𝑟2
𝜕2𝑢(𝑟,𝜃)

𝜕𝜃2
= −3 cos 𝜃 

dengan domain 0 < 𝑟 < 1 dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 pada 
kondisi batas 𝑢(1, 𝜃) = 0 dan 𝑢(0, 𝜃) = 0 tersebut 
diketahui dalam artikel yang ditulis oleh R. C. Mittal 

dan S. Gahlaut [4]: 

𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟(1 − 𝑟) cos 𝜃 
 = (𝑟 − 𝑟2) ∙ cos 𝜃 
 = (𝑟 cos 𝜃 − 𝑟2 cos 𝜃) 

𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟 cos 𝜃 − 𝑟2 cos 𝜃 (32) 
Solusi eksak persamaan Poisson (28) dengan kondisi 

batas (29) dapat dilihat pada gambar 5 berikut: 

Gambar 5 Solusi Eksak Persamaan Poisson Persamaan 

Poisson dengan dengan ∆𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 =
𝜋

12
 

 

 Galat solusi numerik persamaan Poisson 

(3.37) menggunakan metode jaringan fungsi radial 

basis dihitung dari persamaan (3.43) berikut: 

[

𝜺𝟏
𝜺𝟐
⋮

𝜺𝟓𝟐𝟓

] = |

𝒖(𝒓𝟏, 𝜽𝟏)

𝒖(𝒓𝟐, 𝜽𝟐)
⋮

𝒖(𝒓𝟓𝟐𝟓, 𝜽𝟓𝟐𝟓)

−

�̂�(𝒓𝟏, 𝜽𝟏)

�̂�(𝒓𝟐, 𝜽𝟐)
⋮

�̂�(𝒓𝟓𝟐𝟓, 𝜽𝟓𝟐𝟓)

| 

(3.43) 

Dan hasil perhitungannya dapat dilihat pada gambar 

6 berikut: 

Gambar 6 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika 

∆𝑟 = 0,05 dan ∆𝜃 =
𝜋

12
 

 

Galat mutlak maksimum diketahui dari program 

matlab yaitu 0,0012.  
 Menganalisis galat metode jaringan fungsi 

radial basis pada solusi numerik persamaan Poisson 

pada domain lingkaran (28) dilakukan beberapa 

simulasi lagi dengan memperbesar dan memperkecil 

∆𝑟 serta ∆𝜃. Simulasi kedua dilakukan dengan 
memperbesar ∆𝑟 dan ∆𝜃. Solusi numerik persamaan 
Poisson (28) dengan kondisi batas (29) untuk ∆𝑟 =

0,1 dan ∆𝜃 =
𝜋

6
 dilakukan dengan program Matlab. 

Gambar solusi numerik, solusi eksak, dan galatnya 

dapat dilihat pada gambar 7, 8, dan 9 berikut: 

Gambar 7 Solusi Numerik Persamaan Poisson 
Persamaan Poisson dengan dengan ∆𝑟 = 0,1 

dan ∆𝜃 =
𝜋

6
 

 

Gambar 8 Solusi Eksak Persamaan Poisson 
Persamaan Poisson dengan dengan ∆𝑟 = 0,1 

dan ∆𝜃 =
𝜋

6
 

 

Gambar 9 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika ∆𝑟 =

0,1 dan ∆𝜃 =
𝜋

6
 

 

Galat mutlak maksimum diketahui dari program 

matlab yaitu 0,0219.  
 Simulasi ketiga dilakukan dengan 

memperkecil ∆𝜃. Solusi numerik persamaan Poisson 



Solusi Numerik Persamaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar 
 
 

CAUCHY – ISSN: 2086-0382 51 
  

(28) dengan kondisi batas (29) untuk ∆𝑟 = 0,05 dan 

∆𝜃 =
𝜋

45
 dilakukan dengan program Matlab. Gambar 

solusi numerik, solusi eksak, dan galatnya dapat 

dilihat pada gambar 10, 11, dan12 berikut: 

 

 

Gambar 10 Solusi Numerik Persamaan Poisson dengan 

∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 =
𝜋

45
 

 

Gambar 11 Solusi Eksak Persamaan Poisson dengan ∆𝑟 =

0,1 dan ∆𝜃 =
𝜋

45
 

 

Gambar 12 Galat Metode Jaringan Fungsi Radial Basis 

ketika ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 =
𝜋

45
 

Gambar 13 Trial Error untuk ∆𝑟 = 0,1 
 

 

Galat mutlak maksimum diketahui dari program 

matlab yaitu 0,00088. Kemudian dilakukan beberapa 
simulasi lagi untuk mengetahui hasil galat yang 

diperoleh. Dengan pemilihan ∆𝑟 = 0,1 dan ∆𝜃 yang 
berbeda-beda, diperoleh hasil trial error dari 

beberapa simulasi yang telah dilakukan pada gambar 

13 diatas.  

 Hasil-hasil trial error tersebut, 

menunjukkan bahwa besarnya galat mutlak 

maksimum belum tentu dipengaruhi oleh banyaknya 

iterasi yang dilakukan. Semakin banyak iterasi yang 

disebabkan oleh dengan ∆𝑟 dan ∆𝜃 yang kecil, belum 
tentu menghasilkan galat mutlak maksimum yang 

kecil. Begitu pula sebaliknya. Namun dari simulasi 

yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa 

metode jaringan fungsi radial basis cukup efektif 

dalam mengaproksimasi persamaan Poisson pada 

koordinat polar (28) dengan kondisi batas (29) 

dengan galat mutlak maksimum terkecil yang 

diperoleh yaitu 0,00088 dari pemilihan ∆𝑟 = 0,1 dan 

∆𝜃 =
𝜋

45
. 

KESIMPULAN 

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diperoleh 

kesimpulan sebagai berikut: 

Solusi numerik persamaan Poisson pada koordinat 

polar yang diperoleh dalam penelitian ini 

menunjukkan hasil yang cukup dekat dengan solusi 

eksaknya galat mutlak maksimum terkecil yang 

diperoleh yaitu 0,00088 dari pemilihan ∆𝑟 = 0,1 dan 

∆𝜃 =
𝜋

45
. 

Besarnya galat mutlak maksimum belum tentu 

dipengaruhi oleh banyaknya iterasi yang dilakukan. 

Semakin banyak iterasi yang disebabkan oleh dengan 

∆𝑟 dan ∆𝜃 yang kecil, belum tentu menghasilkan 
galat mutlak maksimum yang kecil. Begitu pula 

sebaliknya. 

 

REFERENSI 

[1] W.E. Boyce, R.C. DiPrima, C.W. Haines, 
Elementary differential equations and 
boundary value problems, Wiley New 
York, 1992. 

[2] D.S. Broomhead, D. Lowe, Radial basis 
functions, multi-variable functional 
interpolation and adaptive networks, 
DTIC Document, 1988. 

[3] N. Mai-Duy, T. Tran-Cong, Approximation 
of function and its derivatives using radial 
basis function networks, Appl. Math. 
Model. 27 (2003) 197–220. 



Fatma Mufidah, Mohammad Jamhuri  
 

 
52 Volume 3 No. 4 Mei 2015 

  

[4] R.C. MITTAL, S. GaHLAUT, A BOUNDARY 
INTEGRAL FORMULATION FOR 
POISSON’S EQUATION IN POLAR 
COORDINATES, Indian J. Pure Appi. Math. 
18 (1987) 965–972. 

[5] V. Olej, P. Hajek, Municipal 
creditworthiness modelling by radial 
basis function neural networks and 
sensitive analysis of their input 
parameters, in: Artif. Neural Networks–
ICANN 2009, Springer, 2009: pp. 505–
514. 

[6] W.A. Strauss, Partial differential 
equations: An introduction, New York. 
(1992). 

[7] D. Varberg, E.J. Purcell, Kalkulus dan 
Geometri Analitis Jilid 2, Jakarta 
Erlangga..(1999). Kalkulus Dan Geom. 
Anal. Jilid. 1 (1994).  

 


	PENDAHULUAN
	KAJIAN PUSTAKA
	1.  Persamaan Poisson
	2.  Sistem Koordinat Polar
	3.  Jaringan Fungsi Radial Basis

	METODE PENELITIAN
	PEMBAHASAN
	1.  Transformasi Persamaan Poisson
	2.  Solusi Numerik Persaaan Poisson
	3.  Simulasi

	KESIMPULAN
	REFERENSI