Thoufina Kurniyati DESKRIPSI PENGARUH PARAMETER TERHADAP KESTABILAN PERILAKU SISTEM BANDUL GANDA SEDERHANA Thoufina Kurniyati Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang E-mail: thoufinakurniyati@yahoo.co.id ABSTRAK Sistem bandul ganda sederhana merupakan pengembangan sistem bandul sederhana. Penurunan model bandul ganda sederhana berasal dari persamaan Euler-Lagrange. Sistem bandul ganda sederhana didapatkan dengan asumsi besar sudut perpindahan benda pertama maupun benda kedua sangat kecil. Penelitian terdahulu [1] membahas mengenai kestabilan dan solusi eksak dari sistem bandul ganda sederhana, selanjutnya pada penelitian ini difokuskan untuk mendeskripsikan kestabilan perilaku pada sistem dengan parameter yang berbeda. Hasil penelitian ini menunjukkan sistem memiliki titik tetap trivial, nilai eigen imajiner murni yang berarti sistem berayun di sekitar titik tetap, dan solusi sistem berupa solusi periodik untuk perubahan besar sudut benda pertama dan kedua (πœƒ1,πœƒ2) serta solusi quasiperiodic untuk laju kecepatan benda satu dan benda dua (�̈�1, �̈�2). Perubahan parameter tidak mempengaruhi kestabilan sistem bandul ganda sederhana. Kata Kunci: sistem bandul ganda sederhana, analisis perilaku, titik tetap, nilai eigen, vektor eigen, solusi periodik, solusi quasiperiodic ABSTRACT Simple double pendulum system is the development of a simple pendulum system. The decline in the simple model of a double pendulum is derived from the Euler-Lagrange equation. Simple double pendulum system obtained by assuming a large angle displacement of the object first and second objects is very small. Previous research by [1] discuss the stability and the exact solution of a simple double pendulum system, further research is focused to describe the stability of the behavior of the system with different parameters. The results of this study indicate the system has a nontrivial fixed point, purely imaginary eigenvalues which means the system swinging around a fixed point, and system solutions in the form of periodic solutions for a major change angle first and second objects (πœƒ1,πœƒ2) and quasi-periodic solutions to the rate of velocity one and two object (�̈�1, �̈�2). Parameter changes do not affect the stability of a simple double pendulum system Keywords : simple double pendulum system, behavioral analysis, fixed point, eigen value, eigen vector, periodic solutions, quasiperiodic solutions PENDAHULUAN Peranan teori dan peranan penerapan matematika tidak dapat dipisahkan. Banyak konsep abstrak matematika yang dikembangkan karena kebutuhan untuk menjawab permasalahan dari dunia nyata dan bidang ilmu lain [2]. Pemodelan matematika dapat diterapkan ke berbagai disiplin ilmu lain, salah satunya adalah sistem bandul ganda sederhana. Sistem bandul ganda sederhana merupakan pengembangan bandul sederhana, pengertian bandul sederhana yaitu benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa, yang digantungkan pada tali ringan yang tidak dapat mulur [3]. Penelitian sebelumnya [1] membahas mengenai solusi eksak dan kestabilan sistem bandul ganda sederhana, selanjutnya pada penelitian ini difokuskan mendeskripsikan kestabilan perilaku dengan parameter yang berbeda, parameter tersebut adalah massa benda pertama π‘š1. Salah satu permasalahan yang menggunakan sistem bandul ganda adalah pada sistem kerja tim SAR (Search and Rescue) dan suplai makanan atau amunisi ke barak analisis dengan menggunakan helikopter. Berbagai bencana alam yang ada di Indonesia akhir-akhir ini, menyebabkan kerja Tim SAR semakin tinggi. Keefektifan kerja Tim SAR sangat diperlukan mailto:thoufinakurniyati@yahoo.co.id Thoufina Kurniyati 125 Volume 3 No. 3 November 2014 agar bantuan makanan dan, pakaian ataupun obat-obatan dapat tersebar merata. Sesuai dengan latar belakang yang dikemukakan untuk melanjutkan penelitian sebelumnya, maka dalam penelitian ini penulis mengambil tema β€œDeskripsi Pengaruh Parameter terhadap Kestabilan Perilaku Sistem Bandul Ganda Sederhana”. TINJAUAN PUSTAKA 1. Bandul Ganda Sederhana Sistem bandul ganda sederhana adalah sistem yang terdiri dari dua benda 𝐡1 dan 𝐡2 dengan massa masing-masing benda adalah π‘š1 dan π‘š2. Selain itu benda tersebut masing- masing dihubungkan dengan dua helai kawat yang kuat tapi ringan 𝐿1 dan 𝐿2 dengan panjang masing-masing kawat adalah 𝑙1 dan 𝑙2, benda 𝐡1 terpasang pada ujung kawat 𝐿1 (ujung kawat 𝐿1 lainnya terpasang mantap pada sebuah bidang). Sementara itu benda 𝐡2 terpasang pada ujung kawat 𝐿2 di bawah pengaruh grafitasi (ujung kawat 𝐿2 lainnya mantap terpasang pada benda pertama 𝐡1). Sistem bandul ganda memiliki 4 (empat) parameter yakni 𝑙1, 𝑙2,π‘š1 dan π‘š2 dengan dipengaruhi oleh grafitasi, bandul ganda berosilasi pada bidang vertikal dengan sudut perpindahan untuk suatu waktu adalah πœƒ1(𝑑) dan πœƒ2(𝑑) [1]. Sistem bandul sederhana adalah sebagai berikut { (π‘š1 + π‘š2)𝑙1 2 �̈�1 + π‘š2𝑙1𝑙2�̈�2 + (π‘š1 + π‘š2)𝑙1π‘”πœƒ1 = 0 π‘š2𝑙1𝑙2�̈�1 + π‘š2𝑙2 2 �̈�2 + π‘š2𝑙2π‘”πœƒ2 = 0 Variabel dan parameter yang digunakan adalah π‘š1 : Massa benda pertama dalam satuan slug π‘š2 : Massa benda kedua dalam satuan slug 𝑙1 : Panjang kawat/tali pertama dalam satuan kaki 𝑙2 : Panjang kawat/tali kedua dalam satuan kaki 𝑔 : Gravitasi bumi dalam satuan kaki/s2 πœƒ1(𝑑) : Sudut perpindahan benda pertama pada waktu 𝑑 dalam satuan radian πœƒ2(𝑑) : Sudut perpindahan benda kedua pada waktu 𝑑 dalam satuan radian �̈�1(𝑑) : Laju kecepatan benda pertama terhadap waktu dalam satuan kaki/s2 �̈�2(𝑑) : Laju kecepatan benda kedua terhadap waktu dalam satuan kaki/s2 2. Analisis Model Bandul Ganda Sederhana Pada bagian ini akan dianalisis model bandul ganda sederhana yang dibangun ke dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Analisis dimulai dengan penurunan dari persamaan Euler-Lagrange. Dalam mekanika Lagrangian, evolusi sistem dijelaskan dalam hal koordinat umum dan kecepatan umum. Dalam kasus ini, sudut defleksi bandul πœƒ1, πœƒ2 dan kecepatan angular dapat diambil sebagai variabel umum. Dengan menggunakan variabel-variabel tersebut, dibangun persamaan Lagrangian untuk bandul ganda kemudian persamaan diferensial Euler- Lagrange. Koordinat bandul pertama didefinisikan π‘₯1 = 𝑙1 sinπœƒ1 , 𝑦1 = βˆ’ 𝑙1 cosπœƒ1. Energi kinetik (𝑇) secara umum dinyatakan 𝑇 = 1 2 π‘šπ‘£2. Energi kinetik benda pertama (𝑇1) dinyatakan 𝑇1 = π‘š1 2 (𝑙1 2 οΏ½Μ‡οΏ½1 2 ), (1) dan energi kinetik benda kedua (𝑇2) dinyatakan 𝑇2 = π‘š2 2 [𝑙1 2 οΏ½Μ‡οΏ½1 2 + 𝑙2 2 οΏ½Μ‡οΏ½2 2 + 2𝑙1𝑙2οΏ½Μ‡οΏ½1οΏ½Μ‡οΏ½2cos (πœƒ1 βˆ’ πœƒ2)]. (2) Energi potensial (𝑉) secara umum dinyatakan 𝑉 = π‘šπ‘”β„Ž. Energi potensial benda pertama (𝑉1) dinyatakan 𝑉1 = βˆ’π‘š1𝑔 𝑙1π‘π‘œπ‘  πœƒ1, (3) dan energi potensial benda kedua dinyatakan 𝑉2 = βˆ’π‘š2𝑔 (𝑙1π‘π‘œπ‘  πœƒ1 + 𝑙2π‘π‘œπ‘  πœƒ2). (4) Persamaan Lagrangian adalah selisih antara energi kinetik dengan energi potensial. 𝐿 = 𝑇 βˆ’ 𝑉 = 𝑇1 + 𝑇2 βˆ’ (𝑉1 + 𝑉2) (5) Substitusi (1)-(4) ke persamaan (5) maka didapatkan 𝐿 = ( π‘š1 2 + π‘š2 2 )𝑙1 2 οΏ½Μ‡οΏ½1 2 + π‘š2 2 𝑙2 2 οΏ½Μ‡οΏ½2 2 + π‘š2𝑙1𝑙2οΏ½Μ‡οΏ½1οΏ½Μ‡οΏ½2cos (πœƒ1 βˆ’ πœƒ2) + (π‘š1 + π‘š2)𝑔𝑙1cos πœƒ1 + π‘š2𝑔𝑙2cos πœƒ2 . (6) Fungsi trigonometri cos πœƒ1, dan cos πœƒ2 dapat digantikan oleh ekspresi perkiraan berikut cos πœƒ1 β‰ˆ 1 βˆ’ οΏ½Μ‡οΏ½1 2 2 , cos πœƒ2 β‰ˆ 1 βˆ’ οΏ½Μ‡οΏ½2 2 2 . Deskripsi Pengaruh Parameter Terhadap Kestabilan Perilaku Sistem Bandul Ganda Sederhana CAUCHY – ISSN: 2086-0382 126 Diasumsikan bahwa sudut πœƒ1 dan πœƒ2 sangatlah kecil maka nilai cos (πœƒ1 βˆ’ πœƒ2) dapat dinyatakan sebagai berikut cos (πœƒ1 βˆ’ πœƒ2) β‰ˆ cosπœƒ1 cosπœƒ2 + sinπœƒ1 sinπœƒ2 β‰ˆ 1 maka didapatkan 𝐿 = ( π‘š1 2 + π‘š2 2 )𝑙1 2 οΏ½Μ‡οΏ½1 2 + π‘š2 2 𝑙2 2 οΏ½Μ‡οΏ½2 2 + π‘š2𝑙1𝑙2οΏ½Μ‡οΏ½1οΏ½Μ‡οΏ½2 βˆ’( π‘š1 2 + π‘š2 2 )𝑔𝑙1οΏ½Μ‡οΏ½1 2 + π‘š2 2 𝑔𝑙2οΏ½Μ‡οΏ½1 2 . Persamaan Euler - Lagrange dinyatakan sebagai berikut 𝑑 𝑑𝑑 πœ•πΏ πœ•οΏ½Μ‡οΏ½π‘– βˆ’ πœ•πΏ πœ•πœƒπ‘– = 0, 𝑖 = 1,2 sehingga diperoleh sistem bandul ganda dengan asumsi sudut osilasi yang kecil { 𝑑 𝑑𝑑 [(π‘š1 + π‘š2)𝑙1 2 οΏ½Μ‡οΏ½1 + π‘š2𝑙1𝑙2οΏ½Μ‡οΏ½2]+ (π‘š1 + π‘š2)𝑔𝑙1πœƒ1 = 0 𝑑 𝑑𝑑 [π‘š2𝑙2 2 οΏ½Μ‡οΏ½2 + π‘š2𝑙1𝑙2οΏ½Μ‡οΏ½1]βˆ’ π‘š2𝑔𝑙2πœƒ2 = 0 atau { (π‘š1 + π‘š2)𝑙1 2 �̈�2 + π‘š2𝑙1𝑙2�̈�2 + (π‘š1 + π‘š2)𝑔𝑙1πœƒ1 = 0 π‘š2𝑙2 2 �̈�2 + π‘š2𝑙1𝑙2�̈�1 βˆ’ π‘š2𝑔𝑙2πœƒ2 = 0 . (2.24) 3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan matriks 𝐴 adalah matriks 𝑛 Γ— 𝑛, maka vektor tak nol x di dalam ℛ𝑛 dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari 𝐴 adalah kelipatan skalar dari x; yakni, 𝐴x = πœ†x untuk suatu skalar πœ†. Skalar πœ† dinamakan nilai eigen dari 𝐴 dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan Ξ» [4]. 4. Solusi dan Potret Fase dengan Nilai Eigen Kompleks Persamaan diferensial xΜ‡ = π‘Žx memiliki solusi x(𝑑) = x0(𝑑)𝑒 π‘Žπ‘‘ dengan x(𝑑) merupakan variabel yang bergantung pada waktu 𝑑, π‘Ž merupakan parameter dan kondisi awal x0 yang berbeda [5]. Selanjutnya untuk solusi dari nilai eigen kompleks, diperlukan untuk memahami eksponensial dengan eksponen kompleks. Dengan membandingkan ekspansi deret kuasa, dapat dilihat bahwa 𝑒𝑖 𝛽𝑑 = cos(𝛽𝑑) + 𝑖 sin(𝛽𝑑), 𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑑 = 𝑒𝛼𝑑𝑒𝑖 𝛽𝑑 = 𝑒𝛼𝑑(cos(𝛽𝑑) + 𝑖 sin(𝛽𝑑)) [5]. Demikian, jika πœ† = 𝛼 + 𝑖𝛽 adalah nilai eigen kompleks dengan vektor kompleks v = u + 𝑖 w (dengan 𝛼 dan 𝛽 adalah bilangan real serta u dan w adalah vektor real), maka 𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑑(u + 𝑖 w) = 𝑒𝛼𝑑(cos(𝛽𝑑) + 𝑖 sin(𝛽𝑑))(u + 𝑖 w) Berikutnya adalah menggambar potret fase untuk sepasang nilai eigen kompleks. Diasumsikan sebuah nilai eigen adalah πœ† = 𝛼 Β± 𝑖𝛽 dengan 𝛽 β‰  0 [5] 1. Jika 𝛼 = 0, maka titik tetap adalah elliptic center, dengan solusi periodik. Arah gerakan yaitu searah jarum jam atau berlawanan dengan jarum jam. 2. Jika 𝛼 < 0, maka titik tetap adalah stable focus. Arah gerakan yaitu searah jarum jam atau berlawanan dengan jarum jam. 3. Jika 𝛼 > 0, maka solusi spiral keluar dan titik tetap adalah unstable focus, dengan arah gerak spiral yaitu searah jarum jam atau berlawanan dengan jarum jam. 4. Dalam tiga kasus di atas, arah solusi menuju ke sekitar titik tetap dapat ditentukan dengan mengecek apakah οΏ½Μ‡οΏ½1 adalah positif atau negatif ketika π‘₯1 = 0. Jika οΏ½Μ‡οΏ½1 positif maka solusi searah dengan jarum jam dan jika οΏ½Μ‡οΏ½1 negatif maka solusi berlawanan dengan jarum jam. PEMBAHASAN 1. Analisis Perilaku Sistem Bandul Ganda Sederhana Riset pendahuluan bandul ganda sederhana [1] telah dilakukan penondimensionalan terhadap sistem bandul ganda sederhana, dimisalkan π‘Ž = (π‘š1 + π‘š2)𝑙1𝑔, 𝑏 = (π‘š1 + π‘š2)𝑙1 2 , β„Ž = π‘š2𝑙2𝑔, 𝑗 = π‘š2𝑙1𝑙2, π‘˜ = π‘š2𝑙2 (7) dengan π‘Ž,𝑏,𝑗,β„Ž, dan π‘˜ > 0. Oleh karena itu sistem persamaan bandul ganda dapat ditulis sebagai berikut { π‘οΏ½ΜˆοΏ½1 + π‘—οΏ½ΜˆοΏ½2 = βˆ’π‘Ž πœƒ1 π‘—οΏ½ΜˆοΏ½1 + π‘˜οΏ½ΜˆοΏ½2 = βˆ’β„Ž πœƒ2 . (8) Misalkan π‘₯1 = πœƒ1, π‘₯2 = οΏ½Μ‡οΏ½1, οΏ½Μ‡οΏ½2 = �̈�1, π‘₯3 = πœƒ2, π‘₯4 = οΏ½Μ‡οΏ½4 dan οΏ½Μ‡οΏ½4 = �̈�2 maka diperoleh { οΏ½Μ‡οΏ½1 = οΏ½Μ‡οΏ½1 οΏ½Μ‡οΏ½2 = �̈�1 οΏ½Μ‡οΏ½3 = οΏ½Μ‡οΏ½2 οΏ½Μ‡οΏ½4 = �̈�2 (9) atau dapat ditulis { οΏ½Μ‡οΏ½1 = π‘₯2 οΏ½Μ‡οΏ½2 = βˆ’π‘Žπ‘˜ βˆ’π‘—2+π‘π‘˜ π‘₯1 + π‘—β„Ž βˆ’π‘—2+π‘π‘˜ π‘₯3 οΏ½Μ‡οΏ½3 = π‘₯4 οΏ½Μ‡οΏ½4 = βˆ’π‘Žπ‘— 𝑗2βˆ’π‘π‘˜ π‘₯1 + π‘β„Ž 𝑗2βˆ’π‘π‘˜ π‘₯3 (10) Sistem (10) menunjukkan bahwa laju kecepatan benda pertama dipengaruhi oleh besar βˆ’π‘Žπ‘˜ βˆ’π‘—2+π‘π‘˜ dari perpindahan sudut bandul pertama ditambah besar π‘—β„Ž βˆ’π‘—2+π‘π‘˜ dari Thoufina Kurniyati 127 Volume 3 No. 3 November 2014 perpindahan sudut benda kedua. Laju kecepatan bandul kedua dipengaruhi oleh besar βˆ’π‘Žπ‘— 𝑗2βˆ’π‘π‘˜ dari perpindahan sudut bandul pertama dan besar π‘β„Ž 𝑗2βˆ’π‘π‘˜ dari perpindahan sudut bandul kedua. Analisis Titik Tetap Analisis titik tetap dikerjakan dengan mengasumsikan bahwa οΏ½Μ‡οΏ½1 = 𝑑π‘₯1 𝑑𝑑 = 0, οΏ½Μ‡οΏ½2 = 𝑑π‘₯2 𝑑𝑑 = 0, οΏ½Μ‡οΏ½3 = 𝑑π‘₯3 𝑑𝑑 = 0, οΏ½Μ‡οΏ½4 = 𝑑π‘₯4 𝑑𝑑 = 0. Maka, didapatkan sistem linier untuk model bandul ganda sederhana sebagai berikut: 0 = π‘₯2 0 = βˆ’π‘Žπ‘˜ βˆ’π‘—2+π‘π‘˜ π‘₯1 + π‘—β„Ž βˆ’π‘—2+π‘π‘˜ π‘₯3 0 = π‘₯2 0 = βˆ’π‘Žπ‘— 𝑗2βˆ’π‘π‘˜ π‘₯1 + π‘β„Ž 𝑗2βˆ’π‘π‘˜ π‘₯3 (11) Oleh karena itu, sistem (11) mempunyai pemecahan trivial sehingga didapatkan titik tetap yaitu 𝐹 = (π‘₯1,π‘₯2,π‘₯3,π‘₯4) = (0,0,0,0) Sistem bandul ganda sederhana hanya memiliki satu titik tetap yaitu 𝐹 = (π‘₯1,π‘₯2,π‘₯3,π‘₯4) = (0,0,0,0) yang berarti bahwa posisi seimbang pada bandul ganda sederhana ketika sudut perpindahan benda pertama suatu waktu, laju kecepatan benda pertama terhadap waktu, sudut perpindahan benda kedua suatu waktu dan laju kecepatan benda kedua terhadap waktu sama dengan nol (πœƒ1(𝑑) = �̈�1(𝑑) = πœƒ2(𝑑) = �̈�2(𝑑) = 0). Posisi seimbang merupakan posisi dimana energi potensial mencapai harga minimum dan merupakan posisi untuk keseimbangan stabil. Contoh Kasus Contoh analisis perilaku sistem bandul ganda sederhana diberikan untuk memahami lebih dalam mengenai perilaku pada sistem bandul ganda sederhana. Contoh kasus dengan parameter π‘š1 = 937,5 slug, π‘š2 = 312,5 slug, 𝑙1 = 16 kaki, 𝑙2 = 16 kaki, dan 𝑔 = 32 kaki/s 2 dengan kondisi awal yang berbeda π‘₯1(0) = βˆ’0,5 rad, π‘₯2(0) = βˆ’1 rad/s, π‘₯3(0) = 1 rad, dan π‘₯4(0) = 2 rad/s. Pandang sistem linier (10) menjadi sebuah matriks xΜ‡ = 𝐴x dengan xΜ‡ = [ xΜ‡1 xΜ‡2 xΜ‡3 xΜ‡4 ], 𝐴 = [ 0 1 βˆ’π‘Žπ‘˜ βˆ’π‘—2 + π‘π‘˜ 0 0 0 π‘—β„Ž βˆ’π‘—2 + π‘π‘˜ 0 0 0 βˆ’π‘Žπ‘— 𝑗2 βˆ’ π‘π‘˜ 0 0 1 π‘β„Ž 𝑗2 βˆ’ π‘π‘˜ 0 ] , x = [ x1 x2 x3 x4 ]. Substitusi parameter ke persamaan (7) kemudian ke persamaan (10) sehingga didapatkan [ xΜ‡1 xΜ‡2 xΜ‡3 xΜ‡4 ] = [ 0 1 βˆ’512 192 0 0 0 128 192 0 0 0 512 192 0 0 1 βˆ’512 192 0 ] [ x1 x2 x3 x4 ], (12) kondisi awal yang diberikan adalah [ x1(0) = βˆ’0,5 x2(0) = βˆ’1 x3(0) = 1 x4(0) = 2 ]. Sistem (12) memiliki solusi sebagai berikut 𝐱 = π±πŸŽπ‘’ 𝐴𝑑 atau dapat ditulis [ π‘₯1(𝑑) π‘₯2(𝑑) π‘₯3(𝑑) π‘₯4(𝑑) ] = [ 𝑒𝐴1,1𝑑 𝑒𝐴1,2𝑑 𝑒𝐴2,1𝑑 𝑒𝐴2,2𝑑 𝑒𝐴1,3𝑑 𝑒𝐴1,4𝑑 𝑒𝐴2,3𝑑 𝑒𝐴2,4𝑑 𝑒𝐴3,1𝑑 𝑒𝐴3,2𝑑 𝑒𝐴4,1𝑑 𝑒𝐴4,2𝑑 𝑒𝐴3,3𝑑 𝑒𝐴3,4𝑑 𝑒𝐴4,3𝑑 𝑒𝐴4,4𝑑 ][ βˆ’0,5 βˆ’1 1 2 ]. Menentukan perilaku dari 𝑒𝐴𝑑 saat 𝑑 β†’ ∞ dengan memenuhi 𝑒𝐴𝑑 = π―π‘’πœ†π‘‘π―βˆ’πŸ dimana πœ† merupakan nilai eigen dan 𝐯 merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan πœ† serta π―βˆ’πŸ merupakan invers dari vektor eigen. Selanjutnya, menentukan nilai eigen dari persamaan karakteristik yang memenuhi det(𝐴 βˆ’ Ξ»I) = 0. Persamaan karakteristik 𝐴 adalah πœ†4 + 1( 128 192 )1( 512 192 ) βˆ’ 1( βˆ’512 192 )1( βˆ’512 192 ) = 0. Sehingga dengan menggunakan bantuan Maple 12 nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴 adalah πœ†1 = 2 3 √3 𝑖 , πœ†2 = βˆ’ 2 3 √3 𝑖 , πœ†3 = 2 𝑖 , πœ†4 = βˆ’2 𝑖. (13) Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah Deskripsi Pengaruh Parameter Terhadap Kestabilan Perilaku Sistem Bandul Ganda Sederhana CAUCHY – ISSN: 2086-0382 128 𝐯 = [ βˆ’ 1 4 √3𝑖 1 4 √3𝑖 1 2 1 2 1 4 𝑖 βˆ’ 1 4 𝑖 βˆ’ 1 2 βˆ’ 1 2 βˆ’ 1 2 √3𝑖 1 2 √3𝑖 1 1 βˆ’ 1 2 𝑖 1 2 𝑖 1 1 ] . Selanjutnya menentukan masing-masing solusi umum dari x1(𝑑), x2(𝑑), x3(𝑑) dan x4(𝑑). x1(𝑑) = 𝐢1 (βˆ’ 1 4 sin(2𝑑)) + 𝐢2 ( 1 4 cos(βˆ’2𝑑)) +𝐢3 ( 1 4 √3sin( 2 3 √3𝑑)) +𝐢4 ( 1 4 √3 cos(βˆ’ 2 3 √3𝑑)) (3.38) x2(𝑑) = 𝐢1 (βˆ’ 1 2 cos(2𝑑)) + 𝐢2 ( 1 2 sin(βˆ’2𝑑)) + 𝐢3 ( 1 2 cos( 2 3 √3𝑑)) +𝐢4 ( 1 2 sin(βˆ’ 2 3 √3𝑑)) (3.39) x3(𝑑) = 𝐢1 ( 1 2 sin(2𝑑)) + 𝐢2 (βˆ’ 1 2 cos(βˆ’2𝑑)) +𝐢3 ( 1 2 √3sin( 2 3 √3𝑑)) +𝐢4 (βˆ’ 1 2 √3 cos(βˆ’ 2 3 √3𝑑)) (3.40) x4(𝑑) = 𝐢1cos(2𝑑) + 𝐢2 sin(βˆ’2𝑑) +𝐢3 cos( 2 3 √3𝑑) +𝐢4sin(βˆ’ 2 3 √3𝑑) (3.41) Solusi khusus dengan 𝐢1 = 1,𝐢2 = 1, 𝐢3 = 1, dan 𝐢4 = βˆ’ 3 √3 adalah x1(𝑑) = βˆ’ 1 4 sin(2𝑑) + 1 4 cos(βˆ’2𝑑) + 1 4 √3sin( 2 3 √3𝑑) βˆ’ 3 4 cos(βˆ’ 2 3 √3𝑑) (3.48) x2(𝑑) = βˆ’ 1 2 cos(2𝑑) + 1 2 sin(βˆ’2𝑑) + 1 2 cos( 2 3 √3𝑑) βˆ’ 3 2√3 sin(βˆ’ 2 3 √3𝑑) (3.49) x3(𝑑) = 1 2 sin(2𝑑) βˆ’ 1 2 cos(βˆ’2𝑑) + 1 2 √3sin( 2 3 √3𝑑) + 3 2 cos(βˆ’ 2 3 √3𝑑) (3.50) x4(𝑑) = cos(2𝑑) + sin(βˆ’2𝑑) +cos( 2 3 √3𝑑) βˆ’ 3 √3 sin(βˆ’ 2 3 √3𝑑) (3.51) Berikut adalah grafik perilaku dari sistem bandul ganda dengan 𝑑 = 0…50 detik. Gambar 1 Grafik solusi x1(𝑑) terhadap 𝑑 Gambar 1 merupakan grafik perubahan sudut perpindahan benda pertama terhadap waktu dengan rentang waktu 50 detik. Benda pertama mulai berayun pada sudut -0,5 rad (benda pertama berada di sebelah kiri posisi setimbang) dan bergerak mendekati posisi seimbang (0,0) akan tetapi setelah benda pertama berada di posisi seimbang perlahan benda pertama menjauhi posisi seimbang, hal tersebut terjadi secara periodik. Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa pergerakan benda pertama berubah secara periodik baik besar maupun arahnya di sekitar titik keseimbangan dengan periode 4,9 detik, simpangan maksimum yaitu 1,21 rad pada saat benda pertama berayun selama 5,49 detik dan selama rentang waktu 50 detik benda pertama tetap berosilasi di sekitar posisi seimbang. Gambar 2 Grafik x2(𝑑) terhadap 𝑑 Gambar 2 merupakan grafik laju kecepatan benda pertama terhadap waktu selama rentang waktu 50 detik. Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa laju kecepatan awal benda pertama terhadap waktu sebesar 1 rad/s2 (benda pertama berada di sebelah kanan posisi seimbang) dan kecepatannya berubah secara quasiperiodic baik besar maupun arahnya. Benda kedua memiliki kecepatan maksimal saat 8,9 detik. Thoufina Kurniyati 129 Volume 3 No. 3 November 2014 Gambar 3 Grafik x3(𝑑) terhadap 𝑑 Gambar 3 merupakan grafik perubahan sudut perpindahan benda kedua terhadap waktu selama kurung waktu 50 detik. Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa pergerakan benda kedua berubah secara periodik baik besar maupun arahnya di sekitar titik keseimbangan dengan periode 4,91 detik dan simpangan maksimum yaitu 16,76 rad saat 𝑑 = 2,43 detik. Gambar 4 Grafik x4(𝑑) terhadap 𝑑 Gambar 4 merupakan grafik laju kecepatan bandul kedua terhadap waktu dengan 𝑑 = 0…50 detik. Pada gambar tersebut menunjukkan bahwa laju kecepatan awal sebesar -0.5 rad, bandul kedua terhadap waktu berubah secara quasiperiodic baik besar maupun arahnya. Pada saat 𝑑 = 19,94 detik bandul kedua memiliki laju kecepatan maksimal. 2. Deskripsi Pengaruh Parameter terhadap Kestabilan Perilaku sistem Bandul Ganda Sederhana Parameter Massa Benda Pertama lebih besar daripada Massa Benda Kedua (π’ŽπŸ > π’ŽπŸ) Simulasi pertama dengan massa benda pertama sebesar 412.5 slug dan massa benda kedua sama dengan 312.5 slug. Bandul pertama mulai bergerak saat sudut perpindahan sebesar -0,5 rad (benda pertama berada di sebelah kiri posisi seimbang sebesar -0,5 rad) dan laju kecepatannya 1 rad/s2 (benda pertama berada di sebelah kanan posisi seimbang dengan kecepatan 1 rad/s2). Gambar 5 Trayektori dengan π‘š1 > π‘š2 Gambar 5 memperlihatkan bahwa trayektori bergerak searah jarum jam untuk mendekati titik tetap sampai akhirnya mulai menjauhi titik tetap saat 𝑑 > 0 detik artinya kestabilan dari sistem adalah tidak stabil. Periode dari sistem bandul ganda sederhana berangsur-angsur membesar sampai 𝑑 β†’ ∞. Parameter Massa Benda Pertama sama dengan Massa Benda Kedua (π’ŽπŸ = π’ŽπŸ) Simulasi kedua dengan massa benda pertama sebesar 312,5 slug dan massa benda kedua sama dengan 312,5 slug. Benda pertama mulai bergerak saat sudut perpindahan sebesar -0,5 rad dan laju kecepatannya 1 rad/s2. Gambar 6 Trayektori dengan π‘š1 = π‘š2 Gambar 6 memperlihatkan bahwa trayektori bergerak melawan arah jarum jam untuk mendekati titik tetap sampai akhirnya mulai menjauhi titik tetap saat 𝑑 > 0 detik artinya kestabilan dari sistem adalah tidak stabil. Periode dari sistem bandul ganda sederhana berangsur-angsur membesar sampai 𝑑 β†’ ∞. Deskripsi Pengaruh Parameter Terhadap Kestabilan Perilaku Sistem Bandul Ganda Sederhana CAUCHY – ISSN: 2086-0382 130 Parameter Massa Benda Pertama lebih besar daripada Massa Benda Kedua π’ŽπŸ < π’ŽπŸ Simulasi pertama dengan massa benda pertama sebesar 212.5 slug dan massa benda kedua sama dengan 312.5 slug. Bandul pertama mulai bergerak saat sudut perpindahan sebesar -0,5 rad dan laju kecepatannya 1 rad/s2. Gambar 7 Trayektori dengan π‘š1 < π‘š2 Gambar 7 memperlihatkan bahwa trayektori bergerak melawan arah jarum jam untuk mendekati titik tetap sampai akhirnya mulai menjauhi titik tetap saat 𝑑 > 0 detik artinya kestabilan dari sistem adalah tidak stabil. Periode dari sistem bandul ganda sederhana berangsur-angsur membesar sampai 𝑑 β†’ ∞. Oleh karena itu, perubahan parameter tidak mempengaruhi kestabilan sistem melainkan hanya arah trayektorinya saja. PENUTUP 1. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan di atas maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Model bandul ganda sederhana tersebut memiliki titik tetap saat 𝐹 = (π‘₯1,π‘₯2,π‘₯3,π‘₯4) = (0,0,0,0) artinya sistem memiliki posisi seimbang ketika sudut perpidahan benda pertama dan kedua suatu waktu serta laju kecepatan benda pertama dan kedua terhadap waktu sama dengan nol. Nilai eigen dari sistem bandul ganda dengan parameter tertentu adalah imajiner murni berarti kestabilan dari sistem bandul ganda yaitu tak stabil dan tipe kestabilan sistem bandul ganda sederhana adalah elliptic center. Grafik perpindahan bandul pertama dan kedua terhadap waktu adalah periodik dan grafik laju kecepatan bandul pertama dan kedua adalah quasiperiodic. Hal tersebut menunjukkan bahwa sistem bandul ganda bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama. Perubahan besar parameter benda pertama tidak mempengaruhi kestabilan sistem. 2. Saran Penelitian ini difokuskan pada masalah analisis perilaku sistem bandul ganda sederhana. Pada penelitian selanjutnya penulis menyarankan untuk analisis bifurkasi pada sistem bandul ganda sederhana karena telah diketahui bahwa sistem bandul ganda sederhana memiliki nilai eigen murni yang merupakan syarat cukup untuk analisis bifurkasi. DAFTAR PUSTAKA [1] Amanto and La Zakaria, "Solusi Eksak dan Kestabilan Sistem Bandul Ganda sederhana," Jurnal Sains MIPA, pp. 23-32, 2008. [2] Asep K. Supriatna, "Matematika dan Contoh Penerapan Matematika dalam Disiplin Ilmu Lain," Matematika Integratif, pp. 1-7, 2002. [3] Robert Resnick and David Halliday, Physics, 3'th Edition. Jakarta: Erlangga, 1978. [4] Howard Anton, Elementary Linier Algebra, Jilid I. Bandung: Erlangga, 1997. [5] R C Robinson, An Introduction to Dynamical System Continous and Discrete. Western: American Mathematical Society , 2012. PENDAHULUAN TINJAUAN PUSTAKA 1. Bandul Ganda Sederhana 2. Analisis Model Bandul Ganda Sederhana 3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen 4. Solusi dan Potret Fase dengan Nilai Eigen Kompleks PEMBAHASAN 1. Analisis Perilaku Sistem Bandul Ganda Sederhana Analisis Titik Tetap Contoh Kasus 2. Deskripsi Pengaruh Parameter terhadap Kestabilan Perilaku sistem Bandul Ganda Sederhana Parameter Massa Benda Pertama lebih besar daripada Massa Benda Kedua (,π’Ž-𝟏.>,π’Ž-𝟐.) Parameter Massa Benda Pertama sama dengan Massa Benda Kedua ,(π’Ž-𝟏.=,π’Ž-𝟐.) Parameter Massa Benda Pertama lebih besar daripada Massa Benda Kedua ,π’Ž-𝟏.<,π’Ž-𝟐. PENUTUP 1. Kesimpulan 2. Saran DAFTAR PUSTAKA