KEAKURATAN SOLUSI PADA PERSAMAAN DIFUSI MENGGUNAKAN 
SKEMA CRANK-NICOLSON 

 
Afidah Karimatul Laili1, Ari Kusumastuti2 

1Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 
2Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 

e-mail: aphid.laili@gmail.com, arikususmastuti@gmail.com 
 
 

ABSTRAK 
Persamaan difusi adalah persamaan diferensial parsial linier yang merupakan representasi 

berpindahnya suatu zat dalam pelarut dari bagian berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi 
rendah. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan distribusi temperatur persamaan difusi dengan 
menggunakan skema Crank-Nicolson. Pertama, mendiskritisasikan persamaan difusi menggunakan skema 
Crank-Nicolson. Diskritisasi akan menghasilkan matriks. Selanjutnya menentukan kestabilan dan 
konsistensi. Kestabilan dan konsistensi untuk menunjukkan  bahwa metode yang digunakan tersebut 
memiliki solusi yang dapat mendekati solusi analitiknya sehingga diketahui bahwa solusi tersebut akurat. 
Matriks hasil diskritisasi akan disimulasikan dalam program. Hasil simulasi menunjukkan bahwa 
distribusi temperatur menurun terhadap waktu karena adanya perpindahan panas. 

Kata kunci: solusi akurat, persamaan Difusi, perpindahan panas balik, Skema Crank-Nicolson. 
 

ABSTRACT 
Diffusion equation is a linear differential equation that represents the transfer of substance from 

the high concentration part to the lower concentration part. This research is determine the temperature 
distribution of diffusion equation using Crank-Nicholson scheme. First, Discretization diffusion equation 
using Crank-Nicholson scheme. Obtained from the discretization is matrix. Next, determining stability and 
consistency. The stability and consistency to indicate that the method used have a solution that can be 
approximating analytical solution so known regularization. Matrix discretization results will be simulated 
in the program. The simulation results show that the temperature distribution decreases with time to heat 
transfer. 

Keywords: regularization, Diffusion equation, backward heat equation, Crank-Nicholson Scheme. 
 

PENDAHULUAN  

Estimasi error adalah suatu proses yang 
bertujuan untuk mencari solusi terbaik dengan 
mempertimbangkan besarnya nilai error yang 
dihasilkan dengan metode numerik. Dalam 
prosesnya, estimasi error didapatkan dari 
ekspansi daret Taylor yang dipotong setelah suku 
turunan yang diinginkan. Dengan pemotongan 
order yang ke n, maka hasil perhitungan akan 
mendekati solusi. Jadi dalam estimasi error akan 
dihasilkan suatu solusi yang akurat. Solusi akurat 
yaitu dekatnya suatu solusi pendekatan terhadap 
nilai sebenarnya. 

Dalam prosesnya, dibutuhkan suatu 
metode numerik yang akan menghasilkan solusi 
pendekatan terbaik. Solusi pendekatan salah 
satunya adalah skema Crank-Nicolson. Skema 

Crank-Nicolson adalah pengembangan dari 
metode beda hingga skema eksplisit dengan 
metode beda hingga maju skema implisit. Namun 
bentuk dari skema Crank-Nicolson adalah skema 
implisit. Kelebihan metode ini dibandingkan 
dengan metode beda hingga yang lain adalah 
stabil tanpa syarat. 

Penelitian terdahulu oleh (Durmin, 2013) 
telah meneliti tentang perbandingan solusi dari 
skema implisit dan skema Crank-Nicolson untuk 
model perpindahan panas. Fokus penelitian 
(Durmin, 2013) adalah membandingkan solusi 
dari skema implisit dan skema Crank-Nicolson 
dengan cara simulasi. 

Penelitian terdahulu oleh (Le, Q.H., & 
Nguyen, 2013) meneliti tentang keakuratan 
solusi pada persamaan perpindahan panas balik 
dengan menggunakan ketaksamaan. Pada hasil 

mailto:aphid.laili@gmail.com
mailto:arikususmastuti@gmail.com


Keakuratan Solusi pada Persamaan Difusi Menggunakan Skema Crank-Nicolson 

CAUCHY – ISSN: 2086-0382  148 

diperoleh dengan error yang relatif kecil dan 
mendekati solusi sesungguhnya. Dengan telah 
diketahuinya bahwa telah didapatkan error yang 
relatif kecil, penulis ingin mengetahui estimasi 
error pada persamaan yang sama dengan metode 
yang berbeda pada penentuan solusi 
pendekatannya. 

Pada penelitian ini diselesaikan persamaan 
difusi menggunakan skema Crank-Nicolson, 
dalam penyelesaiaannya dilakukan diskritisasi 
menggunakan metode beda hingga skema Crank-
Nicolson, kemudian menentukan syarat 
kestabilan dan menentukan syarat konsistensi 
untuk mengetahui bahwa hasil diskritisasi 
tersebut akurat. Selanjutnya melakukan simulasi 
dari skema yang digunakan dan interpretasi hasil.  

 
KAJIAN PUSTAKA 

1. Persamaan Difusi  

Persamaan difusi yang dipakai adalah 
persamaan perpindahan panas balik 

 
𝜕𝑢

𝜕𝑡
(𝑥, 𝑡) − 𝑎(𝑡)

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡),        

𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝜋, 𝑡) = 0,             

𝑢(𝑥, 1) = 𝑔(𝑥) =
cos(1) sin(𝑥)

exp(12 + 1)
,                         

 

 

(1) 

 

dengan domain 𝑡 ∈ [0,1], 𝑥 ∈ [0, 𝜋], 𝑎(𝑡) adalah 
fungsi 2𝑡 + 1, dengan solusi eksak 𝑢(𝑥, 𝑡) =
cos(𝑡) sin(𝑥)

exp(𝑡2+𝑡)
, serta  𝑓(𝑥, 𝑡) = −

sin(𝑡) sin(𝑥)

exp(𝑡2+𝑡)
. 𝑢(𝑥, 𝑡) 

adalah fungsi distribusi temperatur dan 𝑢(𝑥, 1) 
adalah distribusi temperatur awal, 𝑢𝑡 adalah variabel 
panas yang bergantung pada 𝑡, 𝑢𝑥𝑥 adalah variabel 
panas yang bergantung pada 𝑥, dan 𝑎(𝑡) adalah 
konstanta panas (Le, Q.H., & Nguyen, 2013).
  
2. Skema Crank-Nicolson 

Skema Crank-Nicolson merupakan salah satu 
skema pengembangan dari skema eksplisit dan 
implisit, yaitu merupakan nilai rerata darai kedua 
metode tersebut. Pada skema Crank-Nicolson 
diferensial terhadap waktu 𝑡 dituliskan dalam 
bentuk beda maju, yaitu (Triatmodjo, 2002) 

 
𝜕𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡
=

𝑢𝑗
𝑛+1

−𝑢𝑗
𝑛

∆𝑡
  (2) 

 
Sedangkan, diferensial terhadap ruang 𝑥 
merupakan rerata dari skema eksplisit dam 
implisit dengan menggunakan beda pusat 
 

𝜕𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥
≈

1

2
(

𝑢𝑗+1
𝑛

−𝑢𝑗−1
𝑛

∆𝑥
+

𝑢𝑗+1
𝑛+1

−𝑢𝑗−1
𝑛+1

∆𝑥
)  (3) 

Untuk diferensial orde 2 terhadap waktu dapat 
dituliskan sebagai berikut 
 

𝜕
2
𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2
=

1

2
(
𝑢𝑗−1

𝑛+1−2𝑢𝑗
𝑛+1+𝑢𝑗+1

𝑛+1

∆𝑥2
) +

1

2
(
𝑢𝑗−1

𝑛 −2𝑢𝑗
𝑛+𝑢𝑗+1

𝑛

∆𝑥2
),  

(4) 

 
3. Keakuratan Solusi 

Keakuratan solusi numerik diukur 
berdasarkan kriteria konvergensi, konsistensi 
serta stabilitas. Konvergensi berhubungan 
dengan besarnya penyimpangan solusi 
pendekatan oleh metode beda hingga terhadap 
solusi eksak. “Aproksimasi solusi pasti konvergen 
ke solusi analitiknya, jika konsistensi dari 
persamaan beda dan stabilitas dari skema yang 
diberikan terpenuhi (Zauderer, 2006)”. Kriteria 
stabilitas dan konsitensi merupakan kondisi 
perlu dan cukup agar diperoleh solusi konvergen. 

Analisis kestabilan dari skema yang 
digunakan dapat dicari menggunakan stabilitas 
Von Neumann dengan mensubstitusikan 𝑢𝑗

𝑛 =

𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎𝑗  ke dalam persamaan beda yang 
digunakan, sedangkan untuk analisis konsistensi 
dapat dicari dengan menggunakan ekspansi deret 
Taylor. Syarat perlu dan cukup stabilitas Von 
Neumann yaitu |𝜌| ≤ 1 dan kriteria konsistensi 
akan terpenuhi jika ∆𝑥 → 0 dan ∆𝑡 → 0. Jika 
syarat kestabilan dan konsistensi terpenuhi maka 
solusi numerik tersebut akan mendekati solusi 
analitik (Zauderer, 2006). 
 
PEMBAHASAN 

1. Solusi Persamaan Difusi dengan Skema 
Crank-Nicolson 

Persamaan difusi yang digunakan adalah 
persamaan (1) yang akan dianalisis dengan 
skema Crank-Nicolson (Durmin, 2013). Mengacu 
pada persamaan (4), maka bentuk diskrit dari 
persamaan (1) adalah sebagai berikut: 

 
𝑢𝑗

𝑛+1 − 𝑢𝑗
𝑛

∆𝑡
−

1

2
(𝑎𝑛

𝑢𝑗−1
𝑛 − 2𝑢𝑗

𝑛 + 𝑢𝑗+1
𝑛

∆𝑥2
+

𝑎𝑛
𝑢𝑗−1

𝑛+1 − 2𝑢𝑗
𝑛+1 + 𝑢𝑗+1

𝑛+1

∆𝑥2
) = 𝑓𝑗

𝑛 

(5) 

Kemudian untuk semua variabel dengan 
superskrip 𝑛 dikelompokkan ke ruas kanan, 
sehingga 
 



Afidah Karimatul Laili  
 
 

149 Volume 3 No. 3 November 2014   

− [
𝑎𝑛

2∆𝑥2
] 𝑢𝑗−1

𝑛+1 + [
1

∆𝑡
+

𝑎𝑛

∆𝑥2
] 𝑢𝑗

𝑛+1 −

[
𝑎𝑛

2∆𝑥2
] 𝑢𝑗+1

𝑛+1 =

[
𝑎𝑛

2∆𝑥2
] 𝑢𝑗−1

𝑛 +

[
1

∆𝑡
−

𝑎𝑛

∆𝑥2
] 𝑢𝑗

𝑛 +

[
𝑎𝑛

2∆𝑥2
] 𝑢𝑗+1

𝑛 + 𝑓𝑗
𝑛 

(6) 

diasumsikan sebagai: 

𝐴𝑗 = 𝐶𝑗 = 𝐷𝑗 = 𝐹𝑗 =
𝑎𝑛

2∆𝑥2
;  𝐵𝑗 =

1

∆𝑡
+

𝑎𝑛

∆𝑥2
, 

𝐸𝑗 =
1

∆𝑡
−

𝑎𝑛

∆𝑥2
, 

sehingga persamaan di atas dapat ditulis kembali 
sebagai: 
 

−𝐴𝑗𝑢𝑗−1
𝑛+1 + 𝐵𝑗𝑢𝑗

𝑛+1 − 𝐶𝑗𝑢𝑗+1
𝑛+1 =

𝐷𝑗𝑢𝑗−1
𝑛 + 𝐸𝑗𝑢𝑗

𝑛 +

𝐹𝑗𝑢𝑗+1
𝑛 + 𝑓𝑗

𝑛 

(7) 

Kemudian untuk  𝑛 = 1,2, … , 𝑀 − 1 dan 𝑗 =
1,2, … , 𝑀. Misalkan 𝑀 = 5, 𝑀 adalah banyaknya 
iterasi, maka pada persamaan (7) akan diperoleh 
suatu matriks, 
 

[
 
 
 
 
𝐵1
𝐴2

𝐶1
𝐵2

…
…

0
0

0
0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮
0
0

0
0

…
…

𝐵𝑀−2 𝐶𝑀−2
𝐴𝑀−1 𝐵𝑀−1]

 
 
 
 

[
 
 
 
 
𝑢1

𝑛+1

𝑢2
𝑛+1

⋮
𝑢𝑀−2

𝑛+1

𝑢𝑀−1
𝑛+1 ]

 
 
 
 

=

[
 
 
 
 
𝐷1
𝐷2
⋮

𝐷4
𝐷5]

 
 
 
 

 

(8) 

maka matriksnya 𝐴𝑢𝑗
𝑛+1 = 𝐷𝑗 , dimana 𝐴 dan 𝐵 

adalah matriks tridiagonal dengan ukuran 
(𝑀 − 1) × (𝑀 − 1) dan unsur  𝑢𝑗

𝑛  dan 𝑓𝑗
𝑛 

diketahui dan selesaiannya adalah 𝑢𝑗
𝑛+1 =

𝐴−1(𝐷𝑗) yang berukuran (𝑀 − 1) × 1. 

 
2. Keakuratan Solusi Hasil Skema Crank-

Nicolson 

 Untuk Menunjukan bahwa persamaan 
(5) bernilai benar dan memiliki solusi yang dapat 
mendekati solusi analitik, maka cukup dengan 
menunjukan bahwa persamaan beda yang 
digunakan tersebut stabil dan konsisten. 
mengetahui apakah metode yang digunakan 
untuk mendekati persamaan difusi tersebut 
stabil atau tidak, maka uji kestabilan dapat 
dilakukan menggunakan analisa stabilitas Van 
Neumann, dengan cara mensubstitusikan 𝑢𝑗

𝑛 =

𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎𝑗 , ∀ 𝑖 = √−1 ke dalam persamaan (5) yang 
terlebih dahulu dikalikan dengan ∆t, sehingga 
diperoleh persamaan sebagai berikut: 

 
𝑢𝑗

𝑛+1 − 𝑢𝑗
𝑛 =

(𝑎𝑛∆𝑡
𝑢𝑗−1

𝑛 − 2𝑢𝑗
𝑛 + 𝑢𝑗+1

𝑛

2∆𝑥2
+

𝑎𝑛∆𝑡
𝑢𝑗−1

𝑛+1 − 2𝑢𝑗
𝑛+1 + 𝑢𝑗+1

𝑛+1

2∆𝑥2
) + ∆𝑡𝑓𝑗

𝑛 

(9) 

Kemudian dapat dicari dengan cara 

mensubstitusikan 𝑢𝑗
𝑛 = 𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎𝑗, ∀ 𝑖 = √−1 ke 

dalam persamaan tersebut dan ∆𝑡𝑓𝑗
𝑛 dianggap 

kecil , sehingga: 
 

𝜌𝑛+1𝑒𝑖𝑎𝑗 − 𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎𝑗 =

𝑎𝑛∆𝑡

2∆𝑥2
(𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎(𝑗−1) − 2𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎𝑗 +

𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎(𝑗+1)) +

𝑎𝑛∆𝑡

2∆𝑥2
(𝜌(𝑛+1)𝑒𝑖𝑎(𝑗−1) − 2𝜌(𝑛+1)𝑒𝑖𝑎𝑗 +

𝜌(𝑛+1)𝑒𝑖𝑎(𝑗+1)) 

(10) 

Untuk penyederhanaan,  persamaan (10) 
dibagi dengan 𝜌𝑛𝑒𝑖𝑎𝑗, misalkan 𝑎𝑛 diasumsikan 
sebagai 𝑘 sehingga diperoleh: 

 
 

𝜌 =
1 +

𝑘∆𝑡

2∆𝑥2
(𝑒−𝑖𝑎 − 2 + 𝑒𝑖𝑎)

[1 −
𝑘∆𝑡

2∆𝑥2
(𝑒−𝑖𝑎 − 2 + 𝑒𝑖𝑎)]

 
(11) 

 
Karena 𝑒±𝑖𝑎 = cos 𝑎  ± 𝑖 sin 𝑎, maka persamaan 
(11) dapat ditulis: 
 

 

𝝆 =
𝟏+

𝒌∆𝒕

𝟐∆𝒙𝟐
(𝐜𝐨𝐬 𝒂−𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂−𝟐+𝐜𝐨𝐬 𝒂+𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂)

[𝟏−
𝒌∆𝒕

𝟐∆𝒙𝟐
(𝐜𝐨𝐬 𝒂−𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂−𝟐+𝐜𝐨𝐬 𝒂+𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒂)]

  (12) 

 
sehingga diperoleh:  

 

𝝆 =
𝟏 +

𝒌∆𝒕

𝟐∆𝒙𝟐
(𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐)

[𝟏 −
𝒌∆𝒕

𝟐∆𝒙𝟐
(𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐)]

 
(13) 

 

Misalkan 
𝒌∆𝒕

𝟐∆𝒙𝟐
= 𝑺  

|𝝆| = √[
𝟏 + 𝑺(𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐)

[𝟏 − 𝑺(𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝟐)]
]

𝟐

 (13) 

   
 
Persamaan stabil jika dan hanya jika |𝝆| < 𝟏 atau 
  



Keakuratan Solusi pada Persamaan Difusi Menggunakan Skema Crank-Nicolson 

CAUCHY – ISSN: 2086-0382  150 

𝟏 + 𝟒𝑺(𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝟏)

𝟏 − 𝟒𝑺(𝒄𝒐𝒔 𝒂 − 𝟏)
≤ 𝟏 

(14) 

 
Karena −2 ≤ cos 𝑎 − 1 ≤ 0, maka persamaan (14) 
terpenuhi untuk setiap 𝑆 ∈ 𝑅. Sehingga 
didapatkan kestabilan dari persamaan difusi 
menggunakan skema Crank-Nicolson adalah 
stabil tanpa syarat. 

Setelah diperoleh syarat kestabilan maka 
selanjutnya syarat konsistensi, untuk mengetahui 
skema yang digunakan konsisten atau tidak, 
dapat dilakukan dengan ekspansi deret Taylor 
yang disubstitusikan kedalam persamaan (5). 
Ekspansi deret Taylor yang digunakan adalah 
sebagai berikut: 

 

𝑢𝑗
𝑛±1 = 𝑢𝑗

𝑛 ± ∆𝑡𝑢𝑡|𝑗
𝑛 +

1

2
∆𝑥2𝑢𝑡𝑡|𝑗

𝑛 ±

1

6
∆𝑡3𝑡𝑡𝑡|𝑗

𝑛 + ⋯ 

(15) 

𝑢𝑗±1
𝑛±1 = 𝑢𝑗

𝑛 ± ∆𝑡𝑢𝑡|𝑗
𝑛 ± ∆𝑥𝑢𝑥|𝑗

𝑛 +

1

2
(∆𝑡2𝑢𝑡𝑡|𝑗

𝑛 +

2∆𝑡∆𝑥𝑢𝑡𝑥|𝑗
𝑛 +

∆𝑥2𝑢𝑥𝑥|𝑗
𝑛) +

1

6
(∆𝑡3𝑢𝑡𝑡|𝑗

𝑛 +

3∆𝑡2∆𝑥𝑢𝑡𝑡𝑥|𝑗
𝑛 +

3∆𝑡∆𝑥2𝑢𝑡𝑥𝑥|𝑗
𝑛 +

∆𝑥3𝑢𝑥𝑥𝑥|𝑗
𝑛) + ⋯ 

(16) 

𝑢𝑗±1
𝑛 = 𝑢𝑗

𝑛 ± ∆𝑥𝑢𝑥|𝑗
𝑛 +

1

2
∆𝑥2𝑢𝑥𝑥|𝑗

𝑛 ±

1

6
∆𝑥3𝑢𝑥𝑥𝑥|𝑗

𝑛 + ⋯ 

(17) 

Selanjutnya substitusikan persamaan (15), (16) 
dan (17) kedalam persamaan (5), dengan sedikit 
manipulasi aljabar maka diperoleh persamaan 
berikut: 
 

(𝑢𝑡 −
𝑎𝑛

2
𝑢𝑥𝑥 −

𝑎𝑛

2
𝑢𝑥𝑥 − 𝑓)|

𝑗

𝑛

+

(
1
2
𝑢𝑡𝑡 −

𝑎𝑛

∆𝑥
− 8𝑎𝑛∆𝑥3𝑢𝑡𝑥𝑥𝑥) ∆𝑡|

𝑗

𝑛

−

𝑎𝑛

6
𝑢𝑥𝑥𝑥∆𝑥|𝑗

𝑛 +

(
1
6
𝑢𝑡𝑡𝑡 − 12𝑎

𝑛∆𝑥2𝑢𝑡𝑡𝑥𝑥) ∆𝑡
2|

𝑗

𝑛

−

𝑎𝑛

12
𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥∆𝑥

2
|
𝑗

𝑛
+ ⋯ = 0 

(18) 

Suku pertama pada persamaan (18) 
adalah persamaan difusi yang telah diselesaikan. 
Suku kedua dan seterusnya adalah suku 
tambahan yang didapatkan dari penyelesaian 
menggunakan persamaan beda hingga dan 
disebut truncation error. Truncation error atau 
galat pemangkasan yang didapatkan adalah  

 

(
1

2
𝑢𝑡𝑡 −

𝑎𝑛

∆𝑥
− 8𝑎𝑛∆𝑥3𝑢𝑡𝑥𝑥𝑥) ∆𝑡|

𝑗

𝑛

−

𝑎𝑛

6
𝑢𝑥𝑥𝑥∆𝑥|𝑗

𝑛 +

(
1

6
𝑢𝑡𝑡𝑡 −

12𝑎𝑛∆𝑥2𝑢𝑡𝑡𝑥𝑥) ∆𝑡
2|

𝑗

𝑛

−

𝑎𝑛

12
𝑢𝑥𝑥𝑥𝑥∆𝑥

2|𝑗
𝑛 + ⋯ 

(19) 

 
Karena ∆𝑥 dan ∆𝑡 sangat kecil maka jumlah dari 
limit tersebut akan semakin kecil, karena 
berapapun nilai 𝑢𝑡𝑡, 𝑢𝑡𝑥𝑥𝑥 dan 𝑢𝑥𝑥𝑥 jika dikalikan 
dengan nilai dari ∆𝑡 dan ∆𝑥 akan semakin kecil. 
Error pemotongan yang dihasilkan akan menuju 
nol untuk ∆𝑥 → 0 dan ∆t → 0. Jadi skema Crank-
Nicolson konsisten terhadap persamaan difusi. 
 
3. Simulasi dan Interpretasi Hasil 

 
Persamaan yang digunakan dalam simulasi 

adalah persamaan (7) yang merupakan bentuk 
diskrit dari persamaan difusi. Dalam simulasi 
digunakan ∆𝑥 = 0,0698 dan ∆𝑡 = 0,0222, 
sehingga simulasi persamaan difusi dapat dilihat 
pada gambar (1) berikut: 

 



Afidah Karimatul Laili  
 
 

151 Volume 3 No. 3 November 2014   

 
 
Gambar 1. Solusi Numerik Persamaan Difusi 
Menggunakan Skema Crank-Nicolson 
 
 

 
 
Gambar 2. Solusi Analitik Persamaan Difusi 
 

Pada Gambar 1 solusi numerik di atas 
perubahan temperatur berjalan dari 𝑥 = 0 di 𝑡 
berapapun berada pada temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 
kemudian berjalan naik sampai pada temperatur 
tebesar yaitu pada 𝑥 = 1,827 dan 𝑡 = 0 dengan 
temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0,4855 kemudian berjalan 
turun sampai pada 𝑥 = 𝜋 di 𝑡 = 0  dengan 
temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0. Pada Gambar 2 solusi 
analitik di atas perubahan temperatur berjalan 
secara sama yaitu dari 𝑥 = 0 di 𝑡 berapapun 
berada pada temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 kemudian 
berjalan naik sampai pada temperatur tebesar 
yaitu pada 𝑥 = 1,536 dan 𝑡 = 0 dengan 
temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0,977 kemudian berjalan 
turun sampai pada 𝑥 = 𝜋 di 𝑡 = 0  dengan 
temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0.  

Perubahan temperatur pada solusi numerik 
dan solusi analitik bergerak secara sama. 
Perubahan temperatur terjadi secara signifikan 
yaitu pada ruang 𝑥 = 0 dengan temperatur yang 
awal nya kecil 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 kemudian perlahan 
mengalami kenaikan sampai pada ruang tengah 
𝑥. Kemudian temperatur 𝑢(𝑥, 𝑡) mengalami 

penurunan secara terus menerus sampai pada 
ruang 𝑥 maksimal. Perubahan temperatur 
tersebut berjalan secara sama di 𝑡 berapapaun 
 
KESIMPULAN 

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat 
diperoleh kesimpulan antara lain: 
1. Hasil diskritisasi skema Crank-Nicolson pada 

persamaan difusi stabil pada saat ∆𝑡 dan ∆𝑥 
berapapun, karena skema Crank-Nicolson. 
Hasil diskritisasi memenuhi syarat 
konsistensi karena error pemotongannya 
menuju nol untuk ∆𝑥 → 0 dan ∆t → 0. Jadi, 
hasil diskritisasi mendekati solusi analitik. 

2. Pada simulasi dan interpretasi yang 
dilakukan pada solusi analitik dan solusi 
numerik menunjukkan bahwa solusi numerik 
merupakan solusi pendekatan dari solusi 
analitik. Perubahan temperatur terjadi secara 
sama pada solusi analitik dan solusi numerik. 

 
 
DAFTAR PUSTAKA 

[1]. Durmin. (2013). Studi Perbandingan 
Perpindahan Panas Menggunakan Metode 
Beda Hingga dan Cranh-Nicholson. 
Surabaya: tidak diterbitkan. 

[2].  Le, T. P., Q.H., D. T., & Nguyen, T. (2013). A 
Backward Parabolic Equation with Time-
Dependent Coefficient: Regulation and 
Error Estimates. Journal of Computational 
and Applied Mathematics, 237 , 432-441. 

[3]. Triatmodjo, B. (2002). Metode Numerik 
Dilengkapi dengan Program Komputer. 
Yogyakarta: Beta offset. 

[4]. Zauderer, E. (2006). Partial Differential 
Equations of Applied Mathematics. Canada: 
Wiley. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 


	PENDAHULUAN
	KAJIAN PUSTAKA
	1. Persamaan Difusi
	2. Skema Crank-Nicolson
	3. Keakuratan Solusi

	PEMBAHASAN
	1. Solusi Persamaan Difusi dengan Skema Crank-Nicolson
	2. Keakuratan Solusi Hasil Skema Crank-Nicolson
	3. Simulasi dan Interpretasi Hasil

	KESIMPULAN
	DAFTAR PUSTAKA