KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT 
DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL 

 

Khusnul Afifa1, Abdussakir2  
 

1Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 
2Dosen Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang 

e-mail: apheecute@gmail.com, abdussakir@gmail.com 
 

ABSTRAK 
Dalam artikel ini akan dibahas tentang cara untuk mengetahui suatu 𝑅-modul adalah modul bebas 

atau bukan dengan memanfaatkan suatu modul bebas sebagai 𝑅-modul melalui media homomorfisma 
modul. Penelitian ini menggunakan metode kajian kepustakaan (library research), yaitu melakukan 
penelitian untuk memperoleh data-data dan informasi serta objek yang digunakan dalam pembahasan 
masalah tersebut. Berdasarkan pembahasan dapat diperoleh bahwa suatu 𝑅-modul merupakan modul 
bebas jika 𝑅-modul tersebut isomorfik dengan suatu modul bebas sebagai 𝑅-modul. Artinya, suatu 𝑅-
modul merupakan modul bebas jika terdapat suatu isomorfisma dari 𝑅-modul tersebut ke suatu modul 
bebas yang juga merupakan suatu 𝑅-modul. Lebih jauh lagi, jika suatu 𝑅-modul adalah modul bebas, maka 
𝑅-modul tersebut isomorfik dengan 𝑅𝑛 , dimana 𝑛 adalah kardinalitas dari basis bagi 𝑅-modul tersebut. 

Kata Kunci : basis, homomorfisme modul, modul, modul bebas, Ring  

 

ABSTRACT 
In this paper, the way to know whether 𝑅-module is free module or not will be discussed by using 

free module as 𝑅-module through module homomorphism media. In this research, the author used library 
research, which is conducting the research to obtain data and information about object that used in the 
discussion. Based on the discussion, it was obtained that 𝑅-module was free module if the 𝑅-module was 
isomorphic to free module as 𝑅-module. It means that 𝑅-module was free module if there is isomorphism 
from the 𝑅-module to the free module which is an 𝑅-module. Furthermore, if an 𝑅-module was free 
module, then the 𝑅-module would be isomorphic with 𝑅𝑛 , where 𝑛 is cardinality from basis for the 𝑅-
module. 

Keywords: basis, free module, module, module homomorphism, ring. 
 

PENDAHULUAN 

Struktur aljabar yang dikembangkan 
dalam dua himpunan yang tidak kosong dengan 
dua operasi biner dan memenuhi syarat 
tertentu, yaitu distributif kanan, distributif kiri, 
assosiatif, dan mempunyai elemen identitas 
disebut dengan modul [1]. 

Modul sendiri juga dapat dikembangkan 
menjadi beberapa sub pembahasan di antaranya 
adalah homomorfisme. Seperti halnya ring di 
dalamnya dibahas mengenai homomorfisme 
ring, maka di dalam modul juga dibahas 
mengenai homomorfisme modul. 
Homomorfisme modul merupakan suatu 
pemetaan dari suatu modul 𝑀 ke modul 𝑁 yang 
mengawetkan kedua operasi yang ada dalam 
modul. Homomorfisme modul dibedakan 
menjadi 3, yaitu homomorfisme yang 
merupakan pemetaan satu-satu (one to one/ 

injektif) disebut monomorfisme modul, 
homomorfisme yang merupakan pemetaan pada 
(onto/surjektif) disebut epimorfisme modul, dan 
homomorfisme yang mempunyai sifat kedua-
duanya (injektif dan surjektif) atau yang dikenal 
dengan istilah bijektif disebut isomorfisme 
modul [2]. 

Suatu modul yang memiliki basis atau 
himpunan pembangun disebut modul bebas. Jika 
𝑀 adalah 𝑅-modul dan terdapat 𝑋 ⊆ 𝑀 dengan 
𝑋 merupakan basis untuk 𝑀, maka 𝑀 disebut 
modul bebas [3]. 

Penelitian ini dilakukan untuk 
mengetahui suatu 𝑅-modul adalah modul bebas 
atau bukan dengan memanfaatkan suatu modul 
bebas sebagai 𝑅-modul melalui media 
homomorfisme modul. 

 

mailto:apheecute@gmail.com
mailto:apheecute@gmail.com


Khusnul Afifa 

153 Volume 3 No. 3 November 2014 

TEORI DASAR 

1. Fungsi 
Suatu fungsi dari himpunan S ke T adalah 

aturan yang mengaitkan setiap anggota S dengan 
tepat satu anggota T. Anggota S disebut domain 
dari fungsi, dan himpunan T disebut kodomain 
[4]. 

 
2. Operasi Biner 

Operasi + pada suatu himpunan tidak 
kosong 𝐺 adalah biner jika dan hanya jika 𝑎 ∈
𝐺, 𝑏 ∈ 𝐺 maka 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐺, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺. Sifat 
tersebut dari operasi di 𝐺 dikatakan tertutup 
dan jika sifat ini memenuhi operasi + di 𝐺 [5]. 

 
3. Grup  

Misalkan 𝐺 adalah suatu himpunan tak 
kosong dan pada 𝐺 didefinisikan operasi biner 
+. Sistem aljabar (𝐺, +) disebut grup jika 
memenuhi aksioma-aksioma: 
a. Operasi + bersifat assosiatif  di 𝐺 

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺  
b. 𝐺 mempunyai unsur identitas terhadap 

operasi + 
Misalkan 𝑒 unsur di 𝐺 sedemikian hingga  
𝑎 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑎 , ∀𝑎 ∈ 𝐺 maka 𝑒 disebut unsur 

identitas. 
c. Setiap unsur di 𝐺 mempunyai invers 

terhadap operasi + 
Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺 ada a−1∈ 𝐺 yang disebut 
sebagai invers dari a, sehingga 𝑎−1 + 𝑎 = 𝑎 +
𝑎−1 = 𝑒, dimana e adalah unsur identitas di 𝐺 
[5]. 

Grup (𝐺, +) dikatakan grup komutatif jika 
untuk setiap unsur 𝑎 dan 𝑏 di 𝐺 berlaku 𝑎 + 𝑏 =
 𝑏 + 𝑎 [6]. 

 
4. Ring  

𝑅 adalah himpunan tak kosong dengan 
dua operasi biner  yang dilambangkan dengan + 
dan × (penjumlahan  pada operasi pertama dan 
perkalian pada operasi kedua) disebut ring jika 
memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: 
i. (𝑅, +) adalah grup komutatif 

ii. Operasi × bersifat asssosiatif 
(𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅  

iii. Operasi × bersifat distributif terhadap + di 
𝑅, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 
(𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = (𝑎 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑐)           
(distributif kanan) 
𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐)            
(distributif kiri) 
[7]. 

Misalkan 𝑅 dan 𝑆 adalah ring. 
Homomorfisme ring adalah pemetaan 𝜑: 𝑅 → 𝑆 
jika memenuhi syarat-syarat berikut: 

i. 𝜑(𝑎 + 𝑏) = 𝜑(𝑎) + 𝜑(𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 
ii. 𝜑(𝑎𝑏) = 𝜑(𝑎)𝜑(𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 [7]. 

 
5. Modul  

Misalkan (𝑅, +,×) adalah ring. 𝑅-modul di 
𝑅 adalah himpunan 𝑀 yang memenuhi: 
i.  (𝑀, +) adalah grup komutatif 
ii. Diberikan pemetaan 𝑅 × 𝑀 → 𝑀, dimana 

𝑟𝑚, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀 yang memenuhi: 
a. Distributif kanan 

(𝑟 + 𝑠)𝑚 = 𝑟𝑚 + 𝑠𝑚, ∀𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀  
b. Distributif kiri 

𝑟(𝑚 + 𝑛) = 𝑟𝑚 + 𝑟𝑛, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑀  
c. Assosiatif 

(𝑟𝑠)𝑚 = 𝑟(𝑠𝑚), ∀𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀  
Jika R mempunyai unsur identitas 1 maka 
d. 1𝑚 = 𝑚, ∀𝑚 ∈ 𝑀 [7]. 

Misal 𝑅 adalah ring dan 𝑀 adalah 𝑅-
modul. 𝑅-submodul di 𝑅 adalah 𝑁 subgrup dari 
𝑀 yang bersifat tertutup terhadap elemen-
elemen ring, yaitu 𝑟𝑛 ∈ 𝑁, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁 [7]. 

 
Teorema 1 

Misalkan 𝑅 adalah ring dan 𝑀 adalah 𝑅-
modul. Subset 𝑁 di 𝑀 adalah submodul di 𝑀 
jika dan hanya jika: 
a. 𝑁 ≠ ∅ 
b. 𝑥 + 𝛼𝑦 ∈ 𝑁, ∀𝛼 ∈ 𝑅, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 [7]. 

 
Bukti  
a. Jika 𝑁 adalah submodul di 𝑀 maka 0 ∈ 𝑁 jadi 

𝑁 ≠ ∅. 
b. 𝑁 bersifat tertutup terhadap operasi 

penjumlahan 
Misal 𝛼 = −1, maka 
𝑥 + (−1)𝑦 = 𝑥 + (−𝑦)  

  = 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁  
Maka 𝑥 + 𝛼𝑦 ∈ 𝑁, ∀𝛼 ∈ 𝑅, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁. 

Misalkan 𝑅 adalah ring dan misalkan 
𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅-modul. Pemetaan 𝜑: 𝑀 → 𝑁 
disebut homomorfisme modul jika pemetaan itu 
memenuhi syarat sebagai berikut: 
a) 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀  
b) 𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝜑(𝑥), ∀𝛼 ∈ 𝑅, 𝑥 ∈ 𝑀 [7]. 

 
6. Modul Bebas 

Diketahui 𝑀 adalah 𝑅-modul. Jika 
terdapat 𝑋 ⊆ 𝑀 dengan 𝑋 merupakan basis 
untuk 𝑀, maka 𝑀 disebut modul bebas [3]. 

Misalkan 𝑀 suatu R-modul dan 𝑋 ⊆ 𝑀. 
Unsur 𝑦 ∈ 𝑀 dikatakan kombinasi linier dari 𝑋 
jika untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋 dapat diungkapkan 
dalam bentuk  

𝑦 = 𝛼1𝑥1 + 𝛼2𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑥𝑛  
dimana 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 adalah skalar [8]. 

Misalkan 𝑀 suatu R-modul dan 𝑋 ⊆ 𝑀. 
Jika untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋 dapat dinyatakan 



Keterkaitan Antara Modul Bebas Dengan Modul Dilihat Dari Sifat-Sifat Homomorfisme Modul 

CAUCHY – ISSN: 2086-0382 154 

sebagai kombinasi linier maka dikatakan bahwa 
𝑋 merentang 𝑀 [8]. 

Misalkan 𝑀 suatu R-modul dan 𝑋 ⊆ 𝑀. 
Maka persamaan  

𝛼1𝑥1 + 𝛼2𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑥𝑛 = 0 
Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, 
yakni 

𝛼1 = 0, 𝛼2 = 0, … , 𝛼𝑛 = 0 
Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka 𝑋 
dinamakan himpunan bebas linier. Jika ada 
pemecahan lain, maka 𝑆 dinamakan himpunan 
tak bebas linier [8].  

Diketahui 𝑀 adalah 𝑅-modul dan 𝑋 ⊆ 𝑀. 
Himpunan 𝑋 dikatakan basis untuk 𝑀 jika dan 
hanya jika: 
a. 𝑋 merentang 𝑀 
b. 𝑋 bebas linier [8]. 

 
METODE PENELITIAN 

Metode yang digunakan dalam penelitian 
ini adalah metode penelitian kepustakaan 
(library research). Adapun langkah-langkah yang 
akan digunakan oleh peneliti dalam membahas 
penelitian ini adalah: 
1. Mendefinisikan kembali tentang modul, 

modul bebas, dan homomorfisme modul 
serta membuat contohnya dan contoh yang 
salah  

2. Mendefinisikan monomorfisme modul, 
epimorfisme modul, dan isomorfisme modul 

3. Membuat contoh dan contoh yang salah dari 
monomorfisme modul, epimorfisme modul, 
dan isomorfisme modul dengan 
menggunakan domain modul bebas dan 
kodomainnya modul 

4. Dari poin 3 didapatkan dua teorema baru 
dan membuktikan teorema tersebut serta 
memberikan contohnya. 

 
PEMBAHASAN 

Homomorfisme modul merupakan 
pemetaan dari suatu modul ke modul yang lain 
yang mengawetkan kedua operasi yang ada 
dalam modul tersebut. 

Misalkan 𝑅 adalah ring dan misalkan 
𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅-modul. Pemetaan 𝜑: 𝑀 → 𝑁 
disebut homomorfisme modul jika pemetaan itu 
memenuhi syarat sebagai berikut: 
a) 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀  
b) 𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝜑(𝑥), ∀𝛼 ∈ 𝑅, 𝑥 ∈ 𝑀 [7]. 
 
Contoh: 
Diberikan 𝑅 dan 𝑅2 sebagai 𝑅-modul. Melalui 
pemetaan 𝜑: 𝑅2 → 𝑅 yang didefinisikan dengan 
𝜑(𝑥) = 0𝑅 . Akan ditunjukkan 𝜑 adalah 
homomorfisme modul. 

Berdasarkan definisi homomorfisme 
modul, 𝜑 dikatakan homomorfisme modul jika 
memenuhi sifat-sifat berikut: 
i. 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦)  

𝜑(𝑥 + 𝑦) = 0𝑅  ( berdasarkan definisi 𝜑, 
karena 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑅2 ) 
Dilain pihak, 
𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) = 0𝑅 + 0𝑅 = 0𝑅   
Jadi 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) 

ii. 𝜑(𝛼𝑥)  = 𝛼𝜑(𝑥)    
𝜑(𝛼𝑦) = 0𝑅  ( berdasarkan definisi 𝜑, karena 
𝛼𝑦 ∈ 𝑅2 ) 
Dilain pihak, 
𝛼𝜑(𝑦) = 𝛼0𝑅 = 0𝑅   
𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝜑(𝑥)  

Jadi 𝜑 terbukti homomorfisme modul. 
Secara garis besar, homomorfisme modul 

dibedakan menjadi tiga, yaitu monomorfisme, 
epimorfisme, dan isomorfisme. 

Misalkan 𝑅 adalah ring, 𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅
-modul,  jika  homomorfisme modul  dari  𝑀  ke  

𝑁  bersifat  injektif  (satu-satu)  maka  
disebut monomorfisme modul [7].  

 
Contoh: 
Diberikan 𝑍 dan 𝑍 × 𝑍2 sebagai 𝑍-modul. 
Pemetaan 𝜑 ∶  𝑍 →  𝑍 × 𝑍2 didefinisikan sebagai 
𝜑(𝑥) = (𝑥, 0). Pemetaan 𝜑 ini adalah pemetaan 

monomorfisme. 
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dan 𝛼 ∈ 𝑍, maka 
1. 𝜑(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 0) = (𝑥, 0) + (𝑦, 0) =

𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) 
2. 𝜑(𝛼𝑥) = (𝛼𝑥, 0) = (𝛼𝑥, 𝛼0) = 𝛼(𝑥, 0) =

𝛼𝜑(𝑥) 
Dari 1 dan 2, dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah 
suatu homomorfisme modul. Kemudian, untuk 
sebarang 𝜑(𝑥), 𝜑(𝑦) ∈ 𝑅𝜑 dengan 𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑦), 

berlaku  
𝟎 = 𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑦) = (𝑥, 0) − (𝑦, 0) = (𝑥 − 𝑦, 0) 

Oleh karena itu, 𝑥 − 𝑦 = 0. Dengan kata lain 𝑥 =
𝑦. Jadi 𝜑 adalah pemetaan 1-1. 
Dilain pihak, terdapat (1,1) ∈ 𝑍𝑥𝑍2 Sehingga 
(1,1) ≠ 𝜑(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑍. Jadi 𝜑 bukan 
pemetaan pada.  
Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah 
monomorfisme modul. 

Misal 𝑅 adalah ring, 𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅-
modul, jika homomorfisme modul dari 𝑀 ke 𝑁 
bersifat surjektif (pada/onto), maka disebut 
epimorfisme modul [7]. 

 
Contoh: 
Diberikan 𝑍 dan 𝑍2 sebagai 𝑍-modul. Pemetaan 
𝜑 ∶  𝑍 →  𝑍2 didefinisikan sebagai 𝜑(𝑥) =
𝑥 (𝑚𝑜𝑑2). Pemetaan 𝜑 ini adalah pemetaan 
epimorfisme. 
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dan 𝛼 ∈ 𝑍, maka 
1. 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 (𝑚𝑜𝑑2) = 𝑥 (𝑚𝑜𝑑2) +

𝑦 (𝑚𝑜𝑑2) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) 



Khusnul Afifa 

155 Volume 3 No. 3 November 2014 

2. 𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝑥 (𝑚𝑜𝑑2) = 𝛼(𝑥 (𝑚𝑜𝑑2)) =

𝛼𝜑(𝑥) 
Dari 1 dan 2, dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah 
suatu homomorfisme modul. Kemudian, untuk 
sebarang 𝑧 ∈ 𝑍2, maka 
i) Untuk 𝑧 = 0, maka terdapat 0 ∈ 𝑍 sehingga 

𝜑(0) = 0 
ii) Untuk 𝑧 = 1, maka terdapat 3 ∈ 𝑍 sehingga 

𝜑(3) = 1 
Jadi 𝜑 adalah pemetaan pada. 
Dilain pihak, terdapat 1,3 ∈ 𝑍 dengan 1 ≠ 3, 
tetapi 𝜑(3) = 1 = 𝜑(1). Jadi 𝜑 bukan pemetaan 
1-1. 
Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah 
epimorfisme modul. 

Misalkan 𝑅 adalah ring, 𝑀 dan 𝑁 adalah 
𝑅-modul, jika homomorfisme modul dari 𝑀 ke 𝑁 
bersifat bijektif (satu-satu) dan surjektif (pada), 
dengan kata lain homomorfisme modul dari 𝑀 
ke 𝑁 bersifat bijektif, maka disebut isomorfisme 
modul. Jika terdapat suatu isomorfisme dari 𝑀 
ke 𝑁, maka 𝑀 isomorfik dengan 𝑁 atau 𝑁 
isomorfik dengan 𝑀 [7]. 

 
Contoh: 

Diberikan 𝑍4  dan 𝑀 =

{(
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22

) |𝑎11, 𝑎12, 𝑎21, 𝑎22 ∈ 𝑍} adalah 𝑍-

modul. Pemetaan 𝜑 ∶  𝑀 →  𝑍4 didefinisikan 
sebagai 𝜑(𝑎) = (𝑎11, 𝑎12, 𝑎21, 𝑎22) dimana 𝑎 =

(
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22

). Pemetaan 𝜑 ini adalah pemetaan 

isomorfisme. 
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 dan 𝛼 ∈ ℤ, maka 

i) 𝜑(𝑥 + 𝑦) = (
𝑥11 + 𝑦11 𝑥12 + 𝑦12
𝑥21 + 𝑦21 𝑥22 + 𝑦22

) 

= (𝑥11 + 𝑦11 , 𝑥12 + 𝑦12, 𝑥21 +
𝑦21, 𝑥22 + 𝑦22)  

= (𝑥11, 𝑥12, 𝑥21, 𝑥22) +
(𝑦11, 𝑦12, 𝑦21 , 𝑦22)  

= 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦)  

ii) 𝜑(𝛼𝑥) = 𝜑 ((
𝛼𝑥11 𝛼𝑥12
𝛼𝑥21 𝛼𝑥22

)) 

= (𝛼𝑥11, 𝛼𝑥12, 𝛼𝑥21, 𝛼𝑥22)  
= 𝛼(𝑥11, 𝑥12, 𝑥21 , 𝑥22)  
= 𝛼𝜑(𝑥)  

Dari (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa 𝜑 
adalah suatu homomorfisme modul. 

Kemudian untuk sebarang 
(𝑚11, 𝑚12, 𝑚21, 𝑚22) ∈ 𝑍, maka terdapat 𝑚 =

(
𝑚11 𝑚12
𝑚21 𝑚22

) anggota 𝑀 sehingga 𝜑(𝑚) =

(𝑚11, 𝑚12, 𝑚21, 𝑚22). 
Jadi 𝜑 adalah pemetaan pada. 
Di lain pihak, untuk sebarang 𝜑(𝑥), 𝜑(𝑦) ∈ 𝑅𝜑 

dengan 𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑦), berlaku  
𝟎 = 𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑦)  

 = (𝑥11, 𝑥12, 𝑥21, 𝑥22) − (𝑦11, 𝑦12, 𝑦21, 𝑦22)  
 = (𝑥11 − 𝑦11, 𝑥12 − 𝑦12, 𝑥21 − 𝑦21, 𝑥22 − 𝑦22)  

Oleh karena itu, 𝑥𝑖𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 = 0 untuk setiap 

𝑖, 𝑗 = 1,2. Dengan kata lain 𝑥𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗  untuk setiap 

𝑖, 𝑗 = 1,2. Sehingga diperoleh 𝑥 = 𝑦. Jadi 𝜑 
adalah pemetaan 1-1. 

Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah 
isomorfisma modul. 

Pada contoh monomorfisme dan 
epimorfisme, domainnya adalah 𝑍 sebagai 𝑍-
modul. Telah diketahui bahwa 𝑍 sebagai 𝑍-
modul adalah Modul bebas dengan basis {1}. 
Pada contoh epimorfisme, mudah diketahui 
bahwa 𝑍2 sebagai 𝑍-modul bukan modul bebas 
disebabkan satu-satunya pembangun di 𝑍2, yaitu 
{1} tak bebas linear, karena terdapat 2 ∈ 𝑍 
dimana 2 ≠ 0, berlaku 2 ∙ 1 = 0 di 𝑍2. Jadi 
epimorfisme bukan jaminan untuk kodomain 
merupakan modul bebas saat domain modul 
bebas. Selanjutnya, pada contoh monomorfisme, 
𝑍 × 𝑍2 juga bukan modul bebas ( Hal ini akan 
dibuktikan dengan teorema terakhir pada bab 
ini ). Jadi monomorfisme bukan jaminan untuk 
kodomain merupakan modul bebas saat domain 
modul bebas. Terakhir, pada contoh ketiga, yaitu 
isomorfisme, 𝑍4 sebagai 𝑍-modul adalah modul 
bebas dengan basis {(1,1,1,1)}. Begitu pula 
dengan 𝑀 sebagai 𝑍-modul juga merupakan 
modul bebas dengan basis 

{(
1 0
0 0

) , (
0 1
0 0

) , (
0 0
1 0

) , (
0 0
0 1

)}. Dari contoh 

isomorfisme ini, ada kemungkinan bahwa 
isomorfisme bisa jadi jaminan untuk kodomain 
modul bebas saat domain adalah modul bebas. 
Hal ini dijawab oleh teorema berikut. 

 
Teorema 2 

Misalkan 𝑀 dan 𝐹 adalah 𝑅-modul. Jika 𝑀 
adalah modul bebas dan 𝑀 isomorfik dengan 
𝐹, maka 𝐹 modul bebas. 

 
Bukti 

Misalkan 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 } adalah basis 
untuk 𝑀 dan 𝜑 adalah isomorfisme dari 𝑀 ke 𝐹. 
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑉 =
{𝜑(𝑥1), 𝜑(𝑥1), … , 𝜑(𝑥𝑛 )} adalah basis bagi 𝐹. 
i) 𝑉 membangun 𝐹 

Ambil 𝑦 ∈ 𝐹. Karena 𝜑 pemetaan pada, 
maka terdapat 𝑚 ∈ 𝑀 sehingga 𝜑(𝑚) = 𝑦. 
Karena 𝑀 modul bebas, maka terdapat 
𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑛 ∈ 𝑅 sehingga 

𝑚 = ∑ 𝑟𝑖 𝑥𝑖 = 𝑟1𝑥1 + 𝑟2𝑥2 + 𝑟3𝑥3 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝑥𝑛

𝑛

𝑖=1

 

Selain itu, karena 𝜑 suatu homomorfisme, maka 
𝜑(𝑚) = 𝜑(∑ 𝑟𝑖 𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1 )  

  = 𝜑(𝑟1𝑥1 + 𝑟2𝑥2 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝑥𝑛 )  
  = 𝜑(𝑟1𝑥1) + 𝜑(𝑟2𝑥2) + ⋯ + 𝜑(𝑟𝑛 𝑥𝑛 )  

  = 𝑟1𝜑(𝑥1) + 𝑟2𝜑(𝑥2) + ⋯ + 𝑟𝑛 𝜑(𝑥𝑛 )  
  = ∑ 𝑟𝑖 𝜑(𝑥𝑖 )

𝑛
𝑖=1   

  = 𝑦  



Keterkaitan Antara Modul Bebas Dengan Modul Dilihat Dari Sifat-Sifat Homomorfisme Modul 

CAUCHY – ISSN: 2086-0382 156 

Jadi 𝑉 membangun 𝐹. 
ii) 𝑉 bebas Linear 

Berikutnya, persamaan ∑ 𝑠𝑖
𝑛
𝑖=1 𝜑(𝑥𝑖 ) = 0𝐹  

dimana 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛 ∈ 𝑅,  dapat dituliskan 
menjadi 𝜑(∑ 𝑠𝑖 𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1 ) = 0𝐹 . Karena 𝜑 pemetaan 

1-1, maka prapeta dari 0𝐹  adalah 0𝑀 . Dengan 
kata lain ∑ 𝑠𝑖 𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1 = 0𝑀 . Karena 𝑋 adalah basis 

bagi 𝑀, maka persamaan ∑ 𝑠𝑖 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 = 0𝑀  hanya 

dipenuhi oleh 𝑠1 = 𝑠2 = ⋯ = 𝑠𝑛 = 0. Oleh 
karena itu persamaan ∑ 𝑠𝑖

𝑛
𝑖=1 𝜑(𝑥𝑖 ) = 0𝐹  hanya 

dipenuhi oleh skalar  𝑠1 = 𝑠2 = ⋯ = 𝑠𝑛 = 0.  
Jadi 𝑉 bebas linear. 
Oleh karena itu, 𝑉 basis bagi 𝐹. Jadi 𝐹 adalah 
modul bebas. 

Teorema di atas adalah jaminan 
mengetahui suatu modul adalah modul bebas 
dengan memanfaatkan modul bebas yang lain 
melalui isomorfisme. Namun, masih diperlukan 
cara untuk menentukan modul pada domain 
(atau  kodomain ) tersebut modul bebas atau 
bukan, tentu saja tidak dengan memanfaatkan 
kebebasan dari modul pada kodomain ( atau 
domain ) karena tentu saja hal ini seperti 
berputar ditempat yang sama. Teorema berikut 
dapat dijadikan sebagai prosedur untuk 
mengetahui apakah suatu 𝑅-modul adalah 
modul bebas atau bukan. Teorema ini menjadi 
teorema penutup pada bab pembahasan ini. 

 
Teorema 3 

Misalkan 𝑀 adalah 𝑅-modul. Jika 𝑀 adalah 
modul bebas maka 𝑀 isomorfik dengan 𝑅𝑛 , 
dimana 𝑛 adalah kardinalitas dari basis 𝑀. 

 
Bukti 

Misalkan 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 } adalah basis 
untuk 𝑀. Maka setiap 𝑚 di 𝑀 dapat dituliskan 
secara tunggal sebagai 𝑚 = ∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1  untuk 

suatu 𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛 ∈ 𝑅. Sekarang, misalkan 
pemetaan 𝜑: 𝑀 → 𝑅𝑛 didefinisikan sebagai 

𝜑(𝑚) = (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛) 
dimana 𝑚 = ∑ 𝑚𝑖 𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1  untuk 𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛 ∈ 𝑅. 

Ambil sebarang 𝑧, 𝑦 ∈ 𝑀 dan 𝛼 ∈ 𝑍, maka 
i) 𝜑(𝑧 + 𝑦) = (∑ (𝑧𝑖 + 𝑦𝑖 )𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1 ) 

  = (𝑧1 + 𝑦1, 𝑧2 + 𝑦2, 𝑧3 + 𝑦3, … , 𝑧𝑛 +
𝑦𝑛)  

 = (𝑧1, 𝑧, … , 𝑧𝑛) + (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 )  
 = 𝜑(𝑧) + 𝜑(𝑦)  

ii) 𝜑(𝛼𝑦) = 𝜑(∑ (𝛼𝑦𝑖 )𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ) 

= (𝛼𝑦1 , 𝛼𝑦2, 𝛼𝑦3 , … , 𝛼𝑦𝑛 )  
= 𝛼(𝑦1 , 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛)  
= 𝛼𝜑(𝑦)  

Dari (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa 𝜑 
adalah suatu homomorfisme modul. 

Kemudian, untuk sebarang 
(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛 ) ∈ 𝑅

𝑛 , maka terdapat 𝑚 =
∑ 𝑚𝑖𝑥𝑖

𝑛
𝑖=1  anggota 𝑀 sehingga 𝜑(𝑚) =

(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛 ). Jadi 𝜑 adalah pemetaan pada. 

Di lain pihak, untuk sebarang 
𝜑(𝑧), 𝜑(𝑦) ∈ 𝑅𝜑 dengan 𝜑(𝑧) = 𝜑(𝑦), berlaku  

𝟎 = 𝜑(𝑧) − 𝜑(𝑦)  
 = (𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛 ) − (𝑦1 , 𝑦2, … , 𝑦𝑛 )  
 = (𝑧1 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑦2, 𝑧3 − 𝑦3, … , 𝑧𝑛 − 𝑦𝑛 )  

Oleh karena itu, 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 = 0 untuk setiap 𝑖 =
1,2, … , 𝑛, dengan kata lain 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖  untuk setiap 
𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Sehingga diperoleh 𝑧 = 𝑦, jadi 𝜑 
adalah pemetaan 1-1. 

Jadi dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah 
isomorfisme modul. Oleh karena itu, 𝑀 
isomorfik dengan 𝑅𝑛 . 
Akibat dari Teorema 2 

Jika 𝑀 isomorfik dengan 𝑅𝑛  dan 𝑀 adalah 
modul bebas, maka 𝑅𝑛  modul bebas. 

 
PENUTUP 

1. Kesimpulan  
Dari pembahasan pada bab 3, dapat 

disimpulkan bahwa suatu 𝑅-modul merupakan 
modul bebas jika 𝑅-modul tersebut isomorfik 
dengan suatu modul bebas sebagai 𝑅-modul. 
Artinya, suatu 𝑅-modul merupakan modul bebas 
jika terdapat suatu isomorfisme dari 𝑅-modul 
tersebut ke suatu modul bebas yang juga 
merupakan suatu 𝑅-modul. Lebih jauh lagi, jika 
suatu 𝑅-modul adalah modul bebas, maka 𝑅-
modul tersebut isomorfik dengan 𝑅𝑛 , dimana 𝑛 
adalah kardinalitas dari basis bagi 𝑅-modul 
tersebut. 

 
2. Saran  

Dalam studi modul, dikenal pula modul 
notherian. Untuk penelitian selanjutnya, dapat 
mengkaji tentang bagaimana mengetahui suatu 
modul adalah modul notherian atau bukan, 
metodenya mungkin melalui media 
homomorfisma modul juga, atau mungkin 
menggunakan media yang lain. 
 

DAFTAR PUSTAKA 

[1] Yunita Wildaniati, "Penjumlahan Langsung 
Pada Modul," Malang, 2009. 

[2] Khusniyah, "Kajian Homomorfisme Modul 
Atas Ring Komutatif," Malang, 2007. 

[3] Wijna. (2009, 5 Februari) 
http://wijna.web.ugm.ac.id. 

[4] John R. Durbin, Modern Algebra an 
Introduction third edition. New York: John 
Willey & Sons, Inc, 1992. 

[5] M.D Raisinghania and R.S Aggarwal, Modern 
Algebra. New Delhi: Ram Nagar, 1980. 

[6] Achmad Arifin, Aljabar. Bandung: ITB 



Khusnul Afifa 

157 Volume 3 No. 3 November 2014 

Bandung, 2000. 

[7] David S Dummit and Richard M. Foote, 
Abstract Algebra. New York: Prentice-Hall 
International, Inc, 1991. 

[8] Howard Anton, Aljabar Linear Elementer 
Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga, 1987. 

[9] M.D Raisinghania and R.S Aggarwal, Modern 
Algebra. New Delhi: Ram Nagar, 1980. 

[10] Anton Howard, Aljabar Linear Elementer 
Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga, 1987. 

 
 

 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 

 
 
 

. 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
 

 


	PENDAHULUAN
	TEORI DASAR
	1. Fungsi
	2. Operasi Biner
	3. Grup
	4. Ring
	5. Modul
	6. Modul Bebas

	METODE PENELITIAN
	PEMBAHASAN
	PENUTUP
	1. Kesimpulan
	2. Saran

	DAFTAR PUSTAKA