Suma’inna dan Gugun Gumilar


KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG  
FUNGSI KONTINU 𝑪[𝒂,𝒃] 

Firdaus Ubaidillah1, Soeparna Darmawijaya, Ch. Rini Indrati 

1Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta 
e-mail: firdaus_u@yahoo.com 

ABSTRAK 

Diberikan C[a,b] merupakan koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada selang tertutup [a,b]. 
C[a,b] merupakan ruang linear atas lapangan real. Dalam tulisan ini dibahas pengertian-pengertian norma, 
barisan konvergen, terbatas dan monoton, infimum dan supremum dan lain-lain yang semuanya disajikan 
dalam bahasa fungsi kontinu. Selain itu akan ditunjukkan bahwa barisan yang terbatas dan monoton di 
dalam ruang fungsi kontinu C[a,b] belum tentu konvergen. Satu sifat yang menjamin sebuah barisan 
memiliki supremum atau infimum akan dibahas. 

Kata kunci: Barisan konvergen, Fungsi kontinu bernilai real, Ruang fungsi kontinu 

ABSTRACT 

Let C[a,b] be a collection of all real-valued continuous functions on a closed interval [a, b]. The C[a,b] is 
a linear space over the real field. In this paper, we discussed some notions of norm, monotone, bounded and 
convergent sequence, infimum and supremum and others of which are presented in the language of continuous 
functions. They will also be shown that bounded and monotone sequence in the continuous functions space 
C[a,b] is not necessarily convergent. A property that ensures a sequence has a supremum or infimum will be 
discussed. 

Keywords: Convergent sequence, Continuous real-valued function, Continuous function space 
 

 
PENDAHULUAN 

Telah banyak dibahas sifat-sifat fungsi 
kontinu bernilai real pada selang tertutup [𝑎,𝑏] 
oleh Bartle dan Sherbert (2000), diantaranya sifat 
terbatas, mencapai nilai maksimum dan 
minimum, dapat didekati dengan fungsi tangga, 
merupakan fungsi kontinu seragam, terintegral 
Riemann dan lain sebagainya. Dalam tulisan ini, 
𝐶[𝑎,𝑏] menyatakan koleksi semua fungsi kontinu 
bernilai real pada selang tertutup [𝑎,𝑏] ⊂ ℝ, yakni 
𝑓:[𝑎,𝑏] → ℝ kontinu. Pembahasan beberapa sifat 
dasar 𝐶[𝑎,𝑏] banyak dijumpai dalam ruang 
Banach klasik diantaranya oleh Lindenstrauss dan 
Tsafriri (1977), Diestel (1984), Meyer-Nieberg 
(1991), Albiac dan Kalton (2006), dan lain-lain.  

Jika didefinisikan penjumlahan dan perkali-
an skalar di 𝐶[𝑎,𝑏] berturut-turut 

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 

untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], dan 

(𝛼𝑓)(𝑥) = 𝛼𝑓(𝑥) 

untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏],𝛼 ∈ ℝ,𝑥 ∈ [𝑎,𝑏], maka 
𝛼𝑓,(𝑓 + 𝑔) ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. Oleh karena itu 𝐶[𝑎,𝑏]  
merupakan ruang linear atas lapangan ℝ (Yeh, 

2006). Lebih jauh, jika diberikan norma pada 
𝐶[𝑎,𝑏] yang didefinisikan  

‖𝑓‖∞ = sup
𝑎≤𝑥≤𝑏

|𝑓(𝑥)|   

untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏], maka (𝐶[𝑎,𝑏],‖∙‖∞) 
merupakan ruang Banach (Dales, 2003). 

Dua anggota 𝑓 dan 𝑔 di dalam 𝐶[𝑎,𝑏] 
dikatakan 

i. 𝑓 = 𝑔 jika 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈
[𝑎,𝑏]; 

ii. 𝑓 < 𝑔 jika 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈
[𝑎,𝑏]; 

iii. 𝑓 ≤ 𝑔 jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈
[𝑎,𝑏]. 

Berdasarkan pengertian di atas, mudah 
dipahami bahwa 𝐶[𝑎,𝑏] merupakan himpunan 
terurut parsial (partially ordered set) terhadap 
relasi “≤”.  

Dua anggota 𝑓 dan 𝑔 di dalam 𝐶[𝑎,𝑏] 
dikatakan dapat dibandingkan (comparable) jika  
𝑓 ≤ 𝑔 atau 𝑔 ≤ 𝑓 dan dikatakan tidak dapat 
dibandingkan (incomparable) jika tidak berlaku 
𝑓 ≤ 𝑔 dan 𝑔 ≤ 𝑓. Selanjutnya jika dianggap 
penting, penulisan 𝑓 < 𝑔 dan 𝑓 ≤ 𝑔 berturut-
turut dapat digantikan dengan 𝑔 > 𝑓 dan 𝑔 ≥ 𝑓. 



Kekonvergenan Barisan di Dalam Ruang Fungsi Kontinu C[a,b] 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  185 

Selanjutnya didefinisikan fungsi nol (null 
function) 𝜃 dan fungsi satuan (unit function) 𝑒 di 
dalam 𝐶[𝑎,𝑏] berturut-turut dengan 

𝜃(𝑥) = 0  dan  𝑒(𝑥) = 1 

untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]. 
Karena setiap 𝑓,𝑔,ℎ ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] dan 𝑓 ≤ 𝑔 

berlaku 

i. 𝑓 + ℎ ≤ 𝑔 + ℎ 
ii. 𝛾𝑓 < 𝛾𝑔 untuk setiap bilangan 𝛾 > 0, 

maka disimpulkan bahwa 𝐶[𝑎,𝑏] merupakan 
ruang Riesz. Lebih jauh, jika didefinisikan 
perkalian di dalam 𝐶[𝑎,𝑏], yakni (𝑓𝑔)(𝑥) =
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] dan setiap 
𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] maka 𝑓𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. Oleh karena itu 
𝐶[𝑎,𝑏] merupakan aljabar Banach dengan unsur 
satuan 𝑒 (Dales, 2003 ). 

Dalam tulisan ini, akan diperkenalkan 
pengertian norma dalam “bahasa” fungsi kontinu. 
Untuk membedakan pengertian norma pada 
umumnya dengan norma dalam bahasa fungsi 
kontinu, untuk itu digunakan notasi norma*. 

Definisi 1. (Darmawijaya, 2012) Sebuah fungsi 
‖∙‖∗:𝐶[𝑎,𝑏] → 𝐶[𝑎,𝑏]  dikatakan norma* (norm*) 
pada 𝐶[𝑎,𝑏] jika  ‖∙‖∗ memenuhi sifat-sifat 

i. ‖𝑓‖∗ ≥ 𝜃, untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]; 
‖𝑓‖∗ = 𝜃 jika dan hanya jika 𝑓 = 𝜃; 

ii. ‖𝛼𝑓‖∗ = |𝛼|‖𝑓‖∗, untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] 𝛼 ∈
ℝ; 

iii. ‖𝑓 + 𝑔‖∗ ≤ ‖𝑓‖∗ + ‖𝑔‖∗, untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈
𝐶[𝑎,𝑏]. 

 

Sekarang didefinisikan nilai mutlak |∙| di 
dalam 𝐶[𝑎,𝑏] dengan  

|𝑓|(𝑥) = |𝑓(𝑥)|, untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]. 

Karena |∙| memenuhi semua sifat dalam Definisi 1, 
maka |∙| merupakan sebuah norma* pada 𝐶[𝑎,𝑏]. 

Berkaitan dengan hal-hal tersebut di atas, 
tujuan dalam tulisan ini adalah membahas 
kekonvergenan barisan di dalam 𝐶[𝑎,𝑏] dengan 
norma* |∙| yang dijelaskan di atas dalam “bahasa” 
fungsi kontinu, yang mempunyai arti cukup 
bekerja di dalam 𝐶[𝑎,𝑏]. Namun begitu, untuk 
memudahkan pembuktian teorema dan per-
hitungan, dalam beberapa kasus akan dibawa ke 
fungsi real.  

 
 

HASIL DAN PEMBAHASAN 

Dalam bagian ini akan dibahas beberapa 
definisi dan teorema yang akan digunakan untuk 
membahas kekonvergenan barisan di dalam 
𝐶[𝑎,𝑏]. Di akhir bagian ini dibahas syarat suatu 
barisan memiliki supremum atau infimum. 

Untuk setiap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] dan 𝛼 ∈ ℝ, yang 
dimaksud dengan fungsi 

i. 
𝑓

𝑔
 adalah fungsi yang didefinisikan 

𝑓

𝑔
(𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)
 asalkan 𝑔(𝑥) ≠ 0, 

ii. 𝑓 ∨ 𝑔 adalah fungsi yang didefinisikan 
dengan (𝑓 ∨ 𝑔)(𝑥) = sup⁡{𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)}, 

iii. 𝑓 ∧ 𝑔 adalah fungsi yang didefinisikan 
dengan (𝑓 ∧ 𝑔)(𝑥) = inf⁡{𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)}, 

iv. √𝑓 adalah fungsi yang didefinisikan dengan 

√𝑓(𝑥) = √𝑓(𝑥)  dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0, 

v. 𝑓−1 =
𝑒

𝑓
 jika 𝑓 > 𝜃 atau 𝑓 < 𝜃, 

untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏].  

Telah ditunjukkan oleh Bartle dan Sherbert 
(2000), bahwa jika 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏], maka 𝑓 ∨ 𝑔, ⁡⁡𝑓 ∧

𝑔,√𝑓⁡(𝑓(𝑥) ≥ 0) dan 
𝑓

𝑔
⁡(𝑔(𝑥) ≠ 0) di dalam 

𝐶[𝑎,𝑏]. Oleh karena itu 𝐶[𝑎,𝑏] merupakan sebuah 
aljabar (algebra), lebih jauh 𝐶[𝑎,𝑏] sebuah 
aljabar Banach (Banach algebra) (Dales, 2003). 

Berikut diberikan pengertian himpunan 
terbatas ke atas, himpunan terbatas ke bawah dan 
himpunan terbatas di dalam 𝐶[𝑎,𝑏]. 

Definisi 2. Sebuah himpunan 𝐴 ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] tidak 
kosong dikatakan 

i. terbatas ke atas (bounded above) jika terdapat 
𝑞 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] sehingga ℎ ≤ 𝑞 untuk setiap ℎ ∈ 𝐴; 
selanjutnya 𝑞 disebut batas atas (upper bound) 
himpunan 𝐴; 

ii. terbatas ke bawah (bounded below) jika 
terdapat 𝑝 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] sehingga 𝑝 ≤ ℎ untuk 
setiap ℎ ∈ 𝐴; selanjutnya 𝑝 disebut batas 
bawah (lower bound) himpunan 𝐴; 

iii. terbatas (bounded) jika 𝐴 terbatas ke atas dan 
terbatas ke bawah atau himpunan 𝐴 dikatakan 
terbatas jika terdapat 𝑡 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] dan 𝑡 > 𝜃 
sehingga |ℎ| ≤ 𝑡 untuk setiap ℎ ∈ 𝐴. 
 

Selanjutnya diperkenalkan pengertian 
batas atas terkecil dan batas bawah terbesar dari 
suatu himpunan. 

  



Firdaus Ubaidillah, Soeparna Darmawijaya, Ch. Rini Indrati  
 

 
186   Volume 2 No. 4 Mei 2013 

Definisi 3. Diberikan himpunan 𝐴 ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] tidak 
kosong.  

i. Himpunan 𝐴 terbatas ke atas. Titik 𝑠 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] 
disebut batas atas terkecil (least upper bound) 
atau supremum 𝐴 jika 𝑠 adalah batas atas 𝐴 
dan untuk setiap 𝑣 batas atas 𝐴 berlaku 𝑠 ≤ 𝑣. 
Dalam kasus ini ditulis 

𝑠 = 𝑠𝑢𝑝(𝐴). 
ii. Himpunan 𝐴 terbatas ke bawah. Titik 𝑟 ∈

𝐶[𝑎,𝑏] disebut batas bawah terbesar (greates 
lower bound) atau infimum 𝐴 jika 𝑟 adalah 
batas bawah 𝐴 dan untuk setiap 𝑢 batas bawah 
𝐴 berlaku 𝑟 ≤ 𝑢. Dalam kasus ini ditulis 

𝑟 = 𝑖𝑛𝑓(𝐴). 

Dari pengertian ini, belum tentu benar 
bahwa setiap himpunan terbatas ke atas (bawah) 
memiliki supremum (infimum), lihat Contoh 10 
dan Contoh 11. Dalam kasus himpunan 𝐴 ⊂
𝐶[𝑎,𝑏] hingga, maka 𝐴 memiliki supremum dan 
infimum, dan 

sup(𝐴) = ⋁
ℎ∈𝐴

ℎ   dan   inf(𝐴) = ⋀
ℎ∈𝐴

ℎ. 

Dalam Definisi 4 berikut ini diberikan 
pengertian dari barisan konvergen dan barisan 
Cauchy di dalam 𝐶[𝑎,𝑏] dan dilanjutkan dengan 
sebuah contoh barisan konvergen (Contoh 5). 

Definisi 4. Sebuah barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] dikata-
kan 

i. konvergen (converges) jika ada 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] 
sehingga untuk setiap bilangan > 0 terdapat 
bilangan asli 𝐾 sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾 
berlaku 

|𝑓𝑛 − 𝑓| < 𝑒. 
Jika demikian halnya, barisan {𝑓𝑛} dikatakan 
konvergen (convergent) ke 𝑓 atau barisan {𝑓𝑛} 
mempunyai limit 𝑓 untuk 𝑛 → ∞ dan dituliskan 
dengan  

𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞

𝑓𝑛 = 𝑓. 

ii. barisan Cauchy (Cauchy sequence) jika setiap 
bilangan > 0 terdapat bilangan asli 𝐾 
sehingga untuk setiap 𝑚,𝑛 ≥ 𝐾 berlaku 

|𝑓𝑚 − 𝑓𝑛| < 𝑒. 
 

Contoh 5. Diberikan barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[0,1] yang 
didefinisikan 

𝑓𝑛(𝑥) =
𝑥

𝑛
  ,  untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1]. 

Barisan {𝑓𝑛} merupakan barisan konvergen ke 𝜃, 
sebab jika diberikan bilangan > 0 sebarang 
maka dipilih bilangan asli 𝐾 > 1/ , sehingga jika 
untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾⁡diperoleh 

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝜃(𝑥)| = |
𝑥

𝑛
− 0| =

𝑥

𝑛
≤
1

𝑛
≤
1

𝐾
< . 

Jadi lim
𝑛→∞

𝑓𝑛 = 𝜃. 

Selanjutnya dibahas beberapa sifat dasar 
barisan konvergen diantaranya ketunggalan limit 
barisan dan keterbatasan barisan yang konver-
gen berturut-turut disajikan dalam Teorema 6 dan 
Teorema 7. 

Teorema 6. Jika barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] konvergen, 
maka limit barisan {𝑓𝑛} tunggal. 
Bukti: Anggap 𝑓,𝑔 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] sehingga barisan {𝑓𝑛} 
konvergen ke 𝑓 dan 𝑔. Jadi untuk setiap bilangan 
> 0 terdapat dua bilangan asli 𝑛0 dan 𝑚0 

sehingga 

|𝑓𝑛 − 𝑓| <
𝜀

2
𝑒  jika 𝑛 ≥ 𝑛0 

dan 

|𝑓𝑛 − 𝑔| <
𝜀

2
𝑒 jika 𝑛 ≥ 𝑚0. 

Oleh karena itu untuk setiap bilangan asli 𝑛 ≥
𝑚𝑎𝑘𝑠{𝑛0,𝑚0} diperoleh 

|𝑓 − 𝑔| ≤ |𝑓𝑛 − 𝑓| + |𝑓𝑛 − 𝑔| <
2
𝑒 +

2
𝑒 = 𝑒. 

Jadi 𝑓 = 𝑔.  ∎ 
 
Teorema 7. Jika barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] konvergen, 
maka {𝑓𝑛} terbatas. 
Bukti: Diberikan barisan {𝑓𝑛} konvergen ke 𝑓 ∈
𝐶[𝑎,𝑏] dan sebarang bilangan > 0. Terdapat 
bilangan asli 𝐾 sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾 
dipunyai 

|𝑓𝑛 − 𝑓| < 𝑒. 

Untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾 diperoleh 

|𝑓𝑛| = |𝑓𝑛 − 𝑓 + 𝑓| ≤ |𝑓𝑛 − 𝑓| + |𝑓| < 𝑒 + |𝑓|. 

Selanjutnya diambil 

𝑝 = (⋁|𝑓𝑛|

𝐾−1

𝑛=1

)⋁( 𝑒 + |𝑓|). 

Jadi diperoleh |𝑓𝑛| ≤ 𝑝 untuk setiap bilangan asli 
𝑛, atau dengan kata lain {𝑓𝑛} terbatas. ∎ 

Berikutnya dibahas pengembangan lebih 
lanjut sifat-sifat kekonvergenan barisan yang 
disajikan dalam Teorema 8 dan Teorema 9. 

Teorema 8. Diberikan sebarang bilangan 𝛾 ∈ ℝ 
dan barisan-barisan {𝑓𝑛},{𝑔𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] konver-
gen berturut-turut ke 𝑓 dan 𝑔. Maka barisan 
{𝛾𝑓𝑛},{𝑓𝑛 + 𝑔𝑛} dan {𝑓𝑛𝑔𝑛} konvergen berturut-
turut ke 𝛾𝑓,𝑓 + 𝑔 dan 𝑓𝑔. Lebih jauh, barisan  

{
𝑓𝑛
𝑔𝑛

:𝑔𝑛 > 𝜃⁡𝑎𝑡𝑎𝑢⁡𝑔𝑛 < 𝜃⁡𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘⁡𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝⁡𝑛} 

konvergen ke 
𝑓

𝑔
 bilamana 𝑔 > 𝜃 atau 𝑔 < 𝜃. 



Kekonvergenan Barisan di Dalam Ruang Fungsi Kontinu C[a,b] 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  187 

Bukti: Di sini hanya akan dibuktikan untuk barisan 
{𝑓𝑛𝑔𝑛} konvergen ke 𝑓𝑔 saja. 

Diberikan barisan {𝑓𝑛},{𝑔𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] konvergen 
berturut-turut ke 𝑓 dan 𝑔. Berdasarkan Teorema 
7, terdapat 𝑝 > 𝜃 sehingga |𝑓𝑛| ≤ 𝑝 untuk setiap 
𝑛 ∈ ℕ.  

Didefinisikan  𝑡 = 𝑝 ∨ |𝑔|. Diberikan sebarang 
bilangan > 0. Karena {𝑓𝑛} konvergen ke 𝑓 dan 
{𝑔𝑛} konvergen ke 𝑔, maka terdapat bilangan 
𝐾1,𝐾2 ∈ ℕ sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾1 berlaku 

|𝑓𝑛 − 𝑓| <
𝑒

2𝑡
 

dan jika 𝑛 ≥ 𝐾2 berlaku 

|𝑔𝑛 − 𝑔| <
𝑒

2𝑡
. 

Dipilih 𝐾 = sup⁡{𝐾1,𝐾2}. Oleh karena itu jika 𝑛 ≥ 𝐾 
maka diperoleh 
 

|𝑓𝑛𝑔𝑛 − 𝑓𝑔| ≤ |𝑓𝑛𝑔𝑛 − 𝑓𝑛𝑔| + |𝑓𝑛𝑔 − 𝑓𝑔| 
= |𝑓𝑛||𝑔𝑛 − 𝑔| + |𝑓𝑛 − 𝑓||𝑔| 

< 𝑡
𝑒

2𝑡
+

𝑒

2𝑡
𝑡 = 𝑒. 

Jadi {𝑓𝑛𝑔𝑛} konvergen ke 𝑓𝑔.  ∎ 
 
Teorema 9. Barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] konvergen jika 
dan hanya jika {𝑓𝑛} barisan Cauchy. 
Bukti: Syarat perlu. Diketahui {𝑓𝑛} konvergen, 
maka terdapat 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] sehingga untuk setiap 
bilangan > 0 terdapat bilangan asli 𝐾 sehingga 
jika 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku 

|𝑓𝑛 − 𝑓| <
2
𝑒. 

Jadi untuk setiap bilangan asli 𝑛,𝑚 ≥ 𝐾 diperoleh 

|𝑓𝑛 − 𝑓𝑚| ≤ |𝑓𝑛 − 𝑓| + |𝑓𝑚 − 𝑓| <
2
𝑒 +

2
𝑒 = 𝑒. 

Syarat cukup: Diketahui {𝑓𝑛} barisan Cauchy. 
Artinya, untuk setiap bilangan > 0 terdapat 
bilangan asli 𝑁 sehingga jika 𝑚,𝑛 ≥ 𝑁 benar 
bahwa 

|𝑓𝑛 − 𝑓𝑚| < 𝑒. 
Jadi untuk setiap 𝑚,𝑛 ≥ 𝑁 berlaku |𝑓𝑛(𝑥) −
𝑓𝑚(𝑥)| <    untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]. Ini berarti 
untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏], {𝑓𝑛(𝑥)} merupakan barisan 
Cauchy di ℝ. Oleh karena itu setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏], 
barisan  {𝑓𝑛(𝑥)} konvergen di ℝ. Selanjutnya 
didefinisikan 𝑓(𝑥) = lim

𝑛→∞
𝑓𝑛(𝑥)   untuk setiap 𝑥 ∈

[𝑎,𝑏]. Jadi untuk setiap bilangan > 0 terdapat 
bilangan asli 𝑁 sehingga jika 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 

  |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <    untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏].     (1) 

Karena 𝑓𝑁 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏], maka 𝑓𝑁 kontinu seragam 
pada [𝑎,𝑏]. Artinya, untuk setiap bilangan > 0 
terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 
𝑥,𝑦 ∈ [𝑎,𝑏] dengan |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 maka berlaku 

                              |𝑓𝑁(𝑥) − 𝑓𝑁(𝑦)| <
𝜀

3
.           (2) 

Berdasarkan ketaksamaan (1) dan (2), untuk 
setiap 𝑥,𝑦 ∈ [𝑎,𝑏] dengan |𝑥 − 𝑦| < 𝛿, diperoleh 

|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓𝑁(𝑥)| 
+|𝑓𝑁(𝑥) − 𝑓𝑁(𝑦)| 
+|𝑓𝑁(𝑥) − 𝑓(𝑦)| 

 <
𝜀

3
+

𝜀

3
+

𝜀

3
= . 

Jadi terbukti 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. 
Selanjutnya, berdasarkan ketaksamaan (1) kare-
na untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏], 
berlaku |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ /3 maka untuk setiap 
𝑛 ≥ 𝑁 diperoleh 

|𝑓𝑛 − 𝑓| ≤
3
𝑒 < 𝑒. 

Jadi {𝑓𝑛} barisan konvergen.  ∎ 
 

Barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] dikatakan naik 
monoton (nondecreasing) jika setiap bilangan asli 
𝑛 dipunyai 

𝑓𝑛 ≤ 𝑓𝑛+1. 
Barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] dikatakan turun monoton 
(nonincreasing) jika setiap bilangan asli 𝑛 
dipunyai 

𝑓𝑛+1 ≤ 𝑓𝑛. 
Sebuah barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] dikatakan mono-
ton (monotone) jika {𝑓𝑛} naik monoton atau turun 
monoton. 

Sebuah barisan yang turun (naik) monoton 
dan terbatas ke bawah (ke atas) belum tentu 
mempunyai infimum (supremum), seperti 
diberikan dalam dua contoh berikut.  
 
Contoh 10. Diberikan barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[0,1] yang 
didefinisikan 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥

𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ dan 
setiap 𝑥 ∈ [0,1]. Akan ditunjukkan bahwa barisan 
{𝑓𝑛} turun (naik) monoton dan terbatas tetapi tidak 
mempunyai infimum. 
Cukup jelas bahwa barisan {𝑓𝑛} terbatas sebab 𝜃 ≤
𝑓𝑛 ≤ 𝑒 dan turun monoton sebab 𝑓𝑛+1 ≤ 𝑓𝑛 untuk 
setiap 𝑛. Barisan {𝑓𝑛(𝑥)} konvergen titik demi titik 
ke 𝑓(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ∈ [0,1) dan 𝑓(1) = 1, tetapi 
𝑓 ∉ 𝐶[0,1].  
 
Contoh 11. Diberikan barisan {𝑔𝑛} ⊂ 𝐶[0,1] yang 

didefinisikan 𝑔𝑛(𝑥) = 𝑛𝑥 untuk 0 ≤ 𝑥 <
1

𝑛
 dan 

𝑔𝑛(𝑥) = 1 untuk 
1

𝑛
≤ 𝑥 ≤ 1 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ dan 

setiap 𝑥 ∈ [0,1]. Akan ditunjukkan bahwa barisan 
{𝑔𝑛} naik monoton dan terbatas tetapi tidak 
mempunyai supremum. 
Cukup jelas bahwa barisan {𝑔𝑛} terbatas sebab 
𝜃 ≤ 𝑔𝑛 ≤ 𝑒 dan naik monoton sebab 𝑔𝑛 ≤ 𝑔𝑛+1 
untuk setiap 𝑛. Barisan {𝑔𝑛(𝑥)} konvergen titik 
demi titik ke 𝑔(𝑥) = 1 untuk 𝑥 ∈ (0,1] dan 𝑔(0) =
0, tetapi 𝑔 ∉ 𝐶[0,1].  
 
Teorema 12. Jika barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] naik 
(turun) monoton dan mempunyai supremum 
(infimum) maka barisan {𝑓𝑛} konvergen ke 
supremumnya (infimumnya). 



Firdaus Ubaidillah, Soeparna Darmawijaya, Ch. Rini Indrati  
 

 
188   Volume 2 No. 4 Mei 2013 

Bukti: Diberikan 𝑠 = sup⁡{𝑓𝑛:𝑛 ∈ ℕ} ∈ 𝐶[𝑎,𝑏]. 
Untuk setiap bilangan > 0, terdapat bilangan asli 
𝐾 sehingga 𝑠 − 𝑒 < 𝑓𝐾. Nyatanya bahwa barisan 
{𝑓𝑛} naik monoton, hal ini mengakibatkan 𝑓𝐾 ≤ 𝑓𝑛 
untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾, sehingga diperoleh 

𝑠 − 𝑒 < 𝑓𝐾 ≤ 𝑓𝑛 ≤ 𝑠 < 𝑠 + 𝑒 
untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾. 
Oleh karena itu diperoleh 
|𝑓𝑛 − 𝑠| < 𝑒 untuk setiap 𝑛 ≥ 𝐾. 
Jadi lim

𝑛→∞
𝑓𝑛 = 𝑠. 

Bukti untuk infimum serupa. ∎ 
 

Barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] dikatakan naik 
seragam (uniformly nondecreasing) jika setiap 
bilangan > 0 terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga 
untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dipunyai 

𝜃 ≤ 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 < 𝑒. 
Barisan {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] dikatakan turun seragam 
(uniformly nonincreasing) jika setiap bilangan >
0 terdapat bilangan asli 𝐾 sehingga untuk setiap 
𝑛 ≥ 𝐾 dipunyai 

𝜃 ≤ 𝑓𝑛 − 𝑓𝑛+1 < 𝑒. 
Di akhir bagian ini diberikan Teorema 13 

yang menjamin suatu barisan memiliki supremum 
atau infimum. 
 
Teorema 13. Diberikan barisan  {𝑓𝑛} ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] 
terbatas. 
(i). Jika {𝑓𝑛} naik seragam maka {𝑓𝑛} memiliki 

supremum. Lebih jauh, barisan {𝑓𝑛} konvergen 
ke supremumnya. 

(ii). Jika {𝑓𝑛} turun seragam maka {𝑓𝑛} memiliki 
infimum. Lebih jauh, barisan {𝑓𝑛} konvergen 
ke infimumnya. 

Bukti: (i). Diberikan barisan {𝑓𝑛} terbatas dan naik 
seragam. Maka, untuk setiap bilangan > 0 
terdapat bilangan asli 𝑁1 sehingga untuk setiap 
𝑛 ≥ 𝑁1 dipunyai 
𝜃 ≤ 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 < 𝑒⁡ ⇔ ⁡⁡0 ≤ 𝑓𝑛+1(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥) <  

untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]. 
Karena {𝑓𝑛} terbatas maka untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] 
barisan {𝑓𝑛(𝑥)} terbatas di ℝ. Oleh karena itu, 
terdapat bilangan 𝑓(𝑥) = sup⁡{𝑓𝑛(𝑥)} untuk setiap 
𝑥 ∈ [𝑎,𝑏]. Untuk sebarang bilangan > 0 terdapat 
bilangan asli 𝑁2 sehingga jika 𝑛 ≥ 𝑁2 maka 
berlaku 

𝑓(𝑥) −
3
< 𝑓𝑛(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥) +

3
 

atau 

|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| <
𝜀

3
.            (3) 

Jelas bahwa 𝑓 fungsi bernilai real yang terdefinisi 
pada [𝑎,𝑏]. Selanjutnya diambil bilangan asli 𝑁 =
sup⁡{𝑁1,𝑁2}. Karena 𝑓𝑁 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏] maka terdapat 
bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑥,𝑦 ∈ [𝑎,𝑏] 
dengan |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 dipunyai 

|𝑓𝑁(𝑥) − 𝑓𝑁(𝑦)| <
𝜀

3
.          (4) 

Akibatnya, berdasarkan ketaksamaan (3) dan (4) 
disimpulkan bahwa jika setiap 𝑥,𝑦 ∈ [𝑎,𝑏] dengan 
|𝑥 − 𝑦| < 𝛿 diperoleh 
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓𝑁(𝑥)| + |𝑓𝑁(𝑥) − 𝑓𝑁(𝑦)| 

+|𝑓𝑁(𝑦) − 𝑓(𝑦)| 

<
3
+
3
+
3
= . 

Jadi 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎,𝑏].⁡ 
Bukti untuk infimum serupa. ∎ 
 

REFERENSI 

[1] Albiac, F., dan Kalton, NJ., (2006), Topics in 
Banach Space Theory, Springer-Verlag, New 
York. 

[2] Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., (2000), 
Introduction to Real Analysis, 3rd edition, 
JohnWiley, New York. 

[3] Dales, H.G., (2003), Introduction Banach 
Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, 
Cambridge University Press, Cambridge. 

[4] Darmawijaya, S., (2012), Calculus on the 
Family of Continuous Functions, Seminar 
Nasional KNM XVI, Universitas Padjadjaran 
Sumedang. 

[5] Diestel, J., (1984), Sequences and Series in 
Banach Spaces, Springer-Verlag, New York. 

[6] Lindenstrauss, J. dan Tsafriri, L., (1977), 
Classical Banach Spaces II, Springer-Verlag, 
Berlin. 

[7] Meyer-Nieberg, P., (1991), Banach Lattices, 
Springer-Verlag, Berlin. 

[8] Yeh, J., (2006), Real Analysis: Theory of 
Measure and Integration, 2nd edition, World 
Scientific Publishing, Singapore  


	PENDAHULUAN
	HASIL dan PEMBAHASAN
	REFERENSI