SIFAT ALJABAR  BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA 
KELAS 𝑫(𝑲) 

Malahayati 

Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta 
e-mail: malahayati_01@yahoo.co.id 

ABSTRAK 

Himpunan semua fungsi Baire kelas satu yang terbatas pada K ditulis 𝐵1(𝐾), dengan K sembarang 
ruang metrik separabel. Salah satu kelas bagian terpenting dari 𝐵1(𝐾) adalah 𝐷(𝐾), yang menotasikan kelas 
semua fungsi pada 𝐾 yang merupakan selisih fungsi-fungsi semikontinu terbatas pada K. Pada paper ini 
dibuktikan bahwa sifat aljabar Banach komutatif  dan elemen identitas berlaku di kelas 𝐷(𝐾). 

Kata kunci: Ruang metrik separabel, Aljabar Banach, Baire Kelas Satu, fungsi semikontinu, kelas 𝑫(𝑲). 

ABSTRACT 

The first Baire class of bounded functions on separable metric spaces K denoted by 𝐵1(𝐾). One of the 
most important subclass of  𝐵1(𝐾) is D(K), by D(K) is denoted the class of all functions on K which are 
differences of bounded semicontinuous functions. In this paper we proved that D(K) is abelian Banach algebra 
and identity element.  

Keywords: Separable metric spaces, Banach Algebra, The first Baire class, Semicontinuous functions, The Class 
D(K) 

 

 
PENDAHULUAN 

Himpunan semua fungsi Baire kelas satu 
yang terbatas pada K ditulis 𝐵1(𝐾), dengan K 
sembarang ruang metrik separabel. Salah satu 
kelas bagian terpenting dari 𝐵1(𝐾) adalah 𝐷(𝐾), 
yang menotasikan kelas semua fungsi pada 𝐾 yang 
merupakan selisih fungsi-fungsi semikontinu 
terbatas pada K. Kelas 𝐷(𝐾) pertama kali 
dikenalkan oleh A.S Kechris dan Louveau pada 
tahun 1990. Banyak peneliti yang telah membahas 
tentang kelas fungsi 𝐷(𝐾). Sejalan dengan 
kemajuan sains dan teknologi, kajian tentang 
𝐷(𝐾) juga mengalami perkembangan sehingga 
muncul beberapa pengertian tentang 𝐷(𝐾) dan 
norma pada 𝐷(𝐾), seperti yang ditulis oleh 
Haydon, Odell, Rosenthal (1991) dan Rosenthal 
(1994) serta Farmaki (1996). Kelas fungsi 𝐷(𝐾) 
memiliki peranan penting dalam cabang 
matematika diantaranya analisis fungsional, 
khususnya dalam pengaplikasian teori ruang 
Banach. Oleh karena itu penulis tertarik untuk 
membuktikan sifat aljabar Banach komutatif 
dengan elemen identitas pada kelas 𝐷(𝐾). 

TEORI DASAR 

Pada bagian ini akan diberikan beberapa 
pengertian dasar dan sifat  yang merupakan 
konsep awal untuk  dipahami agar mudah 
mengikuti pembahasan selanjutnya. Pengertian-
pengertian dan sifat-sifat yang disajikan diadopsi 

dari beberapa literatur  yang disebutkan pada 
daftar pustaka. 

Definisi 2.1 (Aljabar Banach) Aljabar adalah 
ruang linear 𝐴 yang di dalamnya didefinisikan 
operasi multiplikasi sehingga  untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈
𝐴 dan skalar 𝛼, berlaku  

1) 𝑥𝑦 ∈ 𝐴 
2) 𝑥(𝑦𝑧) = (𝑥𝑦)𝑧 
3) 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 
4) (𝑥 + 𝑦)𝑧 = 𝑥𝑧+yz 
5) 𝛼(𝑥𝑦) = (𝛼𝑥)𝑦 = 𝑥(𝛼𝑦). 

Selanjutnya 𝐴 dikatakan komutatif (abelian) jika 
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴  berlaku  𝑥𝑦 = 𝑦𝑥. Aljabar 𝐴 
dikatakan mempunyai elemen identitas jika 
terdapat dengan tunggal elemen 𝑒 ≠ 𝟎 sehingga 
𝑒𝑥 = 𝑥𝑒 = 𝑥 untuk setiap  𝑥 ∈ 𝐴 . Elemen 𝑒 ini 
disebut elemen identitas. Aljabar bernorma 𝐴 ialah 
suatu aljabar  yang dilengkapi dengan norma ‖. ‖ 
sehingga  ‖𝑥𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖ untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴. 
Sedangkan aljabar bernorma yang lengkap disebut 
aljabar Banach. 

 Selanjutnya diberikan definisi fungsi 
semikontinu, yang akan digunakan dalam 
mendefinisikan kelas fungsi 𝐷(𝐾). Fungsi – fungsi 
yang dibicarakan bernilai real dan didefinisikan 
pada 𝐸, dengan E himpunan bagian dari ruang 
metrik  X. Sebelumnya disepakati terlebih dahulu 
bahwa setiap pengambilan infimum dan 
supremum dari suatu himpunan pada bagian ini, 



 Sifat Aljabar Banach Komutatif dan Elemen Identitas pada Kelas D(K) 
 

 
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 27 

 

himpunan yang dimaksud merupakan himpunan 
bagian dari �̅�, dengan �̅� = 𝑹 ∪ {−∞, ∞}. Dalam 
mendefinisikan fungsi semikontinu diperlukan 
konsep limit atas dan limit bawah, oleh karena itu 
akan diberikan definisi limit atas dan limit bawah 
terlebih dahulu. 

Definisi 2.2 (Limit atas dan Limit Bawah)  
Diberikan fungsi f yang di definisikan pada 𝐸 dan 
𝑥0 ∈ 𝐸. 

1) Limit atas (upper limit) fungsi  f  ketika x 

mendekati 𝑥0 ditulis dengan lim
𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) dan 

didefinisikan  

lim
𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = inf {𝑀𝜀 (𝑓, 𝑥0): 𝜀 > 0}, 

dengan 𝑀𝜀 (𝑓, 𝑥0) = sup{𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑁𝜀 (𝑥0) ∩
𝐸}. 

2) Limit bawah (lower limit) fungsi  f  ketika x 
mendekati 𝑥0 ditulis dengan lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) dan 

didefinisikan  
lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = sup {𝑚𝜀 (𝑓, 𝑥0): 𝜀 > 0} , 

dengan  𝑚𝜀 (𝑓, 𝑥0) = inf {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑁𝜀 (𝑥0) ∩
𝐸}. 

Pada Definisi 2 diatas, nilai limitnya selalu ada dan 
dapat bernilai berhingga, +∞, atau  −∞. 

Definisi 2.3 (Fungsi Semikontinu)  Diberikan 
fungsi  f  yang didefinisikan pada 𝐸 dan  𝑥0 ∈ 𝐸. 

1) Fungsi 𝑓 dikatakan semikontinu atas  (upper 
semicontinuous)  di  𝑥0  apabila  𝑓(𝑥0 ) =

lim
𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥). Selanjutnya, fungsi 𝑓 dikatakan 

semikontinu atas  pada  E  apabila  fungsi  f  
semikontinu atas  disetiap  𝑥0 ∈ 𝐸.   

2) Fungsi  𝑓 dikatakan semikontinu  bawah  
(lower semicontinuous)  di 𝑥0 apabila  
𝑓(𝑥0 ) = lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥). Selanjutnya, fungsi 𝑓 

dikatakan semikontinu bawah  pada  E  
apabila  fungsi  f  semikontinu bawah  disetiap 
𝑥0 ∈ 𝐸.   

3) Fungsi yang semikontinu atas atau 
semikontinu bawah  dinamakan fungsi 
semikontinu. 

Pada pembuktian sifat-sifat kelas 𝐷(𝐾), 
pemakaian definisi kelas 𝐷(𝐾) secara langsung 
cukup menyulitkan. Oleh karena itu, diperlukan 
suatu hasil yang lebih memudahkan dalam 
pembahasan yang dimaksud. Fungsi–fungsi yang 
dibicarakan bernilai real dan didefinisikan pada 𝐾, 
dengan K  sebarang ruang metrik separabel. Selain 
itu, himpunan semua fungsi–fungsi kontinu pada 
K dinotasikan dengan 𝐶(𝐾). 

 Lemma 2.4  Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾)  jika dan hanya jika 
terdapat fungsi-fungsi semikontinu bawah  
terbatas u dan v  pada K, sehingga  𝑓 = 𝑢 − 𝑣. 

Bukti : (Syarat cukup).  Diketahui  fungsi-fungsi 
semikontinu bawah terbatas u dan v pada K, 
sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣. Menurut definisi 𝐷(𝐾),  jelas 
𝑓 ∈ 𝐷(𝐾).  

(Syarat perlu). Diketahui  𝑓 ∈ 𝐷(𝐾), berarti 
terdapat fungsi–fungsi semikontinu terbatas u dan 
v pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣.  Dalam hal ini ada 
beberapa kemungkinan, yaitu:  

Kemungkinan pertama: Jika 𝑢 dan 𝑣 fungsi-fungsi 
semikontinu atas terbatas pada K, maka diperoleh 
𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = (−𝑣) − (−𝑢). Karena 𝑢  dan 𝑣 fungsi-
fungsi semikontinu atas, maka – 𝑢 dan – 𝑣 fungsi-
fungsi semikontinu bawah. Oleh karena itu, 
apabila  𝑢′ = −𝑣 dan 𝑣′ = −𝑢 maka diperoleh  𝑢′, 
𝑣′ fungsi-fungsi semikontinu bawah  terbatas pada 
K dan  𝑓 = 𝑢′ − 𝑣′ . 

Kemungkinan kedua: Jika 𝑢 fungsi semikontinu 
bawah terbatas pada K dan 𝑣 fungsi semikontinu 
atas terbatas pada K, maka  𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = (𝑢 − 𝑣) −
0. Karena 𝑣 fungsi semikontinu atas, maka – 𝑣 
fungsi semikontinu bawah sehingga 𝑢 − 𝑣 fungsi 
semikontinu bawah. Oleh karena itu, apabila  𝑢′ =
𝑢 − 𝑣 dan 𝑣′ = 0 maka  diperoleh 𝑢′, 𝑣′ fungsi-
fungsi semikontinu bawah terbatas pada K dan 
𝑓 = 𝑢′ − 𝑣′ . 

Kemungkinan ketiga : Jika 𝑢 fungsi semikontinu 
atas terbatas pada K dan   𝑣 fungsi semikontinu 
bawah terbatas pada K,  maka  𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = 0 −
(𝑣 − 𝑢). Karena 𝑢 fungsi semikontinu atas, maka 
– 𝑢 fungsi semikontinu bawah sehingga 𝑣 − 𝑢 
fungsi semikontinu bawah. Oleh karena itu, jika 
 𝑢′ = 0 , dan 𝑣′ = 𝑣 − 𝑢 maka diperoleh 𝑢′, 𝑣′ 
fungsi-fungsi semikontinu bawah terbatas pada K 
dan 𝑓 = 𝑢′ − 𝑣′.∎ 

  
Untuk selanjutnya, apabila 𝑓 sebarang fungsi yang 
didefinisikan pada K, notasi  𝑓 ≥ 0  dimaksudkan  
𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua  𝑥 ∈ 𝐾.  
 
Lemma 2.5 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) jika dan hanya jika 
terdapat fungsi–fungsi semikontinu bawah 
terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0  pada K,  sehingga  𝑓 = 𝑢 − 𝑣. 
 
Bukti : (Syarat cukup). Diketahui fungsi-fungsi 
semikontinu bawah terbatas  𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K 
sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣. Oleh karena itu, menurut 
Lemma 4 di atas, jelas 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾).  
(Syarat perlu). Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾), maka 
menurut Lemma 4 terdapat fungsi-fungsi  
semikontinu bawah terbatas 𝑔 dan ℎ pada K 
sehingga 𝑓 = 𝑔 − ℎ. Karena 𝑔 fungsi semikontinu 
bawah terbatas pada K, maka  terdapat barisan 
{𝜑𝑛 } di 𝐶(𝐾)  sehingga  𝜑0 ≤ 𝜑1 ≤ 𝜑2 ≤ 𝜑3 ≤ ⋯ ≤
𝜑𝑛 ≤ 𝜑𝑛+1 ≤ ⋯ dengan  𝜑0 = 𝟎 dan {𝜑𝑛}  
konvergen titik demi titik ke 𝑔. Oleh karena itu, 
diperoleh   



Malahayati  
 

 
28 Volume 3 No. 1 November 2013 

 

𝑔(𝑥) = lim
𝑛→∞

𝜑𝑛 (𝑥) 

= lim
𝑛→∞

∑ (𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1)
𝑛
𝑗=1 (𝑥)  

 = ∑ (𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1)(𝑥)
∞
𝑗=1 ,   

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾.  Selanjutnya, karena ℎ  juga 
fungsi semikontinu bawah terbatas pada K, maka 
terdapat barisan  {𝜓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga  𝜓0 ≤
𝜓1 ≤ 𝜓2 ≤ 𝜓3 ≤ ⋯ dengan 𝜓0 = 𝟎   dan  {𝜓𝑛 }  
konvergen  titik demi titik ke ℎ. Oleh karena itu, 
diperoleh  
ℎ(𝑥) = lim

𝑛→∞
𝜓𝑛 (𝑥) 

= lim
𝑛→∞

∑ (𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1)(𝑥)
𝑛
𝑗=1  = ∑ (𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1)(𝑥)

∞
𝑗=1 ,  

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Akibatnya, untuk  sebarang  
𝑥 ∈ 𝐾  diperoleh  

𝑓(𝑥)  = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥)  =  ∑ (𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1)(𝑥)
∞
𝑗=1 −

∑ (𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1)(𝑥)
∞
𝑗=1 .  

Selanjutnya, namakan 𝑢 = ∑ (𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1)
∞
𝑗=1  dan  

𝑣 = ∑ (𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1)
∞
𝑗=1 . Karena 𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1 ≥ 0 dan 

𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1 ≥ 0 untuk setiap 𝑗 = 1,2, ⋯ , maka 

diperoleh 𝑢, 𝑣 ≥ 0. Jadi terdapat fungsi-fungsi 
semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0  pada K 
sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣. 

PEMBAHASAN 

Pada bagian ini akan dibuktikan sifat 
aljabar Banach komutatif dengan elemen identitas 
pada kelas 𝐷(𝐾). Berdasarkan Definisi 1.1 di atas, 
beberapa langkah harus dibuktikan terlebih 
dahulu.   

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa 𝐷(𝐾) 
merupakan  ruang linear. 
 
Lemma 3.1  Diberikan ruang metrik separabel  𝐾, 
𝐷(𝐾) merupakan  ruang linear. 
 
Bukti : Diambil sembarang 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan skalar  
𝛼, maka terdapat fungsi-fungsi semikontinu 
bawah terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑠, 𝑡 ≥ 0 pada K, dengan sifat  
𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan  𝑔 = 𝑠 − 𝑡, sehingga diperoleh  

1) 𝑓 + 𝑔 = (𝑢 − 𝑣) + (𝑠 − 𝑡) = (𝑢 + 𝑠) − (𝑣 + 𝑡). 
Karena 𝑢, 𝑠, 𝑡 dan  𝑣 fungsi –fungsi semikontinu 
bawah, maka 𝑢 + 𝑠  dan 𝑣 + 𝑡  juga fungsi – 
fungsi semikontinu bawah. Oleh karena itu, 
apabila  𝑢′ = 𝑢 + 𝑠   dan  𝑣′ = 𝑣 + 𝑡 maka 
diperoleh fungsi-fungsi semikontinu bawah 

terbatas 𝑢′, 𝑣′ ≥ 0 pada K,  sehingga  𝑓 + 𝑔 =

𝑢′ − 𝑣′ . Akibatnya  𝑓 + 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾). 
2) 𝛼𝑓 = 𝛼(𝑢 − 𝑣) =  𝛼𝑢 − 𝛼𝑣. Apabila 𝛼 ≥ 0,  

maka 𝛼𝑢, 𝛼𝑣 fungsi-fungsi semikontinu bawah. 
Oleh karena itu, apabila 𝑢′ = 𝛼𝑢   dan   𝑣′ =
𝛼𝑣, maka diperoleh fungsi-fungsi semikontinu 

bawah terbatas  𝑢′, 𝑣′ ≥ 0 pada K, sehingga 

𝛼𝑓 = 𝑢′ − 𝑣′. Dilain pihak, apabila 𝛼 < 0, maka 
– 𝛼𝑢 dan −𝛼𝑣 fungsi – fungsi semikontinu 
bawah. Karena itu, apabila 𝑢" = −𝛼𝑣  dan 𝑣 " =
−𝛼𝑢,  maka  diperoleh fungsi – fungsi 

semikontinu bawah terbatas 𝑢", 𝑣" ≥ 0  pada K, 
sehingga 𝛼𝑓 = 𝑢" − 𝑣". Akibatnya, 𝛼𝑓 ∈ 𝐷(𝐾). 

Jadi, terbukti  𝐷(𝐾)  ruang linear.∎ 
 

Berikut diberikan definisi fungsi yang 
sangat berperan dalam pembahasan pada bagian 
ini. 
 
Definisi 3.2 Diberikan ruang metrik separabel K, 
didefinisikan fungsi ‖. ‖𝐷 : 𝐷(𝐾) → 𝑹,  dengan 

‖𝑓‖𝐷 = 𝑖𝑛𝑓{‖𝑢 + 𝑣‖∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢, 𝑣  
 ≥ 0 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 −

𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 
 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠   𝑝𝑎𝑑𝑎 𝐾}, 

untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾). 
 

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 𝐷(𝐾) 
merupakan ruang bernorma terhadap fungsi 
‖. ‖𝐷 . Terlebih dahulu dibuktikan beberapa 
lemma yang akan digunakan dalam pembuktian. 
 
Lemma 3.3  Jika  𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) maka  ‖𝑓‖∞ ≤ ‖𝑓‖𝐷 . 
 
Bukti : Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan fungsi-
fungsi semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada 
K, dengan sifat  𝑓 = 𝑢 − 𝑣. Menurut definisi norma 
supremum, diperoleh  

‖𝑓‖∞ = sup
𝑥∈𝐾

|𝑓(𝑥)| = sup
𝑥∈𝐾

|𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥)| 

                 ≤ sup
𝑥∈𝐾

|𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥)| = ‖𝑢 + 𝑣‖∞.  

Dengan kata lain, ‖𝑓‖∞ merupakan batas bawah 
dari himpunan 
 {‖𝑢 + 𝑣‖∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi- 
fungsi semikontinu bawah terbatas   pada 𝐾} 
Oleh karena itu, diperoleh  
‖𝑓‖∞ ≤ inf{‖𝑢 + 𝑣‖∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣  dengan 𝑢, 𝑣

≥ 0    
                      fungsi − fungsi semikontinu  bawah   
                      terbataspada 𝐾}. 
Jadi, terbukti bahwa ‖𝑓‖∞ ≤ ‖𝑓‖𝐷.  
 
Lemma 3.4  Jika  𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan  𝛼 ∈ 𝑹  maka 
berlaku 
{‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖∞: 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi −
fungsi semikontinu bawah terbatas  pada 𝐾}    
= {‖ℎ + 𝑔‖∞ ∶ 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔, dengan  ℎ, 𝑔 ≥
0 fungsi − fungsi semikontinu 
bawah terbatas pada 𝐾}.  
 
Bukti :  Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝛼 ∈ 𝑹. 
Untuk kemudahan dalam pembuktian, namakan  
𝐴 = {‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖∞: 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, dengan 𝑢, 𝑣

≥ 0  
fungsi − fungsi semikontinu bawah 
 terbatas  pada 𝐾}, dan 

𝐵 = {‖ℎ + 𝑔‖∞ ∶ 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔, dengan  ℎ, 𝑔 ≥ 0   

fungsi − fungsi semikontinu bawah 
terbatas pada 𝐾}. 



 Sifat Aljabar Banach Komutatif dan Elemen Identitas pada Kelas D(K) 
 

 
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 29 

 

Akan dibuktikan 𝐴 = 𝐵. Diambil sembarang 𝑎 ∈ 𝐴, 
maka terdapat fungsi-fungsi semikontinu bawah 
terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0  pada K, dan 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, 
sehingga diperoleh 𝑎 = ‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖∞. Dalam hal 
ini  ada dua kemungkinan, yaitu 𝛼 ≥ 0 atau 𝛼 < 0. 

Jika 𝛼 ≥ 0 maka 𝛼𝑢 , 𝛼𝑣 ≥ 0. Berarti 
terdapat fungsi – fungsi semikontinu  bawah  
terbatas   ℎ = 𝛼𝑢  dan 𝑔 = 𝛼𝑣 pada K, sehingga 
𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔  dan diperoleh   𝑎 = ‖ℎ + 𝑔‖∞ , 
dengan kata lain 𝑎 ∈ 𝐵. 

Jika 𝛼 < 0 maka dapat dipilih  fungsi-fungsi 
semikontinu  bawah  terbatas ℎ = −𝛼𝑣 dan  𝑔 =
−𝛼𝑢, sehingga 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔 dan diperoleh 𝑎 =
‖ℎ + 𝑔‖∞, dengan kata lain 𝑎 ∈ 𝐵. Akibatnya, 
diperoleh  𝐴 ⊆ 𝐵.  

Sebaliknya, diambil sembarang 𝑏 ∈ 𝐵, maka 
terdapat fungsi-fungsi semikontinu  bawah  
terbatas ℎ, 𝑔 ≥ 0 pada  K  dengan  𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔, 
sehingga diperoleh 𝑏 = ‖ℎ + 𝑔‖∞. Apabila 𝛼 = 0 
maka jelas terbukti 𝐵 ⊆ 𝐴. Selanjutnya, apabila  

𝛼 ≠ 0 maka dapat dipilih  𝑢 =
ℎ

𝛼
  dan  𝑣 =

𝑔

𝛼
 . Dalam 

hal ini ada dua kemungkinan, yaitu 𝛼 > 0  atau 𝛼 <
0. 

Jika 𝛼 > 0  maka diperoleh fungsi-fungsi 
semikontinu  bawah  terbatas  𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K dan 
𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, sehingga 𝑏 = ‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖∞. 
Dengan kata lain,  𝑏 ∈ 𝐴.  

Jika 𝛼 < 0 maka  diperoleh 
𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣 = (−𝛼𝑣) − (−𝛼𝑢) 
       = 𝛼(−𝑣) − 𝛼(−𝑢). 

Oleh karena itu, apabila 𝑢′ = (−𝑣) dan 𝑣′ = (−𝑢), 
maka diperoleh fungsi – fungsi semikontinu  
bawah  terbatas  𝑢′, 𝑣′ ≥ 0 pada K dan 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢′ −
𝛼𝑣′, sehingga 𝑏 = ‖𝛼(𝑢′ + 𝑣′)‖∞. Dengan kata lain, 
𝑏 ∈ 𝐴. Akibatnya diperoleh  𝐵 ⊆ 𝐴. Jadi, terbukti 
𝐴 = 𝐵.  

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, 
dengan menggunakan Lemma 3.3 dan Lemma 3.4,  
dapat dibuktikan bahwa fungsi ‖. ‖𝐷  adalah 
norma pada 𝐷(𝐾). 
 
Teorema 3.5  Fungsi ‖. ‖𝐷  adalah norma pada 
kelas 𝐷(𝐾). 
 
Bukti : 
(1). Akan dibuktikan bahwa ‖𝑓‖𝐷 ≥ 0, untuk 
setiap  𝑓 ∈ 𝐷(𝐾), dan ‖𝑓‖𝐷 = 0  jika dan hanya jika 
𝑓 = 𝟎. 
Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾). Karena  

‖𝑓‖𝐷 = inf{‖𝑢 + 𝑣‖∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣
≥ 0  

fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas 
pada 𝐾},  
maka diperoleh ‖𝑓‖𝐷 ≥ 0. Selanjutnya, jika 
‖𝑓‖𝐷 = 0 maka menurut Lemma 3.3 diperoleh  
‖𝑓‖∞ = 0. Oleh karena itu, 𝑓(𝑥) = 0 untuk setiap 
𝑥 ∈ 𝐾, dengan kata lain 𝑓 = 𝟎. Sebaliknya, jika  
𝑓 = 𝟎  maka terdapat fungsi-fungsi semikontinu 

bawah terbatas 𝑢 = 𝟎 dan 𝑣 = 𝟎, sehingga  𝑓 =
𝑢 − 𝑣 = 𝟎, akibatnya  diperoleh  
‖𝑓‖𝐷 = inf{‖𝑢 + 𝑣‖∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣

≥ 0  
fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas 
pada 𝐾} = 0 
 

(2). Akan dibuktikan ‖𝛼𝑓‖𝐷 = |𝛼|. ‖𝑓‖𝐷 , untuk 
setiap 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan  skalar  𝛼. 

Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝛼 ∈ 𝑹. 
Berdasarkan Lemma 3.4,  diperoleh  

  |𝛼|. ‖𝑓‖𝐷 = |𝛼| inf{‖𝑢 + 𝑣‖∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣,
dengan    
                        𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu  

bawah  terbatas  pada 𝐾} 
     = inf{|𝛼|‖𝑢 + 𝑣‖∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan  
                        𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu 
                        bawah  terbatas  pada 𝐾}               

 = inf{‖𝛼(𝑢 + 𝑣)‖∞ ∶ 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, 
         dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi                                   
         semikontinu bawah  terbatas  
                        pada 𝐾 }   
     = inf{‖ℎ + 𝑔‖∞ ∶ 𝛼𝑓 = ℎ − 𝑔  dengan        
                         ℎ, 𝑔 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu 
                         bawah terbatas  pada 𝐾} 
                    = ‖𝛼𝑓‖𝐷. 
 
(3). Akan dibuktikan  ‖𝑓 + 𝑔‖𝐷 ≤  ‖𝑓‖𝐷 + ‖𝑔‖𝐷 , 
untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾). 

Diambil 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝜀 > 0 sembarang, maka 
terdapat fungsi – fungsi  semikontinu  bawah  
terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑠, 𝑡 ≥ 0 dengan 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 =
𝑠 − 𝑡,  sehingga berlaku 

‖𝑢 + 𝑣‖∞ < ‖𝑓‖𝐷 +
𝜀

2
   dan  ‖𝑠 + 𝑡‖∞ < ‖𝑔‖𝐷 +

𝜀

2
. 

Oleh karena itu,  diperoleh  

‖𝑓‖𝐷 + ‖𝑔‖𝐷 + 𝜀 > ‖𝑢 + 𝑣‖∞ + ‖𝑠 + 𝑡‖∞  
                 ≥ ‖(𝑢 + 𝑣) + (𝑠 + 𝑡)‖∞  

 = ‖(𝑢 + 𝑠) + (𝑣 + 𝑡)‖∞  
 ≥ ‖𝑓 + 𝑔‖𝐷 . 

Karena berlaku untuk 𝜀 > 0 sembarang, maka 
diperoleh  

 ‖𝑓 + 𝑔‖𝐷 ≤  ‖𝑓‖𝐷 + ‖𝑔‖𝐷 . 
 

Berdasarkan (1), (2), dan (3), maka  terbukti  
bahwa fungsi ‖. ‖𝐷  adalah norma pada 𝐷(𝐾). ∎ 
 

Pengertian norma pada 𝐷(𝐾) dapat juga 
disajikan lain, yang tertuang dalam teorema 
berikut ini. 
 
Teorema 3.6  Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾)  jika dan hanya jika 
terdapat barisan {𝑓𝑛} di 𝐶(𝐾) dan 𝑠𝑢𝑝

𝑥∈𝐾
∑ |𝑓𝑛(𝑥)| <𝑛

∞ sehingga ∑ 𝑓𝑛𝑛 = 𝑓 titik demi titik. Lebih lanjut,  
‖𝑓‖𝐷 = 𝑖𝑛𝑓{‖∑ |𝑓𝑛|

∞
𝑛=0  ‖∞ ∶ {𝑓𝑛}𝑛=0

∞ ⊂ 𝐶(𝐾) 𝑑𝑎𝑛  



Malahayati  
 

 
30 Volume 3 No. 1 November 2013 

 

              𝑠𝑢𝑝
𝑥∈𝐾

∑ |𝑓𝑛(𝑥)|
∞
𝑛=0 < ∞ sehingga  

              ∑ 𝑓𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑓  𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘}. 

 
Bukti : (Syarat perlu). Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾), maka 
terdapat fungsi-fungsi semikontinu bawah 
terbatas  𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada 𝐾, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣. 
Karena 𝑢 fungsi semikontinu bawah terbatas,  
maka  terdapat barisan {𝜑𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga 
 𝜑0 ≤ 𝜑1 ≤ 𝜑2 ≤ 𝜑3 ≤ ⋯  dengan 𝜑0 = 𝟎  dan 
{𝜑𝑛 }  konvergen titik demi titik ke 𝑢. Oleh karena 
itu,  diperoleh  
 𝑢(𝑥) = lim

𝑛→∞
𝜑𝑛 (𝑥) 

 = lim
𝑛→∞

∑ (𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1)
𝑛
𝑗=1 (𝑥) = ∑ (𝜑𝑗 −

∞
𝑗=1

𝜑𝑗−1)(𝑥),  

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Selanjutnya, karena 𝑣 juga 
fungsi semikontinu bawah terbatas, maka 
terdapat barisan  {𝜓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga  𝜓0 ≤
𝜓1 ≤ 𝜓2 ≤ ⋯ dengan 𝜓0 = 𝟎  dan {𝜓𝑛 } konvergen 
titik demi titik ke 𝑣. Oleh karena itu, diperoleh 
𝑣(𝑥) = lim

𝑛→∞
𝜓𝑛 (𝑥) 

= lim
𝑛→∞

∑ (𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1)(𝑥)
𝑛
𝑗=1  = ∑ (𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1)(𝑥)

∞
𝑗=1 ,  

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Sehingga untuk sebarang 𝑥 ∈
𝐾 diperoleh 
𝑓(𝑥)   = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥)   

= ∑ (𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1)(𝑥)
∞
𝑗=1 − ∑ (𝜓𝑗 − 𝜓𝑗−1)(𝑥)

∞
𝑗=1  

= ∑ (𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1 − 𝜓𝑗 + 𝜓𝑗−1)(𝑥)
∞
𝑗=1 . 

Selanjutnya, namakan 𝑓𝑗 = 𝜑𝑗 − 𝜑𝑗−1 − 𝜓𝑗 + 𝜓𝑗−1, 

untuk setiap  𝑗 ∈ 𝑵 dengan 𝑓0 = 𝟎, sehingga 
diperoleh barisan {𝑓𝑛 } ⊆ C(𝐾). Oleh karena itu,  
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛(𝑥)

∞
𝑛=1 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Dilain 

pihak, karena 𝑢 dan 𝑣 terbatas, maka terdapat 
𝑀1, 𝑀2 > 0 sehingga |𝑢(𝑥)| ≤ 𝑀1 dan |𝑣(𝑥)| ≤ 𝑀2, 
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Akibatnya,  untuk sembarang 
𝑥 ∈ 𝐾 berlaku  
∑ |𝑓𝑛(𝑥)|

∞
𝑛=1 = ∑ |(𝜑𝑛 − 𝜑𝑛−1 − 𝜓𝑛 + 𝜓𝑛−1)(𝑥)|

∞
𝑛=1      

                       ≤ 𝑀1+𝑀2 
Karena berlaku untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐾, maka 
diperoleh  sup

𝑥∈𝐾
∑ |𝑓𝑛(𝑥)|

∞
𝑛=1 < ∞. Dengan kata lain, 

ada barisan {𝑓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾) dan sup
𝑥∈𝐾

∑ |𝑓𝑛(𝑥)| < ∞𝑛  

sehingga ∑ 𝑓𝑛𝑛 = 𝑓 titik demi titik. Oleh karena itu, 
diperoleh 
‖𝑓‖𝐷 ≥ inf{‖∑ |𝑓𝑛|

∞
𝑛=0  ‖∞ ∶  {𝑓𝑛}𝑛=0

∞ ⊂ 𝐶(𝐾)   
                      dan sup

𝑥∈𝐾
∑ |𝑓𝑛(𝑥)|

∞
𝑛=0 < ∞                    

       sehingga ∑ 𝑓𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑓  titik demi titik}. 

 
(Syarat cukup). Diketahui barisan {𝑓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾) dan 
sup
𝑥∈𝐾

∑ |𝑓𝑛(𝑥)|
∞
𝑛=0 < ∞ sehingga  ∑ 𝑓𝑛

∞
𝑛=0 =

𝑓  titik demi titik.  
Untuk sembarang 𝑥 ∈ 𝐾, berlaku 
 
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛(𝑥)

∞
𝑛=1 = lim

𝑘→∞
∑ 𝑓𝑛(𝑥)

𝑘
𝑛=1   

= lim
𝑘→∞

∑ (𝑓𝑛
+

− 𝑓𝑛
−

)(𝑥)𝑘𝑛=1   

= lim
𝑘→∞

∑ (𝑓𝑛
+(𝑥) − 𝑓𝑛

−(𝑥))𝑘𝑛=1   

= lim
𝑘→∞

∑ (𝑓𝑛
+

)(𝑥) − lim
𝑘→∞

∑ (𝑓𝑛
−)(𝑥)𝑘𝑛=1

𝑘
𝑛=1   

= ∑ (𝑓𝑛
+

)(𝑥) − ∑ (𝑓𝑛
−)(𝑥)∞𝑛=1 .

∞
𝑛=1   

 

Selanjutnya, namakan  𝑢 = ∑ (𝑓𝑛
+

)∞𝑛=1  dan  𝑣 =

∑ (𝑓𝑛
−)∞𝑛=1 . Karena 𝑓𝑛

+
, 𝑓𝑛

−
≥ 0 maka diperoleh 

𝑢, 𝑣 ≥ 0. Diperhatikan bahwa ∑ (𝑓𝑛)
+(𝑥)𝑘𝑛=1 ≤

∑ (𝑓𝑛)
+(𝑥)𝑘+1𝑛=1  untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾, dan  

lim
𝑘→∞

∑ (𝑓𝑛)
+(𝑥) =𝑘𝑛=1 ∑ (𝑓𝑛)

+(𝑥)∞𝑛=1 . Akibatnya, u 

merupakan fungsi semikontinu bawah terbatas 
pada K. Dengan cara yang sama, diperoleh v  
merupakan fungsi semikontinu bawah terbatas 
pada K. Oleh karena itu, terdapat fungsi-fungsi 
semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada 𝐾, 
sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣. Dengan kata lain,  𝑓 ∈ 𝐷(𝐾). 
Akibatnya, diperoleh  

 ‖𝑓‖𝐷 ≤ inf{‖∑ |𝑓𝑛|
∞
𝑛=0  ‖∞ ∶  {𝑓𝑛}𝑛=0

∞ ⊂ 𝐶(𝐾) dan  , 
                       sup

x∈K
∑ |𝑓𝑛(𝑥)|

∞
𝑛=0 <  ∞ sehingga 

                       ∑ 𝑓𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑓  titik demi titik}. 

Menggunakan Teorema 3.6, pengertian 
norma pada  𝐷(𝐾) dapat disajikan dalam bentuk 
lain,  yang tertuang dalam teorema berikut. 
 
Teorema 3.7  Fungsi  𝑓 ∈ 𝐷(𝐾)  jika dan hanya 
jika  terdapat  barisan {𝑓𝑛} di 𝐶(𝐾) dan C < ∞, 
sehingga {𝑓𝑛} konvergen titik demi titik ke  𝑓 
dengan 𝑓0 = 𝟎  dan ∑ |𝑓𝑛+1(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| ≤ C 

∞
𝑛=0   

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾.  Lebih lanjut,  
‖𝑓‖𝐷 = 𝑖𝑛𝑓{C ∶  {𝑓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾), 𝑓0 = 𝟎 𝑑𝑎𝑛    
∑ |𝑓𝑛+1(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| ≤ 𝐶, ∀ 𝑥 ∈

∞
𝑛=0

𝐾, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 {𝑓𝑛}  
 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑒 𝑓}. 
 
Bukti : (Syarat perlu). Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) maka 
menurut Teorema 3.6, terdapat barisan {𝑔𝑛 } ⊆
𝐶(𝐾), sehingga ∑ 𝑔𝑛𝑛 = 𝑓 titik demi titik  dan 
sup
𝑥∈𝐾

∑ |𝑔𝑛 (𝑥)| < ∞𝑛 .  

Namakan C = sup
𝑥∈𝐾

∑ |𝑔𝑛 (𝑥)|𝑛 , dan untuk setiap 𝑛 ∈

𝑵  dibentuk 𝑓𝑛 = ∑ 𝑔𝑖
𝑛
𝑖=1  dengan 𝑓0 = 𝟎, maka 

diperoleh barisan {𝑓𝑛} di 𝐶(𝐾) dan {𝑓𝑛} konvergen 
titik demi titik ke  𝑓. Untuk sembarang  𝑥 ∈ 𝐾 
diperoleh  
∑ |𝑓𝑛+1(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)|  

∞
𝑛=0   

= ∑ |∑ 𝑔𝑖
𝑛+1
𝑖=1 (𝑥) − ∑ 𝑔𝑖 (𝑥)

𝑛
𝑖=1 |

∞
𝑛=0   

= ∑ |𝑔𝑛+1(𝑥)|
∞
𝑛=0 ≤ C. 

Dengan kata lain, terdapat barisan {𝑓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾) 
dan C < ∞, sehingga {𝑓𝑛} konvergen titik demi 
titik ke  𝑓 dengan 𝑓0 = 𝟎 dan ∑ |𝑓𝑛+1(𝑥) −

∞
𝑛=0

𝑓𝑛(𝑥)| ≤ C   untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Oleh karena itu, 
diperoleh 
‖𝑓‖𝐷 ≥ inf{C ∶  {𝑓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾), 𝑓0 = 𝟎 dan   
        ∑ |𝑓𝑛+1(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| ≤ 𝐶,

∞
𝑛=0  ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 

        sehingga {𝑓𝑛} konvergen titik demi titik ke 𝑓}.  
 
(Syarat cukup). Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑵, dibentuk  
𝑔𝑛 = 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 dengan 𝑔0 = 𝟎 . Akibatnya, 



 Sifat Aljabar Banach Komutatif dan Elemen Identitas pada Kelas D(K) 
 

 
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 31 

 

diperoleh barisan {𝑔𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾), dan  ∑ 𝑔𝑛
∞
𝑛=0 = 𝑓 

titik demi titik. Selanjutnya, untuk sebarang  𝑥 ∈
𝐾, diperoleh 
∑ |𝑔𝑛(𝑥)|

∞
𝑛=0 = ∑ |𝑓𝑛+1(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)|

∞
𝑛=0 ≤ C < ∞.  

Karena berlaku untuk sembarang 𝑥 ∈ 𝐾, maka 
diperoleh sup

𝑥∈𝐾
∑ |𝑔𝑛(𝑥)| < ∞𝑛 . Dengan kata lain, 

terbukti 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾). Oleh karena itu, diperoleh  
‖𝑓‖𝐷 ≤ inf{C ∶  {𝑓𝑛} ⊆ 𝐶(𝐾), 𝑓0 = 𝟎 dan   
        ∑ |𝑓𝑛+1(𝑥) − 𝑓𝑛(𝑥)| ≤ 𝐶,

∞
𝑛=0  ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 

        sehingga {𝑓𝑛} konvergen titik demi titik ke 𝑓}  
Menggunakan Teorema 3.7, akan 

dibuktikan bahwa  𝐷(𝐾) merupakan ruang 
Banach. 
 
Teorema 3.8 Diberikan ruang metrik separabel K, 
𝐷(𝐾) merupakan ruang Banach. 
 
Bukti : Berdasarkan Teorema 3.5, (𝐷(𝐾), ‖. ‖𝐷) 
merupakan ruang bernorma, selanjutnya akan 
dibuktikan 𝐷(𝐾) lengkap. Diambil sebarang 
barisan Cauchy {𝑓𝑛} ⊆ 𝐷(𝐾). Oleh karena itu, 

dapat diasumsikan  ‖𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛‖𝐷 <
1

2𝑛
 , untuk 

setiap 𝑛 ∈ 𝑵. Karena 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛 ∈ 𝐷(𝐾), maka 
untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑵 terdapat barisan {𝜑𝑚

𝑛 }𝑚=1
∞  di 

𝐶(𝐾), sehingga {𝜑𝑚
𝑛 }𝑚=1

∞  konvergen titik demi titik 
ke 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛  dan memenuhi 

∑ |𝜑𝑚+1
𝑛 (𝑥) − 𝜑𝑚

𝑛 (𝑥)| ≤ ∞𝑚=0
1

2
𝑛,  untuk setiap 𝑥 ∈

𝐾. 
Karena {𝑓𝑛} barisan Cauchy di 𝐷(𝐾), maka 
diperoleh ‖𝑓𝑚 − 𝑓𝑛‖∞ → 0, untuk 𝑛, 𝑚 → ∞. Oleh 
karena itu, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh {𝑓𝑛(𝑥)} 
barisan Cauchy di R. Karena R lengkap, maka 
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾, terdapat 𝑓(𝑥) ∈ 𝑹 sehingga  
{𝑓𝑛(𝑥)} konvergen ke 𝑓(𝑥). Akibatnya diperoleh 
‖𝑓𝑛 − 𝑓‖∞ → 0.  

Diambil sembarang 𝑛0 ∈ 𝑵. Dibentuk 𝑔𝑛 =

𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛, untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑵 dan  𝜓𝑛 = (𝜑𝑛
𝑛0 +

⋯ + 𝜑𝑛
𝑙 ) + (𝜑𝑛+1

𝑙+1 − 𝜑𝑛
𝑙+1) + ⋯ + (𝜑𝑛+1

𝑛 − 𝜑𝑛
𝑛), 

untuk setiap 𝑙, 𝑛 ∈ 𝑵 dengan 𝑛0 ≤ 𝑙 < 𝑛. Oleh 
karena itu didapat barisan {𝜓𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) dan 
berlaku  
∑ 𝑔𝑛

∞
𝑛=𝑛0

= lim
𝑘→∞

∑ 𝑔𝑛
𝑘
𝑛=𝑛0

  

                 = lim
𝑘→∞

∑ (𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛)
𝑘
𝑛=𝑛0

  

                 = lim
𝑘→∞

(𝑓𝑘+1 − 𝑓𝑛0) = 𝑓 − 𝑓𝑛0. 

Selanjutnya, akan dibuktikan 𝑓 − 𝑓𝑛0 ∈ 𝐷(𝐾). 

Untuk setiap 𝑙, 𝑛 ∈ 𝑵 dengan 𝑛0 ≤ 𝑙 < 𝑛,  
diperoleh  
‖𝜓𝑛 − (𝜑𝑛

𝑛0 + ⋯ + 𝜑𝑛
𝑙 )‖

∞
 

= ‖(𝜑𝑛+1
𝑙+1 − 𝜑𝑛

𝑙+1) + ⋯ + (𝜑𝑛+1
𝑛 − 𝜑𝑛

𝑛 )‖
∞

 

≤ ∑
1

2𝑖
𝑛
𝑖=𝑙+1 ≤

1

2𝑙
 .  

Oleh karena itu, apabila 𝑛 → ∞ maka untuk setiap 
𝑥 ∈ 𝐾 dan  𝑙 ≥ 𝑛0, diperoleh  

 lim
𝑛→∞

|𝜓𝑛(𝑥) − (𝜑𝑛
𝑛0 + ⋯ + 𝜑𝑛

𝑙 )(𝑥)| ≤
1

2𝑙
. 

Akibatnya, diperoleh  

𝑔𝑛0(𝑥) + ⋯ + 𝑔𝑙 (𝑥) −
1

2𝑙
≤ lim

𝑛→∞
𝜓𝑛 (𝑥)  

                                   ≤ 𝑔𝑛0(𝑥) + ⋯ + 𝑔𝑙 (𝑥) +
1

2𝑙
. 

Selanjutnya, apabila 𝑙 → ∞, maka diperoleh {𝜓𝑛 } 
konvergen titik demi titik ke 𝑓 − 𝑓𝑛0. Disisi lain, 

diperoleh  
∑ |𝜓𝑛+1(𝑥) − 𝜓𝑛 (𝑥)|  ≤

∞
𝑛=0 ∑ |𝜑𝑛+1

𝑛0 (𝑥) −∞𝑛=0
𝜑𝑛

𝑛0(𝑥)| + ⋯ +  

∑ |𝜑𝑛+1
𝑙 (𝑥) − 𝜑𝑛

𝑙 (𝑥)|∞𝑛=0 + ∑ |𝜑𝑛+1
𝑙+1 (𝑥) −∞𝑛=0

𝜑𝑛
𝑙+1(𝑥)| + ⋯ +  

∑ |𝜑𝑛+1
𝑛 (𝑥) − 𝜑𝑛

𝑛(𝑥)|∞𝑛=0 + ∑ |𝜑𝑛+2
𝑙+1 (𝑥) −∞𝑛=0

𝜑𝑛+1
𝑙+1 (𝑥)|  

+ ⋯ + ∑ |𝜑𝑛+2
𝑛+1(𝑥) − 𝜑𝑛+1

𝑛+1(𝑥)|∞𝑛=0   

≤ ∑
1

2𝑖
𝑛+1
𝑖=𝑛0

≤
1

2
 ,   

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Dengan demikian terdapat 
barisan  {𝜓𝑛 } ⊆ 𝐶(𝐾) yang konvergen titik demi 

titik ke 𝑓 − 𝑓𝑛0, dan ∑ |𝜓𝑛+1(𝑥) − 𝜓𝑛(𝑥)| ≤
∞
𝑛=0

1

2
. 

Dengan kata lain benar bahwa  𝑓 − 𝑓𝑛0 ∈ 𝐷(𝐾). 

Karena 𝐷(𝐾) ruang linear, maka diperoleh  𝑓 ∈
𝐷(𝐾). Selanjutnya, berdasarkan asumsi diawal 
pembuktian, maka diperoleh  
‖𝑓 − 𝑓𝑛0‖𝐷

= ‖∑ 𝑔𝑛
∞
𝑛=𝑛0

‖
𝐷

  

= ‖∑ 𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛
∞
𝑛=𝑛0

‖
𝐷

  

≤ ∑ ‖𝑓𝑛+1 − 𝑓𝑛‖𝐷
∞
𝑛=𝑛0

  

≤ ∑
1

2𝑛
∞
𝑛=𝑛0

≤
1

2𝑛0−1
 , untuk setiap 𝑛0 ∈

𝑵.  
Karena berlaku untuk sembarang  𝑛0 ∈ 𝑵,  maka 
diperoleh barisan {𝑓𝑛} konvergen ke 𝑓. Jadi, terbukti 
𝐷(𝐾) ruang Banach. 

Berdasarkan Teorema 3.8, akan 
ditunjukkan bahwa 𝐷(𝐾) merupakan aljabar 
Banach komutatif dan mempunyai elemen 
identitas. 

Teorema 3.9  Diberikan ruang metrik separabel K, 
𝐷(𝐾) merupakan aljabar Banach komutatif dan 
mempunyai elemen identitas. 

Bukti: Berdasarkan Teorema 3.8, 𝐷(𝐾) 
merupakan ruang Banach, selanjutnya akan 
dibuktikan 𝐷(𝐾) aljabar yang komutatif dan 
mempunyai elemen identitas. 

1) Diambil sembarang  𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾), maka 
terdapat fungsi – fungsi  semikontinu bawah 
terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0 pada K, 
sehingg 𝑓 = 𝑢 − 𝑣,   𝑔 = 𝑤 − 𝑥, dan  ℎ =
𝑦 − 𝑧.  Oleh karena itu, diperoleh  

𝑓(𝑔 + ℎ)   = (𝑢 − 𝑣) ((𝑤 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑧)) 

                           = (𝑢 − 𝑣) (𝑤 − 𝑥) + (𝑢 − 𝑣)(𝑦 − 𝑧) 

                             =  𝑓𝑔 + 𝑓ℎ.  

Dengan kata lain, 𝑓(𝑔 + ℎ) = 𝑓𝑔 + 𝑓ℎ, untuk 
setiap 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾). 

2) Diambil sembarang  𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾), maka 
terdapat fungsi – fungsi  semikontinu bawah 



Malahayati  
 

 
32 Volume 3 No. 1 November 2013 

 

terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0 pada K, 
sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, 𝑔 = 𝑤 − 𝑥, dan  ℎ =
𝑦 − 𝑧.  Oleh karena itu, diperoleh  
(𝑔 + ℎ) 𝑓 = ((𝑤 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑧))(𝑢 − 𝑣) 

            = (𝑤 − 𝑥)(𝑢 − 𝑣) + (𝑦 − 𝑧)(𝑢 − 𝑣) 

 =  𝑔𝑓 + ℎ𝑓.   

Dengan kata lain,  (𝑔 + ℎ) 𝑓 =  𝑔𝑓 + ℎ𝑓,  
untuk setiap 𝑓, 𝑔, ℎ ∈ 𝐷(𝐾). 

3) Diambil sembarang 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan skalar  
𝛼, maka terdapat fungsi–fungsi  semikontinu 
bawah terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥 ≥ 0 pada K, 
sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dan 𝑔 = 𝑤 − 𝑥. Oleh 
karena itu, diperoleh  

𝛼(𝑓𝑔) = 𝛼 ((𝑢 − 𝑣) (𝑤 − 𝑥)) 

                          = (𝛼(𝑢 − 𝑣))(𝑤 − 𝑥) = (𝛼𝑓)𝑔. 

Dengan kata lain, 𝛼(𝑓𝑔) = (𝛼𝑓)𝑔,  untuk 
setiap  𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾)  dan  skalar  𝛼. 

4) Diambil 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾) dan 𝜀 > 0 sembarang, 
maka  terdapat fungsi-fungsi semikontinu 
bawah terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥 ≥ 0 pada K, 
dengan 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 = 𝑤 − 𝑥, sehingga 
berlaku 

‖𝑢 + 𝑣‖∞ < ‖𝑓‖𝐷 +
𝜀

(‖𝑔‖𝐷+1)
  dan 

 

‖𝑤 + 𝑥‖∞ < ‖𝑔‖𝐷 +
𝜀

(‖𝑓‖𝐷+1)
.  

 
Oleh karena itu, diperoleh 

   ‖𝑓𝑔‖𝐷 ≤ ‖(𝑣𝑥 + 𝑢𝑤) + (𝑢𝑥 + 𝑣𝑤)‖∞ 
= ‖(𝑢 + 𝑣)(𝑤 + 𝑥)‖∞ 
≤ ‖𝑢 + 𝑣‖∞‖𝑤 + 𝑥‖∞ 

    <  ‖𝑓‖𝐷 ‖𝑔‖𝐷 + 2𝜀 + 𝜀
2. 

Karena berlaku untuk 𝜀 > 0  sembarang  
maka diperoleh  

 ‖𝑓𝑔‖𝐷 ≤ ‖𝑓‖𝐷‖𝑔‖𝐷.  

Dengan kata lain,  ‖𝑓𝑔‖𝐷 ≤ ‖𝑓‖𝐷 ‖𝑔‖𝐷 ,  
untuk  setiap 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾). 

5) Diambil sembarang  𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾), maka  
terdapat fungsi – fungsi semikontinu bawah 
terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥 ≥ 0 pada K, sehingga  
𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 = 𝑤 − 𝑥. Oleh karena itu,  
diperoleh  

𝑓𝑔 = (𝑢 − 𝑣)(𝑤 − 𝑥) 
      = (𝑤 − 𝑥)(𝑢 − 𝑣) = 𝑔𝑓. 

Dengan kata lain, 𝑓𝑔 = 𝑔𝑓,  untuk setiap 
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷(𝐾). 

Dengan demikian, terbukti bahwa 𝐷(𝐾) 
merupakan aljabar Banach komutatif.  

Selanjutnya akan dibuktikan D(K) 
mempunyai elemen identitas.  

Diambil sembarang  𝑓 ∈ 𝐷(𝐾),  maka  
terdapat fungsi–fungsi semikontinu bawah 
terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 . 
Untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 didefinisikan  𝑒(𝑥) = 1. 

Akibatnya, diperoleh 𝑒 ∈ 𝐷(𝐾). Oleh karena itu,  
diperoleh    

𝑒𝑓 = 𝑒 (𝑢 − 𝑣) = (𝑢 − 𝑣)𝑒 = 𝑢 − 𝑣 = 𝑓. 
Dengan kata lain, e  merupakan elemen identitas 
pada 𝐷(𝐾). Jadi, terbukti bahwa sifat aljabar 
Banach komutatif dan mempunyai elemen 
identitas berlaku pada kelas 𝐷(𝐾).  

PENUTUP 

Berdasarkan hasil pembahasan dapat 
disimpulkan bahwa kelas 𝐷(𝐾) mempunyai sifat 
aljabar Banach komutataif dan mempunyai 
elemen identitas. 

Sifat aljabar Banach komutatif dapat pula 
diselidiki pada kelas bagian 𝐵1(𝐾) lainnya, 
diantaranya kelas 𝐵1

4⁄
(𝐾). 

DAFTAR PUSTAKA 

[1] Ash, R.B., 2007, Real Variables with Basic 
Metric Space Topology, Department of 
Mathematics University of Illionis at 
Urbana-Champaign. 

[2] Dugundji, J., 1966, Topology, Allyn and 
Bacon, Inc., Boston. 

[3] Farmaki, V., 1996, On Baire-1 4⁄  Functions, 

Trans. Amer. Math. Soc, 348, 10. 

[4] Gordon, R.A., 1994, The Integral of 
Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, 
American Mathematical Society, USA. 

[5] Haydon, R., Odell, E. dan Rosenthal, H.P., 
1991, On Certain Classes of  Baire-1 
Functions with Applications to Banach 
Space Theory, Lecture Notes in Math., 1470, 
Springer, New York. 

[6] Kreyszig, E., 1978, Introductory Functional 
Analysis with Applications, John Wiley and 
Sons, Inc., Canada. 

[7] McShane, E.J., 1944, Integration, Princeton 
University Press, Princeton. 

[8] Rosenthal, H.P., 1994, A Characterization of 
Banach Spaces Containing C0, J. Amer. Math. 
Soc, 7, 3, 707-748. 

[9] Rosenthal, H.P., 1994, Differences of 
Bounded Semi-Continuous Functions I, 
http://www.arxiv.org/abs/math/9406217, 
20 Juni 1994, diakses pada tanggal 27 
Agustus 2009. 

[10] Royden, H.L., 1989, Real Analysis, 
Macmillan Publishing Company, New York. 

 

http://www.arxiv.org/abs/math/9406217