ANALISIS PERILAKU MODEL MULTI AGEN DENGAN GANGGUAN 

Sentot Achmadi1 dan Miswanto2 

1Prodi Teknik Informatika ITN Malang 
e-mail: sentot_achmadi@yahoo.co.id 

2Prodi Matematika Fak. Sains dan Teknologi Unair 
e-mail: miswanto@fst.unair.ac.id 

ABSTRAK 

Makalah ini membahas model multi agent pada ruang berdimensi N dengan fungsi penarik dan 
penolak. Pada model ini diberikan fungsi gangguan yang merupakan fungsi terbatas. Pada makalah ini juga 
dibahas tentang kestasioneran dari setiap agen dan analisis kestabilan model dengan Lyapunov. Dari hasil 
analitik diperoleh bahwa pusat dari multi agen bersifat stasioner. Juga uji kestabilan dengan metode 
kestabilan Lyapunov diperoleh bahwa model yang diajukan merupakan model yang stabil. Hasil simulasi 
numerik menunjukkan bahwa setiap agen konvergen ke suatu daerah yang mempunyai jarak tertentu 
terhadap pusat dari model multi agen. 

Kata kunci: Kestabilan Lyapunov, Multi Agen, Stasioner. 

ABSTRACT 

This paper discuss multi-agent model of the N-dimensional space with the function of attraction and 
repulsion. In this model is given the disturbance function which is a bounded function. In this paper also discuss 
about stationary of each agency and stability of the models use stability of Lyapunov. From the analytical 
results obtained center of the multi-agent is stationary. Also test the stability with Lyapunov method is 
obtained that the proposed model is a stable model. Numerical simulation results show that each agent will  
converges to a region that has a certain distance to the center of the multi-agent model. 

Keywords: Multi-Agent, Stability of  Lyapunov, Stationary.  

 
PENDAHULUHAN 

Beberapa fenomena alam sangat menarik 
untuk dikaji secara fisika dan dimodelkan secara 
matematika. Salah satu fenomena alam yang 
menarik untuk dimodelkan secara matematika 
dan dikaji secara fisika adalah fenomena gerak 
bergerombol yang dinamakan dengan swarm. 
Fenomena alam ini banyak ditemukan pada 
beberapa organisme mulai dari yang sederhana 
(bakteri) sampai pada mamalia, sebagai contoh 
sekumpulan bakteri, sekawanan burung angsa, 
sekelompok singa dan sekelompok ikan. Dengan 
melakukan gerak bergerombol, mereka 
memperoleh beberapa keuntungan seperti 
terhindar dari pemangsa dan dapat 
meningkatkan efektifitas dalam pencarian 
makanan. Kelompok binatang (mangsa) 
memanfaatkan fenomena swarm untuk 
melindungi anggotanya dari serangan binatang 
lain (pemangsa). Di lain pihak pemangsa 
memanfaatkan fenomena swarm untuk 
efektifitas penyerangan terhadap mangsanya. 
Sekawanan burung angsa dalam melakukan 
terbang selalu membentuk formasi V terbalik. 
Dengan terbang dalam formasi V terbalik, 
sekawanan burung angsa memperoleh beberapa 

keuntungan, antara lain dapat meningkatkan 
jarak terbangnya lebih dari 71 % dan daya 
terbangnya 24 % lebih cepat dari pada terbang 
sendirian.  

Fenomena swarm banyak digunakan 
dalam ilmu teknik seperti optimalisasi gerak 
robot, gerak satelit, dan sebagainya. Dari kajian 
literatur yang dilakukan, penelitian tentang 
swarm sudah cukup banyak diantaranya Gazi dan 
Passino (2002, 2003 dan 2004), Chu et all (2005), 
tetapi tanpa menyertakan unsur gangguan serta 
masih terbatas pada perilaku anggota swarm 
disekitar pusat swarm.  

Fenomena swarm pertama-tama 
dimodelkan secara matematika oleh Breder 
(1954) yang membahas tentang gaya tarik 
(attractor force) dan gaya tolak (repellent force) 
antara dua individu. Sedangkan, Gazi dan Passino 
(2002, 2003 dan 2004) memodelkan swarm 
berdasarkan pengaruh perpaduan dari keluarga 
fungsi attractor dan repellent. Model Gazi dan 
Passino digeneralisasi oleh Wang et all (2004) 
dengan memasukkan faktor keterkaitan antara 
anggota swarm (coupling matrix) dan parameter 
positif. 

mailto:sentot_achmadi@yahoo.co.id
mailto:miswanto@fst.unair.ac.id


Sentot Achmadi dan Miswanto  
 

190   Volume 2 No. 4 Mei 2013 

Artikel ini mempelajari tentang model 
swarm yang merupakan modifikasi dari model 
Gazi dan Passino (2003), tetapi dengan 
menyertakan suatu fungsi gangguan yang 
terbatas. Untuk lebih jelasnya ditunjukkan dalam 
sub bab 2 di bawah ini. 

MODEL MULTI AGEN 

Diberikan model Multi Agent dengan M 
anggota pada ruang Euclidean berdimensi N 
sebagai berikut: 

�̇�𝑖 = βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗  𝑓(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 ) + 𝛾𝑖 (𝑑),

𝑀

𝑗=1

 (1) 

dengan �̇�𝑖 =
𝑑π‘₯𝑖

𝑑𝑑
, π‘₯𝑖 ∈ 𝑅

𝑁  menyatakan posisi dari 

agent ke i, 𝐺 = [𝑀𝑖𝑗 ] ∈ 𝑅
𝑁x𝑁 merupakan coupling 

matrik dengan 𝑀𝑖𝑗  adalah bilangan bulat 

nonnegative dan matrik G diasumsikan simetri 

(yaitu 𝑀𝑖𝑗 = 𝑀𝑗𝑖 ). Bentuk 𝑓( . ) menyatakan fungsi 

penarik dan penolak yang didefinisikan sebagai  

𝑓(𝑦) = βˆ’π‘¦ (π‘Ž βˆ’
π‘Ÿ

𝑏+𝑐‖𝑦‖2
),       (2) 

dengan π‘Ž, 𝑏, 𝑐,dan π‘Ÿ adalah konstanta positif 

dengan π‘Ž << π‘Ÿ dan ‖𝑦‖ = βˆšπ‘¦π‘‡ 𝑦. Sedangkan 
γ𝑖 (𝑑) menyatakan fungsi gangguan yang 
didefinisikan sebagai  

γ𝑖 (𝑑) = 𝐾  exp(βˆ’Ξ²1 𝑑)sin(Ξ²2𝑑),        (3) 

dengan 𝐾, β1, β2 adalah konstanta positif. 

ANALISIS DARI MODEL MULTI AGEN 

Pada sub-bab ini dibahas tentang 
kestasioneran dan kestabilan dari model (1) 
dengan fungsi penarik dan penolaknya model (2) 
dan fungsi gangguan (3) yaitu: 

�̇�𝑖 = βˆ’ βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 )
𝑀
𝑗=1 ΞΎij + γ𝑖 (𝑑)  (4) 

 

dengan πœ‰π‘–π‘— = π‘Ž βˆ’
π‘Ÿ

𝑏+𝑐‖π‘₯π‘–βˆ’π‘₯𝑗‖
2. 

Didefinisikan pusat dari model multi agen 
(4) sebagai berikut: 

οΏ½Μ…οΏ½ =
1

𝑀
βˆ‘ π‘₯𝑖

𝑀
𝑖=1 .  (5) 

Teorema 1. Pusat οΏ½Μ…οΏ½dari model multi agen (4) 
yang didefinisikan pada persamaan (5) bersifat 
stasioner. 

Bukti: 

Dengan menurunkan persamaan (5) 
terhadap t diperoleh: 

οΏ½Μ‡Μ…οΏ½  =
1

𝑀
βˆ‘ �̇�𝑖

𝑀

𝑖=1

=
1

𝑀
βˆ‘ (βˆ’ βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 ) (π‘Ž βˆ’

π‘Ÿ

𝑏 + 𝑐‖π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 β€–
2

)

𝑀

𝑗=1

+ 𝛾𝑖 (𝑑))

𝑀

𝑖=1

= βˆ’
1

𝑀
βˆ‘ βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 ) (π‘Ž βˆ’

π‘Ÿ

𝑏 + 𝑐‖π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 β€–
2

) +
1

𝑀
βˆ‘ 𝛾𝑖 (𝑑)

𝑀

𝑖=1

𝑀

𝑗=1

𝑀

𝑖=1

 

   Karena G bersifat simetri dan fungsi (.)f  

simetri terhadap pusat koordinat maka: 

οΏ½Μ‡Μ…οΏ½ =
1

𝑀
βˆ‘ 𝛾𝑖 (𝑑)

𝑀

𝑖=1

= 𝐾 exp(βˆ’π›½1𝑑) sin(𝛽2𝑑)

 

Diketahui 𝛾𝑖 (𝑑)  merupakan fungsi 
terbatas. Hal ini berarti untuk 𝑑 β†’ ∞ berakibat οΏ½Μ‡Μ…οΏ½ 
menuju ke 0. β–  

Selanjutnya dibahas tentang kestabilan 
model (4). Adapun untuk menganalisis 
kestabilan model digunakan kestabilan 
Lyapunov. 

Teorema 2: Perhatikan model multi agen (4) 
dengan fungsi gangguan (3). Untuk t menuju tak 
hingga, setiap agen i konvergen pada suatu daerah 
terbatas yang didefinisikan sebagai berikut:  

Ξ© = {π‘₯: βˆ‘ β€–π‘₯𝑖 βˆ’ οΏ½Μ…οΏ½β€– ≀ 𝜌
2𝑀

𝑖=1 } (6) 

Dengan 𝜌 =
𝐴𝐡+2𝐾

√2π‘Žπ‘€π‘€
, 𝐴 = βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗

𝑀
𝑗=1 , 𝐡 =

1

2
π‘Ÿβˆš

1

𝑏𝑐
, dan 

𝑀 elemen terkecil dari 𝑀𝑖𝑗 ,𝑀 β‰  0. 

Bukti: 

Misal 𝑒𝑖 = π‘₯𝑖 βˆ’ οΏ½Μ…οΏ½. Definisikan fungsi 
Lyapunov untuk model (4), yaitu 𝑉 = βˆ‘ 𝑉𝑖

𝑀
𝑖=1  

dengan 𝑉 =
1

2
𝑒𝑖

𝑇 𝑒𝑖  sehingga 𝑉 = βˆ‘ 𝑉𝑖 =
𝑀
𝑖=1

1

2
βˆ‘ 𝑒𝑖

𝑇 𝑒𝑖
𝑀
𝑖=1 . 

Dengan menurunkan 𝑉𝑖  terhadap t 
diperoleh: 

οΏ½Μ‡οΏ½ = βˆ‘ �̇�𝑖

𝑀

𝑖=1

 𝑉 Μ‡ = βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇 {βˆ’ βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗) (π‘Ž βˆ’

π‘Ÿ

𝑏 + 𝑐‖π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗‖
2

)

𝑀

𝑖=1

+ 𝛾𝑖 (𝑑) βˆ’
1

𝑀
βˆ‘ 𝛾𝑖 (𝑑)

𝑀

𝑗=1

 }

𝑀

𝑖=1

= βˆ’ βˆ‘ βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗) (π‘Ž βˆ’

π‘Ÿ

𝑏 + 𝑐‖π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗‖
2
)

𝑀

𝑗=1

𝑀

𝑖=1

+  βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇 (𝛾𝑖 (𝑑) βˆ’

1

π‘š
βˆ‘ 𝛾𝑗 (𝑑)

𝑀

𝑗=1

)

𝑀

𝑖=1

  = βˆ’π‘Ž βˆ‘ βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗)

𝑀

𝑗=1

𝑀

𝑖=1

+  βˆ‘ βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗) (

π‘Ÿ

𝑏 + 𝑐‖π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗‖
2)

𝑀

𝑗=1

𝑀

𝑖=1

+

       βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇 (𝛾𝑖 (𝑑) βˆ’

1

𝑀
βˆ‘ 𝛾𝐽 (𝑑)

𝑀

𝑗=1

)

𝑀

𝑖=1

 

Ambil 𝑀 elemen terkecil dari 𝑀𝑖𝑗  dengan 

𝑀 β‰  0, maka: 



 Analisis Model Multi Agen dengan Gangguan 
 

 
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  191 

οΏ½Μ‡οΏ½ ≀ βˆ’2π‘Žπ‘€π‘€π‘‰ + βˆ‘ βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇 𝑀𝑖𝑗 (π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 )

π‘Ÿ

𝑏 + 𝑐‖π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 β€–
2

𝑀

𝑗=1

𝑀

𝑖=1

     + βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇

𝑀

𝑖=1

(γ𝑖 (𝑑) βˆ’
1

𝑀
βˆ‘ γ𝑗 (𝑑)

𝑀

𝑗=1

)

≀ βˆ’2π‘Žπ‘€π‘€π‘‰    + βˆ‘ βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗 ‖𝑒𝑖
𝑇 β€–β€–π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 β€–

π‘Ÿ

𝑏 + 𝑐‖π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 β€–
2

𝑀

𝑗=1

𝑀

𝑖=1

     + βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇

𝑀

𝑖=1

(γ𝑖 (𝑑) βˆ’
1

𝑀
βˆ‘ γ𝑗 (𝑑)

𝑀

𝑗=1

) .

 

Karena β€–π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗‖
π‘Ÿ

𝑏+𝑐‖π‘₯π‘–βˆ’π‘₯𝑗‖
2 adalah fungsi 

terbatas dan memiliki nilai maksimum pada 

β€–π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯𝑗 β€– = √
𝑏

𝑐
 maka,  

οΏ½Μ‡οΏ½ ≀ βˆ’2π‘Žπ‘€π‘€π‘‰ +
1

2
π‘Ÿβˆš

1

𝑏𝑐
βˆ‘ (‖𝑒𝑖

𝑇 β€– βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗

𝑀

𝑗=1

)

𝑀

𝑖=1

       + βˆ‘ 𝑒𝑖
𝑇

𝑀

𝑖=1

(γ𝑖 (𝑑) βˆ’
1

𝑀
βˆ‘ γ𝑗 (𝑑)

𝑀

𝑗=1

)

≀ βˆ’2π‘Žπ‘€π‘€π‘‰ +
1

2
π‘Ÿβˆš

1

𝑏𝑐
βˆ‘ (‖𝑒𝑖

𝑇 β€– βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗

𝑀

𝑗=1

)

𝑀

𝑖=1

     + βˆ‘β€–π‘’π‘–
𝑇 β€– (‖γ𝑖 (𝑑)β€– +

1

𝑀
β€–βˆ‘ γ𝑗 (𝑑)

𝑀

𝑗=1

β€–) .

𝑀

𝑖=1

  

Karena 𝛾𝑖 (𝑑) terbatas maka ‖𝛾𝑖 (𝑑)β€– ≀ 𝐾,  
sehingga  

οΏ½Μ‡οΏ½ ≀ βˆ’βˆšπ‘‰ (π‘Žπ‘€π‘€2βˆšπ‘‰ βˆ’ √2(𝐴𝐡 + 2𝐾)) 

dengan 𝐴 = βˆ‘ 𝑀𝑖𝑗
𝑀
𝑗=1  dan =

1

2
π‘Ÿβˆš

1

𝑏𝑐
 .  

Agar syarat kestabilan Lyapunov dipenuhi, 

maka haruslah π‘Žπ‘€π‘€2βˆšπ‘‰ βˆ’ √2(𝐴𝐡 + 2𝐾) > 0, 

atau diperoleh: 𝑉 > (
𝐴𝐡+2𝐾

√2π‘Žπ‘€π‘€
)

2

. 

Hal ini berarti bahwa setiap agen i akan 
konvergen pada suatu daerah yang terbatas (6) β–  

SIMULASI NUMERIK 

Pada bagian ini diperlihatkan beberapa 
hasil simulasi numerik yang merupakan ilustrasi 
dari model (1) pada ruang dimensi 2 dengan 
fungsi penarik/penolak (2) dan fungsi gangguan 
(3).  Pada simulasi ini disimulasikan terhadap 10 
agen, dengan posisi agen dapat dilihat pada tabel 
1.  

Adapun, nilai konstanta pada fungsi 
penarik/penolak adalah ,1ο€½a ,1ο€½b ,2.0ο€½c

dan 20ο€½r , konstanta ini menggunakan 

konstanta Gazi dan Passino (2003). Sedangkan 
nilai-nilai konstanta pada fungsi gangguan (3) 
adalah ,1ο€½K 8

1
 dan 5.0

2
  Simulasi 

numerik di bawah ini menunjukkan  perilaku 
gerak pusat dari multi agen dan anggota dari 
model multi agen tersebut pada ruang dimensi 
dua. 

Tabel 1. Koordinat/posisi agen 

agen 1 agen 2 agen 3 agen 4 agen 5 

(3,4) (4,3) (6,6) (6,5) (8,7) 

 

agen 6 agen 7 agen 8 agen 9 agen 10 

(4,6) (9,9) (9,8.5) (8,9) (8,3) 

 
Pertama-tama disimulasikan gerak pusat 

dari model multi agen tanpa gangguan (3), 
kemudian juga disimulasikan pusat dari model 
multi agen dengan fungsi gangguan (3). Hal ini 
digunakan untuk melihat kestationeran model 
dengan pengaruh gangguan. Hasil simulasi 
numerik ditunjukkan pada  gambar berikut ini. 

 

Gambar 1. Pergerakan Pusat Multi Agen tanpa        
Gangguan 

Hasil simulasi pada gambar 1, nampak 
bahwa pusat dari model multi agen bersifat 
stasioner. Sedangkan gambar 2 merupakan hasil 
simulasi pergerakan pusat dari model multi agen 
dengan gangguan. Dari gambar 2, nampak bahwa 
pusat dari model multi agen juga stasioner. Hal 
ini memperlihatkan bahwa model (4) merupakan 
model multi agen yang stabil.  

Selanjutnya dilakukan hal yang sama 
untuk gerak anggota dari model multi agen. 
Analisis kestabilan yang dibuktikan pada 
teorema 2, secara simulasi numerik ditunjukkan 
pada gambar 3 dan gambar 4. 

Hasil simulasi pada gambar 3, nampak 
bahwa gerak dari model multi agen konvergen 
pada daerah di sekitar pusat dari model multi 
agen. Sedangkan gambar 4 merupakan hasil 

4 6 8 10 12 14 16
-6

-4

-2

0

2

4

6

8



Sentot Achmadi dan Miswanto  
 

192   Volume 2 No. 4 Mei 2013 

simulasi pergerakan dari model multi agen 
dengan gangguan. Dari gambar 4, nampak bahwa 
model multi agen juga konvergen pada daerah di 
sekitar pusat dari model multi agen. Hal ini 
memperlihatkan bahwa model (4) merupakan 
model multi agen yang stabil. 

 

Gambar 2. Pergerakan Pusat Multi Agen              
Dengan Gangguan 

 
Gambar 3. Pergerakan Multi Agen tanpa 

            Gangguan 

 
Gambar 4. Pergerakan Multi Agen dengan 

           Gangguan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

PENUTUP 

Dari analisis secara analitik, menunjukkan 
bahwa model multi agen (4) adalah suatu model 
yang stasioner dan stabil. Hal ini ditunjukkan 
dengan analisis pada teorema 1 dan teorema 2. 
Hasil ini juga didukung dengan simulasi numerik 
pada gambar 1, gambar 2, gambar 2, dan gambar 
4. 

REFERENSI 

[1] Breder, C. M., 1954, Equation Descriptive of 
Fish Schools and Other Animal Aggregation, 
Ecology, Vol. 35, No.3, pp. 361-370. 

[2] Chu, T., Wang, L. dan Chen, T., 2005, Self-
Organized Motion in a Class of Anisotropic 
Swarm: Convergence vs Oscillation, 
Proceedings American Control Conference, 
Portland. 

[3] Gazi, V. dan Passino, K.M., 2002, Stability 
Analysis of Swarms in an Environment with 
an Attractant/Repellent Profile, Proceedings 
of the American Control Conference, 
Anchorage. 

[4] Gazi, V. dan Passino, K.M., 2003, Stability 
Analysis of Swarms, IEEE Transaction on 
Automatic Control, Vol. 48, No.4. 

[5] Gazi, Veysel dan Passino, K.M., 2004, Stability 
Analysis of Social Foraging Swarms, IEEE 
Transaction on System, Man, and Cybernetics-
Part B: Cybernetics, Vol. 34. 

[6] Wang, L., Shi, H., Chu, T., Zhang, W. dan Zhang, 
L., 2004,  Aggregation of Foraging Swarms, In 
advance in Artificial Intelligence, Lecture 
Notes in Artificial Intelligence, Vo. 3339, 
Springer-Verlag. 

[7] Shi, H., Wang, L. dan Chu, T., 2004, Swarming 
Behavior of Multi-Agent System, Journal of 
Control and Applications, Vol. 4, pp. 313 – 
318. 

4 6 8 10 12 14 16
-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 5 10 15 20 25
-10

-5

0

5

10

15

 

 

agen 1

agen 2

agen 3

agen 4

agen 5

agen 6

agen 7

agen 8

agen 9

agen10

pusat agen 

0 5 10 15 20 25
-10

-5

0

5

10

15

 

 

agen 1

agen 2

agen 3

agen 4

agen 5

agen 6

agen 7

agen 8

agen 9

agen10

pusat agen


	PENDAHULUHAN
	MODEL MULTI AGEN
	ANALISIS DARI MODEL MULTI AGEN
	SIMULASI NUMERIK
	PENUTUP
	REFERENSI