Suma’inna dan Gugun Gumilar


 
 

RING STABIL BERHINGGA 

Samsul Arifin 

Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Surya, Tangerang 
Email: samsul.arifin@stkipsurya.ac.id  

ABSTRACT 

Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai karakteristik ring dengan sifat stabil berhingga, motivasi 
dan sifat-sifatnya. Akan dibahas juga mengenai sifat stabil berhingga kuat kanan yang akan membantu 
dalam memahami sifat stabil berhingga, beserta sifat-sifatnya, dan tidak lupa akan dikaji juga kaitan antara 
keduanya.  

Kata kunci: stably finite, right strong stably finite, Dedekind finite 

ABSTRACT 

In this paper, we will discuss about the characterization of stably finite rings and their properties. We 
will also discuss about right strong stably finite rings  and their relationship, and also its characterization. 

Keywords: stably finite, right strong stably finite, Dedekind finite 

 
PENDAHULUAN   

Perlu diasumsikan sebelumnya di sini 
bahwa setiap ring bersifat asosiatif dengan 1 ≠ 0, 
dan setiap modulnya adalah modul unital. 
Berdasarkan [6], R disebut ring stabil berhingga 
jika 𝑀𝑛(𝑅) adalah ring Dedekind finite. Di lain 
pihak, R disebut ring Dedekind finite jika untuk 
setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 berlaku 𝑥𝑦 = 1 ⇒ 𝑦𝑥 = 1. Dalam 
tulisan ini akan dibahas kaitan ring stabil 
berhingga dengan ring stabil berhingga kuat 
(kanan), modul co-Hopfian lemah dan ring dengan 
kondisi rank kuat kanan. Modul kanan 𝑀𝑅  disebut 
modul co-Hopfian jika sebarang endomorfisma 
injektif dari M adalah suatu isomorfisma, dan 𝑀𝑅  
disebut modul co-Hopfian lemah jika sebarang 
endomorfisma injektif f dari M adalah essensial, 
yaitu berlaku 𝑓(𝑀) ⊆𝑒 𝑀. 

Ring Stabil Berhingga 

Sebelum dijelaskan mengenai ring stabil 
berhingga, akan dijelaskan terlebih dahulu ring 
Dedekind finite karena terkait satu sama lain. 

1.1. Definisi (Ring Dedekind Finite): 

Ring R dikatakan ring yang Dedekind (directly atau 
von Neumann) finite jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 
berlaku 𝑥𝑦 = 1 ⇒ 𝑦𝑥 = 1. 

1.2. Definisi (Stably Finite): 

Ring R dikatakan ring yang stably-finite jika 
𝑀𝑛(𝑅) adalah ring Dedekind Finite ∀𝑛 ≥ 1.  

1.3. Akibat: 

Ring R bersifat stably finite jika dan hanya jika 
ring R bersifat Dedekind finite. 

Sifat-sifat dari ring stabil berhingga 
tertuang dalam proposisi di bawah ini, dimana 
suatu ring stabil berhingga R dapat dilihat dari sisi 
jumlahan langsung R-modul bebasnya dengan R-
modul lain, epimorfisma R-modul bebas ke dirinya 
sendiri dan sifat Dedekind finite. 

1.4. Proposisi: 

Pernyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen: 

(i) Ring R adalah ring stabil berhingga. 
(ii) Untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ+, jika 𝑅𝑛 ≅ 𝑅𝑛 ⊕ 𝐾  

sebagai R-modul kanan maka 𝐾 = 0.  
(iii) Untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ+,  setiap epimorfisma 

𝑅𝑛 → 𝑅𝑛   adalah isomorfisma.  
(iv) End(𝑅𝑅 ) adalah ring Dedekind finite. 

Bukti: 

(𝑖) ⇒ (𝑖𝑖) 

Diketahui ring R memenuhi sifat stabil 
berhingga. Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ+ dengan 𝑅𝑛 ≅
𝑅𝑛 ⊕ 𝐾 sebagai R-modul kanan. Karena 𝑅𝑛 ≅
𝑅𝑛 ⊕ 𝐾 maka ada isomorfisma modul   𝑓: 𝑅𝑛 →
𝑅𝑛 ⊕ 𝐾 dengan matriks representasi [𝑓] ∈
𝑀𝑚×𝑛 (𝑅) dan 𝑚 = 𝑛 + 𝑥  untuk setiap m dimensi 
dari 𝑅𝑛 ⊕ 𝐾  dan x dimensi dari K. Selanjutnya ada 
𝑔: 𝑅𝑛 ⊕ 𝐾 → 𝑅𝑛  dengan matriks representasi 
[𝑔] ∈ 𝑀𝑛×𝑚 (𝑅) sedemikian hingga 𝑓 ∘ 𝑔 = 1𝑅𝑚   
dan 𝑔 ∘ 𝑓 = 1𝑅𝑛 . Akibatnya diperoleh 
[𝑓][𝑔] = 𝐼𝑚  dan [𝑔][𝑓] = 𝐼𝑚 ∈ 𝑀𝑛(𝑅). 
Berdasarkan (𝑖), 𝑀𝑛(𝑅) adalah ring Dedekind 
finite sehingga karena [𝑔][𝑓] = 𝐼𝑚 ∈ 𝑀𝑛(𝑅) maka 
berlaku [𝑓][𝑔] = 𝐼𝑛 ∈ 𝑀𝑛 (𝑅). Di lain pihak 
[𝑓][𝑔] = 𝐼𝑚 ∈ 𝑀𝑚 (𝑅), 𝑚 = 𝑛 + 𝑥 atau 𝐼𝑚 =
[𝑓][𝑔] = 𝐼𝑛 , sehingga akibatnya diperoleh 𝑥 = 0 
atau 𝐾 = 0.  

mailto:samsul.arifin@stkipsurya.ac.id


Samsul Arifin  
 

226   Volume 2 No. 4 Mei 2013 

(𝑖𝑖) → (𝑖𝑖𝑖)  

Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ+ dan epimorfisma 
𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 .. Karena 𝑅𝑛   adalah R-modul bebas, 
maka f split, akibatnya dapat dibentuk barisan  

0 → Ker(𝑓) ⟶
𝑖

𝑅𝑛 ⟶
𝑓

𝑅𝑛 → 0 dengan 𝑅𝑛 = 𝑅𝑛 ⊕
Ker (𝑓), sehingga berdasarkan (𝑖𝑖) diperoleh  
Ker(𝑓) = 0 yang artinya f injektif. Karena f 
surjektif dan injektif sekaligus, maka f adalah 
isomorfisma. 

(𝑖𝑖𝑖) ⇒ (𝑖)  

Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ+ dan 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑀𝑛 (𝑅) 
dengan 𝑋𝑌 = 𝐼𝑛 . Akibatnya diperoleh 

𝑅𝑛 ⟶
𝑔

𝑅𝑛 ⟶
𝑓

𝑒𝑝𝑖
𝑅𝑛   dengan matriks-matriks 

representasi 𝑋 = [𝑓] ∈ 𝑀𝑛(𝑅), 𝑌 = [𝑔] ∈ 𝑀𝑛(𝑅). 
Karena f adalah epimorfisma, maka berdasarkan 
(𝑖𝑖𝑖) f adalah isomorfisma, yang artinya ada 𝑍 ∈
𝑀𝑛(𝑅) dengan 𝑍𝑋 = 𝐼𝑛 . Perhatikan bahwa dengan 
mengalikan Z dari kiri pada persamaan 𝑋𝑌 = 𝐼𝑛   
diperoleh: 

𝑍(𝑋𝑌) = 𝑍𝐼𝑛 ⇔ (𝑍𝑋)𝑌 = 𝑍 ⇔ 𝐼𝑛 𝑌 = 𝑍 ⇔ 𝑌 = 𝑍 

Dengan demikian diperoleh 𝑋𝑌 = 𝐼𝑛   yang 
artinya 𝑀𝑛(𝑅) ring Dedekind finite atau ring R 
stabil berhingga. 

(𝑖𝑖𝑖) ⇒ (𝑖𝑣) 

Diketahui untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ+,  setiap 
epimorfisma 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛   adalah isomorfisma. 
Diambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ End(𝑅𝑅 ) dengan 𝑏 =
1End(𝑅𝑅). Akibatnya diperoleh bahwa a surjektif, 

dan berdasarkan (𝑖𝑖𝑖) diperoleh bahwa a adalah 
isomorfisma, sehingga terdapat 𝑐 ∈ End(𝑅𝑅 ) 
sedemikian hingga 𝑎 = 1End(𝑅𝑅). Perhatikan 

bahwa: 

𝑐(𝑎𝑏) = 𝑐1 ⇔ (𝑐𝑎)𝑏 = 𝑐 ⇔ 1𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐, 

sehingga dapat diperoleh 𝑏𝑎 = 1, dan 
terbukti bahwa End(𝑅𝑅 ) adalah ring Dedekind 
finite.  

(𝑖𝑣) ⇒ (𝑖𝑖𝑖) 

Diketahui End(𝑅𝑅 )   adalah ring Dedekind 
finite. Diambil sebarang 𝑛 ∈ ℤ+ dan epimorfisma 
𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 . Karena 𝑅𝑛  adalah R-modul bebas 
maka f  split. Jadi, terdapat 𝑔: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛 dengan 𝑓 ∘
𝑔 = 1𝑅𝑛 . Dari sini sudah bisa dikatakan bahwa 
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐸, dan berdasarkan (𝑖𝑣), dapat diperoleh 
𝑔 ∘ 𝑓 = 1𝑅𝑛 . Dengan demikian terbukti bahwa f 
adalah suatu isomorfosma. 

1.5. Contoh  

1. Ring komutatif memiliki sifat stabil berhingga, 
karena setiap ring komutatif merupakan ring 
Dedekind finte. Berdasarkan Akibat 2.3 di atas, 

diperoleh bahwa setiap ring komutatif adalah 
ring stabil berhingga. 

2. Dalam [1], dijelaskan bahwa ring Noetherian 
adalah ring stabil berhingga, dengan skema 
pembuktian sebagai berikut: 

𝑅 noetherian 
⇓

(𝑅𝑛)𝑅  noetherian  
⇓

 setiap epimorfisma 𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛  adalah isomorfisma 

⇕
 𝑅 stabil berhingga

 

Perhatikan kembali bahwa jika 𝑔: 𝑅 → 𝑆 
adalah suatu homomorfisma ring dengan ring S 
bersifat stabil berhingga, maka belum tentu ring R 
juga merupakan ring stabil berhingga. Berikut 
merupakan syarat pemetaan di atas agar berlaku 
untuk sifat stabil berhingga, yang dijelaskan dalam 
teorema di bawah ini. 

1.6. Teorema: 

Diberikan R adalah subring S. Jika ring S adalah 

bersifat stabil berhingga maka R juga bersifat 

stabil berhingga. 

Bukti: 

Karena R adalah subring S maka ada 
pemetaan embedding 𝑔: 𝑅 → 𝑆. Selanjutnya, 
dengan 𝑅 = 𝑆 = 𝑔(𝑅), maka elemen identitas e di 
ring R adalah elemen idempoten di ring S, dengan 
elemen idempoten komplemen 𝑓 = 1 − 𝑒 yang 
memenuhi 𝑅𝑓 = 𝑓𝑅 = 0. Kemudian diambil 
sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(𝑅) dengan 𝐴𝐵 = 𝑒𝐼𝑛. 
Sebelumnya perhatikan bahwa 

∀(𝐴 + 𝐹𝐼𝑛 ), (𝐵 + 𝑓𝐼𝑛 ) ∈ 𝑀𝑛 (𝑆) berlaku: 
(𝐴 + 𝑓𝐼𝑛 )(𝐵 + 𝑓𝐼𝑛 ) = 𝐴𝐵 + 𝑓

2𝐼𝑛
= 𝑒𝐼𝑛 + 𝑓𝐼𝑛
= (𝑒 + 𝑓)𝐼𝑛
= 𝐼𝑛

 

Karena diketahui bahwa ring S adalah ring 
stabil berhingga, maka berlaku juga: 

𝐼𝑛 = (𝐵 + 𝑓𝐼𝑛 )(𝐴 + 𝑓𝐼𝑛 ) = 𝐵𝐴 + 𝑓𝐼𝑛  

sehingga diperoleh 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 − 𝑓𝐼𝑛 = (1 −
𝑒)𝐼𝑛 = 𝑒𝐼𝑛 . Terbukti bahwa 𝑀𝑛 (𝑅) adalah ring 
Dedekind-finite atau dengan kata lain R adalah 
ring stabil berhingga. Dengan demikian terbukti 
bahwa jika R adalah subring S dengan S adalah 
ring stabil berhingga, maka ring R juga merupakan 
ring stabil berhingga. 

Selanjutnya, untuk suatu ideal I di ring R, 
jika ring R adalah ring stabil berhingga maka 
belum tentu ring 𝑅/𝐼 adalah ring stabil berhingga. 



Ring Stabil Berhingga 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  227 

Berikut adalah syarat bagi idealnya agar hal 
tersebut berlaku, yang dijelaskan dalam teorema 
di bawah ini. 

1.7. Teorema:  

Diberikan ideal 𝐼 ⊆ rad (𝑅). Ring R adalah ring 

stabil behingga jika dan hanya jika ring 𝑅/𝐼 adalah 

ring stabil berhingga. 

Bukti: 

Karena ring R adalah ring stabil berhingga, 
maka 𝑀𝑛(𝑅) adalah ring Dedekind finite. 
Berdasarkan [6], diperoleh bahwa S adalah ring 
Dedekind finite jika dan hanya jika 𝑆̅ = 𝑆/𝐽  ring 
Dedekind finite. Untuk ring R yang diberikan dan 
sebarang 𝑛 ≥ 1, jika dimisalkan 𝑆 = 𝑀𝑛(𝑅) maka 
diperoleh: 

𝐽 = 𝑀𝑛(𝐼) ⊆ 𝑀𝑛 (rad(𝑅)) = rad(𝑀𝑛 (𝑅)) =

rad (𝑆), 
dan 

𝑆/𝐽 = 𝑀𝑛(𝑅)/𝑀𝑛(𝐼) ≅ 𝑀𝑛 (𝑅/𝐼) 

Dari sini akan diperoleh bahwa ring 𝑆 =
𝑀𝑛(𝑅) adalah ring Dedekind finite jika dan hanya 
jika 𝑆/𝐽 ≅ 𝑀𝑛(𝑅/𝐼) ring Dedekind finite. Karena 
ini berlaku untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ+, maka 𝑅/𝐼 adalah 
ring stabil berhingga. Dengan demikian terbukti 
bahwa untuk suatu ideal 𝐼 ∈ rad (𝑅), berlaku R 
adalah ring stabil berhingga jika dan hanya jika 
𝑅/𝐼 ring stabil berhingga. 

1.8. Akibat: 

Diberikan ∏
𝑖∈𝐼

𝑅𝑖  adalah hasil kali langsung dari 𝑅𝑖 . 

∏
𝑖∈𝐼

𝑅𝑖 adalah ring stabil berhingga jika dan hanya 

jika 𝑅𝑖  untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼 adalah ring stabil 

berhingga. 

Bukti: 

⇒  Diketahui ∏
𝑖∈𝐼

𝑅𝑖  adalah ring stabil berhingga. 

Karena ada pemetaan embedding 𝜀: 𝑅𝑖 → ∏
𝑖∈𝐼

𝑅𝑖 

maka berlaku 𝑅𝑖  juga merupakan ring stabil 
berhingga. Dengan demikian terbukti bahwa jika 
∏
𝑖∈𝐼

𝑅𝑖 adalah ring stabil berhingga, maka 𝑅𝑖  juga 

merupakan ring stabil berhingga. 

⇐   Diketahui 𝑅𝑖  adalah ring stabil berhingga untuk 
setiap 𝑖 ∈ ℤ+. Berdasarkan [6], diperoleh bahwa 
untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ+, 𝑀𝑛(𝑅𝑖 ) adalah ring stabil 
berhingga untuk setiap 𝑖 ∈ ℤ+. Akibatnya 
diperoleh bahwa 𝑀𝑛(𝑅𝑖 ) adalah ring Dedekind 
finite. Selanjutnya perhatikan bahwa untuk 
sebarang 

 ((

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) , (

𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) , ⋯ ) , ((
𝑎′11 ⋯ 𝑎′1𝑛

⋮ ⋱ ⋮
𝑎′𝑛1 ⋯ 𝑎′𝑛𝑛

) , (
𝑏′11 ⋯ 𝑏′1𝑛

⋮ ⋱ ⋮
𝑏′𝑛1 ⋯ 𝑏′𝑛𝑛

) , ⋯ )

∈ ∏ 𝑀𝑛(𝑅𝑖 )

𝑖∈𝐼

 

dengan 

((

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) , (

𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) , ⋯ ) ((
𝑎′11 ⋯ 𝑎′1𝑛

⋮ ⋱ ⋮
𝑎′𝑛1 ⋯ 𝑎′𝑛𝑛

) , (
𝑏′11 ⋯ 𝑏′1𝑛

⋮ ⋱ ⋮
𝑏′𝑛1 ⋯ 𝑏′𝑛𝑛

) , ⋯ )

∈ ∏ 𝐿𝑖
𝑖

 

berlaku: 

(

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) (

𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) = 𝐼𝑖

= (
𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑛

⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) (

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) 

untuk setiap 

(

𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) (

𝑏11 ⋯ 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) ∈ 𝑀𝑛 (𝑅𝑖 ), 

sehingga pasti berlaku  

((

𝑎′11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎′𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

) , (

𝑏′11 … 𝑏′1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑏′𝑛1 ⋯ 𝑏′𝑛𝑛

) , . . . ) ((

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

) , (

𝑏11 … 𝑏1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) , . . . )

= ((

𝑎′11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎′𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

) (

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

) , (

𝑏′11 … 𝑏′1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑏′𝑛1 ⋯ 𝑏′𝑛𝑛

) (

𝑏11 … 𝑏1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) , . . . )

= ((

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

) (

𝑎′11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎′𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛

) , (

𝑏11 … 𝑏1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 ⋯ 𝑏𝑛𝑛

) (

𝑏′11 … 𝑏′1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑏′𝑛1 ⋯ 𝑏′𝑛𝑛

) , . . . )

= ∏ 𝐼𝑖
𝑖

,

 

yang artinya bahwa ∏ 𝑀𝑛(𝑅𝑖)𝑖∈𝐼  adalah ring 
Dedekind finite. Dari sini diperoleh bahwa 
𝑀𝑛(∏ 𝑅𝑖𝑖∈𝐼 ) juga merupakan ring Dedekind finite, 
karena 𝑀𝑛(∏ 𝑅𝑖𝑖∈𝐼 ) ≅ ∏ 𝑀𝑛(𝑅𝑖 )𝑖∈𝐼   dengan 

(
(𝑎11, 𝑏11, … ) … (𝑎1𝑛 , 𝑏1𝑛, … )

⋮ ⋱ ⋮ 
(𝑎𝑛1, 𝑏𝑛1, … ) … (𝑎𝑛𝑛 , 𝑏𝑛𝑛, … )

) ↦

((

𝑎11 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑛1 … 𝑎𝑛𝑛
) , (

𝑏11 … 𝑏1𝑛
⋮ ⋱ ⋮

𝑏𝑛1 … 𝑏𝑛𝑛

) , … )  

untuk setiap 𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖, yang artinya bahwa 
𝑀𝑛(∏ 𝑅𝑖𝑖∈𝐼 ) juga merupakan ring stabil berhingga. 
Oleh karena itu diperoleh bahwa ∏ 𝑅𝑖𝑖∈𝐼  adalah 
ring stabil berhingga. Dengan demikian terbukti 
bahwa jika 𝑅𝑖  adalah ring stabil berhingga maka 
∏ 𝑅𝑖𝑖∈𝐼  juga merupakan ring stabil berhingga. 

Sebelumnya akan dijelaskan proses 
konstruksi dari ring matriks triangular formal. 
Dari ring A, B, (𝐴, 𝐵)-bimodul 𝑀 dapat dibentuk 
ring:  

𝑇 = (
𝐴 0
𝑀 𝐵

) = {(
𝑎 0
𝑚 𝑏

) |𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑚 ∈ 𝑀} 

yang disebut ring matriks triangular formal. 
Operasi penjumlahan dan pergandaan pada ring T 
adalah sebagai berikut: 



Samsul Arifin  
 

228   Volume 2 No. 4 Mei 2013 

a) ( 
𝑎 0
𝑚 𝑏

) + ( 
𝑎′ 0
𝑚′ 𝑏′

) =

( 
𝑎 + 𝑎′ 0

𝑚 + 𝑚′ 𝑏 + 𝑏′
) 

b) ( 
𝑎 0
𝑚 𝑏

) ( 
𝑎′ 0
𝑚′ 𝑏′

) =

( 
𝑎𝑎′ 0

𝑚𝑎′ + 𝑏𝑚′ 𝑏𝑏′
) 

untuk setiap ( 
𝑎 0
𝑚 𝑏

) , ( 
𝑎′ 0
𝑚′ 𝑏′

) ∈ 𝑇. Kemudian 

jika diberikan ring-ring A dan B, suatu grup 
abelian M disebut (𝐴, 𝐵)–bimodul, dinotasikan 

𝑀𝐴 𝑏 , jika M adalah A-modul kiri dan B-modul 
kanan serta berlaku (𝑎𝑚)𝑏 = 𝑎(𝑚𝑏) untuk setiap 
𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝑀, dan 𝑏 ∈ 𝐵. 

Berikut adalah kaitan antara ring stabil berhingga 
dan ring matriks triangular formal. 

1.9. Proposisi  

Diberikan ring A, B, dan 𝑀𝐵 𝐴 adalah (𝐵, 𝐴)-

bimodul. Ring 𝑇 = ( 
𝐴 0
𝑀 𝐵

) adalah ring stabil 

berhingga jika dan hanya jika ring A dan B adalah 

ring stabil berhingga. 

Bukti: 

⇒   Diketahui ring 𝑇 = ( 
𝐴 0
𝑀 𝐵

) adalah ring stabil 

berhingga. Perhatikan bahwa ada pemetaan 

embedding 𝜀1: 𝐴 → ( 
𝐴 0
𝑀 𝐵

)  dengan ( 
𝑎 0
0 0

) ↦

( 
𝑎 0
𝑚 𝑏

) untuk setiap ( 
𝑎 0
0 0

) ∈ ( 
𝐴 0
0 0

) ≅ 𝐴, 

dan juga ada embedding 𝜀2: 𝐵 → ( 
𝐴 0
𝑀 𝐵

) dengan 

( 
0 0
0 𝑏

) ↦ ( 
𝑎 0
𝑚 𝑏

) untuk setiap ( 
0 0
0 𝑏

) ∈

( 
0 0
0 𝐵

) ≅ 𝐵.  

Akibatnya, karena ring 𝑇 = ( 
𝐴 0
𝑀 𝐵

) 

adalah ring stabil berhingga maka berakibat 
masing-masing ring A dan B juga merupakan ring 
stabil berhingga. Dengan demikian terbukti 

bahwa jika ring 𝑇 = ( 
𝐴 0
𝑀 𝐵

) adalah ring stabil 

berhingga maka ring A dan B juga merupakan ring 
stabil berhingga. 

⇐   Diketahui ring A dan B adalah ring stabil 
berhingga. Perhatikan kembali bahwa ideal 𝐼 =

( 
0 0
𝑀 0

) ⊆ 𝑇 adalah ideal nilpotent dan 𝑇/𝐼 ≅

𝐴 × 𝐵. Selanjutnya, jika diberikan 𝑛 ∈ ℤ+ sebarang 
dan dinotasikan ring 𝑋𝑛 = 𝑀𝑛(𝑋), maka akan 
diperoleh: 

𝑇𝑛/𝐼𝑛 = 𝑀𝑛(𝑇)/𝑀𝑛(𝐼)

= 𝑀𝑛 ((
𝐴 0
𝑀 𝐵

)) 𝑀𝑛 ((
0 0
𝑀 0

))⁄

≅ 𝑀𝑛 ((
𝐴 0
𝑀 𝐵

) (
0 0
𝑀 0

)⁄ )

= 𝑀𝑛(𝑇/𝐼)

= (𝑇/𝐼 )𝑛
≅ (𝐴 × 𝐵)𝑛

    

Perhatikan bahwa ring A dan B  adalah ring 
stabil berhingga jika dan hanya jika ring 𝐴 × 𝐵 
adalah ring stabil berhingga, sehingga ring 

𝑀𝑛 (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × 𝐵)𝑛
≅ 𝑇𝑛 /𝐼𝑛

= 𝑀𝑛 ((
𝐴 0
𝑀 𝐵

)) 𝑀𝑛 ((
0 0
𝑀 0

))⁄

 

adalah ring Dedekind finte.  Karena 𝐼𝑛 = 𝑀𝑛 (𝐼) 
adalah ideal nilpotent maka diperoleh bahwa 𝑇𝑛 =

𝑀𝑛 (
𝐴 0
𝑀 𝐵

)  adalah ring Dedekind finte, sehingga 

diperoleh bahwa ring 𝑇 = 𝑀𝑛 (
𝐴 0
𝑀 𝐵

) adalah ring 

stabil berhingga. Dengan demikian terbukti 
bahwa jika A dan B adalah ring stabil berhingga 

maka ring 𝑇 = (
𝐴 0
𝑀 𝐵

)  juga merupakan ring 

stabil berhingga.   

Dalam [1], dijelaskan juga karakteristik lain 
dari ring stabil berhingga, yang termuat dalam 
skema berikut: 

𝑀𝑛(𝑅) 𝑖𝑠 "𝑆𝐵" ⇔ 𝑅 𝑖𝑠 "𝑆𝐵" ⇔ 𝑅[𝑥] 𝑖𝑠 "𝑆𝐵"

  ⇕

𝑅[[𝑥]] 𝑖𝑠 "𝑆𝐵"  
 

dengan SB = Stabil Berhingga, serta untuk 
sebarang ring tak nol berlaku:  

stabil berhingga ⇒ kondisi rank ⇒ IBN. 

MODUL CO-HOPFIAN LEMAH DAN RING 
STABIL BERHINGGA KUAT KANAN 

Sebelum dijelaskan mengenai ring stabil 
berhingga kuat kanan, akan dijelaskan terlebih 
dahulu mengenai modul co-Hopfian (lemah) 
karena saling berkaitan satu sama lain. 

 



Ring Stabil Berhingga 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  229 

1.10. Definisi (Modul co-Hopfian (Lemah)): 

Diberikan ring R dan 𝑀𝑅 adalah modul kanan. M 
disebut modul co-Hopfian jika sebarang 
endomorfisma injektif dari M adalah suatu 
isomorfisma, dan M disebut modul co-Hopfian 
lemah jika sebarang endomorfisma injektif f dari M 
adalah essensial, yaitu berlaku 𝑓(𝑀) ⊆𝑒 𝑀. 

Dalam [4] dijelaskan, ada teorema yang 
menyatakan bahwa definisi modul co-Hopfian 
lemah bisa dinyatakan dalam enam kalimat, yaitu 
sebagai berikut: 

1.11. Teorema  

Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen untuk 
suatu R-modul kanan M: 

(1) 𝑀𝑅 adalah modul co-Hopfian lemah. 

(2) Untuk sebarang R-modul kanan N, jika ada R-

monomorfisma 𝑀 ⊕ 𝑁 → 𝑀 maka 𝑁 = 0. 

(2’) Untuk sebarang R-modul kanan N, jika 𝑀 ⊕
𝑁 → 𝑀 adalah monomorfisma essensial maka 
𝑁 = 0. 

(3) M adalah modul Dedekind finite dan image dari 

sebarang endomorfisma injektif dari M adalah 

essensial atau direct summand sejati. 

(4) Terdapat suatu submodul essensial invariant 

penuh yang bersifat co-Hopfian lemah. 

(5) Endomorfisma injektif dari 𝑀𝑅 memetakan 

submodul-submodul essesnsial ke submodul-

submodul essensial. 

(6) Image inverse dari sebarang submodul tak nol 

dari sebarang endomorfisma injektif dari M 

adalah tak nol. 

 
Berikut adalah sifat-sifat dari modul co-Hopfian 
lemah: 

1.12. Akibat: 

Suatu direct summand dari modul co-Hopfian 
lemah juga merupakan modul co-Hopfian lemah. 

Proposisi berikut menjelaskan kaitan 
antara modul co-Hopfian (lemah) dan modul 
Dedekind finite, yaitu sebagai berikut. 

1.13. Proposisi: 

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 

(1) Untuk suatu R-modul M berlaku: 

M co-Hopfian ⇒  M co-Hopfian lemah ⇒ M 
Dedekind finite. 

(2) Jika M adalah modul quasi-injektif, maka 

berlaku: 

a) M co-Hopfian ⇔ M co-Hopfian lemah ⇔ M 

Dedekind finite. 

b) Jika M adalah modul co-Hopfian lemah 

maka sebarang submodul dan sebarang 

direct sum berhingga yang memuat M 

adalah modul co-Hopfian lemah. 

c) Jika N adalah submodul essensial invariant 

penuh, maka berlaku: 

N co-Hopfian ⇔  M co-Hopfian ⇔  𝐸(𝑀)  

co-Hopfian 

Berikut adalah sifat-sifat modul co-Hopfian: 

1.14. Proposisi: 

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:  

a) Jika 𝑀𝑅 adalah modul kanan dengan sebarang 

submodul co-Hopfian lemah, maka M adalah 

modul co-Hopfian lemah. 

b) Diberikan N adalah submodul invariant penuh 

yang co-Hopfian di modul kanan 𝑀𝑅. Jika 
𝑀

𝑁⁄  

adalah modul co-Hopfian (lemah) maka M 

modul co-Hopfian (lemah). 

c) Jika submodul-submodul nonessensial di 𝑀𝑅 

adalah submodul Noetherian, maka M adalah 

modul co-Hopfian lemah. 

Berikut adalah akibat dari proposisi di atas: 

1.15. Akibat: 

Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: 

a) Suatu modul semisederhana M adalah modul 

co-Hopfian lemah jika dan hanya jika sebarang 

komponen homogen di M dibangun secara 

berhingga. 

b) Jika M adalah modul Hopfian dan bersifat 

kondisi rantai turun, maka submodul-

submodulnya adalah co-Hopfian. 

c) Jika M memiliki sifat kondisi rantai turun pada 

submodul-submodul non-co-Hopfiannya, maka 

M adalah modul co-Hopfian. 

Setelah dijelaskan mengenai modul co-
Hopfian (lemah) dan sifat-sifatnya, selanjutnya 
akan dibahas mengenai ring stabil berhingga kuat. 

1.16. Definisi (Right Strong Stably Finite):  

Suatu ring R disebut ring stabil berhingga kuat 

kanan jika 𝑅𝑅
𝑛  adalah modul co-Hopfian lemah 

untuk setiap 𝑛 ≥ 1. 

Berikut adalah karakteristik ring stabil 
berhingga kuat kanan. Dalam [4] dijelaskan bahwa 



Samsul Arifin  
 

230   Volume 2 No. 4 Mei 2013 

ring stabil berhingga kuat kanan dapat dinyatakan 
dalam tiga kalimat yaitu tertuang dalam teorema 
berikut: 

1.17. Teorema: 

Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: 

(1) R adalah ring stabil berhingga kuat kanan. 

(2) Untuk sebarang 𝑛 ≥ 1, jika 𝑢1, . . . , 𝑢𝑛 adalah 

elemen-elemen yang R-bebas linear di dalam 

modul bebas 𝑅𝑅
𝑛  maka 𝑢1𝑅+. . . +𝑢𝑛 𝑅 adalah 

submodul essensial. 

(3) Untuk sebarang 𝑛 ≥ 1, 𝑀𝑛(𝑅) adalah ring co-
Hopfian kanan. 

1.18. Definisi: 

Ring R dikatakan Ore kanan jika untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈
𝑅 dengan b adalah elemen regular, terdapat 𝑐, 𝑑 ∈
𝑅 dengan d adalah elemen regular, sehingga 
berlaku 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐. 

Dalam [7] dijelaskan kaitan antara ring Ore 
kanan dan ring stabil berhingga kuat kanan, yaitu 
sebagai berikut: 

1.19. Teorema: 

Jika R adalah ring dengan 𝑅[𝑥] adalah ring Ore 
kanan, maka R adalah ring stabil berhingga kuat 
kanan. 

KAITAN ANTARA RING STABIL BERHINGGA 
DENGAN RING STABIL BERHINGGA KUAT 
KANAN 

Berikut adalah kaitan antara ring stabil 
berhingga dan ring stabil berhingga kuat kanan. 
Dalam [7] dijelaskan kaitan antara ring stabil 
berhingga, ring stabil berhingga kuat kanan, ring 
dengan kondisi rank kuat kanan dan ring 
komutatif, yaitu sebagai berikut: 

𝑆𝐵

⇑

𝑢. dim𝑅𝑅 < ∞ ⇒ 𝑆𝐵𝐾𝐾 ⇒ 𝐾𝑅𝐾𝐾

⇑

𝐾𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑓

 

dengan SB = Stabil Berhingga, SBKK = Stabil 
Berhingga Kuat Kanan dan KRKK = Kondisi Rank 
Kuat Kanan. 

1.20. Proposisi:  

Ring komutatif ⇒  Ring stabil berhingga kuat 
kanan ⇒  Ring stabil berhingga. 

Proposisi berikut menjelaskan kaitan antara ring 
stabil berhingga dan ring stabil berhingga kuat 
kanan. 

1.21. Proposisi: 

Jika ring R adalah ring stabil berhingga kuat kanan, 
maka ring R adalah ring stabil berhingga. Lebih 

lanjut, untuk suatu modul injektif 𝑅𝑅 , ring R adalah 
ring stabil berhingga kuat kanan jika dan hanya 
jika ring R adalah ring stabil berhingga.  

Bukti: 

Misalkan R adalah ring stabil berhingga 

kuat kanan dan 𝑛 ∈ ℤ+ dengan 𝑅𝑛 ⊕ 𝐾 ≅ 𝑅𝑛  
untuk suatu 𝐾 ∈ 𝑀𝑜𝑑 − 𝑅. Berdasarkan [4, 1.1], 

dapat diperoleh bahwa 𝑅𝑛 ⊕ 𝐾 dapat 

diembeddingkan ke dalam 𝑅𝑛  sehingga berakibat 
𝐾 = 0. Dengan menggunakan [6, 1.7], maka dapat 
dibuktikan bahwa R adalah ring stabil berhingga. 

Sebaliknya, misalkan 𝑅𝑅  adalah modul injektif 
dan R adalah ring stabil berhingga. Dengan 

menggunakan [4, 1.4], maka diperoleh bahwa 𝑅𝑅  
adalah modul co-Hopfian, sehingga berdasarkan 

[4, 1.5(i)], diperoleh bahwa 𝑅𝑅
𝑛  adalah modul co-

Hopfian, (∀𝑛 ∈ ℤ+). Oleh karena itu terbukti 
bahwa R adalah ring stabil berhingga kuat kanan. 

Proposisi berikut menjelaskan kaitan 
antara ring stabil berhingga kuat kanan dan ring 
dengan kondisi rank kuat kanan. 

1.22. Proposisi:  

Jika R adalah ring stabil berhingga kuat kanan, 
maka ring R bersifat kondisi rank kuat kanan. Lebih 
lanjut, untuk suatu daerah integral R, R adalah ring 
stabil berhingga kuat kanan jika dan hanya jika 
ring R bersifat kondisi rank kuat kanan.   

Bukti: 

Diasumsikan bahwa 0 → 𝑅𝑚 → 𝑅𝑛  adalah 
barisan eksak di dalam 𝑀𝑜𝑑 − 𝑅 dengan 𝑚 > 𝑛. 

Dari sini dapat diperoleh bahwa 𝑅𝑛 ⊕ 𝑅𝑚−𝑛 ≅ 𝑅𝑚 

dapat diembeddingkan ke dalam 𝑅𝑛 . Karena 𝑅𝑛  
diasumsikan adalah modul co-Hopfian lemah, 

maka diperoleh kontradiksi dengan 𝑅𝑚−𝑛 = 0. 
Oleh karena itu terbukti bahwa ring R bersifat 
kondisi rank kuat kanan. Sebaliknya, dari [6, 1.32] 
diperoleh bahwa untuk suatu daerah integral, sifat 
kondisi rank kuat kanan ekuivalen dengan sifat 
Ore kanan, sehingga menjadi seragam. Ada cara 
lain untuk untuk membuktikan hal ini yaitu: 
misalkan R adalah daerah integral dengan sifat 
kondisi rank kuat kanan dan 𝑁 ⊆ 𝑅𝑘  sedemikian 

hingga 𝑁 ≅ 𝑅𝑅
𝑘 . Jika N bukan submodul esensial, 

maka terdapat suatu submodul tak nol L di modul 

𝑅𝑘 dengan 𝑁 ∩ 𝐿 = 0. Untuk sebarang elemen tak 



Ring Stabil Berhingga 

Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382  231 

nol 𝑙 ∈ 𝐿 berlaku 𝑙𝑅 ≅ 𝑅 karena R adalah daerah 
integral, sehingga berlaku 

𝑅𝑘 ⊕ 𝑅 ≅ 𝑁 ⊕ 𝑙𝑅 ⊆ 𝑅𝑘 . 

Hal ini kontradiksi dengan R yang bersifat 
kondisi rank kuat kanan. Oleh karena itu, pastilah 
N adalah submodul esensial sehingga R adalah 
ring stabil berhingga kuat kanan. 

Selanjutnya akan dibahas mengenai sifat-
sifat ring stabil berhingga kuat kanan. Proposisi 
berikut menjelaskan kaitan ring stabil berhingga 
kuat kanan R dan vektor-vektor yang R-bebas 

linear pada modul bebas 𝑅𝑅
𝑛 . 

1.23. Proposisi: 

R adalah ring stabil berhingga kuat kanan jika dan 

hanya jika ∀𝑛 ≥ 1, jika 𝑢1 , 𝑢2 , . . . , 𝑢𝑛 vektor-vektor 

yang R-bebas linear di modul 𝑅𝑅
𝑛 , maka 𝑢1 𝑅 +

𝑢2𝑅+. . . +𝑢𝑛 𝑅 adalah suatu submodul esensial di 

modul 𝑅𝑅
𝑛 . 

Bukti: 

Misalkan R adalah ring stabil berhingga 

kuat kanan dan 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 adalah vektor-vektor 

yang R-bebas linear di modul 
n

R
R . Pemetaan 

𝑓: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑛  dengan 𝑓(𝑟1, 𝑟2, . . . , 𝑟𝑛 ) = 𝑢1𝑟1 +
𝑢2𝑟2+. . . 𝑢𝑛𝑟𝑛  adalah suatu R-monomorfisma 
kanan dengan  Im(𝑓) = 𝑢1𝑅 + 𝑢2𝑅+. . . 𝑢𝑛𝑅. 

Karena 𝑅
𝑛

 adalah modul co-Hopfian maka 

diperoleh Im(𝑓) ⊆𝑒 𝑅𝑅
𝑛 . Sebaliknya, misalkan g 

adalah endomorfisma injektif dari 𝑅𝑅
𝑛  dengan 

𝑔(𝑒𝑖 ) = 𝑢𝑖  di mana 𝑒𝑖 = (0, . . . ,1,0, . . . ,0). Karena 
g injektif maka jika 𝑢1 𝑟1 + 𝑢2𝑟2 +. . . 𝑢𝑛 𝑟𝑛 = 0 

akan berakibat 𝑟1 = 𝑟2 =. . . = 𝑟𝑛 = 0. Oleh 

karena itu diperoleh bahwa 𝑢1 , 𝑢2 , . . . , 𝑢𝑛 adalah 
vektor-vektor yang R-bebas linear sehingga 
berdasarkan asumsi yang digunakan, Im(𝑔) =
𝑢1𝑅 + 𝑢2𝑅+. . . +𝑢𝑛𝑅 adalah submodul esensial.  

1.24. Teorema: 

Setiap ring komutatif adalah ring stabil berhingga 
kuat. 

Bukti: 

Kita gunakan Proposisi 4.4 di atas pada 
kasus suatu ring komutatif R. Misalkan 

𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 adalah vektor-vektor yang R-bebas 

linear di modul 𝑅𝑅
𝑛  dan himpunan I = 𝑢1𝑅 +

𝑢2𝑅+. . . 𝑢𝑛𝑅. Akan ditunjukkan bahwa untuk 

sebarang vector tak nol 𝑢𝑛+1 ∈ 𝑅
𝑛  berlaku 𝐼 ∩

𝑢𝑛+1𝑅 ≠ 0. Tulis 

𝑢𝑗 = ∑ 𝑒𝑖 𝑎𝑖𝑗𝑖  (𝑗 = 1, . . . , 𝑛 + 1 dan 𝑖 = 1, . . . , 𝑛) 

dengan 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, kemudian notasikan S 

sebagai subring dari R yang dibangun oleh 

elemen-elemen 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅 dan 1𝑅. Berdasarakan 

Teorema Basis Hilbert, S adalah ring Noetherian, 
sehingga S memiliki dimensi seragam yang 
berhingga. Akibatnya S adalah ring stabil 
berhingga kuat. Perhatikan bahwa 

𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛+1 ∈ 𝑆
𝑛

 
dan 𝑢1, 𝑢2, . . . , 𝑢𝑛 

adalah S-

bebas linear. Oleh karena itu berlaku (𝑢1𝑆 +
𝑢2𝑆+. . . 𝑢𝑛𝑆) ∩ 𝑢𝑛+1𝑆 ≠ 0 dan berdasarkan 
Proposisi di atas maka berlaku 𝐼 ∩ 𝑢𝑛+1𝑅 ≠ 0 atau 
𝐼 ⊆𝑒 𝑅

𝑛 . 
Terdapat kaitan yang sangat erat antara 

ring stabil berhingga kuat kanan, modul co-
Hopfian lemah, dan ring yang memenuhi kondisi 
rank kuat kanan. Hal tersebut dijelaskan dalam 
[4], yaitu dalam proposisi berikut: 

1.25. Proposisi: 

Diberikan R adalah daerah integral. Pernyataan-
pernyataan berikut ekuivalen: 

(1) RR  adalah modul co-Hopfian lemah 

(2) R adalah ring stabil berhingga kuat kanan 

(3) Ring R memenuhi kondisi rank kuat kanan 

(4) Sebarang dua elemen di ring R tidak R-bebas 

linear kanan 

REFERENSI: 

[1] Arifin, S., 2011, Characteristic of IBN, Rank 
Condition and Stably Finite Rings, Proc. Of The 
Seams-GMU Conference, 6, 223-232. 

[2] Breaz, S., Calugareanu, G., and Schultz, P., 
1991, Modules With Dedekind Finite 
Endomorphism Rings, Babes Bolyai University, 
1-13. 

[3] Haghany, A., Varadarajan, K., 2002, IBN And 
Related Properties For Rings, Acta 
Mathematica Hungarica, 94, 251-261. 

[4] Haghany, A., Vedadi, M.R., 2001, Modules 
whose Injective Endomorphisms Are Essential, 
Journal of Algebra, 243, 765-779 

[5] Lam, T. Y., Exercises in Modules and Rings, 
2007, Springer Verlag, New York. 

[6] Lam, T. Y., Lectures On Modules And Rings, 
1999, Springer Verlag, New York. 

[7] Vedadi, M.R., 2009, Strong Stably Finite Rings 
and Some Extensions, Acta Math. Univ. 
Comenianae, 1, 137-144  


	PENDAHULUAN
	Ring Stabil Berhingga
	1.1. Definisi (Ring Dedekind Finite):
	1.2. Definisi (Stably Finite):
	1.3. Akibat:
	1.4. Proposisi:
	1.5. Contoh
	1.6. Teorema:
	1.7. Teorema:
	1.8. Akibat:
	1.9. Proposisi
	MODUL CO-HOPFIAN LEMAH DAN RING STABIL BERHINGGA KUAT KANAN
	1.10. Definisi (Modul co-Hopfian (Lemah)):
	1.11. Teorema
	1.12. Akibat:
	1.13. Proposisi:
	Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
	1.14. Proposisi:
	1.15. Akibat:
	Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
	1.16. Definisi (Right Strong Stably Finite):
	1.17. Teorema:
	1.18. Definisi:
	1.19. Teorema:
	KAITAN ANTARA RING STABIL BERHINGGA DENGAN RING STABIL BERHINGGA KUAT KANAN
	1.20. Proposisi:
	1.21. Proposisi:
	1.22. Proposisi:
	1.23. Proposisi:
	1.24. Teorema:
	1.25. Proposisi:

	Referensi: