5.7 Siti Tabi'atul Hasanah - Pendeteksian Outlier pada Regresi Nonlinier dengan Metode Statistik Likelihood Di
PENDETEKSIAN OUTLIER PADA REGRESI NONLINIER DENGAN
METODE STATISTIK LIKELIHOOD DISPLACEMENT (LD)
Siti Tabi’atul Hasanah
Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
e-mail: chib_y@yahoo.com
ABSTRAK
Outlier merupakan pengamatan yang jauh berbeda (ekstrim) dari data pengamatan lainnya,
atau dapat diartikan data yang tidak mengikuti pola umum model. Adakalanya outlier memberikan
informasi yang tidak dapat diberikan oleh data yang lainnya. Karena itulah outlier tidak boleh begitu saja
dihilangkan. Outlier dapat juga merupakan pengamatan berpengaruh. Banyak sekali metode yang dapat
digunakan untuk mendeteki adanya outlier. Pada penelitian-penelitian sebelumnya pendeteksian outlier
dilakukan pada regresi linier. Selanjutnya akan dikembangkan pendeteksian outlier pada regresi
nonlinier. Regresi nonlinier disini dikhususkan pada regresi nonlinier multiplikatif. Untuk mendeteksi
yaitu menggunakan metode statistik likelihood displacement. Metode statistik likelihood displacement
disingkat (LD) adalah suatu metode untuk mendeteksi adanya outlier dengan cara menghilangkan data
yang diduga outlier. Untuk mengestimasi parameternya maka digunakan metode maximum likelihood,
sehingga didapatkan hasil etimasi yang maksimal. Dengan metode LD diperoleh ����, yaitu likelihood
displacement yang diduga mengandung outlier. Selanjutnya Keakuratan metode LD dalam mendeteksi
adanya outlier ditunjukkan dengan cara membandingkan MSE dari LD dengan MSE dari regresi pada
umumnya. Statistik uji yang digunakan adalah . Hipotesis awal ditolak ketika ����
��
������� , sehingga
terbukti ���� adalah suatu outlier.
Kata kunci: likelihood displacement, maximum likelihood estimation, outlier, regresi nonlinier multiplikatif.
ABSTRACT
Outlier is an observation that much different (extreme) from the other observational data, or
data can be interpreted that do not follow the general pattern of the model. Sometimes outliers provide
information that can not be provided by other data. That's why outliers should not just be eliminated.
Outliers can also be an influential observation. There are many methods that can be used to detect of
outliers. In previous studies done on outlier detection of linear regression. Next will be developed
detection of outliers in nonlinear regression. Nonlinear regression here is devoted to multiplicative
nonlinear regression. To detect is use of statistical method likelihood displacement. Statistical methods
abbreviated likelihood displacement (LD) is a method to detect outliers by removing the suspected
outlier data. To estimate the parameters are used to the maximum likelihood method, so we get the
estimate of the maximum. By using LD method is obtained ���� i.e likelihood displacement is thought to
contain outliers. Further accuracy of LD method in detecting the outliers are shown by comparing the
MSE of LD with the MSE from the regression in general. Statistic test used is Λ. Initial hypothesis was
rejected when ���
��
������� , proved so ���� is an outlier.
Keywords: likelihood displacement, maximum likelihood estimation, multiplicative nonlinear regression,
Outlier
PENDAHULUAN
Outlier adalah pengamatan yang jauh
berbeda (ekstrim) dari data pengamatan lainnya.
Salah satu penyebab terjadinya outlier adalah
kesalahan pada pengambilan data sehingga
menyebabkan data tersebut menjadi ekstrim.
Adakalanya outlier ini tidak boleh begitu saja
dihilangkan, namun dalam hal ini harus hati-hati
karena terkadang outlier itu memberikan
informasi yang tidak dapat diberikan oleh titik
pengamatan lain, misalnya karena adanya
kombinasi keadaan yang tidak biasa dan perlu
diadakan penyelidikan lebih jauh. Suatu outlier
dapat dibuang setelah ditelusuri ternyata
pengamatan tersebut merupakan akibat dari
kesalahan pengukuran atau kesalahan dalam
menyiapkan pengukuran. Outlier dapat juga
merupakan pengamatan berpengaruh. Outlier
yang bukan pengamatan berpengaruh, tidak
memiliki pengaruh yang kuat pada model kecuali
outlier tersebut sangat besar. Tetapi jika outlier
Siti Tabi’atul Hasanah
178 Volume 2 No. 3 November 2012
merupakan data berpengaruh, maka akan
memberikan dampak pada model (Drapper dan
Smith, 1992:146).
Misalkan saja pada suatu penelitian
tentang sapi penghasil susu. Dari suatu data
ternyata diperoleh ada beberapa sapi yang
menghasilkan hasil susu yang lebih banyak dari
biasanya atau dari sapi normalnya. Sapi penghasil
susu yang tidak sesuai dengan normalnya
merupakan suatu outlier, namun jika
mengahapus begitu saja data ini berarti telah
menghilangkan bibit sapi unggul yang mampu
menghasilkan banyak susu sapi. Oleh sebab itulah
penting untuk mengidentifikasi adanya outlier
agar tidak kehilangan suatu data yang memiliki
kualitas yang bagus. Jika dengan adanya outlier
itu kurang baikmaka perlu diidentifikasi dan
kemudian dihilangkan data yang mengandung
outlier.
Banyak sekali metode yang dapat
digunakan untuk mendeteksi outlier, salah
satunya yaitu pendektesian outlier pada model
linier univariat telah dikemukaan oleh Cook
dengan memperkenalkan Jarak Cook (Cook’s
Distance) sebagai ukuran untuk mendeteksi
pengamatan berpengaruh dalam model linier
univariat. Ukuran Jarak Cook ini dirumuskan
sebagai kombinasi dari studential residual,
variansi residual, dan variansi nilai prediksi.
Selain metode yang dikemukakan oleh Cook,
masih banyak lagi metode yang digunakan untuk
pendeteksian outlier pada model linier
(Makkulau, 2010:95)
Xu, Abraham dan Steiner (2005)
mengembangkan Jarak Cook univariat untuk
mendeteksi outlier pada model linier multivariat
(model regresi linier multivariat) dengan
menggunakan metode statistik likelihood
displacement yang disingkat LD. Metode LD
adalah suatu metode untuk mendeteksi adanya
outlier dengan cara menghilangkan pengamatan
yang diduga outlier (Makkulau, 2010:95).
Tujuan dari penelitian ini adalahuntuk
mengetahui cara mendeteksi outlier pada regresi
nonlinier dengan metode statistik Likelihood
Displacement (LD).
Mafaat dari penelitian ini adalah untuk
mengembangkan metode yang dapat digunakan
untuk mendeteksi adanya outlier.
KAJIAN TEORI
1. Outlier
Secara umum outlier dapat diartikan data
yang tidak mengikuti pola umum pada model
atau data yang keluar dari model dan tidak
berada dalam daerah selang kepercayaan
(Sembiring, 1995:62).
Menurut Draper dan Smith (1992:146)
sisaan yang merupakan outlier adalah yang nilai
mutlaknya jauh lebih besar dari pada sisaan
lainnya dan terletak tiga atau empat kali
simpangan baku atau lebih jauh lagi dari rata-rata
sisaannya. Outlier merupakan suatu keganjilan
dan menandakan suatu titik data yang sama
sekali tidak tipikal dibandingkan data lainnya.
2. Estimasi Parameter
Menurut Yitnosumarto (1990:211)
penduga (estimator) adalah anggota peubah acak
statistik yang mungkin untuk sebuah parameter
(anggota peubah yang diturunkkan). Parameter
adalah nilai yang mengikuti acuan keterangan
atau informasi yang dapat menjelaskan batas-
batas atau bagian-bagian tertentu dari suatu
sistem persamaan.
Murray dan Larry (1999:166)
menyatakan terdapat dua jenis estimasi
parameter, yaitu: estimasi titik dan estimasi
interval.
Estimasi titik adalah Estimasi dari
sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh
bilangan tunggal disebut sebagai estimasi titik
dari parameter tersebut. Sebuah nilai yang
diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai
estimasi dari parameter yang nilainya tidak
diketahui. Misalkan �1,�2,…,�� merupakan
sampel acak berukuran n dari X, maka statistik
yang berkaitan dengan θ dinamakan estimasi dari
θ. Setelah sampel diambil, nilai-nilai yang
dihitung dari sampel itu digunakan sebagai
taksiran titik bagi θ.
Estimasi dari parameter populasi yang
dinyatakan dengan dua bilangan. Di antara posisi
parameternya diperkirakan berbeda, sehinggga
disebut estimasi interval. Estimasi interval
mengindikasikan adanya tingkat kepresisian atau
akurasi dari sebuah estimasi sehingga estimasi
interval akan dianggap semakin baik jika
mendekati estimasi titik
Adapun sifat-sifat estimasi titik adalah
sebagai berikut:
1. Tak Bias
Yusuf Wibisono (2005:362) dalam
bukunya menyatakan bahwa estimator tak bias
bagi parameter θ, jika ����� �
2. Konsisten
Damodar N. Gujarati (2007:98)
menerangkan estimator parameter �� dikatakan
konsisten bila nilai-nilainya mendekati nilai
parameter yang sebenarnya meskipun ukuran
sampelnya semakin besar.
3. Efisien
Jika distribusi sampling dari dua statistik
memiliki mean atau ekspektasi yang sama,
maka statistik dengan variansi yang lebih kecil
Pendeteksian Outlier pada Regresi Nonlinier dengan Metode Statistik Likelihood Displacement (LD)
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 179
disebut sebagai estimator efisien dari mean,
sementara statistik yang lain disebut estimator
tak efisien. Adapun nilai-nilai yang
berkorespondensi dengan statistik-statistik ini
masing-masing disebut sebagai estimasi efisien
dan estimasi tak efisien.
4. Distribusi
Suatu peubah acak � berdistribusi
normal !"#,$�% bila untuk suatu $�
0 dan *
∞ + # + ∞ (Turmudi dan Harini, 2008:204).
mempunyai fungsi densitas pada � ,
dengan persamaan: -",% 1$√2/012�34156 7
8
(2.1)
Distribusi lain yang digunakan yaitu
distribusi chi-square. Distribusi chi-square
merupakan distribusi dengan variabel acak
kontinue. Simbol untuk chi-square adalah ��.
Distribusi chi-square sebenarnya merupakan
jumlah kuadrat dari variabel-variabel acak yang
bebas dan menyebar normal dengan mean 0 dan
ragam 1�9~!;�"0,1%�. Distribusi ini dapat
dinyatakan dengan �� 92� = 9�� = >= 9?� �� @9��� @A
B� * #�$� C�
�
merupakan variabel acak yang tersebar menurut
distribusi chi-square dengan derajat bebas
sebesar D dan dapat dituliskan �� E �?�
dimana �?� yaitu distribusi chi-square dengan
derajat bebas D.
Suatu variabel acak � berdistribusi chi-
square dengan derajat bebas D, dinyatakan
dengan �?�"0% bila untuk suatu bilangan bulat D
0. (Turmudi dan Harini, 2008: 210)
Distribusi ini mempunyai fungsi
kepekatan peluang sebagai berikut:
-4",% F
1
2?�Γ 3D27,
3?�712014�, , G 0
0, selainnya
M
Nilai tengah (mean) dan ragam untuk
distribusi �� adalah # D dan N� 2D. Distribusi
chi-square bergantung pada banyaknya
simpangan baku yang bebas antara satu dengan
yang lain atau dengan kata lain bergantung pada
derajat bebasnya.
Jika � dan B variabel acak, maka peluang
terjadinya � dan B secara serentak dinyatakan
sebagai -",,O% disebut Distribusi Peluang
Gabungan untuk setiap pasangan ",,O%
(Herrhyanto, 2009:5).
5. Regresi Nonlinier
Analisis regresi merupakan analisis yang
menyangkut studi tentang hubungan antara satu
variabel yang disebut variabel terikat atau
variabel yang dijelaskan dan satu atau lebih
variabel yang lain yang disebut variabel bebas
atau variabel penjelas (Gujarati, 2007:115).
Regresi yang variabel-variabelnya
berbentuk tidak biasa. Bentuk grafik regresi
nonlinier adalah berupa lekungan (Hasan,
2002:297).
Model regresi nonlinier dapat
digolongkan menjadi dua yaitu model linier
intrinsik dan model nonlinier intrinsik. Jika suatu
model dikatakan model linier intrinsik, maka
model model ini dapat dinyatakan dalam bentuk
linier baku dengan mentransformasikan secara
tepat terhadap peubahnya. Jika suatu model
nonlinier tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
baku, berarti model ini secara intsinsik adalah
nonlinier. Berikut ini adalah beberapa model
yang dapat dinyatakan dalam linier baku (Draper
dan Smith, 1992:213).
6. Regresi Multiplikatif
Regresi Multiplikatif adalah salah satu
bentuk dari regresi linier intrinsik. Bentuk umum
dari regresi multiplikatif adalah sebagai berikut: B P �2Q��R�SRT (2.2)
dimana $, U, dan V adalah parameter yang tidak
diketahui, dan T adalah galat acak yang bersifat
multiplikatif. Dengan mengalgoritmakan basis e
pada pada persamaan di atas, maka model
persamaan di atas menjadi W� B W�X =UW��2 = YW��� = VW��S = W�T.
Model persamaan tersebut menjadi
bentuk linier sehingga dapat ditangani dengan
prosedur regresi nonlinier. Model tersebut
merupakan model linier dalam bentuk W�T. T
tidak berdistribusi normal, sebab yang
berdistribusi normal adalah W�T (Draper dan
Smith, 1992:213).
7. Regresi dalam Pendekatan Matriks
Model regresi yang paling sederhana
adalah model regresi linier. Model regresi linier
sederhana terdiri dari satu variabel. Model
tersebut dapat digeneralisasikan menjadi lebih
dari satu atau dalam k variabel. Persamaan model
regresi linier dengan D peubah adalah sebagai
berikut: O UZ = U2,2 = U�,� = >= U?,? = T (2.3)
pengamatan mengenai O,,2,,�,…,,? dinyatakan
masing-masing dengan O�,,�2,,��,…,,�? dan
galatnya T�, maka persamaan (2.3) dapat
dituliskan sebagai: O� UZ = U2,�2 = U�,�� = >= U?,? = T� untuk,^ 1,2, . . ,�. Dinotasikan dalam bentuk
matriks, sehingga menjadi:
_O2O�̀O
a _
1 ,22 … ,2?1 ,�2 … ,�?
1̀ `,
2 `… ,
?a_
UZU2̀
U
a= _T2T�̀T
a
Siti Tabi’atul Hasanah
180 Volume 2 No. 3 November 2012
Misalkan
B _O2O�̀O
a � _
1 ,22 … ,2?1 ,�2 … ,�?
1̀ `,
2 `… ,
?a
U _UZU2̀U
a T _T2T�̀T
a
Persamaan (2.11) dapat dinyatakan
sebagai: B �U =T (2.4)
dengan: B : vektor respon � x 1 � :matriks peubah bebas berukuran � x "D = 1% U : vektor parameter berukuran "D = 1% x 1 T : vektor galat ukuran � x 1
(Sembiring,1995:134-135)
8. Maximum likelihood
Statistik inferensia dapat dibagi dalam dua
bagian besar, estimasi dan pengujian hipotesis.
Kedua inferensi tersebut masing-masing
bertujuan untuk membuat pendugaan dan
pengujian suatu parameter populasi dan
informasi sampel yang diambil dari populasi
tersebut. Gujarati N. Damodar (2010:131)
menjelaskan bahwa metode dari estimasi titik
(point estimation) dengan sifat-sifat teoritis yang
lebih kuat dari pada metode OLS adalah metode
maximum likelihood (ML).
Fungsi likelihood dari � peubah acak ,2,,�,…,,
didefinisikan sebagai fungsi
kepadatan bersama dari n peubah acak. Fungsi
kepadatan bersama -4c,…4d ",2,…,,
;�%, yang
mempertimbangkan fungsi dari �. Jika ,2,…,,
adalah sampel acak dari fungsi kepadatan -",,�%,
maka fungsi likelihoodnya adalah -",2;�%-",�;�%…-",
;�% (Mood, Graybill and
Boes, 1986:278).
Maximum likelihood dapat diperoleh
dengan menentukan turunan dari L terhadap
parameternya dan menyatakannya sama dengan
nol. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk
terlebih dahulu menghitung logaritma kemudian
menentukan turunannya. Dengan cara ini
diperoleh: 1-"�2,�%f-",2,�%f� = >= 1-"�
,�%f-",
,�%f� 0
Penyelesaian dari persamaan ini, untuk � dalam bentuk ,?, dikenal sebagai estimator
maximum likelihood dari �.
9. Metode Statistik Likelihood Displacement
(LD)
Metode LD adalah suatu metode yang
dikembangkan dengan cara menghilangkan
pengamatan yang diduga outlier. Misalkan D
adalah pengamatan dikumpulkan pada
pengamatan tertentu, dengan D diduga sebagai
outlier. Indeks g? adalah kumpulan dari D yang
diduga outlier.
LD dari pengamatan yang mengandung outlier
untuk Uhi dengan variansi σj� adalah: ���� �Uhik$l�� 2mW���Uhi,$l��M * MW��3Uhin��o,$l�"Uhin��o%7p "2.5%
dimana σj�"Uhin��o adalah MLE dari σj� ketika Uhi
diestimasi oleh Uhin��o (Makkulau, dkk, 2010:97).
PEMBAHASAN
1. Regresi Nonlinier Multiplikatif
Bentuk umum dari regresi nonlinier
multiplikatif adalah dinyatakan sebagai berikut: O� UZ,�2Qc,��Q8,�SQr …,
?Q� …T� (3.1)
Persamaan (3.1) dapat dilinierkan dengan
melogaritmanaturalkan persamaannya, sehingga
modelnya menjadi: W�O� W�UZ = U2 W�,2� = U� W�,�� = >= U? W�,
? = >= W�T� (3.2)
dengan ^ 1,2,…,� dan D 1,2,…,�
Dalam penelitian ini diasumsikan bahwa
variabel terikat "W�O% berdistribusi normal
dengan mean # dan variansi $�. Sehingga dalam
persamaan (3.1) T berdistribusi log normal,
karena yang berdistribusi normal adalah lnT.
Dengan menggunakan pendekatan
matriks, diperoleh: B
s 2i �
s"?t2 %i U"?t2 %s 2i = T
s 2 i (3.3)
2. Estimasi parameter regresi noninier
multiplikatif
Dari persamaan (3.3) diketahui bahwa Bi "W�O2, W�O�,… , W�O
%u adalah variabel
random, karena diasumsikan berdistribusi
normal, maka Bi~!"�iUi, ;$�% dengan �i "W�,Z� , W�,2� ,…, W�,2?% dan Ui "W�UZ ,U2,…,U
%u dimana ^ 1,2,…,� dan ;
adalah matriks identitas. Sehingga fungsi
distribusi peluang gabungannya adalah -"Bi|Ui,$�% A 2w�x68C
01 c8y8"zi1{iQi%|"zi1{iQi%
(3.4)
sehinggga fungsi likelihoodnya adalah: �"Ui,$�|Bi% A 2w�x68C
01 c8y8"zi1{iQi%|"zi1{iQi%
(3.5)
Dengan menggunakan metode maximum
likelihood, estimasi parameter Ui dan $� dari
persamaan (3.5) adalah sebagai berikut:
Pendeteksian Outlier pada Regresi Nonlinier dengan Metode Statistik Likelihood Displacement (LD)
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 181
Uhi "�iu�i%12�iuBi (3.6)
Dan $l� 1�"Bi * �iUi%u"Bi * �iUi% (3.7)
Estimator Uhi mempunyai sifat-sifat: Uhi mempunyai sifat unbias. Bukti: Uhi "�iu�i%12�iuBi ��Uhi� �""�iu�i%12�iuBi% "�iu�i%12�iu�"Bi% "�iu�i%12�iu�iUi ;Ui Ui
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
estimator Uhi adalah estimator efisien. Dikatakan
estimator efisien apabila mempunyai nilai
variansi yang terkecil. Sehingga }~� �Uhi� "�iu�i%12$� harus sekecil mungkin agar
estimator Uhi efisien.
Kemudian sifat estimator yang ketiga
yaitu konsisten. Dikatakan estimator yang
konsisten jika W^�
�∞ �"k��
*�k + T 1
sehingga: W^�
�∞ �3�� * �����7� W^�
�∞"�iu�i%12$� 0.
Sehingga dapat dikatakan bahwa Uhimerupakan
estimator yang konsisten
Selanjutnya menentukan Fungsi likelihood
dari estimator Uhi dan $l� adalah sebagai berikut: ��Uhi,$l�� 1"2/%
�"$�%
� 01
2�68"zi1{iQi%|"zi1{iQi%
(3.8)
Fungsi likelihood ini kemudian
dilogaritmakan. Sehingga diperoleh:
*�2ln"2/%* �2ln"$�%* �2
(3.9)
3. Pendeteksian Outlier
Pendeteksian outlier pada regresi
nonlinier dengan metode statistik likelihood
displacement (LD) dilakukan dengan cara
menghilangkan pengamatan yang diduga
mengandung outlier pada model. Misalkan ada D
pengamatan yang dikumpulkan dalam suatu
himpunan tertentu, dengan D adalah pengamatan
yang diduga mengandung outlier. Dimana D + �.
Dan misalkan indeks g? adalah kumpulan dari D
pengamatan yang diduga outlier dengan g? ^2, ^�,… , ^?, dan misalkan indeks ^? � �1,2,…,��.
Dengan mempertimbangkan pengamatan D dalam estimasi parameter, maka likelihood
displacement untuk �� Uhi,$l�dan ��n��o Uhn��oi ,$ln��o� adalah:
���?"U i|$�% 2�ln��Uhi,$l��* ln��Uhn��oi ,$ln��o� �� (3.10)
dimana Uhiadalah maximum likelihood estimation
dari U i dan $l� adalah maximum likelihood
estimation pada keseluruhan pengamatan dan Uhn��oi dan $ln��o� adalah MLE dari U i dan $� ketika
pengamatan dengan indeks g? dihilangkan.
Pada kasus khusus yaitu �2 "U2i,$2�% subset dari � "Ui,$�%, maka fungsi
likelihood displacement dapat dimodifikasi
menjadi ����""U2i,$2�%|"U�i,$��%% 2mW� ��Uhi,$l��M* Mln��"Uh2i,$l2�%n��o , �Uh�i,$l���"Uh2i,$l2�%n��o��
Dengan: �"�Uh�i,$l���"Uh2i,$l2�%n��o% �~,"Q8i,688%�3"Uh2i,$l2�%n��o , �Uh�i,$l���7
adalah memaksimumkan fungsi log likelihood
pada parameter "U�i,$��% dengan "U2i,$2�% "Uh2i,$l2�%n��o maka U2i Uh2n��oi dan $2� $l2n��o�
adalah maximum likelihood estimation dari "U2i,$2�% ketika pengamatan D dihilangkan.
Selanjutnya untuk keseluruhan data
ketika D pengamatan pada himpunan g?
dihilangkan maka modelnya menjadi: Bn��oi �n��oi Un��oi = Tn��o (3.11)
dengan Bn��oi ~!"0,;$�%
estimasi parameter Un��oi dan $n��o� dari
persamaan (3.11) dengan maximum likelihood
diperoleh: Uhn��oi Uhi * "�iu�i%12���iu�; * ����12T�̂�i
estimator Uhn��oi adalah estimator tak bias. Dan $ln��o� �� * D$� = 1� * DT�̂�u ����; *����12T�̂�
dengan: ��� ���i "�iu�i%12���iu T�̂�i B��i * ���i Uhi
Pada kasus khusus seperti yang telah
dijelaskan maka estimasi dari $l� 3Uhin��o7 dimana $l� 3Uhin��o7 adalah maximum likelihood estimation
dari $l� ketika Ui diestimasi dengan Uhin��o.
Dengan mensubtitusikan Uhin��o untuk Ui pada $l�,
sehingga diperoleh: $l� 3Uhin��o7 $l� = 1�T�̂�iu�; *����12���x �; * ����12T�̂�i
Selanjutnya menentukan Fungsi likelihood
dari Uhin��o,$l� 3Uhin��o7 diperoleh:
Siti Tabi’atul Hasanah
182 Volume 2 No. 3 November 2012
�AUhin��o,$l� 3Uhin��o7C 132/
�7�$l� 3Uhin��o7
��
01 2�6j83Q�i����7Azi1{����i Q����i C
|Azi1{����i Q����i C
Fungsi likelihood ini kemudian
dilogaritmakan. Sehingga diperoleh: *�2W�2/ * �2W�$l� 3Uhin��o7* �2 (3.12)
4. Metode statistik likelihood displacemen
(LD)
Likelihood Displacement dari Ui dan $�
yang diberikan pada persamaan (2.5) adalah: ����"Ui|$�% 2�ln��Uhi,$l��* ln�AUhin��o,$l� 3Uhin��o7Cp
Subtitusikan persamaan (3.9) dan (3.12)
ke persamaan (2.5) maka: ����"Ui|$�% 2�3*�2W�"2/% * �2W�"$�%7M * M3*�2W�2/ * �2W�$l� 3Uhin��o77p 2�*�2W�"2/% * �2W�"$�%= �2W�2/ =M M�2 W�$l� 3Uhin��o7p 2�*�2W�"$�%=�2W�$l� 3Uhin��o7p *�W�$� = � W�$l� 3Uhin��o7 ��*W�$� = W�$l� 3Uhin��o7p ��W�$l� 3Uhin��o7* W�$�p
�W��$l� 3Uhin��o7$� �
�W��$l� = 1�T�̂�iu�; * ����12����; * ����12T�̂�i$� �
misal ��� �; * ����12����; * ����12, maka:
���� �W��$l� = 1�T�̂�iu���T�̂�i$� �
�W��$l�$l� =
1�T�̂�iu���T�̂�i$l� �
�W��1 = 1�$l� T�̂�iu���T�̂�i �
Sehingga Likelihood Displacement yang diduga
mengandung outlier adalah sebagai berikut: ���� �W��1 = 1�$l� T�̂�iu���T�̂�i �
Untuk menunjukkan keakuratan dari hasil
metode LD dalam mendeteksi adanya outlier,
maka digunakan uji statistik. Uji statistik disini
dilakukan dengan cara membandingkan MSE dari
metode LD dengan MSE dari regresi pada
umumnya (regresi tanpa outlier). Statistik uji
yang digunakan adalah
Λ ������������� ~����
dimana �, ^ 1, 2,…,D, adalah nilai eigen dari ���. Ketika nilai ������� lebih besar dari pada ������ maka nilai akan semakin besar.
Dari hasil uji statistik yang telah
dijelaskan, maka diberikan uji hipotesis sebagai
berikut: ¡Z:g? adalah bukan outlier ¡2:g? adalah outlier ¡Z ditolak jika ����
��
������� dan ¡Z diterima
jika ����
�� + ������� .
PENUTUP
Berdasarkan pembahasan yang
dipaparkan, dapat disimpulkan bahwa metode
statistik Likelihod Displacement (LD) mampu
mendeteksi adanya outlier pada regresi nonlinier
multiplikatif.
Sebelum menerapkan metode LD terlebih
dahulu harus melinierkan model dengan asumsi
bahwa error berdisrtibusi normal kemudian
mengestimasi parameter regresi nonlinier
multiplikatif dengan metode maximum likelihood
estimation. Kemudian menerapkan metode
statistik likelihood displacement, sehingga
diperoleh hasil perumusan ���� likelihood
displacement untuk pengamatan yang diduga
mengandung outlier.
Keakuratan metode LD dalam
mendeteksi adanya outlier ditunjukkan dengan
uji statistik. Yaitu dengan membandingkan MSE
dari LD dengan MSE dari regresi pada umumnya.
Statistik uji yang digunakan adalah . Hipotesis
awal ditolak ketika ����
��
������� , Sehingga
terbukti ���� adalah suatu outlier..
DAFTAR PUSTAKA
[1] Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar
Matematika. Malang : UIN-Malang Press.
[2] Al-Asqolani, I. H. & Al-Imam, A. 2007. Fathul
Baari Penjelas Kitab Shahih Al-Bukhari (12).
Penj. Amiruddin. Jakarta: Pustaka Azzam.
[3] Al-Mahally, I. J. & As-Suyuthi, I. J. 1990.
Terjemah Tafsir Jalalain Berikut Asbaabun
Nuzul. Bandung: Sinar Baru.
Pendeteksian Outlier pada Regresi Nonlinier dengan Metode Statistik Likelihood Displacement (LD)
Jurnal CAUCHY – ISSN: 2086-0382 183
[4] Al-Maraghi, A. M. 1989. Tafsir Al-Maraghi.
Semarang: CV. Thoha Putra.
[5] Amrullah, A. A. 1981. Tafsir Al-Azhar.
Surabaya: Yayasan Latimojong
[6] Draper, N. & Harry, S. 1992. Analsis Regresi
Terapan (edisi kedua). Jakarta: PT. Gramedia
Pustaka Utama.
[7] Ghoffur, A. dkk. 2007. Tafsir Ibnu Katsir (8).
Bogor: Pustaka Imam Syafi’i.
[8] Gujarati, D. N. 2007. Dasar-dasar Ekonometri
jilid 1 edisi ke-3. Jakarta: Penerbit Erlangga.
[9] Hasan, M. I. 2002. Pokok-pokok Materi
Metodologi Penelitian dan Aplikasinya.
Jakarta:Ghalia Indonesia.
[10] Herrhyanto, N. 2007. http: // www.
Herryanto. blog/ Statistika. Matematika. I.
html (diunduh pada tanggal 26 januari
2012).
[11] Makkulau, S. L. & Purhadi, M. M. 2010.
Pendeteksian Outlier dan Penentuan Faktor-
Faktor yang Mempengaruhi Produksi Gula
dan Tetes Tebu dengan Metode Likelihood
Displacement Statistic-Lagrange. Jurnal
Teknik Industri, Volume 12. No. 2 Desember
2010, 95-100.
[12] Mood, M Alexander dkk.1986. Introduction
to the Theory of Statistics. McgrawHill Book
Company.Sembiring, RK. 1995. Analisis
Regresi. Bandung: ITB.
[13] Murray & Larry. 2007. Statistik edisi ke-3.
Jakarta: Erlangga.
[14] Shihab, M. Q. 2003. Tafsir Al-Mishbah Volume
14. Jakarta: Lentera Hati.
[15] Sudjana. 2005. Metoda Statistika. Bandung:
Transito.
[16] Turmudi & Harini, S. 2008. Metode Statistika
Pendekatan Teoritis dan Aplikatif. Malang:
UIN-Press.
[17] Wibisono, Y. 2005. Metode Statistik.
Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
[18] Xu, A. & Steiner. 1998. Outlier Detection
Methods in Multivariate Regression Models.
Journal of Multivariate Analysis, 65, 1998, pp.
195-208.
[19] Yitnosumarto, S. 1990. Dasar-Dasar
Statistika. Jakarta: Rajawali.