16 Farlenkov A. S., Anan’ev M. V. Ural Federal University, 19 Mira street, 620002 Ekaterinburg Fax: +7(343) 375-97-78; Phone: +7(343) 375-44-72; E-mail: rector@urfu.ru Institute of High-Temperature Electrochemistry UBRAS, 20 Akademicheskaya street, 620990 Ekaterinburg Fax: +7(343) 374-59-92; Phone: +7(343) 374-50-89; E-mail: Dir@ihte.uran.ru Modeling of a microstructure and calculation a tortuosity factor for cathodic materials of LSM–YSZ* In this work changes in physico-chemical properties (oxygen interphase ex- change rate and specific resistance) and microstructure parameters (TPB length and tortuosity factor) with time have been analyzed to find the quantitative relationships on the example of composite cathode material LSM-YSZ. 3D mi- crostructure of LSM-YSZ materials has been reconstructed and tortuosity fac- tor has been calculated on the basis of SEM image analysis using the original software. *This work was done under financial support from RFBR grant № 12-03-31847 / 12 and the Federal Program № 2012-1.3.1-12-000-2006-004, number 8713. do i: 1 0. 15 82 6/ ch im te ch .2 01 5. 2. 1. 00 2 Introduction One of the most important areas of the global energy and energy efficiency is the development and study of the solid oxide fuel cells (SOFCs), they belong to class of chemical power sources, in which the chemical energy reagents (fuel and oxidizer) electrochemically converted into electricity. Oxygen from the air is usually in the role of oxidizer and hydro- gen as fuel. SOFC retains the ability to generate electricity as long as reagents come from the outside and the results of their interaction are taken away. A signifi- cant advantage of the SOFCs is its silent operation and a lack of emissions during its operation, but there are several prob- lems associated with the degradation of the materials that make up SOFCs. It is known that the microstructure of func- tional materials is a determining factor in the kinetics of the processes occurring during operation of the SOFC. The source of the information about it is the images obtained by scanning electron micros- copy (SEM). To estimate the parameters of the microstructure, analysis of two- © Farlenkov A. S., Anan’ev M. V., 2015 18 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta dimensional micrographs of sections or the surface of the material is not enough. There are a number of parameters of the microstructure, which can only be calcu- lated from the three-dimensional model: the length of the three-phase (TFG) and interphase (FIG) boundaries; proportion of active TFG, open pores; tortuosity factor, etc. In this paper we present the main directions and results in the analy- sis of microstructure parameters on the example of the composite LSM-YSZ, and comparison of time changes in the phys- icochemical properties of this material (the rate of the interfacial exchange of ox- ygen and resistivity) and the parameters of its microstructure (TFG length and tor- tuosity factor) in order to find quantitative relationships. Results and Discussion The isotopic exchange of oxygen and microstructure of LSM-YSZ. In this paper, tests of two symmetri- cal cells were carried out at T = 850 ° C, PO2 = 10 -2 atm. First symmetrical cell was tested for 300 hours, and the other – for 1000 hours. During long-term tests by isotopic exchange of oxygen [1] the kinet- ics of the interaction of gas-phase oxygen with the test symmetric cells was studied. The parameters of the microstructure of the samples before and after the test was determined by the digital processing of photomicrographs of cross-sections ob- tained with the scanning electron micro- scope Tescan MIRA 3 LMU. Fig. 1 and Fig. 2 show photomicrographs of the cell structure of symmetric LSM-YSZ | YSZ | LSM-YSZ (La0,8Sr0,2MnO3-0,82ZrO2 ∙ 0,08Y2O3) before the test. Since the contrast between the phases of LSM and YSZ in the image is absent (Fig. 2), image analysis method was used [2], in which it was established that the distribution function of particles sizes is different, and these changes are due to coarsening of the phase LSM (Fig. 3). Conducted by 3D-reconstruction of the microstructure of the electrode sym- metric cells (Fig. 4), the dependence of TFG (contact between the LSM | YSZ | O2) from time was obtained. The TFG length was defined as referred to the volume number of connections between voxels (Voxel = volume pixel) of three types, corresponding to the phases LSM, YSZ and pores [4, 5]. It was established that the length of TFG decreased by ap- proximately 15% (Fig. 5), whereas the constant of interfacial oxygen exchange k decreased by about 16% after 1000 hours (Fig. 6). Apparently, the process of interfa- cial oxygen exchange by TFG is suffi- ciently fast compared with the exchange of oxygen on individual components LSM and YSZ. As a result, a decrease in TFG lenght eventually leads to a reduc- tion of interfacial oxygen exchange con- stant of the composite cathode material LSM-YSZ [7]. Conductivity and tortuosity factor of composite materials LSM-YSZ. Tortuosity factor is statistically calcu- lated by modeling the process of random walk of particles by Monte Carlo method. N number of stray particles is generated in the required volume. In one step of the program, each particle performs n walks with a given length L. After wandering the amount of mean-square displacements of all particles of a given ensemble is cal- Modeling of a microstructure and calculation a tortuosity factor for cathodic materials of LSM–YSZ 20 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta Fig. 1. Photomicrographs of the cell LSM–YSZ | YSZ | LSM–YSZ, electrolyte thickness is 140 ± 5 μm, electrode – 41 ± 10 μm Fig. 2 Photomicrographs of the cell LSM– YSZ | YSZ | LSM–YSZ Fig. 3 Differential forms of distribution function of particles′ sizes Fig. 4. 3D-reconstruction of microstructure LSM–YSZ, grey – YSZ, white – LSM, black – pores; 1 μm = 20 voxels Fig. 5. The dependence of relative change of TGF length from time Fig. 6. The dependence of relative change of exchange constant from time Т = 850 °С, Po2 = 10 –2 atm Farlenkov A. S., Anan’ev M. V. 22 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta culated (1). This procedure is repeated a required number of times [3]. Tortuosity factor is defined as the ratio of the mean square displacement of the particle in free space to the mean square displacement of the particles in a porous medium (2), see. Fig. 7. < > = 1 ({ } + { } + { })2 0 2 0 2 0 = 1 r n x x y y z zt i i i i i i i n ⋅∑ − − − , < > = 1 ({ } + { } + { })2 0 2 0 2 0 = 1 r n x x y y z zt i i i i i i i n ⋅∑ − − − , (1) < > = < > < > 2 2 τϕ r r t free t pore (2) It should also be noted that the mag- nitude of the tortuosity factor is different from the tortuosity defined as the ratio of the average pore length to the thickness of the porous material. Unlike integral microstructure characteristics, such as porosity, the proportion of the phases and their average diameter, tortuosity factor value, depending on the environment for which it is considered to be proportional to the physico-chemical quantities. In the case of pores, tortuosity factor is propor- tional to the coefficient of permeability; for oxygen-ion electrolyte - the diffusion coefficient (ionic conductivity); for elec- tronic conductor - the conductivity of the material [5]. For example, the depend- ence of the diffusion coefficient and the mean-square of displacement from the time is described by the expression (3). D d dt rt= 1 6 < >2⋅ (3) In this part of present work it is shown that the resistivity is reduced by one order of magnitute in the example of the com- posite material La0,6Sr0,4MnO3-0,9ZrO2 ∙ 0,1Y2O3 shown that for 1000 hours at T = 800 °C, PO2 = 10-2 atm (fig. 10). During the tests, the samples were taken after 40, 500 and 1000 hours of exposure. On the basis of segmentation results of SEM images (Fig. 8) for the cross sec- tions of the samples before and after test- ing using the developed original software, the tortuosity factors are calculated for both the porous structure and the phases of LSM and YSZ (Fig. 9). A decrease in tortuosity factors phase LSM and YSZ was discovered; it corre- lates with the drop in resistivity of the test composite material (Fig. 9, 10). The mo- notonic dependence could not be found for the porous structure. Image analysis showed that as a result of the exposure diffusive propagation of LSM and YSZ phases occurs, which leads to the enlarge- ment of particles at constant linear dimen- sions of the sample. Process of diffusion growth of YSZ phase goes faster than that of LSM, apparently due to the fact that YSZ was initially taken in the form of nanopowder (Fig. 8). Formation of more coherent phase structure comprised in the composite material is the cause of resis- tivity (Fig. 10). Prolonged exposure under experimen- tal conditions leads to improved contact between the grains of the components that make up the composite. Quantitative parameter characterizing the process of diffusive propagation of LSM and YSZ phase is the tortuosity factor. Conclusions 3D-reconstruction of the microstruc- ture based on the analysis and SEM imag- ing was carried out, lengths of TFG and FIG were calculated, proportion of active TFG and open pores was found in this work. Modeling of a microstructure and calculation a tortuosity factor for cathodic materials of LSM–YSZ 24 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta For symmetric cells (La0,8Sr0,2MnO3- 0,82ZrO2 ∙ 0,08Y2O3) the relation- ship between the constant interfacial exchange of oxygen and length TFG was obtained. For a composite material (La0,6Sr0,4MnO3-0,9ZrO2 ∙ 0,1Y2O3) a correlation between the tortuosity factors of LSM and YSZ phases and their resis- tivity was found. The approach used in this study may be useful in the study of electrochemical Fig. 7. Evolution of tortuosity factor data in dependence from algorithm steps LSM–YSZ before tests LSM–YSZ after 1000 hours exposure with T = 800 °С and PO2 = 10 –2 atm Fig 8. The result of micrographs processing of the cross-section of the composite material LSM–YSZ, SEM (Grey – YSZ, white – LSM, black – pores) Fig. 9. The dependence of the tortuosity factor of cathode material LSM–YSZ from time, Т = 800 °C, PO2 = 10 –2 atm Fig. 10. The dependence of resistivity of the composite material LSM–YSZ from time, T = 800 °C, PO2 = 10 –2 atm Farlenkov A. S., Anan’ev M. V. 26 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta degradation of materials, where the direct changes in the physical and chemical pa- rameters are difficult, but it is possible to analyze the microstructure parameters. It is necessary for selection of the optimum conditions for the formation and opera- tion of electrochemical devices such as: SOFC, electrochemical reformer, electro- lysers, sensors etc. Acknowledgements The authors thank Porotnikova NM, Eremin VA, Medvedev DA, and Pankra- tov AA for prodviding us with experimen- tal data, based on which the modeling was carried out. 1. Porotnikova N. M. Isotopic exchange of oxygen and microstructure of materials on the basis of manganite of lanthanum-strontium and zirconium-itrium electrolyte. Ekaterinburg: 2013. 153 p. [Google Scholar]. 2. Anan'ev M., Cavrilyuk A., Bronin D., Steinberger-Wilckens R., Mertens J. SOFC degradation quantification using image analysis. Proceedings of 15th European Fuel Cell Forum. Chapter 13 – Section B04. Lucerne, Switzerland: 28 June –1 July 2011:21–34. [Google Scholar]. 3. Anan'ev M., Gavrilyuk A. Proceedings of 42-aya All Russian molodezhnaya school-conference «Modern problems of mathematics». Ekaterinburg, Russia. 30 January – 6 February 2011:276–279. [Google Scholar]. 4. Janardhanan V., Heuveline V., Deutschmann O. Three-phase bound an length in solid oxide fuel cells: A Mathematical model. Journal of Power Sources 2008;178:368- 372. doi: 10.1016/j.jpowsour.2007.11.08. [Google Scholar]. 5. Iwai H., Shikazono N., Matsui T., Teshima Hb., Kishimoto M., Kishida R., Hayashi D., Matsuzaki K., Kanno D., Saito M., Muroyama H., Eguchi K., Kasagi N., Yoshida H. Quantification of SOFC anode microstructure based on dual beam FIB- SEM technique. Journal of Power Sources. 2010 ; 195:955–961. doi: 10.1016/j. jpowsour.2009.09.005. [Google Scholar]. 6. Faes A., etc. // Fuel Cells. 2009; 6:841−851. 7. Faes A., Hessler-Wyser A., Presvytes D., Vayenas C.G., Vanherle J. Nickel-zirconia anode degradation and triple phase boundary quantification from microstructural analysis. Fuel Cells. 2009 ; 9(6):841–851. doi: 10.1002/fuce.200800147. [Google Scholar]. 8. Farlenkov A. S., Anan'ev M. V. Probliemy Teoreticheskoi I Eksperimental'noi Khimii, XXIII Rossiiskaya Molodiezhnaya Nauchnaya Konferentsiya, Ekaterinburg, Russia, 23–26 April 2013:311–312. [Google Scholar]. Modeling of a microstructure and calculation a tortuosity factor for cathodic materials of LSM–YSZ 17 А. С. Фарленков 1, 2, М. В. Ананьев 1, 2 1 Уральский федеральный университет, 620002, Екатеринбург, Мира, 19. Факс: (343) 375-97-78; тел.: (343) 375-44-72; E-mail: rector@urfu.ru 2 Институт высокотемпературной электрохимии УрО РАН, 620990, Екатеринбург, Академическая, 20. Факс: (343) 374-59-92; тел.: (343) 374-50-89; E-mail: Dir@ihte.uran.ru Моделирование микроструктуры и расчет фактора извилистости для катодных материалов LSM–YSZ* В работе на примере композиционного материала LSM–YSZ сравнивается изменение физико-химических свойств (скорости межфазного обмена ки- слорода и удельного сопротивления) и параметров микроструктуры (про- тяженности ТФГ и фактора извилистости) от времени с целью нахождения количественных взаимосвязей. Для электродных материалов LSM–YSZ про- ведена 3D-реконструкция микроструктуры и рассчитан фактор извилистости на основе результата анализа изображений РЭМ с использованием ориги- нального программного обеспечения. *Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 12-03-31847/12 и ФЦП № 2012- 1.3.1-12-000-2006-004, соглашение № 8713. Введение Одним из важнейших направ- лений развития мировой энергетики и энергосбережения является разработка и изучение твердооксидных топлив- ных элементов (ТОТЭ), они относятся к классу химических источников тока, в которых химическая энергия реаген- тов (топлива и окислителя) электро- химическим способом преобразуется в электрическую. В роли окислителя обычно выступает кислород из возду- ха, в роли топлива – водород. ТОТЭ сохраняет способность генерировать электроэнергию все время, пока в него извне поступают реагенты, и отводят- ся продукты их взаимодействия. Существенным преимуществом ТОТЭ является бесшумность работы и отстутствие вредных выбросов при их функционировании, но существует ряд проблем, связанных с деградацией материалов, из которых состоит ТОТЭ. Известно, что микроструктура функциональных материалов являет- У Д К 6 61 .7 41 +6 61 .7 23 -1 3 © Фарленков А. С., Ананьев М. В., 2015 19 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta ся определяющим фактором кинетики процессов, протекающих при работе ТОТЭ. Источником информации о ней являются изображения, полученные методом растровой электронной ми- кроскопии (РЭМ). Для оценки параме- тров микроструктуры, анализа двумер- ных микрофотографий сечений или поверхности исследуемого материала бывает недостаточно. Существует ряд параметров микроструктуры, которые можно рассчитать только из трехмер- ной модели: протяженность трехфаз- ных (ТФГ) и межфазных (МФГ) гра- ниц; доля активных ТФГ, открытых пор; фактор извилистости и т. п. В настоящей работе приводятся ос- новные направления и результаты в об- ласти анализа параметров микрострук- туры на примере композиционного материала LSM–YSZ, а также сравни- вается изменение физико-химических свойств этого материала (скорости меж- фазного обмена кислорода и удельно- го сопротивления) и параметров его микроструктуры (протяженности ТФГ и фактора извилистости) от времени с целью нахождения количественных взаимосвязей. Результаты и обсуждение Изотопный обмен кислорода и ми- кроструктура LSM–YSZ. В работе проводили испытания при T = 850 °С, PО2 = 10 –2 атм двух симметричных ячеек. Первую симметричеую ячейку испытывали в течение 300 часов, дру- гую – в течение 1000 часов. В процессе длительных испытаний методом изо- топного обмена кислорода [1] иссле- довали кинетику взаимодействия ки- слорода газовой фазы с исследуемыми симметричными ячейками. Параметры микроструктуры образ- цов до и после испытаний определя- ли с помощью цифровой обработки микрофотографий поперечных шли- фов, полученных с помощью растро- вого электронного микроскопа Tescan MIRA 3 LMU. На рис. 1 и на рис. 2 приведены микрофотографии струк- туры симметричной ячейки LSM– YSZ | YSZ | LSM–YSZ (La0,8Sr0,2MnO3– 0,82ZrO2 ∙ 0,08Y2O3) до испытаний. Поскольку контраст между фазами LSM и YSZ на изображении отсутству- ет (рис. 2), то был применен метод ана- лиза изображений [2], в ходе которого установлено, что функции распределе- ния размеров зерен частиц различны, и эти изменения связаны с огрублением фазы LSM (рис. 3). По проведенной 3D-реконструкции микроструктуры электродов симметричных ячеек (рис. 4), получена зависимость ТФГ (кон- такт между LSM | YSZ | O2) от времени. Протяженность ТФГ определяли как отнесенное к объему количество соединений между вокселями (от англ. voxel = volume pixel) трех типов, соот- ветствующих фазам LSM, YSZ и порам [4, 5]. Установлено, что протяженность ТФГ уменьшилась примерно на 15 % (рис. 5), тогда как константа межфаз- ного обмена кислорода k уменьшилась примерно на 16 % в течение 1000 часов (рис. 6). По-видимому, процесс межфазного обмена кислорода на ТФГ протекает достаточно быстро по сравнению с об- меном кислорода на индивидуальных компонентах LSM и YSZ. В результа- те уменьшение протяженности ТФГ Моделирование микроструктуры и расчет фактора извилистости для катодных материалов LSM–YSZ 21 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta Рис. 1. Микрофотография сечения LSM–YSZ | YSZ | LSM–YSZ, толщина электролита 140 ± 5 мкм, электрода – 41 ± 10 мкм Рис. 6. Зависимость относительного изменения константы обмена от времени, Т = 850 °С, PО2 = 10 –2 атм Рис. 5. Зависимость относительного изменения протяженности трехфазной границы от времени Рис. 4. 3D-реконструкция микроструктуры LSM–YSZ, серый – YSZ, белый – LSM, черный – поры; 1 мкм = 20 вокселей Рис. 3. Дифференциальные формы функций распределения размеров зерен фаз Рис. 2. Микрофотографии сечения ячейки LSM–YSZ | YSZ | LSM–YSZ Фарленков А. С., Ананьев М. В. 23 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta со временем приводит к уменьшению константы межфазного обмена кисло- рода композиционных катодных мате- риалов LSM–YSZ [7]. Электропроводность и фактор из- вилистости композиционных матери- алов LSM–YSZ. Фактор извилистости статистически рассчитывается с помо- щью моделирования процесса случай- ного блуждания частиц методом Мон- те-Карло. В интересующем объеме генерируются блуждающие частицы в количестве N штук. За один шаг рабо- ты программы каждая частица совер- шает n блужданий с заданной длиной блуждания L. После этого рассчитыва- ется сумма среднеквадратичных сме- щений всех частиц заданного ансам- бля (1). Данная процедура повторяется требуемое количество раз [3]. Фактор извилистости определяется как отно- шение среднеквадратичного смещения частиц в свободном пространстве к среднеквадратичному смещению ча- стиц в пористой среде (2) (рис. 7). < > = 1 ({ } + { } + { })2 0 2 0 2 0 = 1 r n x x y y z zt i i i i i i i n ⋅∑ − − − , < > = 1 ({ } + { } + { })2 0 2 0 2 0 = 1 r n x x y y z zt i i i i i i i n ⋅∑ − − − , (1) < > = < > < > 2 2 τϕ r r t free t pore . (2) Здесь стоит также отметить, что ве- личина фактора извилистости отлича- ется от извилистости, которая опреде- ляется как отношение средней длины пор к толщине пористого материала. В отличие от интегральных характе- ристик микроструктуры, таких как по- ристость, доля фаз и их средний диа- метр, величина фактора извилистости, в зависимости от того, для какой среды она считается, может быть пропорци- ональна физико-химическим величи- нам. В случае пор фактор извилистости пропорционален коэффициенту газо- проницаемости; для кислород-ионно- го электролита – коэффициенту диф- фузии (ионной проводимости); для электронного проводника – удельной электропроводности материала [5]. К примеру, зависимость коэффициента диффузии и среднеквадратичного сме- щения от времени описывается выра- жением (3). D d dt rt= 1 6 < >2⋅ . (3) В данной части работы на при- мере композиционного материала La0,6Sr0,4MnO3–0,9ZrO2 ∙ 0,1Y2O3 по- казано, что в течение 1000 часов при T = 800 °С, PО2 = 10 –2 атм удельное со- противление уменьшается в пределах порядка (рис. 10). Во время испытаний извлекались образцы-свидетели после 40, 500 и 1000 часов выдержки. На основе результатов сегментации изображений РЭМ (рис. 8) для сечений образцов до и после испытаний с по- мощью разработанного оригинального программного обеспечения рассчита- ны факторы извилистости, как для по- ристой структуры, так и для фаз LSM и YSZ (рис. 9). Обнаружено уменьшение факто- ров извилистости фаз LSM и YSZ, что коррелирует с падением удельно- го сопротивления исследуемого ком- позиционного материала (рис. 9, 10). Для пористой структуры монотонной зависимости обнаружить не удалось. Анализ изображений показал, что в результате выдержки происходит диф- Моделирование микроструктуры и расчет фактора извилистости для катодных материалов LSM–YSZ 25 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta фузионное распространение фаз LSM и YSZ, приводящее к укрупнению ча- стиц при неизменных линейных раз- мерах самого образца. Процесс диф- фузионного роста фазы YSZ протекает быстрее по сравнению с LSM, по-види- мому, из-за того, что изначально YSZ взят в форме нанопорошка (рис. 8). Образование более связной структуры фаз, входящих в состав композицион- ного материала, служит причиной сни- жения сопротивления (рис. 10). Рис. 7. Эволюция значений фактора извилистости в зависимости от шага работы алгоритма LSM–YSZ до испытаний LSM–YSZ после выдержки в течение 1000 часов при T = 800 °С и PО2 = 10 –2 атм Рис. 8. Результат обработки микрофотографии сечения композиционного материала LSM–YSZ, SEM (серый цвет – YSZ, белый цвет – LSM, черный цвет – поры) Рис. 9. Зависимость фактора извилистости катодного материала LSM–YSZ от времени, Т = 800 °C, PО2 = 10 –2 атм Рис. 10. Зависимость удельного сопротивления композиционного материала LSM–YSZ от времени, T = 800 °C, PО2 = 10 –2 атм Фарленков А. С., Ананьев М. В. 27 № 1 | 2015 Chimica Techno Acta Длительная выдержка в условиях эксперимента приводит к улучшению контакта между зернами компонентов, входящих в состав композиционного материала. Количественным параме- тром, характеризующим процесс диф- фузного распростронения фаз LSM и YSZ, является фактор извилистости. Выводы В ходе работы проведена 3D-ре- конструкция микроструктуры на осно- ве анализа и обработки изображений РЭМ, рассчитана протяженность ТФГ и МФГ, определены доли активных ТФГ и открытых пор. Для симметричных ячеек (La0,8Sr0,2MnO3 – 0,82ZrO2 ∙ 0,08Y2O3) получена взаимосвязь между констан- той межфазного обмена кислорода и протяженностью ТФГ. Для компози- ционного материала (La0,6Sr0,4MnO3 – 0,9ZrO2 ∙ 0,1Y2O3) найдена корреляция между факторами извилистости фаз LSM и YSZ и удельным сопротивле- нием. Подход, использованный в данной работе, может быть полезным при исследовании процессов деградации электрохимических материалов, где прямое изменение физико-химических параметров затруднено, но возможен анализ параметров микроструктуры. Это необходимо для выбора оптималь- ных условий формирования и эксплу- атации электрохимических устройств, таких как ТОТЭ, электрохимические риформеры, электролизеры, сенсоры и др. Благодарности Авторы выражают благодарность Поротниковой Н. М., Ерёмину В. А., Медведеву Д. А. и Панкратову А. А. за предоставление экспериментальных данных, на основе которых проводи- лось моделирование. 1. Поротникова Н. М. // Изотопный обмен кислорода и микроструктуры материа- лов на основе манганитов лантана-стронция и цирконий-итриевого электроли- та. Екатеринбург, 2013. 153 с. 2. Ananev M. V., Gavrilyuk A. L., Bronin D. I., Steinberger-Wilckens R., Mertens J. SOFC degradation quantification using image analysis // Proceedings of 15th European Fuel Cell Forum. Chapter 13 – Section B04. Lucerne, Switzerland, 28 June – 1 July 2011. P. 21–34. 3. Ананьев М. В., Гаврилюк А. Л. // 42-я Всероссийская молодежная школа-конфе- ренция «Современные проблемы математики». Екатеринбург, Россия, 30 янва- ря – 6 февраля 2011. С. 276−279. 4. Janardhanan V. M., etc. // Journal of PowerSources. 2008. № 178. P. 368−372. 5. Iwai H. etc. // Journal of Power Sources. 2010. № 195. P. 955−961. 6. Faes A. etc. // Fuel Cells. 2009. № 6. P. 841−851. 7. Фарленков А. С., Ананьев М. В. // Проблемы теоретической и эксперименталь- ной химии / XXIII Российская молодежная научная конференция. Екатерин- бург, Россия, 23–26 апреля 2013. С. 311−312. Моделирование микроструктуры и расчет фактора извилистости для катодных материалов LSM–YSZ 1094-2572-1-PB 1094-2573-1-PB