Microsoft Word - 17_Alexander Agung S.G._Hubungan deret bertingka - Set.doc 154 ComTech Vol.2 No. 1 Juni 2011: 154-159 HUBUNGAN DERET BERTINGKAT BERDASARKAN BILANGAN EULERIAN DENGAN OPERATOR BEDA Alexander A. S. Gunawan Jurusan Matematika dan Statistika, Fakultas Sains dan Teknologi, Binus University Jl. KH. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480. aagung@binus.edu ABSTRACT Rank series defined as: … m n j j j j i aa n i m m ii ∑ ∑∑∑ == = 2 1 1 11 is a generalization of the fixed rank series (the sum of powers), in which its closed solution has been found empirically by Jacob Bernoulli in 1731. This paper will explore the relationship between rank series and differential operator. To see this relationship, examples for the case m = 1.2 and α = 1.2. are provided. Keywords: rank series, fixed rank series, differential operator. ABSTRAK Deret bertingkat yang didefinisikan sebagai: … m n j j j j i aa n i m m ii ∑ ∑∑∑ == = 2 1 1 11 merupakan generalisasi dari Deret Pangkat Tetap (the sum of powers), yang solusi tertutupnya telah ditemukan secara empiris oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1731. Makalah ini mencari hubungan antara deret bertingkat dengan operator beda. Untuk melihat hubungan ini, diberikan contoh-contoh untuk kasus m=1,2 dan α=1,2. Kata kunci: deret bertingkat, deret pangkat tetap , operator beda Hubungan Deret Bertingkat… (Alexander A. S. Gunawan) 155 PENDAHULUAN Permasalahan mencari solusi tertutup dari deret pangkat tetap a n i inS ∑ = = 1 )(α sudah mulai dicari sejak 1631 oleh Johan Faulhaber (1580-1635). Solusi deret pangkat tetap di atas dapat dicari dengan Fungsi Pembangkit (Gunawan, 2009). Sedangkan solusi tertutup dari Deret bertingkat (Goenawan, 2003), yang merupakan perumuman dari deret pangkat tetap, yang didefinisikan sebagai berikut: … … m n j j j j i aa n i m aaaaaa n j j i aa n i aaaa t i a n i m ii n ii nii ∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑ == == == = +++++++= = ++++== 2 1 1 11 11 2 11 1 )21()21(1 321β Untuk mencari solusi tertutup tersebut, digunakan fungsi pembangkit (generating function) dari deret bertingkat di atas. Sebelumnya Deret bertingkat tersebut perlu diubah ke dalam bentuk persamaan beda (difference equation). METODE Persamaan Beda Misalkan: )( 1 nSi ma n i m α=∑ = dan )1( 1 1 −=∑ − = nSi ma n i m α maka deret bertingkat dalam bentuk persamaan beda (difference equation) dapat ditulis sebagai berikut: )()1()( 1 1 nSnSnSi mmma n i m − = +−==∑ ααα Fungsi Pembangkit Untuk memecahkannya Persamaan Beda di atas dengan Fungsi Pembangkit (South, 1993), didefinisikan Fungsi Pembangkit Gm(x) (Wilf, 1994) terlebih dahulu sebagai berikut: ∑ ∞ = = 0 )()( i imm xiSxG α (1) dan kemudian mencari solusi persamaan beda )()1()( 1 nSnSnS mmm −+−= ααα dengan fungsi pembangkit sebagai berikut: ∑∑∑ ∞ = − ∞ = ∞ = +−= 0 1 00 )()1()( i im i imi i m xiSxiSxiS ααα 156 ComTech Vol.2 No. 1 Juni 2011: 154-159 ∑ ∑∑ ∞ = − ∞ = − ∞ = + −+= 0 1 0 1 0 )( )1()0()( i im i immi i m xiS xiSxSxiS α ααα dengan 0)0( =mS α Dengan menggunakan definisi Fungsi Pembangkit (1) di atas, diperoleh )()()( 1 xGxxGxG mmm −+= Selanjutnya diketahui bahwa di antara Fungsi Pembangkit dari Deret bertingkat mempunyai hubungan sebagai berikut: ( ) )(1)( 1 xGxxG mm −=− sehingga untuk menurunkan Fungsi Pembangkit dari Deret bertingkat yang lebih tinggi dapat dengan mudah dilakukan denan Fungsi Pembangkit orde 1 sebagai berikut: ( ) )(1)( 11 xGxxG mm =− − dengan ∑ ∞ = = 0 1 )()( i ixiSxG α dan i i a xixG ∑ ∞ = = 0 0 )( Maka dihasilkan Fungsi Pembangkit dari Deret bertingkat sebagai berikut: ( )m i i a m x xi xG − = ∑ ∞ = 1 )( 0 (2) Bentuk Tanpa Deret Tak Hingga dari Fungsi Pembangkit Perhatikan dalam hasil (2) di atas, pada bagian numerator terdapat deret i i a xi∑ ∞ =0 dan untuk mendapatkan bentuk Fungsi Pembangkit dari deret tak hingga ini perlu memperhatikan dulu hasil ekspansi Taylor dari deret i i xi∑ ∞ = 0 0 , yaitu: i i xixxx x ∑ ∞ = =++++= − 0 0321 1 1 … Selanjutnya, untuk mendapatkan bentuk Fungsi Pembangkit dari deret i i a xi∑ ∞ =0 , dapat dikenakan operator turunan dx d dan kemudian mengalikan hasilnya dengan variable x pada fungsi x−1 1 secara berulang-ulang, sehingga didapat: 1 1 1 1 1 0 )1( + − − ∞ = − +++ =∑ α α α α α x xbxbxb xi i i a … (3) dengan konstanta bi dalam persamaan (3) dapat dilihat dalam Tabel 1 untuk nilai i=1 sampai dengan i=10. Bilangan Eulerian Dalam Kombinatorik, bilangan Eulerian A (n, m), adalah jumlah permutasi dari angka 1 sampai n dalam m elemen yang lebih besar dari elemen sebelumnya (permutasi dengan m ‘naik’). Hubungan Deret Bertingkat… (Alexander A. S. Gunawan) 157 Untuk suatu nilai n>0, indeks m dalam A(n, m) dapat mengambil nilai dari 0 sampai n-1. Untuk n tertentu terdapat satu permutasi yang memiliki 0 ‘naik’; yaitu permutasi turun (n, n-1, n-2, ..., 1). Ada juga satu permutasi yang telah n-1 ‘naik’; yaitu permutasi naik (1, 2, 3, ..., n). Oleh karena itu A (n, 0) dan A (n, n-1) sama dengan 1 untuk semua nilai n. Untuk nilai n yang lain, A (n, m) dapat dihitung dengan menggunakan rumus rekursi, yaitu: A(n, m) = (n-m) A(n-1, m-1) + (m+1) A(n-1, m) Ternyata bilangan Eulerian ini, mempunyai hubungan dengan Fungsi Pembangkit pada persamaan (3) di atas. Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut: 1 1 0 1 0 )1( ),( + − = + ∞ = − = ∑ ∑ α α α x xiA xi i i i i a (4) dengan A(α,i) adalah bilangan Eulerian. Tabel bilangan Eulerian dapat dilihat pada persamaan (3). Mendapatkan Solusi Tertutup Selanjutnya untuk mencari solusi tertutup dari deret bertingkat, perlu dicari konstanta dari suku ke xn pada Fungsi Pembangkit dari deret bertingkat. Dengan menggunakan formula Binomial Umum, konstanta dari suku ke xn; (5) Contoh solusi dari Deret bertingkat secara rinci dapat dilihat di persamaan (3). Operator Beda Δ Jika suatu barisan S={sn}, operator beda didefinisikan (Kunin, n.d.) sebagai ΔS={sn+1 - sn}. Sebagai ilustrasi dapat dilihat Tabel 1 dibawah ini. Table 1 Ilustrasi Barisan S ΔS Δ2S … s0 s1 s1 – s0 s2 s2 – s1 s2 – 2s1+s0 s3 s3 – s2 s3 – 2s2+s1 … HASIL DAN PEMBAHASAN Contoh Kasus kx −− )1(⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − −+ 1 1 k nk 158 ComTech Vol.2 No. 1 Juni 2011: 154-159 I. Untuk α=1 dan m=1 didapat: ( ) !2 1 )( 1 11 1 nn inS n i + == ∑ = Jika hasil ini kita kenakan operator beda, didapat ( ) ( )1)2( 2 )1( 2 )1( 2 )1)(11( )(11 +=−+ + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +− +++ =Δ nnn n nnnn nS Hasilnya adalah barisan S={i1}, i=1,…,n+1 II. Untuk α=1 dan m=2, didapat: 6 )1()1( 12 2 )( 1 122 1 −+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + == ∑ = nnnn inS n i Jika hasil ini kita kenakan operator beda, didapat 2 )1( 6 )1()1( 6 )()1()2( )(21 nn nnnnnn nS + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −+ − ++ =Δ Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas, didapat )1()(21 2 +=Δ nnS . Hasilnya juga barisan S={i1}, i=1,…,n+1 III. Untuk α=2 dan m=1, didapat ( )( ) 6 112 )( 1 21 2 nnn inS n i ++ == ∑ = Jika hasil ini kita kenakan operator beda, didapat 6 )45()1( 6 )1)(12( 6 )1)(2)(22( )(12 ++ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ++ − +++ =Δ nn nnnnnn nS Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat: )1( 6 )45()1( 6 )55()2( )(12 2 += ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ++ − ++ =Δ n nnnn nS Hasilnya juga barisan S={i1}, i=1,…,n+1. IV. Untuk α=2 dan m=2, didapat 12 )1)(2( 22 12 22 2 )( 2 1 222 2 nnn nn inS n i ++ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ++ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + == ∑ = Jika hasil ini kita kenakan operator beda, didapat 6 )32)(1()2( )(22 +++ =Δ nnn nS Hubungan Deret Bertingkat… (Alexander A. S. Gunawan) 159 Lakukan sekali lagi operasi beda pada hasil di atas didapat: 4 )53)(2( )(22 2 ++=Δ nn nS Ulangi lagi operasi beda pada hasil di atas didapat )2()(22 3 +=Δ nnS Hasilnya juga barisan S={i1}, i=1,…,n+2 PENUTUP Dengan mempelajari berbagai kasus, dapat dilihat hubungan yang erat antara deret bertingkat dengan operator beda berulang. Di mana jika dikenakan operator beda sebanyak (m+α-1), akan menghasilkan barisan bilangan cacah. Jika diamati dengan seksama, didapat analogi antara deret bertingkat dan Opeasi Beda dengan operasi pengintegralan dan operasi diferensial, dimana deret bertingkat analog dengan integral berganda sedangkan Operasi Beda berulang analog dengan operasi diferensial berulang. DAFTAR PUSTAKA Goenawan, Stephanus Ivan. (2003). Deret Bertingkat Berderajat Satu Dalam Teori Keteraturan. Metris: Jurnal Mesin, Elektro, Industri dan Sains, 4 (01). Gunawan, Alexander. (2009). Solusi Deret Pangkat Tetap dengan Fungsi Pembangkit, (jurnal tidak diterbitkan). Gunawan, Alexander. (2010). Solusi Deret Bertingkat Dengan Fungsi Pembangkit Dan Bilangan Eulerian. Dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika 2010 UI – UNPAD, Jakarta. Kunin, George. (n.d.) The Finite Difference Calculus and Application to the Interpolation odd Sequences. MIT Undergraduate Journal of Mathematics. South, Katherine Ann. (1993). Solving Recurrence with Generating Functions: A Tutorial. Diakses dari http://www.google.co.id/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBQQFjAA&url=http%3A%2 F%2Fwww.cs.umbc.edu%2Fpub%2FREPORTS%2Fcs-93- 05.ps.Z&rct=j&q=South%2C%20Katherine%20Ann.%20(1993).%20Solving%20Recurrence %20with%20Generating%20Function.%20University%20of%20Maryland%20Baltimore%20 County%2C%20Baltimore.&ei=WvsoTo6YGsvprQeLn_XHBg&usg=AFQjCNFATMRswLVcn S813scHlvao4T5QTA&sig2=tO0bwfTeEh17Zjkd-pcDHA&cad=rja. Baltimore: University of Maryland Baltimore County. Wilf, Herbert. (1994). Generatingfunctionology. New York: Academic Press. << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS /CHT /DAN /DEU /ESP /FRA /ITA /JPN /KOR /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken voor kwaliteitsafdrukken op desktopprinters en proofers. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR /PTB /SUO /SVE /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /NoConversion /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /NA /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice