Microsoft Word - 2189 OPella Optimization in Academia: Minimizing Cost of Faculty Budget on Term‐by‐Term Basis  Justin O’Pella  Mathematics    Introduction  The focus of this report is to minimize the adjunct faculty budget for a graduate program  at a small, private university on a term‐by‐term basis while providing high quality instruction to  the  students.  The  adjunct  faculty  budget  in  this  paper  consists  of  two  components:  adjunct  faculty stipends and overload payments to full‐time faculty if he/she is teaching a course past the  load stated in the full‐time faculty’s contract with the university. For example, the university in  the  report  is  a  teaching  university where most  full‐time  faculty  teach  4  courses  per  term.  Teaching these 4 courses per term does not affect the adjunct budget because it is part of the  faculty’s yearly salary. However, full‐time faculty may have the opportunity to teach an additional  course and receive overload compensation. This overload compensation would come out of the  adjunct faculty budget. This paper develops a mathematical model for the scheduling process  and uses integer programming to find the optimal solution.    The course scheduling process  for  the university  is an  iterative process  that begins by  using the course offerings in the term from the last academic year as a template for the course  offerings in the term for the next academic year. For example, the 2017 spring semester schedule  is not built  from scratch but uses the 2016 spring semester schedule as a template. Although  convenient,  this method often  leads  to minimal changes and can  result  in program directors  following patterns over  time  that may not be optimal  in a complete  sense. Rather  than only  making changes to the schedule if a new adjunct faculty member is hired when another faculty  member  leaves  the  university  or  if  a  new  course  is  offered,  this  report  provides  a  strategic  approach by developing a model  to assign  faculty on a  term‐by‐term basis  to deliver optimal  instruction while minimizing cost to the adjunct faculty budget. Once the model is put in place,  there is opportunity to perform sensitivity analysis on adjustments of the parameters to analyze  changes in the optimal solution. Lastly, the model can be used as a benchmark for how effective  the current scheduling process is or as a guide to a program director new to the course scheduling  process.      This  report  includes a  total of 20  instructors; 14 adjuncts and 6  full‐time  faculty. The  courses  in  the  report  are  for  the  2017  spring  semester.  The  program  director  has  already  determined the courses on the schedule. There are 13 different courses and a total of 16 sections  (3 of the courses have 2 sections). The courses cover a wide range of topics, ranging from areas  in business to technical design. The optimal value of the objective function will be the minimal  value in USD needed to teach courses subject to the following constraints:   An  adjunct  faculty  cannot  teach more  than 9.75 work  load units  (WLU). Each  course  carries  a  number  of  work‐load  units.  The  combination  of  courses  an  adjunct  faculty  is assigned to must be  less than 9.75 WLU.   This  is a university  standard set to ensure all adjunct faculty remain part‐time employees.   Full‐time  faculty are permitted  to  teach only one overload. A  full‐time  faculty  member must also be willing  to  teach  the course as an overload before being  assigned to teach the course as an overload.   Any assignment of a full‐time faculty member to a course, that is not an overload  assignment, must fit within the load of a full‐time faculty member as determined  per the full‐time faculty member’s contract with the university.   There must be one and only one faculty assigned to each course. There are no  opportunities for team teaching.   Any faculty member assigned to a course must be eligible to teach the course. For  example, a faculty member may be qualified to teach a marketing course but not  a supply chain course or vice versa.   Any faculty member assigned to a course must be eligible to teach the course and  be able to do so effectively. Faculty reviews completed by students will be used  to make sure the quality of teaching on average in the program meets a certain  standard.  Method    The  report utilizes  integer  linear programming  to achieve an optimal  solution  for  the  problem.  Integer  linear  programming  is  derived  from  linear  programming,  which  uses  a  formulated mathematical model  to  reach an optimal goal. The  requirement of binary  integer  values is the only way this problem deviates from a linear programming formulation (Hillier and  Lieberman 474). In this case, the optimal solution is to minimize the adjunct faculty budget while  providing high quality  instruction to students. Lingo software will be used to find the solution.  Although  it would be  time  consuming,  the binary  integer programming  “branch  and bound”  algorithm is a way to solve the problem by hand. Branch‐and‐bound is an effective enumeration  procedure especially known for application to integer linear program problems.  A problem with  a very large, finite number of feasible solutions is divided into smaller and smaller subproblems  that can be more easily solved (Hillier and Lieberman 502).    Assumptions    The  model  satisfies  the  mathematical  assumptions  of  certainty,  additivity  and  proportionality but not divisibility since the decision variables can only take on values of 0 or 1.    Table 1. Mathematical Assumptions Assumption  Definition  Assumption Satisfied  Certainty  Values of parameters are known constants  Satisfied  Additivity  Every function in model is the sum of individual  contributions of respective activities  Satisfied  Proportionality  Contribution of each activity to the objective  function is proportional to the level of activity (no  exponents greater than the power of one in the  model)  Satisfied  Divisibility  Decision variables can take on any value, not  restricted to integers  Not Satisfied; binary integers  utilized in model  (Adapted from Hillier and Lieberman 38)   Below are the assumptions in the context of the report:   The program director has already prepared the course offerings for the 2017 spring term.  It  is assumed  the program director prepared  the optimal  selection of  courses  for  the  schedule    Faculty  are  determined  eligible  to  teach  a  course  based  on  his/her  professional  background. For example, a professor may be qualified to teach a prototyping pattern‐ making course but not a supply chain course.    Stipend rates are fixed for each instructor.   The course selection for the semester set by the program director does not change and  the courses will have enough enrollment to run in the spring term.   The maximum number of course a full‐time faculty member can teach in the program at  no  cost  because  of  his/her  contract with  the  university  is  collected  by  reviewing  the  complete 2017 spring schedule already available at the university. The project assumes  the schedule is already prepared and all other faculty assignments are known.   The model assumes that adjunct faculty are not teaching in any other program on campus  so the only work load measures for the adjunct faculty are the assignments in the program  in this report.   All faculty are assumed able to teach at the day/time whenever the courses are offered  on the schedule   Full‐time faculty assigned to a course are not included in the objective function since the  faculty teach these courses as part of their university contract and these funds are part of  the yearly salary  for  the  faculty, which  is not part of  the term‐by‐term adjunct  faculty  budget.  The  objective  function  seeks  to minimize  this  term‐by‐term  adjunct  faculty  budget.   The term‐by‐term adjunct faculty budget includes adjunct stipends and overload stipends  only.    The quality rating of an instructor is fixed and does not change with the amount of courses  an instructor is assigned   Only  one  faculty  can  teach  a  course;  there  are  no  co‐teaching  or  team‐teaching  assignments.    Model Formulation    Table 2 contains description of the variables used in the report.    Table 2. Description of variables Variable  Description   Type  i  Course   Index variable  j  Section of course i   Index variable  k  Instructor   Index variable  C  Cost in USD to teach courses for the program in the  2017 spring term  Objective value  f_kij  Full‐time professor, teaching course as part of full‐ time position of employment, f=1 if k is teaching  section j of i, 0 otherwise  Decision variable  a_kij  Adjunct instructor, a=1 if k is teaching section j of i, 0  otherwise  Decision variable  o_kij  Overload course assignment for full‐time professor,  o=1 if k is teaching section j of i as overload, 0  otherwise  Decision Variable  s_k  Stipend for instructor in USD per credit. If instructor is  an adjunct, the instructor is paid a stipend. If full time  faculty, the instructor is due stipend only if  assignment is an overload to the full‐time faculty’s  load. Full‐time faculty assignment within load are cost  of $0 since they are salaried employees.   Parameter  w_k  Full‐time faculty willingness to teach a course as  overload assignment. w=1 if faculty willing, 0  otherwise.  Parameter  e_ki  Eligibility for faculty k to teach course i, where e=1 if  faculty k is capable of teaching course i, 0 otherwise  Parameter  q_k  Quality rating of instructor, measured on scale 1‐5; 1  is least effective, 5 is most effective  Parameter  m_k  Max course(s) a full‐time professor can teach in the  program at $0 cost per the faculty’s university  contract  Parameter  h_i  Workload units (WLU) for course i. As a consistent  measure to track the work involved in a course, each  course has a total WLU. For example, a 3.0 credit  lecture course is a 3.0 WLU.  WLUs vary based on  course teaching method (lecture, studio, lab, by‐ appointment, etc.)  Parameter  c_i  Credits per course  Parameter  n_k  Number of instructors  Parameter  n_a  Number of adjuncts  Parameter  n_c  Number of courses  Parameter  n_i  Number of sections of course i  Parameter    It  is  important  to  note  that  instructor  (k)  indexes  the  faculty  from  1‐20.  When  representing the faculty  in the model, these values are written out as text to make sure each  variable is unique. For example, a_1111 could mean adjunct faculty 11, teaching course 1, section  1 or adjunct faculty 1, teaching course 11, section 1. This  issue  is avoided by representing the  faculty as a_eleven11 (faculty eleven, teaching course 1, section 1).    Table 3 is the model formulation.   Table 3. Mathematical model consisting of objective function and nine functional constraints. Objective function:    Min C = ∑ ∑ ∑ ∗ ∗___ ∑ ∑ ∑ ∗ ∗__     Subject to:    1. ∑ ∑ ∗ 9.75 ∀ ;__     2. ∑ ∑ 1 20;    3. ∑ ∑ 20;__     4. ∑ ∑ ∑ 1 ∀ ;_     5. ∑ ∑ 20;__ 6. ∑ ∑ 5 ∗ ∀ ;    7. ∑ ∑ ∑ ∑ 5 ∗ 20;    8. 1/16 ∑ ∑ ∗ ∗ ∗ 4.25 ∀ _   9. All akij, fkij, okij binary          The Data    Figures 1 – 5 provide the data for the report.     Figure 1. Faculty Teach Course Eligibility Matrix. x indicates faculty i eligible to teach course k    k=1  k=2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  i=1                                         x                 x  i=2                                   x                          3                 x     x           x                    x     4     x                             x                          5                       x           x        x  x  x     x     6           x  x     x              x        x  x  x  x        7           x  x     x              x        x  x  x  x        8           x  x     x              x        x  x  x  x        9                    x                                         10                                            x                 11                                            x                 12              x                                x  x  x        13  x     x                 x  x  x     x                          Figure 2. Data on Faculty Eligibilty to Teach Courses. Data is binary where e_ki = 1 if faculty i is eligible to teach course k; 0 otherwise. Only faculty 1 and 2 displayed due to size of data. e_ki              e_one1  0     e_two1  0  e_one2  0     e_two2  0  e_one3  0     e_two3  0  e_one4  0     e_two4  1  e_one5  0     e_two5  0  e_one6  0     e_two6  0  e_one7  0     e_two7  0  e_one8  0     e_two8  0  e_one9  0     e_two9  0  e_one10  0     e_two10  0  e_one11  0     e_two11  0  e_one12  0     e_two12  0  e_one13  1     e_two13  0    Figure 3. Data on sections of courses with credits and work-load units course  i  j  c_i  h_i  T‐7559‐1  1  1  3  3  T‐7559‐2  1  2  3  3  G‐6000‐1  2  1  3  3  G‐6111‐1  3  1  3  3  G‐6111‐2  3  2  3  3  G‐6112‐1  4  1  3  3  G‐6221‐1  5  1  3  3  G‐7221‐1  6  1  3  3  G‐7222‐1  7  1  3  3  G‐7223‐1  8  1  3  3  G‐7229‐1  9  1  3  3  G‐7332A‐1  10  1  0.5  0.5  G‐7332B‐1  11  1  0.5  0.5  G‐7993‐1  12  1  3  3  GF‐5001‐1  13  1  3  3  GF‐5001‐2  13  2  3  3    Figure 4. Data on faculty; stipend, quality rating, adjunct or full-time faculty (binary), number of courses in load for full- time faculty, full-time faculty willingness to teach course as an overload (binary) k  s_k  q_k  adj  FT  m_k for  FT  w_k for  FT  1    $1,335.67   5  1  0        2    $1,190.00   3.7  1  0        3    $1,138.67   4.3  1  0        4    $1,553.00   5  1  0        5    $1,330.00   4.67  1  0        6    $1,581.00   4.8  1  0        7    $1,122.00   5  1  0        8    $1,550.00   3.55  1  0        9    $1,184.33   5  1  0        10    $1,150.33   4.8  1  0        11    $1,302.67   4  1  0        12    $1,360.00   4.93  1  0        13    $1,311.33   5  1  0        14    $1,277.00   4.16  1  0        15    $1,333.00   4.64  0  1  2  1  16    $1,333.33   4.2  0  1  0  1  17    $1,333.33   4.53  0  1  0  0  18    $1,250.00   4.13  0  1  0  0  19    $1,250.00   4.64  0  1  0  1  20    $1,333.33   4.5  0  1  0  1    Figure 5. Data on number of adjunct faculty, number of total faculty and number of sections per course n_c  13  n_a  14  n_k  20  n_1  2  n_2  1  n_3  2  n_4  1  n_5  1  n_6  1  n_7  1  n_8  1  n_9  1  n_10  1  n_11  1  n_12  1  n_13  2    Analysis and Verification    For ease of analysis and verification, the results are presented in table 4.     Table 4. Model results Course  Section  Faculty  Faculty  Eligible  to  teach  course  i  q_k  m_k  w_k  o_k  Total  h_i for  faculty  k  Salary of  faculty k  for course  i  1  1  a_14  Yes  4.16  n/a  n/a  n/a  6  $3831  1  2  a_14  Yes  4.16  n/a  n/a  n/a  6  $3831  2  1  a_12  Yes  4.93  n/a  n/a  n/a  9  $4080  3  1   a_12  Yes  4.93  n/a  n/a  n/a  9  $4080  3  2  o_19  Yes  4.64  0  1  1  n/a  $3750  4  1  a_12  Yes  4.93  n/a  n/a  n/a  9  $4080  5  1  f_15  Yes  4.64  Yes, m_15  = 2  n/a  n/a  n/a  $0  6  1  a_5  Yes  4.67  n/a  n/a  n/a  6  $3990  7  1  a_7  Yes  5  n/a  n/a  n/a  9  $3366  8  1  a_7  Yes  5  n/a  n/a  n/a  9  $3366  9  1  a_7  Yes  5  n/a  n/a  n/a  9  $3366  10  1  f_15  Yes  4.64  Yes, m_15  = 2  n/a  n/a  n/a  $0  11  1  o_15  Yes  4.64  m_15 = 2  but f_15  already  assigned  to course  5 section  1 and  course 10  section 1  so now is  assigned  overload  to course  11 section  1  1  1  n/a  $666.5  12  1  a_5  Yes  4.67  n/a  n/a  n/a  6  $3990  13  1  a_3  Yes  4.3  n/a  n/a  n/a  6  $3416.01  13  2  a_3  Yes  4.3  n/a  n/a  n/a  6  $3416.01  Total  $48718.52  (matches  Lingo  Optimal  Solution)      There are a few things to note from the table.   1. Each course has one and only one faculty assignment.  2. Each faculty assigned to a course is eligible to teach that course.  3. Full‐time  faculty  15  is  the only  faculty member with  room  in his/her  full‐time  university contract and the model takes advantage of this and assigns the faculty  member to two courses at cost of $0.  4. All adjunct faculty assigned to courses are within the 9.75 WLU limit.    The partial result from Lingo software is in figure 6. Full model formulation and solution in Lingo  has been omitted from report due to length.  Figure 6. Partial Lingo Result Output       Validation  The results of the report provide interesting insight on several areas. Due to many of the  assumptions, it is unlikely the solution to the original problem can be fully applied to the course  schedule. For example, this model does not take into consideration the meeting days/times of  courses, which can prevent a more cost‐effective  instructor  from being assigned  to a course.  However, the specific assignments in the model can be a helpful guide to the program director  who may not be able to identify inefficiencies in the course planning procedure. Also, the optimal  value of the model is a benchmark and measuring stick for how efficient the current scheduling  of the program is. More research could be done to determine a fair level of tolerance for how far  off  the program director’s planned budget  is  compared  to  the optimal  solution given by  the  model.      There  is also  some  concern about how well  the assumptions hold  in practicality.  It  is  reasonable  to question  if  the quality of  instruction diminishes as  faculty  teach more courses,  specifically full‐time faculty overloads. Along the same lines, the model does not factor in how  teaching assignments affect other service assignments for faculty members across the university.  The model delivers an optimal value in USD and does not take into account other costs, such as  retention of  faculty members, searches  for new  faculty members, training and/or upkeep per  faculty member as cost to the administration, etc. More research is needed to determine a strong  measure for quality of instructor. This model uses student reviews to determine effectiveness of  faculty member and ignores unbalanced data. Student reviews are only one aspect of quality of  instruction. Other contributing factors to quality of instructors missing from the model are peer  reviews and yearly evaluations. As a result, there is a slight margin of error for each q_k value  and the values should be interpreted only as a proxy for the true q_k value of each instructor.       A convenient way to verify the results  is to compare the  integer programming solution  with the actual teaching assignments made by the program director for the spring term. Table 5  summarizes the comparison.    Table 5. Verification of results. Comparison of integer programming solution to course schedule developed by Program Director. Course   Section  IP Solution ‐  Assigned  Faculty  Program  Director  Schedule ‐  Assigned  Faculty  Match?  1  1  14  14  Yes  1  2  14  14  Yes  2  1  12  12  Yes  3  1  12  6  No  3  2  19  12  No  4  1  12  12  Yes  5  1  15  8  No  6  1  5  7  No  7  1  7  7  Yes  8  1  7  15  No  9  1  7  7  Yes  10  1  15  19  No  11  1  15  15  Yes  12  1  5  16  No  13  1  3  13  No  13  2  3  1  No      Seven of  the  sixteen assignments match. The current,  iterative process  for  scheduling  courses  and  assigning  faculty  has  the  potential  to  conceal  improvements  in  the  scheduling  process and can lead to discrepancies. Other possible reasons for the difference of the integer  programming  solution  from  the program director’s assignments are  taking  into consideration  meeting days/times of courses and/or faculty data changing after the original data collection. For  example, a full‐time faculty member may be removed from a course in another program at the  university and gain an m_k value for the program in this report. Changes at the university take  place on a continuous basis so  it  is difficult to perfectly capture the data at one point  in time.  However, the model enables a convenient way to review discrepancies.       Sensitivity Analysis    Table 6 summarizes seven different scenarios for sensitivity analysis.    Table 6. Sensitivity analysis on seven scenarios represented contextually and mathematically with percentage change in results and comments. Scenario  Model  Adjustment  Mathematical Representation  Percent  Change   in  Objective  Value  Comments  1  Change  adjunct faculty  load limit from  9.0 WLU units  to 12.75 WLU  units  ∗ 12.75 ∀ ; __     ‐1.3%  Increasing the  number of WLU units  an adjunct faculty  member can teach  allows more cost‐ effective instructor(s)  to teach more  course(s)  2  Do not allow  full‐time  faculty any  courses as  overload  Remove okij variables from model  +10.3%  By not allowing full‐ time faculty to teach 1  course as an overload,  more expensive  adjunct faculty must  be used  3  Allow full‐time  faculty 2  overloads,  assumes a full‐ time faculty  member is  willing to take  on 2 overloads  if he/she  already willing  to take on 1  2 20;  ‐7.4%  By allowing full‐time  faculty to teach 2  courses as overload,  more expensive  adjunct faculty are  not needed  4  Adjust average  course quality  rating from  4.25 to 4.50  1/16 ∗ ∗ _ ∗ 4.50   +13.73%  More expensive to  administer higher  quality instruction  5  Allow co‐ teaching/team‐ teaching  assignments  (decision  variables can  be any real,  non‐negative  number)       fkij   0    okij   0    akij   0  ‐1.1%  Model assigns  combination of  faculty to courses to  minimize cost  6  Introduce a  new full‐time  faculty  member  capable of  teaching the  design  oriented  courses in the  program with  an m_k value  of 4, assumes  q_k = 4.50 and  w_k = 0.            Eligible to teach courses i= 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9      ‐31.6%  Cost of full‐time  faculty is absorbed in  yearly salary, reduces  term‐by‐term faculty  budget  7  Introducing a  new full‐time  faculty  member  capable of  teaching the  business  oriented  courses in the  program with  an m_k value  of 4, assumes  q_k = 4.50 and  w_k=0.        Eligible to teach courses i= 5, 6, 7, 8, 10,  11, 12  ‐30.5%  Cost of full‐time  faculty is absorbed in  yearly salary, reduces  term‐by‐term faculty  budget            The results in table 6 provide insight on various scenarios for sensitivity analysis. Allowing  adjunct faculty to be assigned more work‐load units (WLU) and, therefore, the opportunity to  teach an additional  three  credit  lecture  course, decreases  cost  to  the budget. Not only does  allowing full‐time faculty the opportunity to teach two overloads decrease cost but also removing  the  opportunity  to  teach  one  overload  for  full‐time  faculty  increases  cost.  Removing  the  constraint that the decision variables must be binary and allowing the decision variables to take  on any nonnegative value enables the model to assign faculty to a fraction of a course for team‐ teaching possibilities. (Note: While relaxing this constraint allows the decision variables to be any  real, nonnegative number, functional constraint #4 forces the decision variable(s) for a course to  be equal to 1.) Team‐teaching assignments to courses result  in reduced costs.   Many of these  results rely on the assumption of certainty, where quality of instructor is held constant. However,  there is concern about how the quality of instruction changes based on the number of teaching  assignments for an instructor or the number of instructors assigned to a course.       The sensitivity analysis creates a fictional scenario where two full‐time faculty of different  backgrounds are considered as new, full‐time faculty dedicated exclusively to the program. The  faculty are divided into two categories: a design oriented faculty member and a business oriented  faculty member. These two categories are very generic but illustrate the usefulness of the model  to compare the hiring of a new full‐time faculty member. The model compares any changes in  the optimal solution if one new full‐time faculty member is added over the other faculty member,  which can affect the combination of assignments for the remaining adjunct faculty to courses.  The  same  sensitivity  analysis  can  be  done  on more  specific  categories  tailored  to  different  candidates’  backgrounds  such  as  business  management,  business  marketing,  fashion  and  garment design, manufacturing and supply chain, etc.     Alternative Model    An alternative method to solve the existing model is to eliminate the e_k variables for all  adjunct  and overload decision  variables.  In essence,  all  faculty become eligible  to  teach  any  course as an adjunct or overload assignment. To balance this, in place of the eligibility constraints,  faculty that are not eligible to teach a course receive an exorbitant penalty (a big M stipend rate)  if assigned to a course he/she is ineligible to teach. The M symbolically represents a huge positive  number (Hillier and Lieberman 117). Thus, even though the model eliminates the e_k constraints  for adjunct and overload faculty, the integer program is forced to avoid assigning ineligible faculty  to courses by the exorbitant penalties on stipend rates. The results of this model are the same  but this alternative method has 182 less constraints than the original model.      An alternative way to formulate the problem is to develop a “knapsack” model.     ∗ ∗ for __ ∗ ∗ for __        The  “knapsack”  problem  chooses  from  a  set  of  values  to  seek which  value  is most  desirable  for  the model without violating a constraint  (McMillan 425). The objective  function  above consists of a ratio  for each  faculty’s quality rating over his/her stipend rate, where the  larger the ratio, the more desirable the instructor is. This is the value the “knapsack” value seeks  to maximize.  The  set  of  values  under  consideration  is  the  calculated  ratio  for  each  faculty  member. Retaining the binary integer properties of the original model, the highest ratios for each  course receive a 1 for its corresponding decision variable and all else are 0. This model requires  manual checking of all constraints until an optimal and feasible solution is found.     Conclusion    Formulating  a mathematical model  to  assign  faculty  to  courses  for  a  program  at  a  university is a powerful tool that provides a strategic approach to scheduling on a term‐by‐term  basis.  While  there  are  assumptions  in  the  model  and  limitations,  the  model  serves  as  a  benchmark  for  comparison  to  the  current,  iterative  scheduling  process  and  as  a  guide  for  program directors new to the job of scheduling courses at the university. Further analysis can be  done on  the parameters of  the model  to  reveal  the  impact of potential policy and personnel  changes. This proved very insightful showing that different scenarios can positively or negatively  affect the adjunct budget, with changes in magnitude ranging from 1.1% to 31.6%.      The  2017  spring  semester  schedule  created  and  implemented  by  the  program  director  consisted of 25% full‐time faculty and 75% adjunct faculty. This discrepancy is explained by the  fact the program is currently in transition and is expected to hire a new, full‐time professor for  the  program  in  the  fall  responsible  for  teaching  four  courses.  After  factoring  in  these  four  assignments to a  full‐time  faculty member  in  future terms, there  is still a  large percentage of  courses  taught by adjunct  faculty. At  the university  level,  the  spring 2017  semester  schedule  consists of about 52% full‐time faculty and 48% adjunct faculty. The model can be extended to  other programs and the university as a whole. Analysis at the university level provides the ability  to evaluate financial impact of policies such as full‐time faculty teaching load, course releases for  full‐time faculty to research and sabbaticals. Also, it is important to note fourteen of the courses  in this report have a work‐load unit value of 3.0 and the remaining two courses have a work‐load  unit value of 0.50. Depending on the method of a course at the university, work‐load units range  from  0.50  to  8.0 with many  values  in  between  at  various  intervals.  The model  is  carefully  constructed  to  take  into consideration diverse work‐load unit values and will still provide  the  optimal solution based on these parameters.    This report is a strong first step into the analysis of course scheduling at a university. The  representation of the scheduling process  in a mathematical model has tremendous value and  many advantages. My suggestions for further study are below:   Apply the model to a larger group of courses, across multiple programs that share courses  to analyze how professors teaching in different programs affects scheduling   More research in determining which courses should be offered on the schedule   A more complete approach to budget analysis that takes into consideration total cost of  the university, not just adjunct budget (i.e. full‐time faculty annual salary, cost of hiring,  etc.)   More research to determine how to measure quality of instructor          Work Cited    Hillier,  Frederick  S.  and  Lieberman,  Gerald  J.  Introduction  to  Operations  Research.  10th  ed.,  McGraw Hill.      2015.   McMillian, Jr. Claude. Mathematical Programming. 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc. 1975.