A Mathematical Journal Vol. 6, No 4, (133-165). December 2004. Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique Nafaa Chbili Département de Mathématiques. Faculté des Sciences de Monastir Bd de l’environnement, Monastir 5000 Tunisie nafaa.chbili@esstt.rnu.tn ABSTRACT One of the most intriguing problems in topology is the question of whether a given manifold is symmetric, i.e. whether there is a finite cyclic group that acts on it. This question has its origins in a number of interrelated facts. The problem of group action has been subject of extensive literature, where different kinds of classical techniques have been used to shed some lights on this subject. The recent years have seen many new invariants introduced to low dimensional topology. The discovery of these invariants is considered as a revolution in the theory of knots and three-manifolds. The main goal of our research is to use this kind of invariants to study the problem of group action on 3-manifolds. In the case of knots and links we use the new invariants to find necessary conditions for a knot to be freely periodic. We apply our criteria successfully to the 84 knot with less than 9 crossings. Let n be an integer and M a compact oriented 3-manifold, M is said to be n- periodic if the cyclic group of order n acts semi-freely on M with a circle as the set of fixed points. We study the quantum invariants (Su(2) and Su(3)) of n-periodic manifolds (n is an odd prime) and show how these invariants reflect the periodicity of the considered manifold. The criteria we established enabled us to prove that the Poincaré sphere is not n-periodic for some values of n. 134 Nafaa Chbili 6, 4(2004) 1 Introduction Une question fondamentale en topologie est la suivante : Etant donnée une variété M et un groupe G, est-ce que G agit non trivialement sur M ? Cette question trouve ses origines dans d’autres domaines de la science et de la vie. En effet, cette question n’est autre que la formulation mathématique de la notion de symétrie. Une notion qui fascine et joue un rôle important dans de divers domaines. En topologie ce problème a fait l’objet d’une littérature abondante. La richesse et la complexité de la topologie en dimension trois donne plus d’importance à ce sujet. Des techniques classiques variées ont été utilisées pour explorer certains aspects du problème. Cependant plusieurs questions concernant les actions de groupes, même dans les cas les plus simples, restent à nos jours sans réponses. Au cours des deux dernières décennies sont apparues des techniques nouvelles en dimension trois. En 1984, Jones [27] a introduit un invariant de nœuds et entrelacs de S3 qui a permis de résoudre plusieurs problèmes dont des questions ouvertes vieilles de plus d’un siécle. Cet invariant a été immédiatement généralisé en d’autres invariants du même genre pour les nœuds et entrelacs de S3. Ces découvertes ont été suivies quelques années plus tard d’un progrès semblable en théorie des variétés de dimension trois. A partir de la théorie quantique des champs topologiques, Witten [61] a montré l’existence d’une famille d’invariants topologiques des variétés compactes connexes orientées de dimension trois. Il revient ensuite à Reshitikhin et Turaev [51] de donner une construction mathématique de ces invariants en utilisant l’algèbre quantique Uq(sl2), d’où le nom invariants quantiques. Cette construction a été suivie d’une autre beaucoup plus élémentaire, due à Lickorish [36]. En effet ce dernier définit ces invariants en utilisant seulement la théorie skein associée au crochet de Kauffman, évalué en les racines 4pème de l’unité. Dans ce même esprit, l’invariant θp est introduit par Blanchet, Habbeager, Masbaum et Vogel, l’avantage de l’approche suivie par ces derniers [5] est qu’elle a permis de montrer qu’on peut étendre la définition des invariants de Lickorish en évaluant le crochet de Kauffman en les racines de l’unité d’ordre 2p. La théorie skein a été utilisée ensuite par Ohtsuki et Yamada [45] pour définir l’invariant quantique SU(3), puis par Yokota [60] et Blanchet [4] qui ont défini une théorie skein pour l’invariant SU(N). La question qu’on se pose dans ce travail est la suivante : Comment se comportent les invariants quantiques lorsque les variétés considérées (nœuds, entrelacs, tresses, 3- variétés) sont symétriques ? Autrement dit, jusqu’à quel point ces invariants sont-ils sensibles à la géométrie de la variété considérée ? Une réponse à cette question permettra non seulement d’avoir une idée sur les symétries de la variété en question, mais aussi de mesurer la sensibilité et la fidélité des invariants quantiques. Faut- il rappeler que ces invariants, dont on dispose de plusieurs façons pour les définir, manquent d’interprétation géométrique ? La première partie de ce travail s’intéresse au cas des symétries libres en dimension un (tresses, entrelacs). La deuxième partie traite le cas des 3-variétés périodiques (sur lesquelles un groupe cyclique fini agit semi-librement avec un cercle comme l’ensemble des points fixes). 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 135 2 Préliminaires Ce paragraphe rappelle quelques notions de base concernant la théorie des nœuds. Pour plus de détails nous renvoyons le lecteur à [7] et [52]. Nous nous contenterons ici d’énoncer les définitions et les résultats principaux qui nous serviront par la suite pour la présentation de notre travail. 2.1 Entrelacs et isotopies Dans le reste de ce papier, nous parlerons indifféremment d’entrelacs dans S3 ou dans R3. Définition 2.1.1 (Entrelacs) Un entrelacs L de S3 est une sous variété différentiable compacte sans bord de dimension 1 de la sphère S3. Un nœud est un entrelacs qui possède une seule composante connexe. L’entrelacs L est dit en bande si pour tout x ∈ L on donne un vecteur normal qui dépend de x d’une façon continue. Définition 2.1.2 (Isotopie) On dit que deux entrelacs L1 et L2 sont isotopes si et seulement si il existe une famille d’applications ft pour t ∈ [0, 1] de S1 ∪ S1 ∪ ... ∪ S1 dans S3 telles que : (i) L’application : [0, 1] × (S1 ∪ S1 ∪ ... ∪ S1) −→ S3 (t,x) 7−→ ft(x) est différentiable. (ii) ∀t ∈ [0, 1], ft est un plongement. (iii) Imf0 = L1 et Imf1 = L2. Définition 2.1.3 (Diagramme d’un entrelacs) On appelle diagramme d’un en- trelacs L un graphe DL qui est une projection de L contenue dans le plan telle que : (i) Tout sommet est d’ordre 4. (ii) Toute arête est différentiablement plongée dans le plan. Par chaque sommet passent quatre arêtes. Deux arêtes opposées sont considérées comme étant au dessus des deux autres. Exemple Figure 1. 136 Nafaa Chbili 6, 4(2004) Remarque 2.1.4 Reidemeister a montré [50] que l’étude des classes d’isotopies des entrelacs orientés se ramène à l’étude des diagrammes des entrelacs modulo la rela- tion d’équivalence engendrée par les mouvements suivants (appelés mouvements de Reidemeister) : De la même façon on peut démontrer que les classes d’isotopies des entrelacs en bandes correspondent aux diagrammes des entrelacs non orientés modulo les mou- vements de Reidemeister de type II et III. Il existe aussi une version orientée des mouvements de Reidemeister, cette version correspond aux diagrammes orientés [34]. Figure 2. Dans le reste de ce papier nous parlerons indifféremment d’entrelacs et de diagramme d’entrelacs. Définition 2.1.5 (Image miroir) Soit L un entrelacs orienté. On appelle image miroir de L et on note L! l’entrelacs image de L par une symétrie plane de R3. Si DL est un diagramme représentant L alors le diagramme DL! associé à L! est obtenu à partir de DL en inversant ses croisements. Exemple DL DL! Figure 3. 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 137 Définition 2.1.6 (Nœud singulier) On appelle nœud singulier, une application différentiable du cercle orienté S1 dans R3 n’ayant ni point singulier ni point triple mais possédant (éventuelle-ment) des points doubles simples transverses. Figure 4. De la même façon que pour les nœuds classiques, on peut définir une relation d’équivalence sur l’ensemble des nœuds singuliers. Cette relation est dite isotopie à sommets rigides. 2.2 Tresses et tangles Nous notons par R2 le plan euclidien et par I l’intervalle [0, 1]. Pour tout entier i on désigne par Pi le point de R 2 de coordonnées (i, 0) dans la base canonique. Notons par Pn l’ensemble des points Pi pour i variant entre 1 et n. Définition 2.2.1 (Tangle) Soit n un entier naturel non nul. Un n-tangle T est une sous variété de la bande R2 ×I compacte de dimension 1 telle que le bord ∂T vérifie la condition suivante : ∂T = R2 × {0, 1} ∩ T = Pn × {0, 1}. Deux tangles T et T ′ sont isotopes s’il existe une isotopie de la bande R2 ×I fixe sur le bord transformant T en T ′. Figure 5. Définition 2.2.2 (Tresse) Une tresse b à n brins est un n-tangle tel que pour tout réel z le plan R2 × {z} coupe b exactement en n points distincts. 138 Nafaa Chbili 6, 4(2004) Figure 6. Définition 2.2.3 (Produit de deux tangles) Soient T et T ′ deux n-tangles, on définit le produit TT ′ comme étant le n-tangle obtenu en plaçant les deux bandes R2 × I l’une au dessus de l’autre, celle contenant T au dessus (figure ci-dessous). Figure 7. Remarques. 1) Il existe une définition un peu plus générale des tangles et des tresses. Dans cette définition les points Pi sont quelconques et ne correspondent pas forcément aux points (i, 0) de R2. Les deux définitions sont équivalentes. Dans les prochains paragraphes nous utilisons l’une ou l’autre selon le cas. 2) Soit T un n tangle. Il est possible de fermer T en connectant chaque point Pi ×{0} au point Pi×{1} sans ajouter de croisements. On obtient de ce fait un entrelacs qu’on note T̂. 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 139 Figure 8. La multiplication des tresses donnée par la définition précédente permet de définir une structure de groupe sur l’ensemble des classes d’isotopies des tresses à n brins. Notons Bn ce groupe, l’élément neutre de Bn est la tresse triviale 1Bn (voir figure 9). Nous notons dans la suite par σi la tresse qui consiste à croiser les brins i et i + 1 de la façon illustrée par la figure suivante : 1Bn σi σ −1 i Figure 9. Théorème 2.2.4 ([7]) Le groupe de tresses Bn admet la présentation suivante : Générateurs : σ1, σ2, ..., σn−1. Relations : 1) σjσj+1σj = σj+1σjσj+1, (1 ≤ j ≤ n − 2). 2) σjσk = σkσj, (1 ≤ j < k − 1 ≤ n − 2). Théorème 2.2.5 ([7]) Soit n un entier ≥ 3. Le centre du groupe Bn est le sous groupe cyclique infini engendré par l’élément : Ωn = (σ1σ2...σn−1) n. Dans la suite on désigne par Sn le groupe des bijections d’un ensemble de n éléments. Soit b une tresse de Bn, il est clair qu’on peut associer à b d’une façon canonique un élément de Sn. Cet élément est appelé permutation induite par b et on le note par i(b). La permutation induite par Ωn est la permutation identité ; c’est à dire que : i(Ωn) = 1Sn . 140 Nafaa Chbili 6, 4(2004) 2.3 Tresses et Entrelacs On a dit dans le paragraphe précédent qu’on peut obtenir un entrelacs en refermant une tresse. Alexander [1] montre que tout entrelacs peut être vu comme la fermeture d’une tresse. Quelques années plus tard, Markov considère la relation d’équivalence ≡ sur l’ensemble B = ∐ n≥0 Bn engendrée par les deux opérations suivantes appelées mouvements de Markov : Mouvement de type I ∀σ et τ ∈ Bn on a τστ−1 ≡ σ Mouvement de type II ∀σ ∈ Bn on a σ ≡ σσn ≡ σσ−1n ∈ Bn+1 et montre le théorème suivant : Théorème 2.3.1 ([38]) Si α et β sont deux tresses telles que α̂ = β̂ alors α ≡ β; c’est à dire qu’on peut passer de α à β par une série de mouvements de types I, II et leurs inverses. Remarque 2.3.2 Soit b une tresse de Bn, alors b̂ est un nœud si et seulement si la permutation i(b) est un cycle de longueur n. Plus généralement le nombre de composantes de b̂ est égal au nombre de cycles dans la décomposition de i(b) en produit de cycles à supports disjoints [7]. Définition 2.3.3 (Indice de tresse) Soit L un entrelacs, on appelle indice de tresse (braid index) de L le plus petit entier n tel qu’il existe une tresse α ∈ Bn vérifiant L = α̂. 2.4 Noeuds et entrelacs toriques L’entrelacs torique de type (n,m) qu’on note T (n,m) est celui qu’on peut dessiner sur le tore S1 × S1 en tournant n fois autour du méridien et m fois autour de la longitude [52]. Cette classe d’entrelacs joue un rôle très important dans notre travail. Nous rappelons dans ce paragraphe quelques propriétés de ces objets. Remarque 2.4.1 Soient n et m deux entiers tels que n ∈ N∗. L’entrelacs torique T (n,m) est la fermeture de la tresse (σ1σ2...σn−1)m. Exemple. Le nœud de trèfle est le nœud torique T (2, 3). Le nœud 51 est le nœud torique T (2, 5). Remarque 2.4.2 Le nombre de composantes de T (n,m) est égal à pgcd(n,m), donc T (n,m) est un nœud si et seulement si n et m sont premiers entre eux. Les nœuds toriques sont classifiés par le théorème suivant [7] : Théorème 2.4.3 Soient a, b, a′ et b′ quatre entiers non nuls alors : i) T (a,−b) = T (a,b)!. ii) Les deux nœuds toriques T (a,b) et T (a′,b′) sont isotopes si et seulement si (a′,b′) est égale à l’une des paires suivantes : (a,b), (−a,−b), (b,a) ou (−b,−a). 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 141 2.5 Les invariants polynômiaux Dans ce paragraphe, nous rappelons les principaux invariants des entrelacs de S3. Sans donner de démonstrations nous énonçons quelques propriétés du polynôme de HOMFLY. Dans les prochains paragraphes nous introduisons d’autres invariants. Définition 2.5.1 Une application de l’ensemble des diagrammes d’entrelacs orientés dans un anneau A qui est invariante par les mouvements de Reidemeister de type I, II et III est appelée invariant d’entrelacs orientés (on dit aussi invariant d’isotopie ambiante). Une application de l’ensemble des diagrammes d’entrelacs qui est invari- ante par les mouvements de Reidemeister de type II et III est appelée invariant d’entrelacs en bandes (on dit aussi invariant d’isotopie régulière). Soit D un diagramme d’entrelacs orienté et x un croisement de D. On dit que x est un croisement mixte s’il appartient à deux composantes différentes de D. Sinon, on dit que x est un auto-croisement. A chaque croisement x de D on associe un nombre ε(x) ∈ {−1, 1} de la façon suivante: ε( ) = 1 ε( ) = −1 Définition 2.5.2 (Enlacement de deux composantes, enlacement total) Soit D le diagramme d’un entrelacs orienté à deux composantes L1 et L2, on appelle enlacement de L1 et L2 le nombre entier : λ(D) = 1 2 ∑ Croisements x mixtes ε(x). Soit L un entrelacs à n composantes L1, L2, ..., Ln. On appelle enlacement total de l’entrelacs L l’entier : λ(L) = ∑ 1≤i le groupe cyclique engendré par h. L’espace quotient de S3 par < h > est homéomorphe à S3. Soit ψ la surjection canonique de S3 dans S3 / . Si K est un entrelacs invariant par h, nous notons par K l’entrelacs ψ(K). Comme le cercle B est invariant point par point sous l’action de h alors ψ(B) est aussi un cercle non noué. En particulier, le nombre d’enlacement de K et B est le même que celui de K et B. Proposition 3.1.2 ([37]) Soient K un nœud de S3 et k le nombre d’enlacement de K avec l’axe de la rotation h. Alors le nombre de composantes de ψ−1(K) est égale à pgcd(k,p). En particulier ψ−1(K) est un nœud si et seulement si p et k sont premiers entre eux. Définition 3.1.3 Soit p un entier ≥ 2, un entrelacs K de S3 est dit p-librement périodique s’il existe un homéomorphisme direct h de S3 dans lui-même vérifiant : 1- Pour tout 1 ≤ i ≤ p − 1, hi n’admet pas de points fixes. 146 Nafaa Chbili 6, 4(2004) 2- hp = Id. 3- h(K) = K. Exemple : L’action lenticulaire. Soit p un entier non nul. La sphère S3 est considérée comme la sous variété réelle de l’espace complexe C × C définie par : S3 = {(z1,z2) ∈ C × C tel que |z1|2 + |z2|2 = 1}. Considérons l’application ϕp,s définie pour tout entier s premier avec p par : ϕp,s : S3 −→ S3 (z1,z2) 7−→ (e 2iπ p z1,e 2isπ p z2). L’application ϕp,s vérifie les deux premières conditions données par la définition précédente. L’espace quotient de S3 par cette action est par définition l’espace lentic- ulaire L(p,s). Comme cette action est libre alors la surjection canonique πp,s est un revêtement à p feuillets. Si K est un entrelacs de L(p,s) alors π−1p,s (K) est un entrelacs librement périodique de période p. Définition 3.1.4 Soient p et s deux entiers premiers entre eux. Un entrelacs de S3 qui est invariant par ϕp,s est dit entrelacs (p,s)-lenticulaire. L’importance de cette classe d’entrelacs vient de la conjecture suivante [53]: Conjecture. Soit p un nombre premier, alors pour toute action libre et directe du groupe Z/pZ sur la sphère S3, il existe un entier s premier avec p tel que cette action est conjuguée à l’action définie par l’application ϕp,s. Par conséquent, tout entrelacs librement périodique est isotope à un entrelacs lentic- ulaire, ainsi on réduit l’étude des entrelacs p−librement périodiques à l’étude des entrelacs (p,s)−lenticulaires. 3.2 Une description combinatoire des entrelacs lenticulaires La théorie skein propose de définir les invariants quantiques directement à partir des diagrammes des entrelacs dans le plan. Nous cherchons dans ce paragraphe à compren- dre comment se traduit l’action lenticulaire sur les diagrammes. Autrement dit, étant donnée un entrelacs lenticulaire de S3, est-ce qu’on peut représenter cet entrelacs par un diagramme symétrique ? La caractérisation que nous obtenons représente l’étape clef dans notre étude des invariants quantiques des nœuds et entrelacs lenticulaires. Le premier résultat de notre travail consiste à caractériser les diagrammes des entrelacs lenticulaires. 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 147 Théorème A. Soient p et s deux entiers tels que pgcd(p,s) = 1. Soit L un entrelacs de S3, alors L est (p,s)-lenticulaire si et seulement s’il existe un entier m > 0 et T un m-tangle tels que : L = ̂T p(σ1σ2...σm−1)ms. La condition donnée par le théorème A généralise un résultat bien connu et facile à démontrer dans le cas des entrelacs périodiques (qui correspond au cas s = 0). Ce que nous obtenons dans le théorème A est beaucoup moins évident. La difficulté vient de ce que la variété quotient n’est plus la sphère S3, mais un espace lenticulaire. Autrement dit, il n’existe pas en général une surface de Seifert invariante par l’action lenticulaire. La démonstration de notre résultat repose essentiellement sur l’analyse de l’action lenticulaire sur le tore solide. Le théorème A permet de construire des exemples d’entrelacs lenticulaires. Cependant, il n’existe pas un algorithme pratique permettant de transformer un diagramme quelconque d’un entrelacs lenticulaire en un diagramme de la forme ̂T p(σ1σ2...σm−1)ms. Exemples Les entrelacs toriques. L’entrelacs torique T (n,ns+p) est la fermeture de la tresse (σ1σ2...σn−1)ns+p, il se met alors sous la forme ̂T p(σ1σ2...σn−1)ns où T est la tresse (σ1σ2...σn−1). Par conséquent, cet entrelacs est (p,s)−lenticulaire. En particulier : Le nœud 51 qui est le nœud torique (2, 5) est (3, 1)-lenticulaire. Le nœud 71 qui est le nœud torique (2, 7) est (3, 2)-lenticulaire. Le nœud 10155 est (2,1)-lenticulaire. Ce nœud est d’après Hartley [23] la ferme- ture de la tresse (σ1σ2σ1)2(σ −3 1 σ2) 2, or (σ1σ2σ1)2 est égale à la tresse (σ1σ2)3 et par la suite : 10155 = ̂(σ−31 σ2) 2(σ1σ2) 3 Le nœud 948 est (3,1)-lenticulaire. Soit T le 2-tangle donné par la figure suivante : Figure 11. Conway [18] représente le nœud 948 par le tangle T 3σ −1 1 . D’après [18] (paragraphe 3, page 333) ce dernier tangle est équivalent à (Tσ−11 ) 3σ21 . On conclut alors que le nœud 948 est (3, 1)-lenticulaire. 148 Nafaa Chbili 6, 4(2004) Les entrelacs de Montesinos : L’entrelacs de Montesinos de type m(e, α1 β1 , ..., αp βp ) est un entrelacs admettant une projection comme dans la figure 12. Dans cette figure la boite : (α, β) représente le tangle rationnel définie par la fraction rationnelle β α (Une étude détaillée se trouve dans [7]). Supposons que e est un nombre pair premier avec p. Le théorème A nous montre que l’entrelacs de Montesinos avec p tangles rationnels identiques m(e, α1 β1 , ..., α1 β1 ) est un entrelacs (p, e 2 )-lenticulaire. (α2,β2) (α1,β1) (αp,βp) . . . H � �� H � ��H H ... Figure 12: Entrelacs de Montesinos. 3.3 Généralisation des critères de Murasugi Étant donnée un nœud périodique K, l’idée de Murasugi est d’établir le lien entre l’invariant de K et l’invariant du nœud quotient K. Rappelons les deux résultats suivants de Murasugi. Théorème 3.3.1 (Murasugi 1971). Soient p un nombre premier et K un nœud p- périodique. Notons par k le nombre d’enlacement de K avec l’axe de la rotation qui laisse invariant K et notons par K le nœud quotient. Il existe un entier n tel que: ∆K (t) ≡ (∆K (t)) p(1 + t + t2 + ..... + tk−1)p−1tn mod p. 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 149 Théorème 3.3.2 (Murasugi 1988). Soient p un nombre premier et L un entrelacs p-périodique. Alors on a : VL(t) ≡ (VL(t)) p mod J , où J est l’idéal de Z[t±1/2] engendré par p et ξp(t) = p−1∑ j=0 (−t)j − t(p−1)/2. Le crochet de Kauffman est un invariant d’isotopie régulière introduit par L. Kauff- man dans [29]. Pour un entrelacs en bande L, le crochet de Kauffman est un polynôme de Laurent en une variable A. La découverte de cet invariant a permis à Kauffman de donner une autre définition au polynôme de Jones. Théorème 3.3.3 (Kauffman, [29]) Il existe un unique invariant < > de l’ensemble de classes d’isotopie régulière des entrelacs non orientés dans l’anneau des polynômes à une variable Z[A±1] tel que : < L > = A < L0 > +A−1 < L∞ >, < © > = 1, où © désigne le nœud trivial, L, L0 et L∞ sont trois entrelacs identiques sauf au voisinage d’un croisement, où ils sont comme dans la figure 13. Figure 13. Avec ces notations Kauffman a démontré que le polynôme de Jones s’obtient facilement à partir du crochet. En effet, si on note par w(L) le nombre algébrique de croisements de l’entrelacs L, on a la formule suivante : VL(t) = (−t3/4)w(L) < L > (t−1/4). Pour les entrelacs de l’espace lenticulaire, le polynôme de Jones n’est pas bien défini. Pour cette raison nous discutons le critère de Murasugi en termes de tangles. En effet, en étudiant la catégorie des tangles on établit la congruence suivante : Théorème B. Soient s un entier, p un nombre premier et T un n-tangle. Alors on a : < T̂ pΩsn > (A) ≡ (< T̂Ωsn > (A)) p mod I, où I est l’idéal de Z[A±1] engendré par p, δp − δ et les éléments de la forme : (< Ω̂sn−2i >) p − (< Ω̂sn−2i >), pour 0 ≤ i ≤ [ n−1 2 ]. 150 Nafaa Chbili 6, 4(2004) L’étude des traces des représentations du groupe de tresses dans l’algèbre de Hecke permet d’établir des formules explicites pour les générateurs du module I. Remar- quons que si on restreint la congruence du théorème B au cas s = 0, nous retrouvons un résultat équivalent au théorème de Murasugi dont la démonstration d’origine utilise des techniques différentes de celles que nous utilisons ici. Le polynôme d’Alexander des tresses lenticulaires. Comme nous l’avons déjà signalé, le cas du polynôme d’Alexander des nœuds libre- ment périodique a été traité par Hartley [23]. Nous nous intéressons ici a une question plus précise. En effet, nous cherchons à établir une condition nécessaire pour qu’un entrelacs soit obtenu comme la fermeture d’une tresse lenticulaire. Définition 3.3.4 Soient p et s deux entiers. Une tresse β est dite (p,s)-lenticulaire s’il existe une tresse à n brins α telle que β = αpΩsn. Il est facile de voir que la fermeture d’une tresse lenticulaire donne naissance à un entrelacs lenticulaire. Cependant, on ne sait pas si un entrelacs (p,s)−lenticulaire quelconque peut être obtenu comme la fermeture d’une tresse lenticulaire. Dans le cas des entrelacs périodiques, des conditions nécessaires pour qu’un entrelacs admette une représentation comme une tresse périodique sont obtenues dans [33]. Le polynôme d’Alexander à plusieurs variables est un invariant d’isotopie régulière d’entrelacs ori- entées. Il a été défini à partir des présentations du groupe fondamental du complémentaire de l’entrelacs dans la sphère S3. Si L est un entrelacs à k-composantes alors le polynôme d’Alexander à plusieurs variables qu’on note ∆L(t1, . . . , tk) vit dans l’anneau Z[t±11 , . . . , t ±1 k ]. Remarquons que si on prend t1 = t2 = · · · = tk = t alors on retrouve le polynôme d’Alexander classique (modulo une normalisation). Dans un papier récent, Morton [39] a introduit une méthode pour associer à chaque tresse de Bn une matrice à coefficients dans Z[t±11 , . . . , t ±1 n ]. Ainsi, il a pu définir le polynôme d’Alexander à plusieurs variables à partir du groupe de tresses. Cette méthode est inspirée par la représentation de Burau à une variable. Une représentation (classique) qui est reliée au polynôme d’Alexander d’une façon très simple. Dans la suite de ce paragraphe, nous trouvons plus commode d’introduire l’invariant suivant :{ DL = ∆L si k > 1 et ∆L = (1 − t)DL si k = 1. Théorème C. Soient p un nombre premier, s ∈ N et α une tresse pure à n brins. On a la congruence suivante modulo p (1 − t1 . . . tn)Dα̂pΩsn (t1, . . . , tn) ≡ 1 + (t1 . . . tn) sA p 1(t1, . . . , tn) + · · · + +(t1 . . . tn)(n−1)sA p n−1(t1, . . . , tn) où A1, . . . ,An−1 sont des éléments de Z[t ±1 1 , ..., t ±1 n ]. Si on écrit la congruence donnée par le théorème C dans le cas s = 0, on obtient une conséquence du théorème de Murasugi concernant le polynôme d’Alexander des 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 151 entrelacs périodiques. La condition obtenue dans notre théorème n’est pas triviale. En effet, les polynômes Ai ne sont pas quelconques puisqu’ils sont reliés au polynôme de α̂p par une relation de congruence. 3.4 Le cas du polynôme de HOMFLY Soit K un nœud de S3. D’après [34], le polynôme de HOMFLY PK (v,z) s’écrit sous la forme PK (v,z) = ∑ i≥0 P2i,K (v)z 2i, où P2i,K (v) ∈ Z[v±2i]. Nous discutons dans ce paragraphe le comportement des polynômes P0 et P2 des nœuds librement périodiques. Rappelons que les travaux de Traczyk et Yokota ont montré que ces polynômes sont des témoins très précis de la périodicité des nœuds puisque cette symétrie est reflétée d’une façon très nette par ces polynômes. Dans une première étape nous nous intéressons au premier coefficient du polynôme de HOMFLY. Soit p un nombre premier, nous notons par IFp le corps cyclique à p éléments. Soient Λp,s le IFp[v±2p]-module engendré par les polynômes P0,K où K par- court l’ensemble des nœuds (p,s)-lenticulaires. Nous démontrons que ce module est engendré par les polynômes des nœuds toriques de type T (n,ns + p) pour p premier avec n. Dans le cas s = ±1, nous montrons que le module Λp,s est de type fini et nous déterminons une famille finie de générateurs. Le calcul de ces générateurs est possible grâce à une formule de Jones [28]. Dans la suite nous notons par P0,K (v)p la réduite modulo p du polynôme P0,K (v) ; c’est à dire que les coefficients de ce polynôme sont considérés dans le corps IFp. Théorème D. Soient p un nombre premier 6= 2 et s = ±1. Si K est un nœud (p,s)−lenticulaire alors P0,K (v)p ∈ Λp,s, où Λp,s est le IFp[v±2p]-module engendré par les polynômes P0,T (β,βs±p)(v)p pour 1 ≤ β ≤ p − 1. Pour les petites valeurs de p, le critère donné par le théorème D prend une forme simple et explicite. En effet, il est facile dans ce cas de donner une formule explicite pour les générateurs en utilisant la formule de Jones pour le polynôme de HOMFLY des nœuds toriques. Dans les cas p = 3 et p = 5, la régularité du polynôme P0 est surprenante comme l’illustre les deux corollaires suivants. Corollaire D1. Soit K un nœud 3-librement périodique. Alors on a : P0,K (v)3 ∈ IF3[v±6]. Corollaire D2. Soit K un nœud (5,±1)-lenticulaire, alors P0,K (v)5 = ∑ a2iv 2i avec: a10k+4 = 2a10k+2 et a10k+6 = 2a10k+8 pour tout entier k. Applications. Pour illustrer le corollaire D1, nous considérons le nœud de trèfle 31. Un calcul sim- ple montre que le premier coefficient du polynôme de HOMFLY P0,31 (v) = 2v 2 − v4. Ce polyôme, à coefficients considérés modulo 3, n’appartient pas à IF3[v±6]. Par 152 Nafaa Chbili 6, 4(2004) conséquent, le nœud de trèfle n’est pas 3-librement périodique. Dans le tableau de [52], il y a 84 nœuds ayant un nombre de croisements inférieur à 9. En examinant les polynômes de HOMFLY de ces nœuds (voir les dernières pages de [34]), nous remarquons que 72 parmi ces nœuds ne vérifient pas la condition donnée par le corollaire D1. Ils ne sont pas donc 3-librement périodiques. Seuls les 12 nœuds suivants échappent à notre critère, c’est à dire que le corollaire reste indécis pour les nœuds donnés par la liste suivante : 51, 71, 82, 810, 821, 93, 96, 926, 938, 941, 948, 949. Dans un certain sens, la condition donnée par le corollaire D2 est un peu plus large que celle obtenue pour les nœuds 3-librement périodiques. En effet parmi les 84 nœuds ayant un nombre de croisements inférieur à 9, le corollaire D2 exclut 60 nœuds et il reste indécis pour les 24 autres (voir tableau). Bien que la condition obtenue dans le théorème précédent a permis de prouver que certains nœuds ne sont pas lenticulaires. Le problème de savoir si un nœud donné est lenticulaire est loin d’être résolu. D’où l’idée de considérer les autres coefficients du polynôme de HOMFLY afin d’établir d’autres conditions permettant de renforcer la condition donnée par le polynôme P0. Soit L un entrelacs à k composantes. D’après [34], on sait que le polynôme P1−k est relié aux polynômes P0 des différentes composantes de L par une formule assez simple. Cette formule joue un rôle important dans la démonstration du théorème précédent puisque elle permet de traduire les relations skein sur les polynômes P0. Dans un pa- pier récent [32], Kanenobu et Miyazawa ont réussi à démontrer une relation analogue entre le polynôme P3−k de l’entrelacs L et les polynômes P2 des composantes de L. Bien que cette relation est beaucoup plus compliquée que celle obtenue par Lickorich et Millet dans le cas P0, elle a motivé notre étude du polynôme P2 des entrelacs lenticulaires. Ce qui nous a permis d’établir le critère donné par le théorème suivant: Théorème E. Soient p > 3 un nombre premier et s = ±1. Si K est un nœud (p,s)−lenticulaire alors P2,K (v)p ∈ Γp,s, où Γp,s est le IFp[v±2p]-module engendré par les polynômes P2,T (β,βs±p)(v)p pour 1 ≤ β ≤ p − 1. Dans le cas p = 5, les huit générateurs du module Γp,s peuvent être calculés facilement à l’aide de la formule de Jones. On obtient le corollaire suivant: Corollaire E1. Soient s = ±1 et K un nœud (5,s)-lenticulaire. Alors P2,K (v)5 appartient au IF5[v±10]-module engendré par vs8. Applications. Les conditions obtenues dans les deux théorèmes précédents sont indépendantes, puisque il y a des nœuds qui vérifient la première sans vérifier la deuxième et vice versa. Nous avons expliqué qu’en utilisant le polynôme P0 on a pu montrer que 60 parmi les 84 nœuds avec moins de 9 croisements ne sont pas (5,1)- lenticulaires. Les 24 nœuds restants vérifient la condition donnée par le corollaire D2, donc on ne peut pas savoir s’ils admettent une symétrie lenticulaire. Si on applique la 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 153 condition donnée par le polynôme P2 aux 84 nœuds avec moins de 9 croisements on peut exclure la possibilité d’être (5, 1)-lenticulaires à 80 nœuds. Ce qui montre que la condition E1 est plus efficace que la condition D2. Seul le nœud 819 échappe aux deux critères en même temps. Dans le tableau suivant on utilise la mention D pour dire que le critère en question décide si le nœud n’est pas (5,1)-lenticulaire et la mention ND pour dire que le critère n’exclut pas la possibilité que le nœud soit (5,1)-lenticulaire. Nous référons à la condition donnée par corollaire D2 (respectivement corollaire E1) par critère P0 (respectivement critère P2). Nœud Critère P0 Critère P2 Nœud Critère P0 Critère P2 31 N D D 98 D D 41 D N D 99 N D D 51 D D 910 N D D 52 D D 911 D D 61 D D 912 D D 62 N D D 913 N D D 63 D D 914 D D 71 N D N D 915 D D 72 D D 916 N D D 73 D D 917 D D 74 D D 918 D D 75 D D 919 D D 76 D D 920 D D 77 N D D 921 D D 81 D D 922 D D 82 D D 923 D D 83 D D 924 D D 84 D D 925 N D D 85 D D 926 D D 86 D D 927 D D 87 D D 928 D D 88 D D 929 D D 89 D D 930 D D 810 D D 931 N D D 811 D D 932 D D 812 D D 933 N D D 813 N D D 934 D D 814 N D D 935 N D D 815 D D 936 D D 816 N D D 937 D D 817 D D 938 N D D 818 D D 939 D D 819 N D N D 940 N D D 820 N D D 941 D D 821 D D 942 D D 91 N D N D 943 N D D 92 D D 944 D D 93 N D D 945 D D 94 D D 946 D D 95 D D 947 D D 96 N D D 948 D D 97 D D 949 N D D 154 Nafaa Chbili 6, 4(2004) Remarque. Les techniques que nous avons développées pour étudier le polynôme de HOMFLY des nœuds lenticulaires peuvent être adaptées aux invariants de Vas- siliev. Autrement dit nous définissons ”une version singulière” de notre théorie skein périodique. Ce qui nous a permis d’établir des relations de congruences entre les invariants de Vassiliev des nœuds lenticulaires et ceux des nœuds toriques. Si on re- streint ces relations aux nœuds périodiques, nous obtenons des précisions sur le critère de Yokota concernant le polynôme de HOMFLY des nœuds périodiques [58]. 4 Cas des 3-variétés Toutes les variétés de dimension trois considérées dans ce rapport sont compactes connexes sans bords et orientées. 4.1 Présentation par chirurgie des 3-variétés périodiques Définition 4.1.1 Soient r ≥ 2 un entier et M une variété de dimension trois. On dit que M est r-périodique si et seulement si le groupe G = Z/rZ agit sur M et l’ensemble des points fixes par l’action de G sur M est un cercle. On note par M l’espace quotient. L’exemple le plus simple est celui de la sphère S3 munie de l’action de G = Z/rZ définie comme suit: g : S3 −→ S3 (z1,z2) 7−→ (z1,e 2iπ r z2). Ainsi la sphère S3 est r-périodique pour tout r ≥ 2. La sphère d’homologie de Poincaré Σ est aussi r-périodique pour r = 2, 3 et 5. On peut expliciter facilement cette périodicité en regardant Σ comme la variété de Brieskorn Σ(2, 3, 5), qui peut être vue comme l’intersection de la surface complexe d’équation z21 + z 3 2 + z 5 3 = 0 avec une sphère de dimension 5. Par exemple, Σ est 5-périodique, l’action est la suivante: h : Σ(2, 3, 5) −→ Σ(2, 3, 5) (z1,z2,z3) 7−→ (z1,z2,e 2iπ 5 z3). L’ensemble des points fixes pour cette action est le nœud de trèfle 31. Rappelons que si M est une sphère d’homologie rationnelle périodique, alors l’espace M est aussi une sphère d’homologie rationnelle. D’après les travaux de Lickorich et Wallace [35], toute 3-variété est obtenue à partir de la sphère S3 par une opération topologique appelée chirurgie le long d’un entrelacs de S3. Un tel entrelacs sera appelé présentation par chirurgie de la variété M. Les mouvements de Kirby (ou Fenn-Rourke) permettent de relier deux présentations par chirurgie de la même variété. Goldsmith [22] a étudié les présentations par chirurgie des revêtements ramifiés au-dessus de la sphère de dimension 3 pour montrer qu’un 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 155 tel revêtement est obtenu par chirurgie le long d’un entrelacs périodique. Ce résultat a été généralisé récemment par Przytycki et Sokolov [49], nous rappelons par la suite ce résultat qui établit le lien entre entrelacs et variétés périodiques et qui joue un rôle crucial dans les démonstrations des nos principaux résultats concernant les variétés périodiques. Définition 4.1.2 Soient r ≥ 2 un entier et L un entrelacs r-périodique de S3. On dit que L est fortement r-périodique si et seulement si le nombre d’enlacement de chaque composante de L avec l’axe de la rotation est nul modulo r. Théorème 4.1.3 [49]. Soient r un nombre premier et M une 3-variété. Alors M est r-périodique si et seulement si M s’obtient à partir de S3 par chirurgie le long d’un entrelacs fortement r-périodique. Exemple. L’entrelacs dans la figure suivante est fortement 5-périodique. Une chirurgie le long de cet entrelacs permet d’obtenir la sphère d’homologie de Poincaré. Ainsi on retrouve le fait que la sphère d’homologie de Poincaré est 5-périodique. Figure 14. Les critères obtenus dans le cas des invariants quantiques des nœuds périodiques représentent un élément essentiel qui a motivé ce travail. En effet, comme les 3- variétés périodiques sont obtenues par chirurgie le long d’entrelacs périodiques, il est tout à fait légitime de se demander si les résultats obtenus pour les entrelacs périodiques s’étendent aux 3-variétés. P. Gilmer [21] a étudié l’invariant SO(3). Il a établi une certaine relation de congruence dans les cas des revêtements et des 3- variétés périodiques. Pendant la même période, d’une façon totalement indépendante et en utilisant des techniques complètement différentes, nous avons démontré une condition de congruence pour l’invariant SU(2). Ainsi le résultat de Gilmer s’obtient comme un corollaire de notre condition donnée par le théorème F. 4.2 L’invariant SU(2) Comme nous l’avons déjà signalé, il existe plusieurs façons pour définir cet invariant. La version que nous allons considérer dans ce rapport est celle introduite dans [5] et 156 Nafaa Chbili 6, 4(2004) dont nous rappelons brièvement la définition par la suite. Soient p ≥ 3 un entier et Λp l’anneau Z[A±1]/Φ2p(A); où Φ2p(A) est le polynôme cyclotomique d’ordre 2p. Soient K l’ensemble des entrelacs du tore solide S1 × B2 et Λp[K] le module libre engendré par K. Le skein module de Kauffman de S1 × B2 est défini comme étant le quotient de Λp[K] par les relations suivantes: (R1) : © ∪ L = δL (R2) : L = AL0 + A−1L∞, où δ = −A2 − A−2, L, L0 et L∞ sont trois entrelacs qui sont identiques sauf au voisinage d’un croisement où ils sont comme dans la figure 13. Il est facile de voir que Bp peut être muni d’une structure d’algèbre isomorphe à l’algèbre polynômiale Λp[z], où z correspond à une bande axiale standard dans le tore S1 ×I ×I. Pour tout réel d, on note par [d] la partie entière de d. Dans Bp, on définit l’élément Ωp = [(p−3)/2]∑ i=0 〈ei〉ei, où (ei)i est définie par e0 = 1, e1 = z et la relation de récurrence ei+1 = zei − ei−1. Rappelons qu’on a: 〈ei〉 = (−1)i A2(i+1) − A−2(i+1) A2 − A−2 . Soit L un entrelacs en bandes à m composantes. Le multi-crochet 〈., . . . , .〉L est une forme multilinéaire de Bp ×Bp × ...×Bp −→ Λp définie sur les éléments de la base de façon que 〈zi1,zi2, . . . ,zim〉L est égale à Li1,i2,...,im qui représente la classe d’isotopie dans Bp de l’entrelacs obtenu à partir de L en remplaçant la jème composante de L par ij bandes parallèles à celle-ci situées dans un voisinage suffisamment petit. Dans la suite nous notons par t l’automorphisme de Bp induit par un twist positif du tore solide, par t−1 on notera l’automorphisme inverse. Enfin, par b+(L) (respective- ment b−(L)) nous désignons le nombre de valeurs propres positives (respectivement négatives) de la matrice d’enlacement de l’entrelacs en bandes L. Soit M une variété compacte connexe orientée de dimension trois. On sait que M s’obtient à partir de la sphère S3 par chirurgie le long d’un entrelacs en bandes L. L’invariant θp(M) est défini par la formule suivante: θp(M) = 〈Ωp, . . . , Ωp〉L 〈t(Ωp)〉b+(L)〈t−1(Ωp)〉b−(L) . Notons que l’invariant θp(M) prend ses valeurs dans Λp[ 1 p ]. Cependant, si r est premier avec p alors p est inversible dans Z/rZ et par la suite si on considère Bp à coefficients dans Z/rZ[A±1]/Φp(A), alors θp(M) peut être vu comme un polynôme en A à coefficients dans Z/rZ. Théorème F. Soient r un nombre premier impair et M une sphère d’homologie rationnelle de dimension trois. Si M est r-périodique alors pour tout entier p ≥ 3 premier avec r on a: θp(M) ≡ (θp(M))r(−A−6−p(p−1)/2)α, mod r,δr − δ, 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 157 où δ = −A2 − A−2 et α est un entier. Corollaire F1. Soient r un nombre premier impair et M une sphère d’homologie rationnelle de dimension trois. Supposons que M est r-périodique, alors pour tout p ≥ 3 tel que r ≡ ±1 mod p, il existe un entier α tel que: θp(M) ≡ (θp(M))r(−A−6−p(p−1)/2)α, mod r. Corollaire F2. Soient r un nombre premier impair et M le revêtement cyclique régulier à r feuillets ramifié au-dessus de S3. Alors pour tout p ≥ 3 tel que r ≡ ±1 mod p, il existe un entier α tel que: θp(M) ≡ (−A−6−p(p−1)/2)α, mod r. Applications. L’exemple suivant explique comment appliquer le corollaire F2 pour étudier les symétries de la sphère de Poincaré Σ. Le polynôme cyclotomique d’ordre 10 est Φ10(A) = A4 − A3 + A2 − A + 1. L’invariant θ5, à coefficients considérés modulo r, prend alors ses valeurs dans l’anneau Z/rZ[A±1]/A4−A3+A2−A+1. L’élément Ω5 est formé seulement de deux termes. En effet : Ω5 = 1 + (−A2 − A−2)z. En utilisant les propriétés élémentaires des sommes de Gauss, on peut montrer que θ5(Σ) = 1 − 2A + A2 + A3. Soit r un nombre premier tel que r ≡ ±1 mod 5. Supposons que Σ est le revêtement cyclique régulier à r feuillets ramifié au-dessus de S3. Alors on aura d’après le corol- laire F2, θ5(Σ) = (−A−16)α mod r, pour un certain entier α. Rappelons que A est une racine primitive de l’unité d’ordre 10. Par conséquent les valeurs possibles des puissances de A sont ±A, ±A2, ±A3 et ±A4 = ±(A3 − A2 + A − 1). On peut voir facilement que θ5(Σ) n’est pas une puissance de A . Ce qui permet de conclure que Σ n’est pas le revêtement cyclique régulier à r feuillets ramifié au-dessus de S3, pour tout r congru à 1 ou -1 modulo 5. En particulier pour r = 11, 19 et 29. Remarques. 1-) La condition donnée par le théorème F est nécessaire. Cependant, il est difficile de voir s’il s’agit d’une condition suffisante. La difficulté vient essen- tiellement du fait qu’on ne dispose pas, même dans le cas des sphères d’homologie les plus simples, de formules calculant les invariants θp pour tout p ≥ 3. Il est à noter aussi que le théorème F introduit une infinité de formules (pour tout p premier avec r). Tout ce qu’on peut affirmer est que si la condition du corollaire F2 est vérifiée pour une seule valeur de p, alors elle est insuffisante. Un contre exemple est facile à construire. En effet, prenons p = 4 et r = 11. Comme θ4(Σ) = 1, alors la congruence donnée par le corollaire F2 est vérifiée. Cependant, Σ n’est pas le revêtement cyclique régulier à 11 feuillets ramifié au-dessus de S3, comme on vient de le prouver. 158 Nafaa Chbili 6, 4(2004) 2-) Pour certaines valeurs de p la condition donnée par le théorème F devient triv- iale. Des considérations élémentaires en théorie des nombres montrent que les seuls cas intéressants dans la formule donnée par ce théorème sont les cas où r ≡ ±1 mod p. Puisque si on n’a pas cette relation entre p et r alors l’idéal engendré par r et δr − δ est égal à Λp[ 1p ]. 4.3 L’invariant SU(3) Ohtsuki et Yamada [45] ont montré que la théorie skein introduite par Kuperberg [31] pour les entrelacs peut servir pour construire l’invariant quantique SU(3). Nous rappelons brièvement cette théorie skein ainsi que la définition de l’invariant SU(3). Soit F une surface orientée. Tous les graphes considérés dans la suite sont trivalents et orientés. De plus, nous supposons qu’à chaque sommet les trois arêtes sont orientées de la même façon (voir la figure 15). Un diagramme dans la surface F est localement le diagramme d’un entrelacs ou un graphe trivalent. Les diagrammes sont considérés modulo isotopie. Dans la suite et pour tout entier k, nous posons [k] = q k 2 − q −k 2 q 1 2 − q −1 2 . Les relations skein suivantes ont été introduites par Kuperberg. @@ @@I � � �� = q−1K1 : 6 6 −q− 3 2 ? ��@I @�� I � �� @ @ @I �� = qK2 : 6 6 −q 3 2 ? ��@I @�� I - � ? 6 @I � @R � � =K3 : 6 ? + � - n6?? 6 = [2]K4 : 6 n?D = [3]DK5 : pour tout diagramme D. ∅ = 1K6 : Figure 15. A l’aide de ces relations, Kuperberg a défini un invariant de nœuds et entrelacs de S3. Cet invariant est en fait une spécialisation du polynôme de HOMFLY et peut être défini uniquement par les relations suivantes: (i) J©(q) = 1, (ii) q 3 2 JL+ (q) − q− 3 2 JL− (q) = (q 1 2 − q− 1 2 )JL0 (q), 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 159 où L+, L− et L0 sont comme dans la figure 10. Le skein module S(F) est défini comme étant le Λr-module libre engendré par les diagrammes de F, quotienté par les relations de Kuperberg. Ohtsuki et Yamada ont montré que le skein module de S1 ×I admet une structure d’algèbre isomorphe à l’algèbre polynômiale Λr[x,y], où x et y sont comme dans la figure suivante: x : i�� �� ? &% '$ y : i�� �� 6&% '$ Figure 16. En étudiant la théorie skein de Kuperberg, nous donnons une généralisation au critère de Murasugi pour les nœuds périodiques. Plus précisémment nous démontrons le résultat suivant: Théorème G. Soient r un nombre premier et L un entrelacs r-périodque. Alors on a la congruence suivante: J(L) ≡ (J(L))r modulo r, [3]r − [3]. Inspirés par la démonstration de ce théorème, Przytycki et Sikora [48] ont obtenu une généralisation de ce résultat, étendant le théorème au cas des invariants quan- tiques SU(N), pour N impair. Pour introduire l’invariant SU(3) des 3-variètés, nous trouvons plus commode de faire le changement de variable q = A6, dans les relations skein de Kuperberg. Soit p ≥ 4, nous définissons l’élément ωp de S(S1 × I) par la formule suivante:∑ n+m≤p−3,n,m≥0 [n + 1][m + 1][n + m + 2]Pn,m. Soit L = l1∪l2∪....∪lm un entrelacs à m-composantes. On note par L(i1,i′1),...,(ik,i′k) l’entrelacs obtenu à partir de L en remplaçant la jème composante de L par la réunion de ij bandes (positives) et i′j bandes (négatives) parallèles à celle-ci situées dans un voisinage suffisamment petit. D’une manière analogue au cas de l’invariant SU(2) on définit le multi-crochet dans le cas SU(3) comme étant la forme multi-linéaire 〈., . . . , .〉L de S × S × ... × S −→ Z[A±1] dont les valeurs sur les générateurs sont données par: 〈xi1yi ′ 1, . . . ,xikyi ′ k〉L = J(L(i1,i′1),...,(ik,i′k)). En reprenant les notations du paragraphe précédent on définit l’invariant suivant: Ip(M) = 〈ωp, . . . ,ωp〉L 〈t(ωp)〉b+(L)〈t−1(ωp)〉b−(L) . 160 Nafaa Chbili 6, 4(2004) Cet invariant est défini en les racines primitives de l’unité d’ordre 3p. En se basant sur le fait que les termes 〈t(ωp)〉 et 〈t−1(ωp)〉 sont conjugués comme nombres complexes, nous montrons que Ip peut être considéré comme un élément de Λp[ 1 3p ] où Λp est l’anneau Z[A±1]/Φ3p(A); ici Φ3p(A) désigne le polynôme cyclotomique d’ordre 3p. En étudiant le comportement du multi-crochet, nous avons pu montrer que le critère que nous avons établi pour les entrelacs périodique (théorème G) se généralise aux entrelacs fortement périodiques. Cette congruence représente l’étape clef dans la démonstration de notre critère de périodicité pour les invariants Ip. Avant d’énoncer ce résultat nous considérons l’élément suivant: Gp(A) = A −36 ( p−1∑ k=0 A6k 2 )2( 3p−1∑ k=0 A2k 2 )2 3p2 . Théorème H. Soient r un nombre premier impair et M une sphère d’homologie rationnelle de dimension trois. Si M est r-périodique alors pour tout entier p ≥ 4 premier avec 3r on a: Ip(M) ≡ (Ip(M))r(Gp(A))α, modulo r, [3]r − [3], où α est un entier. La congruence donnée par ce théorème prend lieu dans Λp[ 1 3p ]. Pour montrer que la condition donnée par le théorème H n’est pas triviale, nous écrivons la congruence proposée par ce théorème dans le cas des revêtements branchés au-dessus de la sphère de dimension trois. Dans ce cas la formule en question devient simple et plus explicite. Corollaire H. Soient r un nombre premier impair et M le revêtement cyclique régulier à r feuillets ramifié au-dessus de S3. Alors pour tout p ≥ 4 tel que r ≡ ±1 mod p, il existe un entier α tel que : Ip(M) ≡ (Gp(A))α mod r. Applications. On peut voir d’après la définition que le calcul de l’invariant Ip n’est pas facile même pour les variétés les plus simples. Dans la suite nous illustrons la condition obtenue dans le corollaire H1 en considérant l’espace lenticulaire L(2, 1). Remarquons qu’on a G5(A) = A−36 et que Φ15(A) = 1 −A + A3 −A4 + A5 −A7 + A8. Par Conséquent, pour montrer que l’espace lenticulaire L(2, 1) n’est pas le revêtement cyclique régulier à r feuillets ramifié au-dessus de S3 il suffit de montrer que I5(L(2, 1)) n’est une puissance de A dans Λ5[ 1 15 ]. En écrivant la formule générale obtenue dans [43] dans le cas particulier p = 5, on obtient: I5(L(2, 1)) = 1 − A − A2 + A3 − A4 + A5 − A7. 6, 4(2004) Symétries en Dimension Trois: Une Approche Quantique 161 Les puissances de A dans l’anneau Λ5[ 1 15 ] sont données par la liste suivante: 1, A, A2, A3, A4, A5, A6, A7, −1 + A − A3 + A4 − A5 + A7, A2 − A6 − 1 − A3 + A7, −1 − A5, −A − A6, −A2 − A7, 1 − A − A4 + A5 − A7, 1 − A2 + A3 − A4 + A6 − A7. Il est clair que I5(L(2, 1)) n’est pas une puissance de A. Par conséquent, L(2, 1) n’est pas le revêtement cyclique régulier à r feuillets ramifié au-dessus de S3, pour tout r congru à 1 ou -1 modulo 5. En faisant des calculs similaires pour d’autres valeurs de p, nous pouvons avoir d’autres précisions sur les symétries des espaces lenticulaires. Il est à signaler que les techniques que nous utilisons pour établir les conditions de congruences pour les invariants SU(2) et SU(3) permettent d’obtenir des résultats similaires pour l’invariant de Murakami-Ohtsuki-Okada [44] qui est en un certain sens l’invariant quantique le plus simple. En effet, on peut construire une théorie skein très simple qui permet de définir cet invariant qu’on note ZN . La congruence qu’on obtient est donnée par la formule suivante: Théorème I. Soient r un nombre premier impair et M une sphère d’homologie rationnelle de dimension trois. Si M est r-périodique alors pour tout entier impair N ≥ 2 premier avec r on a: ZN (M) ≡ ±(ZN (M))r, modulo r où α est un entier. Received: December 2002 . Revised: April 2003. References [1] J. W. Alexander. Topological invariants of knots and links. Transaction of the American Mathematical Society, Vol. 30, pp. 275-306, 1928. [2] H. Bass, J. Morgan. The Smith conjecture. Academic Press, 1984. [3] J. K. 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