CUBO 8 , 07-09 (1992) 
Recibido: Junio 1992. 

Una condición suficiente para que un punto 
encontrado por multiplicadores de Lagrange 

sea un extremo. 

Gustavo Avello J. 

A} Se probará el siguiente teorema: 

Teorema .1 Sea A un abierto de IR",/,g¡, ... ,911'1(-•) funciones de A en IR de 
clase C 2 , g = (g¡, ... , 9m), M = g(O). Si para. todo x E M, los vectores gradiente.<J 
\lg1 (x), .. , \79m(x) son linealmente independientes (m < n} y si 

y así 3!(>.¡, .. , >.m) E IRm tal que 'V J(a) = f; >.;'V g;(a). 
j=I 

Sea q la forma cuadrática a.sociaáa a la función auxiliar F = f - L >.;g;, es 
¡,,,,¡ 

decir g(h) = j ¿: ~h;h;;q(h) = jF"(a)(h,h) 
•,J=I 

Se tiene: 

1} Si q es definida positiva sobre el espacio tangente Ta.(M) = ñ K ergj(a) 
entonces a es un mínimo relativo de J sobre M. 

2} Si q es definida negativa sobre T.,(M), a es un máximo relativo de 
f !M. 

3) Si q es no definida, a no es ni máximo ni mínimo de f 1 M. 

B) Aplicaremos el siguiente teorema 

Teorema .2 Sea[} un abierto IRri,V!: [l - R de clase Cfl, si b E [l es un 
punto críticn de ![r tal que para todo z E R,z #O: !l'11 (b)(z,z) >O. Entonces b 
es un mínimo de t/J, 

Demostración: H. Cartan Pág. 100, Teorema 8.33. • 



CUBOS G. A vello 

C) La Hessiana: 
Sea Muna subvariedad de R", Me A,J: A e R" - R y a E M. Diremos 

que a es un punto crítico de f sobre M si la diferencial J'(a) se anu la sobre el 
espacio tangente T0 (M). 

Supongamos ahora que f y M sean de clase C 2 , y sea ip : n - M una 
parametrización de clase C2 de M en una vecindad de a, tal que rp(O) = a, es decir 
ip : fl - 'P(D) = Un M, con U vecindad abierta de a, i.p inmersión, inyectiva y 
homeomorfismos; luego <p1(0)(Rd) = T0 M. 

Para x ,y E T0 M, se pone: 
Hes0 /(x, y)=(! o <p)"(O)l(<p'(O)t 1x, (<p'(o)-1yj. 
Puede probarse que Hes0 f no depende de la para metrización ({J de M en la 

vecindad de a; y se llama la Hessiana de / en el punto crítico a . Esto se en-
cuentra por ejempl o en Berger pág. 142. Aunque en el caso que consideramos, la 
demostración es directa. 

Teorema .3 Si/: A~ R" - IR y M son de clase C 2 y a es un punto crítico 
de f sobre M si Vx E Ta(M) - {O}, Hesaf(x,x) > O, entonces a es un punto 
de mínimo de f sobre M. 

D e mostración: Se aplica el Teorema 2 a 1/J = fo r.p en el punto b = O. • 

D) Probemos el Teorema enunciado en (A) en el caso de un mínimo, loo otros casos, 
con ligeras modificaciones son similares. Basta probar que: 'V(x1 y) E Ta(M) x 
Ta(M) se tiene: 

Hes0 /(x , y) = [/"(a) - .1 o g"(a)J(x, y) 

donde .l. : Rm ___. R es la aplia.ción lineal tal que .l.(ej) = .Áj , ei base canónica 
d e Rm. Sea r.p : n ___. M una C 2 parametrización de M en una vecindad de 
a tal que <p(O) =a. Para (x,y) E T0 (M) X T0 (M),3l(a,/)) E R' x IR' tal que 
X = <p'(O) (a), y = <p'(O)(¡J). 

Por definición se tiene: 

Hes,f(x,y) =(!o <p)"(O)(a, ¡J) = /"(a)(<p)'(O)<>; 

<p'(O)¡J) + J'(a)<p"(O)(a,/3) = J"(a)(x,y) + .log'(a)<p"(O)(a,/3) 
Pues f'(a) = .l. o g'(a), donde .l. : Rm ---. R es la aplicación lineal tal que 

.l.(e;) = .Áj, y de la relación (go r.p)(z) = O'v' E fl que se veri fica porque M = g- 1 (0) 
y porque <p(z) E M. 

Derivando 2 veces resulta: 

Luego 

(go<p)"(O)(a,¡J) =O 

g"(a)(<p'(O)a,<p'(0 )/3) + g'(a)<p"(O)(a,/3) =O 

g'(a)<p"(O),(a,/3) = -g"(a)(x,y) 



CUBO 8 

Finalmente se obtiene V:(x,y~ E T,.(M) x T,.(M): 

He•,f(z,y~ =(!" ~a) - A o g"(a))(z,y). 

Est0 oompleta la demostt'ación del teorema. • 
Problema:¿ Cómo ex:tender esto, a var.iedades modelad.as por espacios de Banach? 
ID! Teorema 1 es vá1ide e11 dimensión infinita imponiendo .,P" ~b) positiva y na 
degenerad.a. 

El Teorema 3 también vale en un espacio de Banacb E {en lugar de Rn) de 
dimensi6n infinita, aparentemente la Hessiana también puede definirse de la misma 
manera. 

Referencias 

[1] Berger M., Gostiaux B., Geométrie Differentielle, Armand Collin (1972). 

[2] Cartan H. 1 Ca.lcul Differentiel, 2da. Ed. Hermm (1977). 

Dirección del autor: 
Departamento de Matemática 

Facultad de Ciencias-Universidad de Concepción. 
Casilla 3-C. Concepción. 



( 


	Revista de Matemáticas_0019
	Revista de Matemáticas_0020
	Revista de Matemáticas_0021
	Revista de Matemáticas_0022