CUBO 8 , 25-29 (1992) Recjbldo· Odubre 1992. Acerca de álgebras báricas satisfaciendo (x2 ) 2 = w(x )3x • A. Catalán y R. Costa Abstract. Let. (A,w) be a baric algebra, we define the E-ideal as- sociated to the train polynomial p(x) = xn + -y1w(x)x"- 1 + .. . +"'Yn-iw(x)"- 1x, by the ideal E,.,(.p) de A generated by ali p(a), a E A. Different. train polynomials may give rise to the same E-ideal. Two t rain polynomials p(x) and q(x) are equivalen t when EA(p) = E,.,(q). We prove tbat for baric algebras satisfying (x2) 2 = w(x) 3x there are 3 equivalence das.ses of train polynomials. 1 Introducción Sean F un cuerpo de característica cero, A una álgebra conmutativa y no nece- sariamente asociativa sobre F. Si w : A_. Fes un bomorfismo no nulo, entonces el par (A,w) se llama una álgebra bárica. (conmutativa) sobre F,w es su función peso, y para cada x € A,w(x) es su peso. Los elementos de A de peso cero forman un ideaJ N de codimensión 1. El concepto de álgebra bá.rica fue iotroducido por l.M.H. Etherington [2J. En lo que sigue describimos brevemente dos ejem plos de álgebras bá.ricas: l.- Sean "YI, .•. , "Yn- 1 elementos de F tal que 1 + 'YI + ... + 'Yn-1 = O. La expresión forma l (1) es llamada un tren polinomio con coeficientes -y1, .•. ,'Yn-I de grado n. 'Fi n&.Dcill.do por P royecto DlUFRO 9204 25 26 CUBOS A. Catalán y R. Costa Si los elementos de una álgebra bárica (A, w) satisfacen la identidad p(a) =a" + 'Y1w(a)a"-1 + ... + 'Yn-1w(a)"- 1a = O (2) se die.e que A es una tren álgebra. El elemento ale está definido por a 1 = a y al = a1- 1a para k :?: 2. Si p(x} tiene grado mínimo n de entre todos los t ren polinomios que se anulan en A, entonces p(x) = O se llama tren ecuación de A y n es el rango de A. Par.a estas álgebras N es un nilideal. 11.- Recientemente, Walcher [3] obtuvo resultados acerca de álgebras báricas que satisfacen la igualdad {a2) 2 ~ w(a)3 a Va E A (3) Ellas admiLen la existencia de idempotentes y para uno de ellos fijo, a saber e, tienen una descomposición de Pierce A= Fe$ Nt EB N_t, donde N t = {a E N/ea =~a} y N_t ={a EN/ea= -~a} . No es dificil probar que las dimensiones de estos subespacios son independientes de e, así podemos definir el invariante tipo como el par (1 + dimN1¡2,dimN_ 1fl )· Más aún Nl;2 ~ N-1¡2, N1flN-1fl ~ N1¡2 y !f'!. 112 ~ N-1¡2 (4) Si u E N 1¡2 y v E N-1¡2, valen las siguientes identidades: i) u' o u) (u')' ii) 2u(uv) u2v vi) u2(uv) iii) 2(uv)v uv2 vii) 2(uv)2 + u2v 2 iv) v' viii) (uv)v' (5) ix) (v')' Para obtener esta.s identidades ba.sta analizar la expresión polinomial nula en las variables J.,µ E F, ((w(x)e + J.u+ µv) 2)2 = w(x) 3 (w(x)e+ ).u+µv) que resultan de {3), haciendo a= w(x)e + J.u +µv. Sea ahora x = ae+u+v un elemento de A, con a= w(x) . Entonces para k ~ l donde a.ti ... , Ík son números racionales. Monomios en u y v de grado 4 no aparee.en debido a las relaciones (5). Como xk+I = xkx, obtenenos el sistema de ecuaciones de diferencias con valor inicial a.1 = 1, b1 = c1 = d 1 = e1 = Ji = O 2bk+I + bk - 2 = 0 ¡ 2»+1 + ª' + l = o 2ck+I - ck - 2ak - 2 = O 2dk+I + dk - 2ak = 0 2ek+l +ek-2bk - CJ: =O 2/J:+I - ÍJ, - Ck - 2dk = 0 Es fáci l probar por inducción que { ' Acerca de ... CUBOS 27 DeOnlclón 1.1 El ideal generalizado de Etherington (o .simplernente E-ideal} de una álgebra bórica (A,w), Baociado al tre n polinomio p(:z:} , e.sel ideal de A generado por lo.s elementoa p(a) = a"+'l'iw(a)a"- 1 + ... +'l'n-1w(a)"- 1a Va E A . Este ideal lo denotaremo.s por E..t( l ,")'¡, ... ,")',._ ¡)oE..t(p). Ethe ri ngton en 12] define el ideal generado por Jos elementos a2 - w(a)a , que según nuestra notación es el E- ideal E..t( l , -1 ). Observamos que E..t(p) ~ N,A/E..t(p) satisface p(x) =O y E..t(p) es el menor ideal J ~ N tal que A / / satisface p(x) =O. Más aún, (A,w) es una tren álge bra c uand o a lguno de sus E-ideales es cero. Proposición 1.2 Paro toda álgeb ra bárica (A,w) y todo tren polinomio p(x) se ti ene E,,.(p) i;_ E,,.(I, - 1}. Demostración : Sea E,,.(n, k) el E-ideal asociado a l tren po li nomio x"-w(x)"- .\:xk, 1 :S k :S n - k. Para t.odo tren polinomio (1) tenemos que Va E A. p(a) =a"+ ")'1w(a)a"- 1 + ... + 'l'n - iw(a)"- 1a =a" - (1 + ")'2 + ... + 'l'n- dw(a)a"- 1 + ... + 'l'n-1w(a)" - 1a =(a" -w (a)a"- 1)-'Ylw(a)(a"- 1 - w(a)a"-')- ... - ~.-1w(a)(a"- 1 -w(a)"-1a). Es decir p(a) E E..t(n, n - 1.) + E,,.(n - 1, n - 2) + ... + E..t (n - 1 , 1) 1 enton ces EA(p) <;; E, (n , n -1) + ¿;;: ¡ EA(n- l ,k) Analogament.e para k = 1,2 1 ... ,n - 2, E..t(n - l,k) S:: E..t(n - 1,n - 2) + 2:~.:~E..t(n-2 , r). Aplicando ésto reiteradament.e, obtenemos E,,.(p) S:: 2:~ E..t(k , k - 1). Pero cada uno de los ideales E..t(k,k - 1} está cont.enido en E..t (l , -1 ) debido a que a' - w(a)a•- 1 = ( ... (a' -w(a)a) ... )a E EA(l, -1 ). • En general , tren polinomios diferentes pueden generar el mismo E-ideal, as í, introducimos la siguient.e definición: D e finición 1.3 Sea fl una clase de álgebras bárica.s. Los tren polinomio s p(x) y q(x ) son equivalentes m6dulo n si E,(p) = E,(q)VA En. Cuando n ={A} las clases de equivalencias co rres ponden a los E-ideales de A. 2 E-ideales para á lgebras báricas satisfaciendo (x2 ) 2 = w(x) 3 x. Denotemos A , .. , F las sucesiones (a .1:).1: e1N , ... , (f.1:h.e1 N, d e (7) tenemos A+ C = l , A +28 = l ,2D +2E+ A= 1, E= F (7') dondel = (1, 1, ... , 1). Parak 2:, 1 seaA.1: =(a.1: , at- 1, ... , a 1 ) E F.\: y simila rm ente 8.1:, C.1:, D.1: , E.1: , F.1: 1 1.1: las relaciones (7' ) va len también para estos vecto res de F.1:. Un t. ren polinomio p(x ) = x"+")'1w(x)x" - 1 + ... + 'l'n-1w(:t)"- 1x puede ser iden· tiñc ado co n el vecto r p = (1,,.1 , ... ")'n- 1' E F". Así el conjunto de todos los tren polinomios d e grado n es identificad o co n la variedad lineal de F'" defi nid a por las ecuaciones :r:1 + ... +:tn = O y x 1 =l. Sea <, > la fo rma bilineal usual en F" , C uand o reemplazamos cada potencia x .\: d e x dada po r (6), ob t.e nemoo 28 CUBOS A. Cata/in y R. C..la p(x) =< p,ln > a"e+ a"- 1(< p, l n >u+< A.,p> v) + a"- 2(< Bn1P > u 2+ < Cn,P > tw+ < D,.,p > v2 ) + a"-3(< En,p > u2v+ < F,. , p > uv2). Como= l+"'Y1+ ..• + "Yn- 1 = O, los dos primeros sumandos desaparecen. Por (7'), podemos expresar An, Cn, D,. y F,. como combinaciones lineales de 8,., E.. y 1,.. Entonces p(x) = Q'n-J < 1,. - 2Bn 1P >V +a"- 2 ( < B,.,p > u2+ < 28,.,p > uv+ < Bn - En. P > v'l) +crn-3 < En,P > (u2v + uv2) -2an-l < Bn,p >V +a"- 2 (< Bn,P > u 2 + 2 < Bn1P > ut1+ < Bn - En,p > ti2 ) +a"- 3 < En 1 P > (u2v + uv2 ) (8) Ahora est.amos en condiciones de probar que sólo existen tres clases de equiva· lencia.s de tren polinomios, descritos geometricamente por las siguient.es propoai· ciones. Proposició n 2 .1 Si p y 8,. no son ortogonales, entonces EA(p) = N1¡2N-1ri 11+ < Bn - En,P > v 2 Y p(e - v} = 2 < Bn,P > v+ < Bn - En , P > v 2, MI p(e- v) - p(e +v) = 4 < B",p >y v = l < B",p >-1 (p(e-v)-p(e+v)) E E,(p) . 1 Pro posición 2.2 Si p es ortogonal a Bn y p no ortogonal a En, entoncu E,(p) = N1ri~1 /'l e N:,1,. D e mostración: Como < Bn,P > =O, la igualdad (8) se reduce a p{:z:) = -crn-2 v2 +an-3 (u2 v +u112 ) = a"- 3 < EniP > (u211 - av2 + u112 ) E Ni12N"_ 1¡2 $ N'!.1¡ 2 (9) Usando (5) es fácil probar que éste espacio es un ideal. Esto implica que EA(p) ~ N1/'l1V'!._ 1/2 $ N~ 1 12 • Para la otra inclusión, es suficiente probar que N:.. 112 ~ EA(p) cuando p y En no son ortogonales . En efecto, s upongamos inicialmente que 112 E N"_ 1fl. Entonces p(e +v) = - < En,P > v 2, así 112 =< E.n,p >-1 p(e + v ) E EA(p). Para un generador aditivo v 1112 de N'!.. 112 , es suficiente recorda r que 211 1v-i = (111 + v,)2 - v1 - ,;¡ E E,(p). 1 Proposición 2 . 3 Si p e8 ortogonal a Bn y En, entonces EA(p) =O Demos tración : Es suficiente ver de (9) que p(:z:) =O cuando p y E,. son ortogo- nales. • Observación: Los E-ideales para álgebras que satisfacen (x 2) 2 == w(:z:)3x están det.ermfoados por :t2 -w(x)x, x 3 - 4w(x)x 2 - 4w(x)2x y x 4 - ~w(:z:)2x2 - tw(:z:)3x respectiwmente y cuyos grados son los núnimos. En particula r todas .las álgebras que satisfacen (:z:2)2 = w(:z:)3:z: son tren álgebras d e rango 4 , como fue observado po' Wakhec [3, ec( l l )]. ( CUBO 8 29 Referencias [l] Costa R.: Principal tr:ain algebras ofriank 3 and dimeosión:::; 5. Proc. Edimb. Mabh. Soc. 33, 61-io ( 1 990~ . [2] Etiherington l. M. H.: Genetic algebras. Proc. R.oy. Soc. Edim 59, 242-258 (1939~ . [3] Walcher S.: Algebras wich satisf.y a train equat.ion for the firts three plenary powers. Arch. Matb. 561 547-SM (1991). [4] Wor.z A.: Algebras in genetics, Lectiure Notes in Biomathematics, Vol. 36, Springer-Verlag1 1980. Dirección de los auteres: Abdón Catalán Depar:tamento de Matemática y Estadística Universidad de la Frontera. Casilla 54-D. Temuco. Roberto Cos l'la Instituto de Matemática e Estatística U ni versidade de 88.o Paulo Caixa Postal 20570. CEP 01498 Sio Paulo. Brasil. ( '\ Revista de Matemáticas_0037 Revista de Matemáticas_0038 Revista de Matemáticas_0039 Revista de Matemáticas_0040 Revista de Matemáticas_0041 Revista de Matemáticas_0042