CUBO 8, 71. 74 ( 1992) 
Saxln JgrnMla de M11tm4t1g. ds !1 M n1, Sur. 

Trayectorias de un sistema de control Lineal en 
IR.n sobre variedades lineales de codimensión 1 

y n-1. * 

Víctor Delgado A. 

Introducción. 

SI un In descompo:iición de J orduu d e uno muLr iz A cada pw- de bloques t.Lcmm, 
rcspect.ivnmcnt.e, \"a lores pro pios dlstint.os, e nto nces e l sis t.e ma lineal co1u.rolob lc 
:r= A:r.+ 811 , x e n nn. u e n IR"' puede trnns formerse e n uu si!lwn n controla ble con 
n un IR e l cunl, o s u vez, es equivnlcntc al si::it.crna cnn6 11ico ((31) : 

IHll· ··· (1 ) 
Dnclo una \-ariedad lineal M, se planten el p rob lem a d e dct.cnniua.r un control 

11 de Lul n1odo que la respectiva solució n x (t , u), con condición inicial :z;(O, u) = z 0, 
purmnnczcn e u M duranLe, a lo men os, un int.er vnlo de t.icmpo ¡o, T) con T posit ivo. 

2 R esultados . 

P ropot1lcl6 n 2.1 i m e~ 1m uecl.or no rrnal a unn unn.cd<td lineal M d e 
cotli.m e111J i ón I y :i:(t , u) ¡H? n n n.nece en M 1h,rt111Lc un tie mpo fi n ito, c n lOtlcC! 
11 c11 1lc l i. po realim ent a da y t ien e lafu·rm" u = < m , N"- -= (A.2:) >, do nde < ., . > 
ea el 11rotluct a inl,crno 1..,u.al en Dt " y N es una m a t ri= n ilpotcnt.c . 

Domos troción. Sin perder gcncrulidod puede suponerse q ue "'• = - t ~ lo 
úlLimu compone nte no nulu de m . Si se d enota x(t , u) = (r i.·· · ,z,.) , 2.l{0, 11) = 
(:r.o1 ,· ·· .:ro..)= %0 cnt.onces lo rcloci6 11 < :r(t , u) - :ro, m >=O pn.r111 t cu !O,'I'\, T 
1>0.sitivo, implica que: 

(:r, - ro1)rn 1 + ·· · + (:z:1 - :roi )( - 1} =O {2) 
~~~~~~~~~~ 

7 1 



72 CUBOS 

Al deri\V (2) y ree mplazar en (1) se obtiene: 

X1 m 1 + · ··+:i:•(-t) -= O 
:i:2m1 + ···+itt1(-l) = O 

:i:n-k+2 m 1 + · · ·+ :i:" mt-1+ Z.. (-1) 
pero z,. =< a, z > +u cloncle a= (a.1, ··.a.-). 

V. DcrlpJo A. 

En consecuencia u= < m, (zn- k+'li · · ,z,., <a,% >, 0, ··, O) >,por lo tanLO 

1 
o 1 

ll o o 
Observación. Si cu la proposición anteri or k = n, es deci r la última componente 
de m e:; -l , ento nces u= < m , Ax >.esta expresión aparece implícita en [IJ para 
el caso en que el sistema conside rado es z = Az + Bu y sin restricciones sob re la 
matriz A. 

Ejomplo e n IR3 : Sea m = (m 1, - 1, 0) normal a una variedad lineal M de codi-
mensión 1 , entonces 
u=< (m,,- l , O),N(A(x,y,z)') > = < (m¡, - 1,0),(:,< a,x' >, 0 > = m1:- < 
o,z• >,donde a.= (a.1,a.;¡,a.:¡,). z • = {z,y,.::) 

Reemplazando u en el rcsp eclivo sist ema canónico se o btiene :i:= 11 , li= .: .i= 
m1.:: cuya solució n es 
z = zo - ~ + (Yo - ;:; )t + ~e11111 
y=~ - ~ + ~e"'i' 
;: = .:oern,r. 

Ent.onces < (x ,y,.:) - (z o.t/o ,Zo),m > =O si y solo s i .=o= m 1yo es d eci r lo 
condición inicial debe pertenecer ni plano= = m 1y (\.'et figura 1) 

Figura l. 



'Ih.ytetorla.s d~ ... CUBOS 73 

P r o p o1lcl60 2 .l . Si m et un vector que determino lo cltft:ICCidn de uno 
va.n'edod lineal M de codimenaión n - 1 11 :i;(t, u) u uno •oluc:ión n.o trivial 
del aiatcma ( I ) que penn.cmc::ce en M durante un tiempo .fi.nilAJ, en.ton.cea 
el control 11 u de tipo rcti.lim.entaclo y lu direccionu 1/ con.Jicionea lni-
citlle• f octiblea aon, rupcctivamente, del tipo m = (1,m1.~1 ..... ,m;-1) , :c0 = 
(:o1,zO"J,m2:r02 •..•.• m;-2:1:o2) donde m2 <?-' lo segunda cornponenk de m. 

Domout.roclón. eo m un vector no 111110 que determina la direcci6n de M. El 
objcL\vo CZ1 determinnr uu cont.rol u ta l que 

%( t, u) = %0 + O(t) · m 0(0) = o, t e ¡o, T), T > o (3) 
SI la k- é:t imo compo nente d e m es no nulo entonces la componcntic an t.crior C8 
no nulo. En efecLO, s i m.t ,PO y m 11 _1 =O entonces al reemplazar (3) en (1) se 
obLlene qu e 8(1) = O y, con e ll o, lo solución Lrivio.l :z::( t, 11) = :r0 = (Zo¡, 0 , ... ,0) co n 
u = -a.1zo1· 

Si m:i: # O puede suponerse, sin perder gencro.lidad, que rn 1 = 1, e ntonce5 de 
2: 1 = :zio 1 + O(t) y z2 = To:i: + O(t)m2 se obtiene 

z 1=iJ= :c:i: = :co2 + Om:i: ¡ O(L) = ~(e'"'11 - 1) 

rcc mplnznndo (4) cu (1) resu lto: 

%, z02em~1 :i::o:i: + Zo'J(c•i' - t ) 
%, zo2m2 e11111 :i::os + ~%ol(ea:i 1 - 1) 

Zn-1 z 02 rrii-2e"l1'" :r.0n + ~ZQJ(e"'i' - l ) .. :i::02m;'- 1e""'' <O,%> +u 
En co n::1t.-cuenciR u= m.l - 1x 2- < a,x >. Ad e más: 

el e d o nd e 

m!'-l= !!!A 
.. -, "'l 

m = (l,m2 1 ~,· •• ,m;- 1) 
:to= (:r.01,zo2.m1:r:02,· ·,m;-2.:tm) 

(4) 

Fino.lmentc, s:i m 2 = 01 es d ecir m = ( 1, 0, ··, 0) 1 resulta que 9(t,) = :r.o:i:t y \u 
co nd ición inicial es de In formu xo (2lo1, :r.02 10, ··, O). 

Obsorvn clóo. La facti bilidad d e 111 y d e :ro de la Pro p«\ición 2.2 se ob tuvo un 121 
co mo co i\:llCC.ucnci& de un tcorc nrn qu e re lociono la permanencia de solu c iones de un 
8ls te mn Un cal r = A:.z: +B u so bre vnricdod e:5 lineales M, c.or1 lknica.s de !lubcspn~los 
vcctoria.lo (;\ , 8) -in~wiant.cs dctollad M en {4J. 



74 CUBOS 

Ejemplo en R 3 : Las dl recclo ues factibles m • (t, m 2 , ~) rest rin1e n lu condJ. 
ciones iniciaJes a Ja forma z 0 = (a, b, 17126"), es decir deben estar en el plano .= R "'111 
(Ver figura 2) 

Figura 2. 

Referencias 

jlj Delgado V., Conlro l n. bili 1l n. d direccional tmiparnmitrica. e11 aiate ui.M fi. 
nea/u, Anales 111 CLA IO, T o m o 1 23 1- 239 ( 1988). 

l2 J Henrlquez H., Delgodo V.1 San Mart ín M.E ., Propiedades de in vari a nza de 
lrayect.orias para sist emas de co nt ro l lineales, (enviado a revise.e Proyeccio nes 
U. C . del Nor t.e). 

jJj Lee E.B., Mark us L. , Fom~datio~ of Optimai Contro l T heo '1/, J o hn Wil ey, 
(1967). 

[4J Wonham W .M. , Linea r m.ullíva n"able control, Springer Verl ag, (1985). 

Dire cció n d e l a uto r : 
Instit u to de Matemáticas 

Uni vcr!idad Aust ral 
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