CUBO 8 , 8S-8& (1992) 
Sext& Jornada de Matem6tica de la Zona Sur . 

Análisis armónico sobre Sl(2, .ft), .ft cuerpo 
p-ádico (p f. 2). 

Roberto Riquelme Sepúlveda 

Resumen. 

Sea fl una extensión fini to di mellsional de !QP. Thabajaudo en le consllrucción 
de las representaciones de Sl(2, O), donde O es el anillo de enteros den, Lema que 
constituye m.i tiraba.jo de tesis de Magister, fue necesario analizar la construción de 
represen t aciouesunitar ias de Sl(2, Ji). En esta comunicación expondré los resulta-
dosbé.sicos en que se apoya esta const 11ueci611: 
· Transformada aditiva de Fourier y proJ:>iedades. 
- Representiación multivaluadas de Sl (2, n). 
· La representación uni tiaria D(<b, VL t/J car.ácter no trivial d e n+, V ex tensión 
cue.drá llica den, su const.rucción y análisis de cont inuidad. 

2 Introducción. 

Sean G' un grupo, H un espacio de Hilbert 1 U el grupo de operadores unitarios 
sobre H,C 1 = {x E C: lxl = l),C = {M: les la identidad sobre H , >. E C1 ). 

Definición 2. 1 a) Por una representación proyectiva de G entenderemos a 
un homomorfism o p de e en u/ <V. 

b) Sl(Z, n ) = ¡( ~ ~)E M ,,,(n): ad-be= l} donde n es 
un grupo p-ádico con. p #- 2 

Observación. Deno La remos por (/" el grupo mllltiplicativo formado por los ele-
mentos no nul os den. 

Teorema 2.2 G = S l (2 , !1) es generado por elem ento s d e la Jonna u(b) = 
( ~ ~) pam b e n fl y el elemento w = (-~ ~). A demá.s para b en rr 

si nosotros po nerno s s( b) = (~ b~l) = wu(b - 1)wu( b)w u(b- 1) entonces ·¡M 
relacio n es ent re u(b) y w es tán. tlad M por: 

83 



CUBO 8 R. RJque/me S. 

i) w 2 = •(-1). 
iiJ u(b) uW1 ) = u(b + b- 1¡ para by b- 1 en n 

iii) 8(4}.!1(0') = S(aa.1) par<t Q Y 01 en n• 
iv) •(a)u (b)s(a - 1) = u(ba2 ) paran En y a En• . 

Lo transformada aditiva de Fourier. 
El grupo n+ es S il propio dual, es decir 1 para X en n y a lgún carácter no 

t ri vial 4i de[!+ denotemos por t/Jz el carácter definido por l/iz:(!J) = l/.l(:ty), entonces 
la aplicación :r. - t/J:r. define \lll isomorfismo de [! + COtl S ll gTllpO duaJ. 

Definamos la transformada ele Fourier de un elemento h en L2(n+) por la 
int.egral 

i1M = j h(y)~(2xy)dy 
que está definida para funciones cont inuas lt de soporte compacto sobre n+ y 
extendido por continuidad a L2 (Q+). 

Si normal izamos la medida /t t.nl que µ (O¡p) = q"'<ff. donde w(f/J) e.s el cond uctor 
de l/.l y q es el orden de In clase residual , entonces se verifica que Í (x ) = / (- x). 
Denotemos est.a medida normalizada por d,x. 

Si a está en n· y X en n+ ! ent onces <4{az) =I a 1 d,z. 
Lema 2.3 Si 4> es un ca1·ácler n o trivial de n+, entonces el límite H(tP) = 
.... ~~o:/P"' <P(x2)d~x exist e y es igual a 1 si w = w(<P) es par y es igual a 
G(~) = (,IQ)- 1 L; 4,(,•- 1t') . si w = w(<P) es impar. 

tmodP 

Corolario 2.4 Para b en !2" tle la form.a 1111""'(;) con 11 en Op • el límite 
H (t/J, b) = .. ,~r:i,x,ÍIP"' ef;(bx2 )d.;x exist e y es igual a q~ s i w(4>) - w(b) es pa.r 

y es igual a q~G(QJ,1 ) si w(l/J) - w(b) es impar. ( Consitlem r el carácter 
~(x) = <f>b(x)). 

Construcción de r epre !:!entnciones unitarios d e S l (2, fl). 
Sea V un espacio vectorial topológico de dimensión finita sobre n provisto de 

una forma cuadrática no degenerada Q. 
Resultados análogos a los de f/ (ef;) se pueden oblener para H(4>, Q ) y H(tjJ, a , Q ). 

Teorema 2.5 Sea V tm espacio vectorial sobren. Pam 11 en h v(= L2 (V+)) y 
p a ra cada carácter no trivial q, de n + sea Tw = H (4>, Q)li y paro b en n M,,li = 
f •, (donde / 6(2;) = (bQ(x ))). Enton ces la.s aplicaciones ( -~ ~) - Tw y 

(01 bl) - Mb puetlen .~er extendidas a 1ma representación prOyec.tiva de 
Sl (2.n). 



Análisis orm6nlco ... CUBO 8 85 

Denotemos a esl.8 representación por D(4', V). Supongamos que dimnV = 2m. 
Para h en hu y a en n• escribamos (U11 h)(x) =I a lm h(o.x). Eot.ooccs a -- U11 es 
una represenlación unitaria de n·. De aquí se tiene que si 

(U;h)(x) = H(~,a,Q)[(~,QJ-I Ja Jm h(ax) 

entonces a - U~ es una reprl!Sentaci6n unitaria de n·. Además se puede ver 
que a - H(cP,a,Q)[H(fl,QJ- 1 ¡a I"' define un carácter den·. Denotemos este 
carácter por sign. Si Ug denota el operador unitario sobre h. corresponde al ele-

mento g = (: ! ) en Sl(2, !l) bajo la representación D(q,1 V) 1 entonces se puede 
ver que: (Ugh)(x) = f l<(g¡x, y)h(y)d~y donde para c en n· : 
J((g;x,y) = .«gn(-l)H(~,QJW ~¡•91"1+"9)'1-8(.,,1] y para e= O; 
J((g,x, y) =J • ["' sign(a)~(baQ(x))C.(ax-y). C. denota la función Delta de Dirac. 

Teorema 2.6 La representación D(tjJ, V) es continua. 

Teorema 2. 7 Sea C el algebra (con la topología débil) de todos los operadores 
acolados sobre hu que conm:utcm con D(l/J, V). Entonces ui3Le u.n homomor-
fismo continuo del grupo L1 (A) ele A en C ( clonrle A es el grupo ortogonal de 
la.forma cuadrática Q). 

Dirección del autor: 
Depa11tiamento de Matemática 

Facultad de Ciencias 
Universidad de Concepción. 


	Revista de Matemáticas_0099
	Revista de Matemáticas_0100
	Revista de Matemáticas_0101