CUBO 8 , 87-89 {1992) 
S~ptlma Jornada de Matemática de la Zo n" Sur. 

Formas Bilineales Asociativas en una Algebra 
Bárica • 

R. Baeza V. y R. Benavides G.t 

1 Introducción. 

Sea J( un cuerpo de caraclerfsbica difert::nLe de Clos y A una álgebra sobre 1(, 
conmlltntiva pero no necesariamen~e asociabiva. Para x en A y k ~ 1 un n(1mero 
entero, la potencia p lena de :i: es deAnida inclue bivamente por 

xl!J = x y xlkl = :¡:fk- llxlk-11, k ~ 2 

Sea ahora (A,w) una K-álgebr.a bárica (o álgebra ponderada), es decir, una K-
álgebra conmutativa A y un homom0t1fismo uo tir ivial de K-á1gebras w: A - I<. 
Diremos que (A,w) es una álgebra de Bernsbein de orden k, si para todo x de A se 
ve11iñca 

(!) 

siendo k d menor en tero para el cual esba identidad es válida. 
La definción de á lgeb ras de BernsOein ele orden k y algunos ejemplos para k = 2 

fue dada por Abraham 1980. 
Cuando k = 1, A es llamada álgebra de Bernslein. Eslas álgebras han sido 

estiudiada.s exLensivamenle, ver por ejemplo Holgale 1975 , Ljubic 1978, 1987 y 
Hentzel · Peresi 1988. 

Se sabe que si ( A ,w) es una álgebra de BernsLein de o rdeu k , enLonces 
· La ponderación w es (mica 
·Ella adm ite un e\emenlo idempoten te e tal que w( e: ) = 1 
· Si T : N - N, con N = ke.rw, denota la mu\Liplicnció n a izquierda por d 
idempolente e: y U = lm-r~ , V = /( er-rk, enlonccs A = Ke.e u e v (d escompoiiición 
de Pierce re laLi \-'B a l id empotent e e), 

U = {n EN: CH= ~n} co n U2 ~V. 

Sea W un s ubespocio com plemcntnrio d e U2 e n V , o.sí que U1 e W = \!. 
Consideremos B : A x A - /( uno forma biliueal so bre .A , di remos que B es 

asociat iva si se \"e rificn que 

'Flnri.n cin.d o po i Pto~'f'C lo FONDECYT 105-91 y DIUF"RO 9103 
1E1q10liito r 

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88 CUBOS R. Baeza V., R. Benavides G. 

B(zy, z) = B(z, yz) Vz, y, z , e A. 

2 Re!tuftados. 

Procederemos a realizar algunos cálculos referente a una forma bilineal asociativa 
B sobre A. 

Sean e N,B(e,n) = B(e',n) = B(e,en) = B(en,e) = B(n,e') = B(n,e) 

: .B(e, N) = B(N, e) (2) 

Por otro lado 'r/11 E U, tenemos 
B(e, u) = B(e', u) = B(e, eu) = B(e, ju) = jB(e, u) :.B(e, u) =O . 

Para v E V, se obtie11e 
B(e , v) = B(e'+l, v) = B(e', ev) = B(e', rv) =B(e'- 1, r 2v) = ... = B(e, r'v) =O 

Así, tenem os que 
B( e, N) = B(N,e) =O 

Para u E U y 11 EN, tenemos 

B(u, 11) = 2B{4u, n) = 2B(eu, n) = 2B(e, m1) =O (N ideal de A). 
Análogamente se tiene B(n, u) = O. 

Así 
B(N, U)= B(U, N) =O 

Para cada u.¡u; generador de U2 y n E N. 

(3) 

(4) 

B(u¡u;, n) = B(u¡, u;n) =O, de la misma forma B(n , u;u; } =O entonces tenemos 

B(U'. N) = B(N, U') =O 

Así la matriz asociada a B, es : 

/( e U 

(
B(e,e) O 

(B) = O 
o 
o 

U' 
o 
o 
o 

w 

D 
Ke 
u 
U' 
w 

De esta forma matricial, válida para toda dimensión de A, se concluye 

(5) 

(6) 

Proposición 2.1 Cualquier forma bilineai 11.3ociaLiva s obre unn cilge brn de 
Bt!rn.$Lein de orden k, con U .j; {O}, es degenem da. 

Demostración. Es inmediata desde (6) • 
Proposición 2.2 Cualquier fonna. bilinea.1 asocia.tiua B de una. .álgcbro de 
Benutein A de orden k, está totalmente det enninada por su acción en K ce 
w. 



CUB O 8 89 

D emostraclón. Es obvio, porque si :i: = ,\e+ u+ v1 +va, y = ).1e + u' + 11í + 11~ 
con..\,).' E K¡u ,u' E U¡v¡,u; E 1J'l y 112,t12: e W; eulonces 

B(x,y) = !.!.'B(e,e) + 8("2.v;) 

• 
P l'opoaición 2.3 Si existe una. forma. bilineal a.sociativo no degenerada. B 
sobre una Rlgebra de Bernslein A de orden k, entonces A es ca.si constante 
V el elemento idempolente e es 1lnieo. 

Demostración. Si Bes no degenerada, U= {O}. Teorema 5.10 C. Ma1lol est.ablcce 
que A es una á lgebra casi constante y el elemento idempolenle es tínico. • 

Referencias 

¡n.j R. Baeza, A. Catalán, R. Cos~a, Bernstein algebra8 wilh Msocia.Live bilinear 
/oMn...,.,Arch. Mat!h.58, 234-238 (1992) 

[2] l. Ne nLzel, L. Peresi, Ph. Holgal.e 1 On kth-onler Bernsteln oJ.gebms n.ncl sla-
bilily at tlle k+l genemtion in polyploi~, lMA. J. Malh. App l. Biol.7,33-40 
(1990). 

[3] C. Mallo!, A propos eles algebres de. Bernsle.in,Tb ese de Doclioraclo, 
Montpellier-France. {1990) 

D i.r.ección· Cle los autores: 
Departamento de Matemática y Estadística 

Unive rsidad de la Frontera 
Casilla 54-D . Te.muco 


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