Cubo Matemática Educacional Vol., 4. N" 2, Junio 2002 UN TRUCO DE NAIPES En la búsqueda de puntos fijos Cristián Mallo! Departamento de Matemática Universidad de la Frontera Casilla 54-D, Temuco, Chile. Tome el mazo de m.aipes con las figuras hacia aibajo. Disponga 21 car- tas repart.ié ndolas con las figuras hacia arri ba, de dered1a a izquierda y de a rriba a abajo en tres columnas, c uidando de colocar cada carta por columna un poco encima de la anterior. Pida que ailgu1.ó.em. el·ij a una carta y le indique eA qt11.é coli11. rnna se encuentra. Recoja las cartas dejando la columna señalada entre las otras dos. Repita esta rnarm. ipuilación dos veces más (repartir, pregu'!iltarr, recoger). Entonces, después crl.e la t'11l1t ima recogida, d eshágase de las diez primeras cartas; la que s igue, la onceava cart.a, es la escogida por el cá.rm.dirlo d e turno y usted se creerá un mago ta·m. bueno como el gran Houdini. Ei;i lo que s igue analizaremos y geAern1lizarernos esbe truco. Dada la r;narnera de d isponer y recoger las cartas en este jiUego, desp ués de una manipul1ación es claro que las cartas de la cohuilil:ID.a elegida ocuparán las posiciones seri.aladas CON la letra E De este rnodo 1 si e1111meramos Jas posiciones de la sigNieFJ.t.e mane r a.: 16 Un Truco de Naipes Por lo que, dependieFiclo ctle la col11unna en donde se em.cuentre la carta elegida, tenemos las sig;tiieFJ.tes JDOsi1IDi1J1idades: Esto nos lleva a modelizar el Jilroblema con la función M: {O, 1, ... , 1§,20} ~{O, 1,. , rn, 20} q ue oper a sobr e las posiciones como sig l!l.e: o, 1, 2 7 3, 4, 5 8 0, 7, 8 9 0 , 10, 11 10 12, 13, 14 11 15, ~6. 17 12 18, 10, 20 13 ( Cristián Mallo/ 17 y que t iene por definición genérica: M (3q + r) ;,, 7 + q con O ,;;; q ,;;; 6 y O ,;;; r ,;;; 2. Vemos que esta función tiene un y sólo un punto fijo, es d ecir una posición f tal que M (!) = /: se trata de la correspondiente a la posición enumerada con el 10. Más aún , cons tatamos que para toda posición x se t iene: s i x < 10 ento nces x < 11/(x) ,;;; 10, s i x > 10 entonces x > Al(x) ~ 10. Todo esto quiere decir que por aplicación reiterada de la función /\1/ 1 siempre se llega a la posición 10; en este caso, M 3 (x) = 10 paratodox< {0, 1, .. . , 19,20} cuest ión que hubiéramos pod id o también ded ucir de la d efini ción ya que: Max(lf-M (x)I) = 3. Ahora bien, este p roblema se generaliza con un juego en que se d ispongan n columnas de p naipes cada una y escogiendo de antemano un lugar fij o, que denotamos por k, para colocar la columna de la carta elegida. 1~11~11~ 1 Teniendo en claro q ue las columnas son enumeradas del O a l n- L y que las filas lo son del O a l p - 11 sabemos que la posición ocupada por el crnre d e la línea q con la columna r está dada por qn + r. Si la r.art.a elegid a OC'npa esta posición, a l ubicar su columna en el lugar k, esta carta pasa a ocupar In posirión qn + k, s iendo ella la q-ésimn rartn de la co lumna. Todo esto significa que d espués d e efect ua r una mnni p nlació n (es d eci r: reroger las rart.as seg1fo modo indicado, colocar la col11 mna elegida en el lu- gar k y d isponer las cartas seg1ín modo indicado) como se habrán repa rt.ido 18 Un Truco de Nai pes prim ero k colwnnas de p cartas, la elegida se encont ra rá en la posición pk + q. Es decir , es tamos estableciendo que la manipul ación se modeliza con la fun ción M : ln,p ~ ln,p dond e ln ,p = {O , ! , ... , np - 1} , M(qn+r)= kp+q con O(q(p - 1 y O (r(n- 1. Ind agar si est e juego tiene solución pasa por estudiar si !vl tiene puntos fijos y adq ui ere ca lidad de "truco infalible" si encontramos sólo uno. LM conclusiones salen de estudiar la igualdad en aras de ver si existen reescribir como: M(qn+r)=qn+r y r que la verifiquen. Esta igualdad se puede kp= q(n-1) +r expresión que nos recuerda la división euclidiana de kp por n - l. Sin embargo, hay dos situaciones posibles: l. Si n - 1 no divide a kp. Obligadamente r# O, n - 1 y, en este caso, existe un sólo punto fijo f=q¡n+r¡ donde Q¡ y r¡ son el cociente y el resto de la división de kp por n -1. 2. Si n - 1 divide a kp. Aquí hay dos casos con el mismo tipo de soluciones: dos puntos fijos contiguos • Ya sea r = O; en este caso se tiene qu e: kp = q(n- 1) y podemos inferir que existen dos pun tos fij os, f = q¡n y J' = f - 1 = (q¡ - 1) n + (n - 1) donde q¡ es el cociente de la di visión exacta de k p por n - l. Cristiá.n Mallo! 19 • Ya sea r = n - 1, caso en el que reescribiendo se logra: kp= (q+ l )(n -1) obteniendo la misma situación anteriror. Dada la escritura de f y f', estos puntos fijos siempre apa recerán distribuidos de la manera siguiente: No es mala idea que el lector comprue be que en t;odos los casos estHd iados ( 1 y 2) , los puntos firl os erncontrados lo son efectivamente. En los dos casos el t ruco funciona sin problemas, salvo ql1e en el se- gundo el 11mago 11 tiene dos posibles soluciones. Sin embargo 1 debemos antes establecer que reiteraFJ.Gio la manipulación un ciert.o número de veces, obli- gadamente llegaremos a i.m punto fijo. En lo que sigue, trartairemos el primer caso; el segtmdo se deja al lector. R ecordemos qt'le er.J. esta s ituación se tiene J = q¡n + r ¡ con r ¡ i' O, n - l. Observemos t.ambión que como M (!) = f, se tiene J = q¡n+r¡ = kp+q¡. Sea x = qn + r. Vamos a demostrar que si x < f entonces x < M(x) ~ f (') Para la segnnda parte de la desig11aldad 1 veamos qt·1e si qn + r = x < f = q¡n + r¡ (º) 20 Un Truco de Naipes obligadamente q ( q1 , de donde M(x) = kp +q ( kp+qt =f. En cuanto a la primera parte de la desigualdad (•): • si q = ql el resultado es inmediato ya que en tal caso M(x) = f , • si q < q¡ t enemos: de donde: J - x = (qt - q) n + (r1 - r), M(x) - f = q - qf, M(x) - x = (q¡ - q) (n - 1) + (r¡ - r). Ahora bien , como q¡ - q ;, 1 ya que q < q¡, r¡ - r < n - 1 ya que TJ < n - 1, se deduce de lo anterior que M(x) - x >O, que es lo que nos proponíamos demostrar. En definitiva, inductivamente, hemos establecido que: x < M(x) ( M 2 (x) ( M 3 (x) ( ... ( f . De la misma manera se demuestra que si f < x entonces : f ( ... ( M 3 (x) ( M 2 (x) ( M(x) < x. Esto quiere decir que iterando la función M sobre un elemento x se llega en un cierto número de pasos al punto fijo f. Es inmediato que ese número está acotado por Max {lf - M( x)I , x < ln .p ) Invito al lector a estudiar casos concretos. Más aún 1 lo invito a modelizar este truco con la variante de repartir las cartas torn ando el mazo con las fignras hacia arriba. Espero que la magia le abra caminos insospechados ..