Cubo Matemática Educacional 
Vol. l. JUNIO rngg 

El@m€mtos Mat@máticos l:llil la Civilización Incaiea 

F. CASTRO GUT!1J;RREZ 

Apartade 2@.4 

Maiturín, Ed:o. Menagas 

Venezuela 

Fax .- 58-91-41804.2 

E-mail: fe-ricasg,w@J.fo tmai'l. eem 

En es:t:e trabaj.Q se presend:alr.i algrum..es &/rof;eceden:f;es hi·stórices del 
qv.:ip.u ineaic@. Se mwestra su use y signifocaei@n en esa civilizaei6n1 
se G/FU:lJliza su es-tructura y GJ.ilg.une-s a·sped@s m@f;emáüc@s implícif;es 
en su funcienam-ien.fo. 

L@s eÓm•pl!lt©s y el 11eg;ist!F0 de CI:arntidad·es 11eaMzad0s c©n la a:yl!l.0.a cl'e e-ae110.as 
aFJil!l.daifilias es-tám. pmesentes a tra:vés de l'0s tiemp0s em dij·veFsas cmlitMir.as tle la Ru-
marniidad [%~. E:m. efecU0 1 hary a-r1 .. neee@entes clel us0 @e cuericl.1as airnl!l.d•aclas en Ch .. ina 1 
Hawa.i, .Las lisias Ca:rnlifoaas> Af.ri,ca Oeeidelil.ita:l y Euu0pa. Lars cuerdas a.:mmD!aclas junt0 
a las mueseais en mad:era © t .1mes0 11epr.esentaim. um.0 de 10s estacl.0i0s cle la ev0lil!lci0n d'e 
uro sistema de m.r11i:rneracióFJ. haista <!J.il!l.e éste Éi1FJ.•aJfow1eR•te se tra:asf©rma en un regoistr© 
ese·rit0 de ea:ráctier si•mID61i:ic0. 

El <!J.11!1.ipu también esb1v0 en us0 em varias Cl!l•l'turas p11ec0l0mli>fo!las cl.e AmériGa del 
$ur -aJl:gl!l.:füas cl.e las Cl!laJles Jll0steFi0Frnente i0m.teg;¡-ai110m el Im¡:>eri0 cl.e 10s IE.cas- ¡Def0 
ta:l vez die.ID.o Feel!lrs0 tuv0 su ai(!>l~ca.cÚÓlil. m·ás in.tensa en este vast0 ím¡Deri0 <l(Ue l'legó 
a teFler entFe tres y <Ú®.c0 milll'0aes @e f.i..abi.taintes en u.E.a &.ain~a territ0ria1l cle l!l'Il©S 
ei®e© m.i•l kiilómetros cl.e l0ngitucl., ~ue aJbar.ea•l!>a J!>airte @e lo <!J.Ue hoy s0E.: Ece.acl.0r, 
Pení, l'l0livia, ArgeN·tina y Oliile. [l ] 



Elementos Matemáticos en Ja Ci vilización Incaica 

El quipu desempeñó el rol de un in strumento de comunicación de gran capaci-
dad de información en una organización política y social fuertemente centralizada. 
Bronowski [2 J señala que las bases sobre las que se asienta este tipo de sociedad son: 

7 

Un sistema de regadío. 
Vías de comunicación y puentes. 
Un sistema de comu nicaciones. 

Es interesante acotar que en el caso de los incas , dos de esos elementos esenciales 
se estructur an en la trama de un tejido de fibr as: los puentes colgantes y el encordado 
del quipu. Este recurso era utilizado por los incas para sus cómputos y registros 
numéricos. 

ESTRUCTURA DEL QUIPU 

El quipu está formado por u na cuer da que se man t iene en forma horizontal, 
llamada cuerda principal, de la cual penden cuerdecillas de varios colores, sobre 
estas últimas hay grupos de nudos dispuestos a intervalos regulares que representan 
de abajo hacia arriba, unidades , decenas, centenas, etc. El conjunto se completa 
con una cuerda situada en un costado , la cual permit e en algunos casos totalizar las 
cantidades representadas en las otras cuerdas (fig . 1) . 

Se d istinguen vari os ti po s de quip us, algunos de carácter ceremonial, otros para 
registros cronológicos y los llamados quipus antro pológicos, los cuales servían a 
propósitos contables y estadísticos. Estos últimos t ienen una trama más complejas 
y no exenta de singular belleza por el colorido y la presencia de tres tipos de nudos. 
En el Museo Precolombino de Santiago , se exhibe uno de estos ejemplares. 

En estos registros se consignaba toda la información del imperio sobre asuntos 
militares, censos de población , inventarios de recursos materiales, impuestos , control 
de producción animal y agrícola. El quipu permitía almacenar información cuan-
titativa , cualitativa y ordinal. Esta última se consignaba en las llamadas cuerdas 
subsidiari as o hijuelas. Allí se registraban datos jerarquizados correspondientes a 
clases y sub-clases de las variables. 

Los colores de las cuerdas permitían dist inguir las variables registradas. En 
efecto, mediante la u t ilización de siete colores básicos [6] e incorporando hebras a 
las cuerdas se lograba hasta sesenta combinaciones. Por otra parte, un quipu podía 
tener hasta dos mil cuerdas. Estos datos nos dan una idea acerca de la cantidad de 
variables que podían ser registradas allí por los llamados quipucamayocs, esto es, 
los funcionarios del imperio encargados de lo que hoy llamaríamos las estadísticas 
del gobierno central. 



8 F. Castro G u tiérrez 

TEJIDO Y MATEMATICA 

El tejido de fibras, junto a la elaboración y decoración de telas - en diversas 
culturas - han estado muy ligados a la Matemática y sus avances. 

En el siglo XIX los esfuerzos por automatizar el tejido a telar llevaron a Jacquard 1 
a crear un sistema de tarjetas perforadas -una suerte de algoritmo material- para 
desarrollar paso a paso un diseño en un tejido. Este recurso fue utilizado posterior-
mente por Babbage1 para programar su máquina analítica1 antecesora inmediata de 
la computadora moderna. 

El tejido es también quien lleva a Descartes1 a señalar en "Las Reglas para la 
Dirección de la Mentell: 

El mensaje de esta regla es que no debemos abordar lo más difícil 
y arduo de entrada, sino que debemos atacar primero las artes más 
simples, especialmente, aquellas en las que prevalece el orden, tales 
como los tejidos y la elaboración de alfombras o las artes femeninas 
del bordado en el cual los hilos se entretejen en una infinidad de 
formas. Los juegos de números y los juegos que ocupan aritmética 
también pertenecen a esta categoría. 

Podemos pensar que Descartes1 reconoce la presencia de Matemática espontánea 
en algunos juegos y actividades de diseño, tal como lo hace la Etnomatemática en 
nuestros días [4J. Aún más, Descartes, parece concebir otras vías de gestación de las 
ciencias -distintas de la vía académica- a partir de elementos del entorno. Podemos 
decir que Descartes, tejió la Geometría en un telar de coordenadas, dando así origen 
a la llamada Geometría Analítica. 

El tramado del quipu resulta ser uno de los primeros antecedentes de ese fecundo 
vínculo histórico entre tejido y Matemática. 

ASPECTOS MATEMATICOS DEL QUIPU 

Desde un punto de vista matemático el quipu no sólo es una materialización de 
un sistema numérico posicional de base diez -donde la ausencia de nudos en una 
posición representa al dígito cero- sino que también tiene el carácter de una función 
de varias variables. Además el quipu -y este es tal vez , uno de sus aspectos más 
notables- , tiene un carácter matricial con un sentido más amplio que el estrictamente 
numérico e icónico (2J: para los incas fue también un instrumento de comunicación 



Elementos Matemáticos en la Civilización Incaica 

muy versátil y de gran capacid ad de información. Esta característica nos permite 
apreciar su importancia en una civili zación que posiblemente no conoció la escritura. 

La información recogida en los quipu era a veces actualizada y fin almente tota-
li zada reali zando una suma de carácter esencialmente matri cial. La concepción de 
un recurso con alcances cuali tativos, cuantitativos y algebraicos es una conquista de 
profunda significación lograda en la América Precolombina . 

' 
-

' 

' • o ' o ' 1 " o o 
,, 

'1 
,, 

' 
1 

314 223 112 320 32 222 43 130 322 4 2 

Fig. 1 Quipu esquemático 

R efer encias 
[1] AS C HER , M ARC I A , Ethnomathematics Chapman and Hall, Nueva York, 

1991. 
[2] BRO N OWSKI , JACOB , El Ascenso del Hombre Fondo E ducativo Inter-

americano , México, 1979. 
[3] CASTRO , F E RNANDO , Los Orígenes del Algebra Lineal Revista SUMA, 

N2 13, 1993. 
[4] C ASTRO , F E RNANDO , ODescartes and the Ethnomathematical Ideas IS-

GEM , ewsletter, Vol. 11 N• 1, 1995 . 
[5] IFR A H , G EO R G ES , Las Cifras Editorial Alianza, Madrid, 1987. 
[6] R A DI C ATI , C ARLOS , El Sistema Contable de los Incas RStudium, Lima, 

1953.