48 Cubo Matemática Educacional 
Vol. !. JUNIO 1999 

Acerca de una Definición Débil 
de Números Normales 

D. M. PELLEG RINO 

Universidade Federal da Parafba 

Departamento de Matemática e Estatísti ca 

Caixa Postal 10044 
Cep 58.109.970 

Campina Grande-PE-Brasil 
E-mail: dmp@dme.ufpb.br 

ABSTRACT. Un número real, representado en la base g(número 
natural diferente de 1) por b1 b2 ... bm 1 a 1 a2 ... an.. se dice que es 
casi g-normal, si la sucesión (a;) contiene, como subsucesión, cada 
posible sucesión de dígitos O, 1, ... , g - l. Esta es una definición 
primaria acer ca del concepto de número g-normal , introducido por 
E. Borel en 1909. Damos un método simple para obtener números 
casi y-no rmales. 

l. INTRODUCCION 

Un número rea l w está representado en la base g (g natural, diferente de 1) si 

m oo 

w, = ¿ b,g'+ L:a, g- i,a, , b, E {0 , ... , g-1} Vj E IN ,Vi E {l, .. . ,m}. 
i=-1 j=l 

Esta representación es única si establecemos que ª" < g - 1 para una cantidad 
infini ta de ín di ces n. Los números a; se llaman dígi t os . 

A lo largo del texto siempre consideraremos que esta representación es única. 
El número w, t ambién se representa como b1 ... bm 1 a 1 a2 •• Usaremos la notación 



Acerca de un a Definición Débil de Números Normales 49 

m 

[w9 ] :::; L:bigi donde denom ina remos [w9 ] como la parte entera de w, represen· 
j = l 

tada en la base g. 

m 

Un número real w 9 = [w 9 J + L: aig - i se llama g-s imple normal si 
j = l 

li m S(w,,a,n) =~ \laE{O, .. , g -1} , 
n-oo n g 

donde S(w 9 , a , n) denota ~a cantidad de índices i , 1 ::;; i ::;; n, tales que a; :::; a. 

Decimos que w9 = [w 9 ] + L:aig - i es g-normal si w9 es g-simple normal y si 
j=l 

lim S(w,, B., n ) = _!_ , 
n ...... oo n gk 

para cada bloque de k dígitos B"- = c1 c2 ... c.i. y para cada entero positivo k , donde 

S(w,.B.,n )=#{i; 1$i$n-k+l, ª <+;-.=e, \lj, 1$j$k). 

En otras palabras S(w 9 , B"- , n) denota el número de ocurrencias del bloque B"-
en los n primeros dígitos de w9 . Intuitivamente, un número g- normal es un número 
cuyos dígitos y sucesión finita de dígitos están , en algún sentido, bien distribuidos. 
Es conocido que casi todos los números en el sentido de la Medida de Lebesgue 
son números g-normales (ver f7]). Desafortunadamente , cada número g-simple 
normal está siempre construido ad ho c. No sabemos si números como J2, J3 son 
números g-simples normales. En [l] podemos encontrar un estudio estadístico de 
la normalidad de tales números. No sabemos si existe algún número a lgebraico que 
sea normal respecto a alguna base g. 

Un ejemplo canónico de un número 10-normal, debido a D. G . Champernowne 
[2] es 

a= O, !234567891011 1213141516171 8192021.. 

m 

Un número real w 9 :::; [w 9 ] + L:aig-i, representado en la base g 1 tal que 
j=l 

(a1 )~ 1 contiene , como una subsucesión finita , to da p osible sucesión finit a de dígitos, 
será ll amado un número casi g-normal. Formalmente , w, es casi g-normal si 

(\l k E IN ), (\lc, ... c, ; e, E {O, ... , g-1}\lj E {l , ... , k} ), 3i E JJV ; a,., _, =e,, \lj E {l , .. , k) 



50 D. M. Pellegrino 

Est a es una condi ción débil ante la condición requerida de números g-normales. 
Es cl a ro que cad a número g-normal es casi g-normal 1 mientras que lo recíproco no 
es ciert o. Por supues to , el número 

f3 = o, 01002000300004 .. ~ 12 .. 
12 veces 

es cas i lO- normal1 pero no es 10-normal. Existen números g-simples normales 
que no son casi y-normales. Un ejemplo de un número 10-simple normal que no 
es casi 10- normal es 

1 = o, 012345678901234567890123456789 .. 

Luego , el concepto de número casi g-normal no es tan débil comparado con el 
concepto de número g-simple normal. 

P uesto que casi todos los números son g-normales , entonces casi todos los 
números son casi g-normales. En todo caso, este resultado puede ser fácilmen te 
probado en forma independiente . En (5] hay una demostración simple y directa de 
este hecho. Nuestro propósito es mostrar un método simple de construir números 
casi g - normales. 

2. RESULTADOS 

Debido al art ículo de H. Davenport y Paul Erdéis [3], sabemos que si f es un poli-
nomio cuyos valores , paran = 1, 2, 3, ... son enteros , entonces OJ(l) 10 /(2) 10 .. . /(n)10 
es 10-normal. Estos números son , a priori, números casi 10-normales. Demostrare-
mos que para ciertas funciones, el número O,[f(l ), ][! (2), ] .. . [f(n),] es casi g-nor-
mal . 

Proposición l. Sea g -::j:. 1 un número natural. sea f :]01 oo[---¡.JO, oo [ una 
función es trictame nte crecient e1 a partir de algún punto, continua, con primera 
derivada co ntinua1 tal que lim f( x) = oo. Además, supongamos que dado M > 01 
exis te XM e]O, oo[ tal que ~00 

f( x) 
x > x" = f'(x + B) > M , V 8 E [O, l]. 

Entonces w, = O, [f( l ),][/(2),].. es un número casi g-normal. 

De most ración . Sea x 1 E]O , oo[ , t al que f es est rictamente creciente para cada 
z ?: z 1 . Sea c1 • •. e,. una sucesión arbitraria finita de dígitos . Podemos suponer 
c1 # O. Si c1 = O, consideramos 1 c1 • .. c.,. Sea M = gk+l . 



A cerca de una Definición D ébil de N úm eros 'orma/es 51 

Existe x,.., > x 1 tal que 

f(x) 
X > x., ==> f'(x + 8) > M , V 8 E ¡o, l ]. 

Entonces 

f(x) > g'+1 ·!'(x+8), Vx > x,,, V 8 E ¡o, !]. (1 ) 

Sea c1 c2 . .. c" OO .. O una sucesión con r ceros tales que el número c1 c2 .. c" OO .. O es 
mayor qu e f (xM). Sea x3 > xM tal que 

J (xJ) = C¡ C2 ... c"OO .. . O = C¡ g r+ k- 1 + C2 . gr+k-2 + ... +e" . gr . (2 ) 

Observe que esto es posible puesto que J~~ J(x ) = oo. 

Si X 3 es un entero posit ivo, la sucesión arbitraria c1 c2 ••• c" OO .. O aparece en [f(x 3 ) 11 ] 
y, a priori1 la sucesión c1 c2 ... c" ocurre en [f( x 3 )J 

Si x3 no es un entero 1 por el Teorema del Valor Medio , existe () E [01 1] tal que 

f(x , + 1) = f(x, ) + J'( x, + 8). 

Luego, por ( ! ), (2 ) y (3) concluimos que 

f(x ,) 
f( x,+ 1)< f (x,) + g;;+l 

(3 ) 

=(el. gr +k- 1 + C2 . gr+k- 2 + ... + Ck . gr )+ (el. gr-2 + ... +e" . gr-k - 1) 

Sea l el entero tal que x, < l < x, + l. Entonces f (x,) < f( l) < f(x, + 1). 
Así, tenemos 

k 

C¡gr+k- 1 + e2 gr+k -2 + .. + ekgT < f(l) < clgr+k - 1 + e2gr+k-2 + .. + ekgr + ¿: c,gr- i-1 
i= l 

y entonces 

f(l ) =e,. gr+k- 1 +e, . gr+k-2 + .. + C,. g' + I :>i. gr-j, con di E {O , 1, ... , g - 1}. 
j=2 

Así , la sucesión de dígitos c1 • • e" ocurre en [f(l )11 L con lo cual conclui mos la 
demostración . • 

Es fácil observar que cada polinomio satisface las bjpótesis de la proposición. 
Pero esto no es sorpresa debido a l resultado de Davenport y ErdOs. Si f es un 
polinomio entero que es posit ivo para x 2: 11 entonces O,J{1)¡ 0 f(2)i 0 f(3 )10 .. es un 



52 D. M . Pellegrino 

número trascendental (ver [4]) . ¿Deberían los otros números creados mediante esta 
proposición ser también números t rascendentales? 

Funciones tales como f (x) = xº + Lf=1 {3, · xcr; 1 a > a, > O 1 donde o , o, y {3, son 
números reales, f (x) = a(x,.) con a y ¡ números rea les tales que O < ¡ < 1 y a > 11 
satisfacen las hipótesis de la proposición (si ¡ = 1 entonces g(x ) = 1ox1 no satisface 
nuestras hipótesis y aún más, O,g( l),,g(2),, .. no es casi JO-normal). Es posible 
que en alguno (o todos ) los casos, el número O,[f( l ),Jl/ (2), ) .. . [f(n ),J sea g-normal, 
pero no lo sabemos (excepto para los polinomios). Trivial , pero importante como 
ejemplo, es considerar la función h(x) = log 0 x , (a> 1). Es obvio que 

<;, = O, [h( l ),Jlh(2 ),) 

es un número casi g -normal (aún sin necesidad de la proposición), pero podemos, 
con un pequeño esfuerzo, observar que este número tampoco es g-simple norm al. 

Por cierto , si g = 10 y a = 10, 

<;,,= O, t;jl .l;j 
9 veces 90 veces 

y p odemos ver que lim S (~1 º 1 11 n) # ~ y1 además , este lími t e no existe. Por tanto1 
n -.oo n 10 

concluimos que alguno de nu estros ejemplos no son números g - normales. Es posible 
también prob ar que si f y g sati sfacen las hipótesis de la proposición , entonces f +9 
y f · g t ambién la satis facen. 

Refer e ncias 

Jl J B eye r , W . A. , Metropo lis, N., a nd Neerdgaard , J. R. , Statistical study 
of digits of some square roots of int egers in various bases, Math. Comp. 24 1 
455-4 73 (1970). 

12] C h am p e rnown e, D. G. 1 The construction of decimals in the scale of ten, J. 
London lath. Soc., 8, 254-260 (1933). 

13] Davenport , H. , a nd E rdOs, P. , Note on normal decimals, Canad. J. Math. 
4, 5 -63 (1960). 

[4] Ge lfo nd , A. O ., Transcendental & Algebraic Numbe rs , Dover Publications1 
loe. New York (1960). 

IS) Hard y, G. H. , a nd Wright , E . M. , A n I ntroduction to the Theory of Num· 
bers, Fou rth Ed it ion 1 Ox ford University Press1 London (1975). 

(6 J P e ll eg rino , D.M., Produto de Medidas e Tópicos em RepresentarOes g-ádic.as 
de Números Reais, Dissertat;ao de Mestrado, IMECC-UNICAMP (1998). 

[7) R é ny i, A ., Foundations of Probability, Holden Day, !ne (1970).