CUBO 11, 01-06 (1995) 
Recibido: Mayo 1995. 

A propos des algebres pondérables.* 

Cristián Mallo! 

Abstract. 
We present the simple notion of coding t hc product of 

an a.lgebrs. in arder to construct "canonical" embeddings, 
by adjuction of an element, of any algebra into a weighted 
algebra. A descriptien of tihe possible ex-tensions is given. 

1 Introduction 

Pour des ra.isons de simplification d'écriture ce travai! est présenté da.ns un cadre 

commutatif; les idées exposées par Ja suite ma.rchent aussi bien sans cetite condition. 

Soienl K un corps commutatif infini, car {K):¡f 2, et A une K-alg(::bre commu-

tative. On <lit que A est pondérable s'il existe w : A - K, morphisme non nul 

d'algebres (cf. [31). 
L'applicat.ion w est appelée pondération et on note ( A, w) le fa.it que A soit 

pondérée par w; Jlensemble Ker (w) est un idéal de codimeruiion l. 
Toute a.lgCbrc n'est pas pondéra.ble: par exemple, l'&lgCbre de dimensión 2 

définie par les produits x2 = y 1 xy = O, '!l = x. 
De plus, un e aJge bre pondérabte n'a pa.s forcément une pondéra.tion unique: ¡:.a.r 

exemple, l' &lgCbre définie par les produits x 2 = x, xy =y, ¡¡2 = y, admet deux (et 
seulemenl deux) pondémtions: w{x) = w{y) = l et w'(x) = l ,w'(y) =O. 

'llc:ecNclt s upportcd in pt1.rl by Pondecyt 1950n8 rrnd Dlduíro 9516 



CUBO 11 C. Mallol 

Dan.s ce qui suit donnons d'abord des critCres (existence, oomparaison ) con· 

cernan t les pondérations ainsi que certa.ines conséquences de structure dU 8. ~eur 
cxistence; puis, nous construisons des extensions pondérées d 'une alg~bre quel-

conque. 

2 Existe nce e t comparaison de pondérations 

Propositioo 2.1 Les a.ffirmations suivante.s sont éq uival.entes: 

(a) A es t pondéroble. 

(b) A adm et une base (e;);e1 te tle que e;e; = L a;;1c e¡, avec L 01;1c = l , 
Ice/ kEI 

i,j E /. 

(e) A admet un idéa.l E, de codimension 1, tel que A 2 g; E. 
( d) 11 existe un. idéal E, codim (E) = J, et e~ E tel que e2 - e E E. 

Démostrat ion . Pour l'éq uiv alence ent re (a), (b) et (e) on s'en remet B. Schafer (c.f 
15]). Quant 8. (a ) ::::} (d), il suffit de prendre E= K er(w) et choisir e E E , w(e) = 1. 
Enfi n, (d) =!> (a ) car l'ap plication w(Ae + x) = ,\ oU ,\ E K et x E E, est une 
pondération. • 

Da.ns les a lgCbres pondérables il est souvent nécessai re de voir si elles so nt 

uniqucmcnt po ndérées [7]; la proposition qui suit nous fourn it un critCre simple. 

Propositioo 2 . 2 Soient w et w' deux pondémtions. Les a.ffirmation.s suivan· 

tes so nl équiva/en.tes: 

(a)w = w' 
(b) Ker (w) e K er (w'). 

Démonstration 
(b) =>(a): De 2 . l.d , il existe e E A, w(e)-::¡:. O t e! que e2 -e est dans Ker (w), d'oú 
A = K e(fJ K er (w) e t forcé mcnt w'(e) #- O (sinon A= K er(w') et done w' =O). II 

s'ensuit que w(e) = w'(e) = l et K er(w) = I< er(w'). • 
Soit A une e..lgCbre pondéra.blcct noti;:ins B(A) C A' ]'ensemble de ses pondé rat ions. 

Propositlon 2.3 S oit {w;/l :::;: i:::;: p} e B(A). 
( a) Pour Lo ut j, il. exMte e; E A tel que w;(e;) = Ó;j pour tout 1. 
(b) 11 existe e E A tel que w¡(e) = 1 pour tout i.. 

Démons t r ntio n a) Par réc urrence montrons qu ' il existe e.1 E A,w.1:(e1) = 5,1:1. 
S upposo ns que w 1(e) = 1 e t W2( e) = · = w.1: - i(e) = O; si w1:(e) #- O com.mme 



A propo.~ d es ... CUBO 11 

K er wi) #=- K er (w¡.) {proposilion 2.2) on pose e 1 = c-w(:z:)- 1:z:e a.vec x E K cr(w1)-
K er(w~) - Qusnt Á. (b), il suffü de prendre e= c 1 + e2 + ··· +e, avec w;(e;) = 6¡; . 

• 
Cor o llairc 2.4 Si A C3l d e dimen.sion fin.ic , toul ensemble de pondémtions 

••l Ubre el d;m(nB(A¡Ker(w)) = dim(a)- 1 B( A ) [. 

Démonstration. (c. r. !IJ. §7.5, Cor. l e t 2 du Thm . 7) • 
On rspcll e qu ' une algCbre S C A est une sous-&lgCbre pondérée de A s i elle csl 

pondérée par Is restriction d 'une pondération d e A. Le rés ultat qui suit montrc que 
si 1 B(A) I> 1, l'exislence de sous-algebres pondérées propres est garantic: 

Proposition 2.5 Soit w,)¡ une /amilie de B(A ). 11 y a équivtJence entre: 
a) 11 ez13te un e sous-algebre pondérée (S , "Y) l elle. qu e 'Y= WiJ.~ · 

b) // exist e e E A, tel qu e w;(c) = 1, pour tout i. 

Dómonslration. (a) ~ (b) 11 s uffi t de décomposer S = K c(f) K er('Y) avcc 7(e) = l. 
(b) ~(a) 11 suffit de prendre S = K ee n,Kcr (w, ) avece E A . w,(e) =l. • 

Cor o llairo 2.6 Soit A de dimension fin.ie. S i (w,), e.,, L une famiUc de B( A} 
le.lle que n, K er(w;) = {O} , alm·s A admet un i<fempoten.t. 

Dómonstration De 2.4. et 2.3 b il existe e E A,w, (e) = l ; puis de 2.5 il découle 
que K e est une sous-algCbrc de A avec w(e) = 1 d'o ú e2 =e. • 

Bien ente ndu, si B( A) engendre A ' les conditio ns du corollaire ci-dessus sont 

rcmplics. 

3 Codages et ext ensiones pondérées d'une a lgebre 

On fmil cet art ic\e en co nst.ruisant des extcns ion eles algCbrcs quelconqm.-s, por ad-

jonction d ' un lément, 6 des algCbrcs pondérecs. Ceci génér a.lise les idécs préscntécs 
dans (c.f.i2J, §1). 

Soient 1\ une al gCbrc, e E A1 w: A :- K, M : A - A linéaires et non nu lles, 
Q: A - A une a pplice.tion quadratique et e.l. = {x E A/ BQ(e, :z:) =O}: 

D68 nition 1 O r1 dim que wM + Q, es t un codagc du produiL de A si x 2 = 
w(x) M (:r:) + Q (:z:), 'r/:r, E A. Si de plrl.'I, il cxi..l e e E A t el que w(e) = 1 et 
el.= il. 011 dim qu e wM + Q est un e-codn,qc. 



CUBO 11 C.MaJ/o/ 

Remarque 3.1 a) Pour tout coda.ge wM + Q , Q(y) = y2, y E Ker(w). S i 
. en plus, il s'agit d 'un e- codo.ge, alors w(e) = 1, M(e) = t? et Q(e) = O. 

Ce pendont, Ce.! co nditions ne sont pa.s suffiso.ntes: en effe t , pour w{e) = 1, 
M (x) = ex et Q(x) = ::r? - w(x)ex, wM + Q est un coda.ge du produit o.vec 
M(e) =e' et Q(e) = O, mai.o • ' ,¡,A. 
b) 11 f!.!t dair que si wM + Q et wM' + Q' sont deu:z rodaga , &lors M=M' .ri 
et seulemen.L s1 Q= Q'. Ceci veut dire que pour un codo.ge wM + Q, tow les 
nutres codag f!.! con.cemant w sont de type, w(M + f) + (Q -w/) oU f eJ!t une 
application li n.éaire . 

Proposition 3.2 Toute algebrc adme. t un e-codage wM + Q. Chacun de ces 
codag f!.! a t dé.terminé par un et un seul couple (w, e.) t e.l que w{e) = l. 

Dómonstratio o 

(a) Soit e E A , w(e) = 1; les applications M(x) = 2ex -w(x)t? el Q(x) = (x -
w(x)e.) 1 rempli ssenl les co nditions demandées. Quant IÍ. la derniére affirmation, si 

w M + Q est u n e-codsge, te nant oomptc de 3.2 (b), il s uffit de démontTer que 
M(>l = 2e:.-w(z)e'. Soil y E Ker(w)' on a(e +y)'= M(e+y) +Q(e +y); mais 
M (e} =e! et Q(c + v) = u2 d'oú M{y) = 2ey. Le résu ltat vienten caJculant M s ur 
:z: = .\e+y. • 
Proposition 3 .3 Dan.s un e-coda.ge wM +Q,w est u ne pondérotion si et seule-
ment .riwoM = w et woQ= O. 

Dómonstration Si w csl multiplicative, de w(M(x)) = w(Zez-w(x}e.2 ) on oblient 
w o M = w¡ puis de w(x2 ) = w(w(x)M(x) + Q(x)), il e n rémlte w o Q = O. La 
rCciproque ne pose aucun probléme. • 
Thóoromo 3.4 Toute alg ebre A pcut se plo nger da.ns u ne alg ebre pondérée 

( E , w) <el /e qu e Ker(w) = A. 

Dó monstralion Soil E l'cspace vccl ori c l KxA . Si l'on pose e = (l ,O) alors E= 
K c$.A.. ous aJlons définir un produit s ur E á l'aide d'un ec:od~: soit w la forme 

linéairc: définic par wpc + y) = )., ). E K, y E A. On choisit z E A, M E End(A) 
el on prolonge M ;. E e n fai sant M(e) = e+z; puis en utilisa.nt la s tructure de A, 

on définil l'Applicalion q u!Ldratiq ue s ur E pa.r Q (x) = (:r - w(z)e.) 2 . On munit E 
du produit détcr min é par wM + Q. P&r cons1.ru c ti on, A= Ka(w) , wM + Q est 
u.1.1 e-u>J.a,i.c ct l' i1ijt..'ll.:ll u 11 U1. 11 0 11iquc A - E e-J l un rnorpL.C:in~ J 'alK~i e.le plW:i , 



A propos d es .. CUllO 11 

co rn me les identit.és w o M = w el woQ =O sonl vérifiécs, w est une pondérat.ion . 

• 
La démonstralion ci-d~u~ donne la mesure des cxtensioM pc:>SSiblcs H. reáJi.,cr. 

Défini r une cxtens ion K e ED A de l 'algCbrc A équivaut á définir une mult.iplication 
par e; notons Exte(A) l'cnscmblc des possib\cs mu ltiplications Le. 

Proposit.ion 3.5 /., 'application Ext6 (A ) - AxEnd( A ), /_,e - (e2 - e , 2L6 ), C3l 
bijective. 

Dómonstr ntio n En cffct , son inversc cst l'application (=, M ) - Le, d éfinic par 
/, ,(e)= e+= el L,(y) = jM(y), y E A. • 

Notons A(z,M) une telle exlcnsion . 

Re m a r que 3.6 a) Le théorémc 3.5 admet une r éciproque dan.s le 3ens que 
toute atgebre pondérée (E,w) est isomorphe a l 'en.tension K er(w)(c2 - e , 2Le) 
avec w(e) = 1. 
b) U" morpli~me d 'cxtcn.sion.s C3l un. mor-pliisme j : A (=, M) - A(y , N) tel 
qu e /(e) = e et f ( A) = A; un calcul simple montre que / (:)= y et /o M = 
No / . Ccci veut dú-e que le groupe Aut (AJ opére / .. A (.:, M ) = A(f(z)) , f o 
M o ¡ - 1 ; l 'o rbitc de A (z, M) est / orm ée de tout.e.s 3 1!3 exten3ion...'I isomorphes, 
l 'application / étoblit t 'iso morphisme entre A (z ,M) et A(/( :), f o M o ¡ - 1). 
r:) (.,es cztcn .. "io n.s ii irle mpoten.t sont celie.s de type J\ (O, M }; tous les itlempo-
t.ents de poid.' non n.ul sont donnés par· e+ !u v(M + Q) , oU / no( M + Q) est 
l 'ensemble dw poinUJ ftxe.s de M + Q. 

P r oposition 3. 7 Si A e3t n.on pondémblc alo,.s A ( : ,M ) C3l un.iquement pondérée. 

D ó monstr nlion Pour toute 1>0ndérl\lion w' de A(z, M), forcément wíA = O car 
si non WÍ A· scrait une ¡>0ndérntio n de A. 11 s'cnsuit que A = Ker(w) C K er(omega') , 

done w = w' ( prop. 2.2). • 
Commc ntairc 3.9 P lus ic\1rs &\gCbrcs pondérércs classiquemcnt étudiées, sont 

des cx t cnsiorui A(z,M) d'l\lgCbrcs no n pondérablcs. 

Ains i par cxamplc, il y a équivalencc entre les ext ensions A(z,M) d es zéro-
a lgCbrcs el les alg brcs de mu tation, ccllcs ad mcttant un codage wM (c.f l4J e t [71); 
les extensio ns de type A(O, I d) étant les J a lgCbrcs gamétiqucs (o u el e Berns tcin 
d órclre O). 

Par 8illeurs, les extensions A(O,M ) des a lgCbra.s vérifiant l'identité d e Ja.cobi 

oi'1 2f\.·1 est 1111 pro jectcm, cont ic nnent les A..l gCbrcs ele Bern.,t.ein- Jor<lan cl 'o rdre 1 

{ccllei qui vérifie nt x 3 = w(x)x2 ). 



CUBO 11 

Quanl au.'( c n1cn s ions de type A(O,M) des algCbrcs vérillant (x2) 2 = O, pour 
l OUl x E A , on a: si 2M cs l un projecteur, les al gC bres de Bcrnstcin d'ordre 1 

( i,c., celles qui vérilhmt. (x 2 ) 2 = w(x) 2x 2 ) et. les aJgCbres caractéri.sées par l'idcntit.é 

(x 2 ) 2 = w (x)::c3 y son t contcnucs. Par contre, s i M est invo lut ive on y t.rouve toutcs 

!cs alg Cbres carac térisécs par l'idcnl'ité (x 2)2 = w(x) 3 x, ét. udiées da.ns (c .f.[6J). 

J e remcrcic mon a.mi Rkhard Varro de ses co nsei ls fort utiles. 

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Dirección d e l autor: 

Departamen to de Matemáticas 

Universidad de la F'ro ntcra 

Cnsi\la 54·0. Tc mu co