C UBO 1 1, 2 0-~6 ( 190•) Neyp111 J esnMI" dp MaLs;m 4LJo clr¡ I• 1.oua S ur , Cá lcu lo s ubdife rencial y conjunto pola res . Manuel Bustos V_ A b wt r o c L. 111 Lhi~ not.c wc 60l 1\ li nk bctwcun t-~ubdiffcrcnLiiLI cal- culo~ n.nd ru1d 1><>lnr ool::J. T ltl., n.llow:t us to o\>(.-i n calc ulus ru le;:, o n 1><>llu- ~t..'I in ll nicc W ftY Md lt b rinp w: t.o bclíc vc llrnt t his ¡>0 inl o fv it.lw could gi vc risc to ncw n:::rnh:.1. ln Íl\.Cl by t hi:i b iM wc obLnin t\ll im p rovcm e nl o f 11. f'C1Uh 1ven in litcrf\l,urc .. 1 Introdución. E n c~tc l~jo pre;,cnt.nmoi:i una nplic11ció n del oUculo :i:ubdilcrcncinl ni c AJc u lo de co nj11nC0ndicn- lt.~ 1\1 c:Ák:ulo de conjunL~ pol o.rL~. Loci. conjuntO!'I po tnrt.':'!- j 11 cg1\ 11 11 11 ro l import l\ntc en""'"~ com •exo y este n uevo un foquc podri11 pc.rmi l.irnos obtu11 or mlb in fo r ml\Ci6 n ~brc: e llos. EeLu 1'UpOl'!lci6n no es infundfl.d& y n q ue por ctttc mét o do o bten r~ un l"C!Nltado {Propo:oJlción ti ) q ue mc:;ionrr. Uhll eotLim n.c i6 n dnd f\ 0 11 11} ll t cr nt url\ c1s1. TeottmA 14 .7). El cont>C:ClO gc ncrn.I e n lo quo i!-ig u e ~el do d~ o~ \•cQ.o riA.10! l opo16gico:i lo ·nlmc.n1c rnn,cxort (c. v.t. l.c.) E y F , c.n dul\lidnd ~parArltc por un11 form 1;1. bili- ncl\I (-. -). EJ C"jcm¡>lo ~16.~\co ~ d de 1111 c.\•. U .c. E y !fu duN tiopológico E " . 30 C UBO 11 M . Bu.! {~ mo e:1 muft.! n 1m ».H!i l ~ convexo , R. dc no t11. el c:o njun 10 (- , + J. SI f : e - R. '" oonj ugttd n de J (o trims fo muul" d e Lqc nd r c--fr11d1el d e /) , es I" fu nció n /' : E - R. 0~ili v1unenlc ho rnogéncl'I. y ~mico nl i mm in fe ri or. i / .g E r0(E) • co njum.o d ~ to da.-. 1"3 fun c io ne!'I co m· XM , p r o piM y sc ml co n- ti nuM inforio r ·, Ir\ i11f-ro 11 vo /11dón d e f y g e:\ ln fu nción co m·cxa d efi nida en E po r: (/ 'J ,q)(x) = iu f(/ (x 0) + g(x 1 ) ¡ ,, + z, = x} . ~ in f-oo n,·oh 1 i6n d i.' J .Y !J C:i l! XllCt/J Cll :i: e E s i ·xi:H 11 .J:¡.L, E E. :z: = i1 + J1 , (/ 'J 9)(-<) = / (r., ) + g (f: ., ) . Otú.lad J E l'o(éj, z o E E .Y e: 2 O, e l t- s 11 bdiff'rc 11 cinl de J en :ro C!'I e l co njunt o CO ll \ 'CXO 8, /(~) C F c\ c íl.nid o po r : z ' E 8, / (xo) = / (x) ~ / (xo) + (x - r 0 . r ") - c. 'tz e E , . E B, / (xo) <=> / (.,..) + f'(x ' )- (zo. z ") S c. Oc 1 • d .-frn i io n~ J) r 1· ct1 d o.n lt.'i' !\(! ~ i guc q ue s i (' e E ~ c:o n "'t" J< O, cc rrnd o y n o 'ow.do. c- nloDCa1 ,..,. e r o(J:.: ) y p11 rn lodo :ro e : r : e /J, 1Jir(.r.o) ~ (.r - .J:o, .r ") :s • 1-iz e e ~ 1.1;.(i")- (ro.z ' ) ~' CU BO 11 31 LA l"'t'-IM:ión c ntrt el cálc ulo 6-!mbd ifcrcnci l\ly e l dlculo de conjunt.~ poh1.res l'IC <."!1ll\bl ri mcdlMLC lo noció n de co•V•rnlo normal •prox:imltdo: dado~ e e E convexo ~rn\tlo y no V1\CÍO, :r.o E E y e. ~ O, e l coajunao dt": dirca:ioncs 5-11ormnlcs n Cen :roes c(C;"O) = {x' E P 1 {x- "N'A todo oorij uni.o 8 , A e 8 e r.miV(AU{O}) ~ Li cnc 111. lgunldnd a·= Aº, de modo que h1. hip6t.esl!f siguiente: " C F.: C'f un co1ij11nto con vexo currndo <1m· oont icn<' a (/' no C'I rC'I Lric t.ivu. A~f. :ti C C E c:t un co njunto co nvexo cerrndo qu contiene O, de lo pn:c<:licl\n ln.'J r ugln .. 1 del cAlculo <-!lulxlifM"Cncln.J rd cÁ.lc ulo de co njuntOL'I poh1.f"C1 LA.• rd rc ncl n.'I 11tllii.t1d11.:1 t ' ll ota "t"CXión M>ll ([2J y \5\), p11m 111 .. '1 r eg lM clMlCM dd c:::iüculo d e co 11j u11t06 1>0- \n.res .. W n:-glM de cAlc ulo p nrt1 o l t:-:mbdi fc.rcnciN pueden t:ncontrn.r~ on (l\J). 1,.,., híp61eó~ que l'C c nuncln n co ntinu n.ci6n no~ r~tricth-a en m odo n.l g uno, co mo lo hemos t'IC'ñMado c 11 In introducción : ('H) e, e,. 'c .. ' son :mbco1¡ju11tos COll\"C.\:0.-C- r.t!ttadc...r de E (/llt: contfo11u11 11 o. BI lema que !SiJtltc :-= dcmuc:it. rn dirc:ctnme ntc. 31 C UBO 11 Lo1un 2. 1 Poro roda ' > O .•r l.itm r: EJov,c(O) = N (C; O) . Recordemos l.1t.mbié n q uo N (C ;O) e, tgunl a O .. ~. el cono 11.:11int 6 1ico de Cº (vén.1c !Sj, Tcorc_mg l·L6). Rig11c. cnLonc~ q ue IJot;.oc(O) C n ° pul\ todo a> O. Nuc:strl\ primer" n.plicn ció n co rreJpon d c ni c i(Jc ulo del co nj u nto 1><>lll r de In. s uml\ de un número fi nito de :rnbco nju nLo.'! d e B. P r opo lcióo 2.2 :ii G'1,C'7, . .. ,C11 , ,•Ja ti...•/ n ccn In /J 1pólc...~i.~ ( H ) . cnt o n.ce.1 D c mos t rnción: $igu e por D nrc mo, li\ dcmo~Lrnci611 ptl.rn u = 2; el r~ul Ll\do gc nr: rnl ~ ind ucció n e n n . Un dlculo ~imple mut..~Lrn q ue: y '-"1· Tllntbié.n o= o+ o E C1 n C2, d e mo d o q ue tPc, 'V tPc, ~ e:O.:M:L" e n o. l..o llntuior ~ugfo_rt: 11 p lic 1lT ill rcg ln el e cAlc ulo pnrn el i!·:rnbdifcrc n i1d dr h1. lnf· com-ol u c:ión de do~ funciom.~ co nvcxM p ro p i1t..'! (111, Tcor mn 3.1): ( , +e,)• = 8,(v,c, 'i7 v•c.)(o) = U 10.,vc,(o) n a.,,.c, (o)J , • .,,,.¿:, LJ la1 7íl o, ,J (o , .o,)< L:, • 0Ntl08" oon1ln101ci6n 111H1 n11lic11d6 11 "' clilc ulo d d rl'lnjnntn pol" r rlc 111 inlc~ión dC' un número Rnitoo de ~uhco1lju11u11>1 d e. S . P r op lc'd n 2.3 S t1¡Hmr1 ri111n.• '1 Uf' C, , C,,. ,, C.,, rrn/k,on In l 11 p 6 t ,.., (1<) 11 qu< rn aid.-caort. l(/('11/0 :tubdífNTncila.I ... C UBO 11 OE ;,,t( íl C,)n c •. l ,S1,S n - I ( n c. ). = con o ( u C7) l 5 1:: n \q ::- 111 Oo mo•lrnclón: Como en el cMO pr-cccdcnlc 3C dflri la dcmoslrllCÍÓn parn n = 2. Se llcnc:i./1c 1 íl ~ = 1/lc, + Wc,, rehu:ión que 5ugicrt In. tLpllcuc ión de In. rcttl" de cA lc ulo d el t·:mbdifonmclnl de In :turnl\ de d~ funciond (l!J, Tcoro m11 2. 1). 'omo ~. \' wr, ~n íu n ionl.':I co nvcxM pro piM y t..tc, es oontin11 11. n. lo mcnoo u11 n.li;(t'111 .r E in t ( 1) íl C,, ~e ,,iguc: (C, íl Co)' = 8,(,¡,c, + .Pc,)(O) = U 181 ,"<;,{0) + 8c, v•o,(O) j . (t:, .L1>E' L1 Adum M 8,, v•c-, (O) = ,,c1c.. si e, > o • o·• '¡, ~¡ '· = o (v f\..~ Lcm ... 2.1) Lm.11:0 .ncw • U C<• i+c,c;) (c,.<, )llCftción co n!lid cn\lnOJ d °" ¡>n~dc "·'"' J..c. en dun.li dnd (E1, F1 ), (J::.i. f 1). "" A : B1 - /:).¡ un OJ~nulor li11~1tl cn11cin110 y A ' : F'1 - F'1 s u OJ>t'rntlor IU(junio. Si e e E., l!:'I 1111 co11j11nlO com·cxo cxn-ado que co nt iene 1\ 01 :ltlll /1 • Uf' o A UJ>ongn. mOél q ue /1 :Jl\li:tfncc In. hi p6tcd!l Jiguicn lc: V7." E P1, /1'(!1: ' ) = iní{ ~(-(1/) 1 A ' v ' '""z' } lo cu 1 ocurn- !V, po r ejemp lo, cx i!!lC X E e, ll\J qu(' A..i: E inl e 3'1 C UBO l l M. 81L•l (J!IS IA 1(C)f' • B,(.¡,c o A)(O) = Jt "lli ( A(O)) (( lj,Tcorcm• 2) =1\' (C'' ) • n d fin de l'CILlit. ru- m H\ t'11Linm npll cncl ó n ncccsit.11mo.'I. m odificAr IM h l¡>6t.~l" d e ll\ Propcdld6n 3. l~n lugn.r d o 1111 opcriidor lintttl .-1 : E1 - /~ co n.1 id <: r1U110~ f\h r11. un11. funci ó n co 1wex 11 y propiil f : E - fl, d conju ni o oo n,•cxo cc rrf\d o e =1 - . af, ne R .V :-I H ir'M ft:C ll invc~n ¡ - 1(C). P r op os ició n 2.S ,.,·Cll f E l~o(B) rm.11 /tm c 1ó11 t nl qm. O E do m/ . S i r.i > / (O) . • •t:n O• {z E B 1 / (x) So). F 11t rm rr.• :r· E Dº :o' 11 M5lo .•1 r..r1..1lc (c:,.t:.,) E ¿:,, 1 E R 1 /,nl qu e: 1 E [O.<,/(o - / (O)) [ ,.,,,¡ (1/ )'(z ' ) S '' - 1/(0). ; ldcmn .... ""' J 1~• 1mn /m1 c; i1i 1t po.~ it.iu11 U / (O) = O .. • tumc In tt.1 limn c1d11 I)' e " ' I• ' E E:' 1 /' (r ' ) So) e 20' Dcm o:irtrnc.i ó n : SI e =1- . rr j Clll Oll C<::J: VD="''' ·•(C) = \.'C o I . AdcmM 1.y- E r o( fi.) e, 111111 fun ci6n crc<:ic nte y / (0) E / (dom/) ílJ - ,oj, luego dl' (( 11, TC"Orcm11 !U ) ~ :'llgw·: .r. ' E D1(1J'C o / )(O) !ii ' ~lo :i:i cxil'l\Jc n nl1111 cro:t reA.lc:!I poeiü'~ c1,!7, I , l nk· i1 q11 tl: ( t) (1 • ': = I , (2) 1 E 0.,-'r(/(0)) ,\', . E 1J, , (1/) (0). l'n lado dirtt'ld dn : Oc, V•d / (O)) • !O« ./(n - / (0))1 Po r º "ª Jl6M.r, r ' e Oc,( 1 / )(0) i1I y ~l o .1ti (1/) (0) + (1/) ' (z ' )- (O, .r ' ) ~ '' 1/(0) .. (11)" (.r' ) s ,, CUBO 11 :m Co n c:I fin de obtener la ~llm1u;l611 de D º o~rvcrnos que d c-·subdifore nc in.I ~ mm multifu nc i n c;:rockntc del J)l\r tlme tro ( positivo) t.. Lo 1rnu:rior u nido a ll\.'! hip6tc::iil! :K)brc J noe1. dft: o s >. s 1• = 8<(>.l)(o) e 11tv•/)(o) . O· oqul,. deduce' 8,, (1./ ) (0) C 81(0 - 1 /)(O) , de modo que' • • e 8,, (1./)(0) = ("-'/)' (•') s 1 = J'( o-.<' ) s " ' y d e l\qul dcd ucirno." I" prlmern eJti m/\Ción: 0 ° C o 1 { .:: ' E g • J /' (::. ' ) .$ cr ) . finn.lrncnlc, de In d~igun..ldnd : deducim~: ,¡.0(7') = • up(( (z,z' ) - o ) + o 1 (-<") S 2o ) - 2o (z ' e ,, 1 • •j,(z' ) s l} = 2o0'' lo que compl ti\ In dcm o5Lrn.c lón . • EAl c rcsuhMlo, n.1111n incl o e n ln introd ucció n de ~le trnhai. )O, bft sid o obte nid o madi· n.nl c d c4Jculo c-~ubdiícrcnclnl. Es mm Cl\rl\Cteduw:.ión c:om1>lc:L8 del conjunto p o lnr f 1(C) en tb-min~ d e lu ínncióu co njug&d" de J ,. pcmitc obt e ner h l eitl lmf\Clón dndf\ por Rodc.1t/cl lnr on (15). 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