CUBO 11 , 73-79 (1995) Novc11a Jorn!\dn de Mntemátjca de la Zonn Syr. Clasificación de las métricas invariantes a izquierda en grupos de .Lie Juan Leiva Vivar Resumen. Si G es un grupo de Lie y g su álgebra de Lie, cualquier producto interno en g, determina una métrica invariante a izquierda en G. Recíprocamente, dada una métrica in- variante a izquierda en G, queda determinado un producto interno en g. En este t rabajo se establecen condiciones necesarias y su- ficientes para que dos productos internos en g, determinen métricas invariantes a izquierda. en G, que sean isométricas. Esto es, se clnsifica:n lus métricas invariantes a izquierda bajo isomeliría. 1 Métricas invariantes a izquierda en grupos de Lie. Sea G un grupo de Lic n-dimensional y g su álgebra de Lie asociado.. Dado x EC, la aplicació n &.,, : G __. C, tal que L: (y) = xy, es un difeomorf1smo, llamado brM lación a izquierda por x. Un campo vecLorial X en C, se dice invariante 11. izquierda si : (dl,,) c X (e) = X (x), 't:fx E C, donde e es el elemento ne utro del grupo C. Una métrica Ri c mn.nnia.nn en C se dice ilwllritui tc a izquierda s i hui trns lo.ciones a. izquierda son isomctirfas, esto es ; CUBO 11 J. l.AÚ \"8 ( 1) Un grupo de Lie con una tal métrica resulta ser unx variedad ho mogénea , pues pA.ra x, y E C existe la isometrfa /.,y:r. - 1 que ll e\ff1. x e n y. Dada una métrica invari ante a izquierda en G , {, ), quecln d etermi nado un único p roduct o imcrno en g = TeC, y éste es( , )e· Recíp rocamente, dado (. }e un prod ucto interno en g, según 12) ,q ueda determ inada un a 1ínica rnét ricA inva riante a izq uierda e n G por : También tencmo!' q ue, dada una base {e 1, •.• ,e,, ) de g , ést a de termi na un ún ico produc to imerno en g, para el cual esta base es ortonornrnl , y a.sí queda determi- mulR una Única métricu invariante a izquierda Cll C. r-.•IRs gene r al me nte, dada 1urn matriz r eal de ord en 11 , s imétrica y posil iva definidn , q ued a dctermin ad A una única métricn invariante n izquierda en G . Por tanto, existe lllH\ familia ~ 11 ( 11 + 1)-d imens lonnl d e métrica...-; invari a ntes a. izquierda en G.(ver pj). PMR el ca._~ p a.rt.icular en que G = D·l:i,.+1 es el gr upo de Heisenbcrg, en [41 se mues. traque todn mét.ricA in w.i.r i1lnte a b:q uie rcln e n IH z,,1 1 es eq uival e nte bajo isom cl rÍI\ n nnn de la...;; métri cas: 9A , ... A, = ,q (cr~ + fif) + ..... . +,\~(o~+ J;) + _,'.l , con \ 1 •••• ,\,. E R - {O\, donde ( cr, = d:r. , ;d, = dy,;...i = d:. + ~; .. 1x ,dy,) es ln base dual de la base de campos Í ll\ 1ariant.e a iu¡uicrda dRd R por : {X, = .f;Y, = :-x,~;Z= ~} CJ :l. 1 U !f1 U- U- donde (:z:., y,, .::) es un s istcrn u de coordc nnd ns globnlcs. Así ¡>0r ejemplo , parit IH:i, flC t iene que { x = i'... ;~· = i'... - x.!'..;z =.!'.. } ax 8y {J= (}:. es bft..;;c de 113 y {o = d:1;; f3 = dy; w = d.:: + xdy} es base dual y ¡>0 r t.R n to las m ét.riCIL'< in"nriRntcs 1\ i7..c¡uicrda sobre ll·l3 son ec¡ui va lc n tcs bajo isomctrin a. u n " de las s i- c:uicntcs : Clli.!. Sea ade-m á3 , {en) } tam bié n es ba.Je d e g. Se a < , >! produ ct o i r1.t en 10 en g tal que 8 2 e~ ort on. or- mal 11 <,>' m ét n ca in. variant e a i:quienfo en. C, dctenninn.d.a por < . > ~. En tonce,, (C.<, >1 ) C3 i.so m étrico n {G, <. >' ). Demosu sció n . Supo ngtimos pri mero qu e e es simp lemenle co nexo, MI d e (2. 3) ex iste ({' : G - C automo rfis mo de jt?'U PQS de Lic t al QllC d1p" = l/J, dond e 76 CUBO 11 J. J.,cim 1) ___. (C,<,> 1 ) es unRisomctrín. Ose>\ {d1p,,. (11), dJ.p7 (v)}!(:i:) =={u, u)!, V'J: E G,'r/11 , u E 'T;,.G . SCJ\n x = e (el e le mento ncut>r o de G'), u = e, , u= e,; e., e, E Bi; se tiene (d(e,),'!> (e,)); ó,, (c,,c,}! (2) (Pues B1 y Eh so n or t.onor males respecto a <,>! y <. >~ rcspccLivamcnte). Sean, a hora, X E e' u, V E T:i:G Cll /\lcsquicr a. Como L,. es di fcomorfismo, entonces: es isomorfis mo y por t.Uinto existen 11 ', u' E T.,C tales que A sí tenemos : (d))~¡,¡ J.1u-go rp rs Hn f\ isn rnr.llrÍn .. / j = (d J.,,,.)., 11 1 ,11 = {d/_,7),.1/. ((dl ¡.¡ -•) d'); • •Í"I •(•\ {d ( f.,op(:i:)- ' o rp o/.,,.)., u', d ( L<.,:.(r)-' o cp o /.,z ),, u')~ {dvi., 11' , dip.,u')~. pues L....,(:r)- ' o i.p o l,. = <¡:> {111, v')! . ele (2) y bilincalidad ((dL,); ' u , (dL,); ' u)! (1i,11)! , p ues Ja métricn es in,·arian tc 8 izq uie rda. Ahora supon Amos que G' no es si mpl emente co nexo. De ( 2, l ), cxis l e e grupo de Lie simplcmcm c co nexo , c::ipacio el e c ubrimi ento ele G , tal que la aplicació n ele cnbrimie nlo r. : (; - C es homomorfis mo de gru pos de Lie. Además, de (2.2)sc tiene que d'ti; : !j - g es Iso morfis mo (donde !j es el N1o?ebra de Líe de G y C es 16 idcnticltu:I ele G· ). 0/&.1 y <. >2 m éfric n.'I i n.va,-in.nlc:J rt i ::t¡ 11ie r'(/n Ctl C . .. 'Ú (C:.<.> 1)C.! ,,,.omél r i'co n (G» <. >2) c 11 lo ru·e ... e.r1~d. t o nut o morfi.smo tft f nlgcbrn d e L u .. g In.! t/ll C s·i 8 1 = (c 1 , .•• , cn) c ... bn3C rh. _q .o r·to11or-r 11al 1u pect o ni protl ucLo inlt..rno < . >~ 1m.g,8c l.ic n e q11 c 8 1 = {Q(i 1) .... o(c,, )} e.'1 bn.:1c rh y. orton ormal r"t-'1p ec, f,o n.l protlw;lv i11 t.tw11 0 <. >'! De m ostració n Sea 1p : (C , <, > 1 ) - (C, <, > 2)isomctrío. , enloces o= d.tpe : g - g e<: i:;om o rfi:-m o d e cspnci o~ vector iales. Sea 8 1 = { t 1, •••• r n} ba..<:.e d e g ,ortono r mnl res¡>t'cto al 1>roduct o inte rn o < . >!en g. 8 1 d e te rm in a 11nn ba...:;c d e cam pos invnr i- RlllC:'i 1\ izq u ierd l\ en C, l E 11 .. . ,En}, dcflnidog por c.nto nce::1 t RmbiCn es base de cnmpog \nvariiultcs a izq uierda. Como dVJ,,CS isomorfonno, 11 t1n 1Hlo log s ímbolos el e C hris to íel , se obtiene que : d1>nclf' '(' <"" hl C"fl lW:.: ió n llif'1111umin1111 l' ll C . ,_\¡':f t " llf'lllO" el<" (5) y ele In !limctd n , (E.Jd~,, (/~:J - \ •• ·.4&.>"?. En t'ÍCcto · CUBO 11 79 (~(e,)'~ (e;))~ (d<,o, (e;)' d