C UBO 10, 01-05 (1994) Octava J oma.da d e Matemática de la Zona Sur. Subproductos escalares no arquimedianos. Alejandro Figueroa Cortés Resume n Este trabajo está en el contexto de Pro JI a [3]. Sea (F, \ · 1) un anillo división no t rivi al ment e valuado y sea E un es- pacio vectorial (no trivial) sobre F . El auto r determina condiciones suficientes sobre E para que exista un subpro- du~to escalar no arquimediano (una restri cción de! concepto de subproducto escala r dado por Choquet [2]) . 1 Introducción Definición 1.1 Sea E un espaci o vectorial s obre un anillo valuado (F , ] · 1) . Un :mbconJunto S de E se dice que es F-convexo , si se cumple Lo sigu iente: :t, y, z en S y a, b, e en F con a+ b + e= 1, lal 5. 1, lb\ $. l ,lc\ $. 1, implican queax+by+cz ES . De finición 1. 2 Sea ( F, 1 1) un anillo di visi ón valu ado. Un .rnbcon;·unto S d e E, E un espacio vectorial sobre F , s e lla m a absorvente si , paro cada x E E . existe un 6 > O tal que para cada a E F , la] ';?: 6 implica x E aS . D e finició n 1.3 Sea (F, l· I~ un anillo div isión valuado. Un s ubconjun to S de E de un espacio vectorial E sobre F se llama balanceado s i aS es su bconjun t o de S para ca.da Jal $. l . C UBO 10 A . Figueroa C. De8nicló n 1.4 S oo E un. espacio 11ectorial sobre. tm anillo de d i visión F . Uri subcnnjunto S de E se llama n o-arqulmodiano si S + S e.s s ubcnnju nto de S . De8nición 1.5 S ea E un espaci o vec;to riBL s o bre. ( F, 1 1). Un a seminorma sobre E es un a func ión p : E - IR t al que: ( 1) Para todo x en E' p(x ) ~ O {2} Para todo x en. E y t odo a en F : p(ax) = la lp(z ) ( .9) Pam t odo :r:, y en E , t od o a en F : p(:r: +y) .5 p(x ) + p( y ) S'i además ( ,1) Paro todo :r:, y en E: p(x+y) .5 máx(p(x) , p(y ) ) entonces diremos que p es una sem i n o Mna no-an1uimediana so bre E. Definició n 1.6 { Choquet , (2/ ) S ea E un espacio vectorial s obre ( F, I · 1) . L la - maremos subpro d ucto escalar en E a toda fu nción B d e Ex E en R+ U {O} t al que: ( 1) Paro. todo x , y en E : B (x , y ) = B ( y , x ) (2) P a ra t odo x , y e n E y tod o a en F : B (ax, y) = la lB(:r:, y ) (9) Pam todo x , y , = en E ' B (x + y, z),;; B(x , =) + B(y , z) (,1) Para tod o x , y en E: B'(x, y) ,;; B (x ,x)B(y , y) 2 Prelimina res P~oposición 2. 1 Sea E un espacio vectorial s obre un. anillo divi.3ión v tiluado ( F, 1 · 1) . Las siguientes s on equivalen t es paro cualquier .mbconj v. nto S n o vacío d e E : ( a) S e3 F -convezo y O ES; {b} S e.,, balanceado y n o- a,vuúnediano; {e} x , y en S y a . b en F co n lal .5 1, Jbf .5 1 implican qu e ax+ by E S Dem ost ración : Proll a !3J, pag. 8 1. • Proposició n 2.2 Sen E un. e3pacio vectorial sobre u n anillo div isión no tn·- vialmen te valuado ( F , I · 1) . S i exist e un 3ubconj unto V de E con O E V, nbsove n.te y F -con uu.o; ent.on~s existe u na semino ,.mn no- nrqu imediana p sobre E ta l que: V,(O, I) e V C \ip(D, 1). S i el valo r abso luto de F e.,, di.scre.to . e ntonce.' \1 = Vi O, 1) Subprod uctos esc&lares ... CUBO 10 Demostración : Prolla [3), pag. 85. • Observación: En proposición 2.2 c uando ( F , l · I) es no trivialmente value.do y V es abierto, entonces le. seminorme. p definida allí es continua. Demostración: Prolle. [3], pag 87. • 3 Resultados principales Teorem a 3.1 Sea ( F, l · I) un anillo divisi6n no trivialmente valuado y sea E un espacio vectorial {no trivial) sobre F. Si existe un. subconjt.mto V de E con O en V, F - convexo, absoniente, entonces erist e B: E x E - W U {O} , no trivial, no constante, con la.s siguientes propiedades: ( a) Paro todo x,y en E' 8(x,y) = 8 (y , x ) ( b) Paro todo x en E.' 8(0,x) = 8(x,O) =O {c) Para todo x , y,u en E: B(x+y, u ) :S B(x,u) + B(y,u) {d) (Condici6n de no Arquimedianidad) Para. todo x , y , u en E: 8 (x + y, u) S máx(8(x, u), 8(y, u)) ( e) Paro todo x,y en E ' 8 2 (x, y) S 8(x, x )8(y,y) (f ) 8(0, 0) = o ( g) Paro todo x, y en E y a en p, 8(ax, y) = lal8(x, y). TOOrema 3.2 Sea (F, 1 • 1) un anillo división no trivialmente valuado y sea (E , T) un espacio vectorial topol6gico {no trivial} sobre F . Si existe una vecindad V del O en E, F-convexa, Entonces existe B: Ex E - JR+ U {O} , continua, no trivial no constante, con las siguientes propiedades: (a) Paro todo x,y en E, 8(x, y) = 8(y , x ) ( b) Paro todo X en e .. 8(0 , x) = 8(x,O) =o (e) Paro todo x , y , u en E ' 8(x + y, u) S 8 (x , u) + 8 (y , u) {d) {Condición de no Arquimedianidad) Pam todo x , y , u en E: 8 (x +y, u) 5 máx(8(x, u) , 8(y, u)) (e} Paro todo x,y en E.' 8 2 (x , y ) 5 8(x ,x)8(y , y ) (f ) 8 (0, 0) =o (g) Paro todo x , y en E y a en p , 8(ax , y ) = lal8(x, y). CUBO 10 4 Demostración de los Teoremas Demostración: (Teorema 3.1) Sea (F, 1 · 1) un anillo división no trivialmente valuado y sea E un espacio vectorial (no t ri vial) so bre F. Si existe un subconjunto V de E con O en V , F-convexo, absorvente , entonces se puede aplicar la proposición 2.2 de este trabajo y se concluye que: Existe un a seminorma p: E - lft+-U{O} tal que x .._. p(x) (no trivial ) . Definimos B' E x E - IR:' U {O} ?0' B(x, y) '= p(x)p(y) (a) Sean x , y en E' B(x, y) ,= p(x)p(y) = p(y)p(x ) = ' B(y, x ) (b) Sea X en e, B (x , O) '= p(x)p(O) = p(x)O = o B(O, x ) '= p(O)p(x) = Op(x) = O (e) Sean x , y , u en e, B(x + y, u) ,= p(x + y)p(u) S (p(x) + p(y))p(u) = p(x)p(u ) + p(y)p(u) =' B(x, u)+ B(y, u) (d) Sean x,y , u e n e, B(x + y, u) = p(x + y)p(u) S (máx(p(x),p(y))p(u) = máx(p(x)p(u), p(y)p(u)) = máx(B(x, u), B(y, u)) (e) Sean x , y en E' B'(x , y) = (p(x)p(y))' = (p(x))'(p(y))' = (p(x)p(x))(p(y)p(y) ) = B(x,x)B(y , y) luego B'(x , y) S B(x,x)B(y,y) (f) 8(0, O) = p(O)p(O) = O · O = O (g) Sean x , y en E y a en p, B(ax , y) '= p(ax)p( y ) = \a\p(x)p(y) =' la lB(x , y ) . Además, por ser p una semi norma no trivial, existe un xo en E tal que p(x0 ) =FO. Luego , B (x0 , x 0 ) = p(xo)p{xo) -:/; O Por lo tanto, B es no constante y no trivial. • Demostració n: (Teorema 3.2) .F'alta por demostrar que Bes continua. Teniendo presem.e la observación de este tra bajo se tiene que si V es abierto, en- tonces la seminorma pes oont inua en E. Luego, B (x , y) = p(x)p(y) es con tinua.. • Referencias [IJ Figueroa. A. Conj untos r-convexos y subproducto8 escalares. Comunicación presenta.da a. la. J oma.da de Matemática de Ja zo na s ur, Universidad del Bío- Bío, Concepció n, Mayo d e 1991. [2J Choq uet C. Topología. Toray~Ma.s.son 1971. CUIIO 10 (3] Prolla J .B. Tapies in Functional Ana.lysi.s over v a.i.ued divi.sion rings, North Holla.nd,Mat>hema.tfrs Studies 77, Notas Mateá.tica, Ed. Leopoldo Na.€h- bin, (1982). [4] Van Rooi~ A.C.M. Non archimedean, functional analysis, Marcel Dekker, Inc., New Yo11k and Basel, 197.8. Dirección del autor: Alejandro Figueroa Cor.tés Departamento lile Matemátiica y Física Universidad de Maga\lanes Ca.silla 113-D. Punta Arenas