CUBO 10, 15-21 (1994) 
Octava Jornada de Matemática de la Zona Su r. 

Soluciones Analíticas de un Problema de Valor 
Inicial y de Contorno.* 

Eric Paredes U. 

Resumen 
En este trabajo se cons idera un Problema de Valor 

lnicial y de Contorno (P.V.l.C .), en el cual la ecuación 
diferencial parcial es de segundo orde n , lineal y de tipo 
hiperbólico. El P.V.I.C. corresponde a una generaHzación 
de p roblemas ya tratados en forma parcial e n S piegel [9] y 
en Myint [6J. 

El objetivo del autor es estudiar el P. V. LC., d eter-

minando soluciones analíticas. En particular, se obtienen 

condiciones suficientes para obtener dichas soluciones. 

1 Introducción 

Consideremos el Problem a d e Valor Inicial y de Contorno siguiente: 

{ 
u:cy = K (x )u., + L(x),x > 0 ,y > O 

(P ) , u(O, y ) ~ F(y) 
u,(x , O) ~ G(x) 

(P I) 
(P2) 

donde K, L, F y C son funciones conocidas. Supongamos que el problema (P) 

ad mi t e un a sol u ción u(x,y) t1d que " "Y= " y.- · Determin a r emos a continuación d ich a 
soluci6n. 

' Proyecto P 4--02MF-94, Univcr11idnd de MagallMCll 

\ Ó 



16 CUBO 1 0 
E. Paredes U. 

Sean p = u,,, y p,,_ = u~. Entonces, la EDP del problema (P) se puede 
escr ibi r en la forma : 

Py - K(x)p = L(x) 

la cual es una EDOL, cu ya solución es: 

p(x , y)= u,(x, y)= e<C•» j L(X}e- K(•)Ydy + e"C•l• c(x}, (! } 
donde C(x} es arbitra ria. 

Al integrar ( 1) co n r es pecto ax, se obtie ne: 

u(x, y)= j e"C•i•¡f L(x)e-K(•)Ydy)dx + j C(x} c K(•)Ydx + A(y) , (2) 
donde A(y) es arbitrar ia. 

Et problema se reduce aho ra a deter minar las funciones C($) Y A(y) de 

manera explícita. 

Sean: 

8 1 := j L(x) e- K(:c)Ydy 

8 2 := j ek(:c)Y C( x)dx, 
entonces, (2) se puede escr ibir en la forma: 

u(x , y) = J e K(z)yB 1(x,y)dx + B2(x, y)+ A(y) 
Derivando (5) con respecto ax se tiene: 

En la última igauldad se u tilizó (4). Aplicando (P2) , se obtiene: 

C(x} = C(x}- B,(x,O} 

Al ' "" mpl•z"' (4 ) y (6) e n (5}' 

(3) 

(4) 

(5) 

(6) 

u(z , y) = j cK(•i•¡s, (z , y) - B,(x, O})dx + j c"C•l•C(z}dx + A(y}. (7) 



Soluciones Ana/foica.s .. CUBO 10 

Definamos a.hora 

83(x , y) := J eK(:r:)!IG(x)d.x 
B.(x,y) '~ j eK«l>\B1(x,y)- B1 (x , O)Jdx , 

entonces, (7) se puede escribir de la forma: 

u(x, y)~ B,(x , y) + B3 (x, y)+ A( y ). 

Aplicando (Pl), obtenemos: 

A(y) ~ F(y)-B.(O , y)-83(0 , y ) 

Luego , utilizando (10) y ( l l) se tiene: 

u(x, y)~ jB,(x,11) - B,.(o, y)J + [B3 (x, y ) - 8 3 (0. y)] + F(y), 

utilizando (8) y (9) se obtiene: 

~ 1' eK(t)> \B1(t , y)- B1(t,O)]dt + 1' eK(tl'G(t)dJ. + F(y) , 
utilizan do (3) se obtiene: 

= 1"' eK(i)y{¡Y L(t)e- K(l)•dz}dt + 1" eK(l)YC(t )dl + F(y). 
Así hemos obtenido como solución del problema ( P ) la función: 

Pode mos o bservar q ue : 

17 

(8) 

(9 ) 

(16) 

(11 ) 

P ara q ue ( 12) sea una so lución del problema ( P ) de b en s atisfacerse algunas 
condicio nes de integrabilidad en la.o:; fondones K , L y C: , por ejemplo: K, L y C: 
co ntinu as. 

Propo s ición 1.1 La. s olución d el probl e m a (P) es 1ín.ica. 



18 CUBO 10 E. Paredes U. 

Demostración 

Sc&n u 1 y u'l soluciones de (P) tales que 111 -::!- U:2 .Y cons ideremos la función : 

v(x, y ) = u 1(x,y)- t.12 (x,y) 

Entonces: 

{ 
v.,, - K (x )v, =O 

(Q)' v(O, y ) =O 
v,(x , O) =O 

Sean q = v,.. y q, = v~, . Entonces ( 13) se puede escr ibi r en Ja forma: 

q, - K (x)q =O 

que es un a EDOL, c uya soluci6n es: 

q(x, y ) = v, (x, y) = C(x) e K«» , 

donde C(x) es a r bitraria. 

Al integnu· ( 14) con respecto ax: 

v(x , y)= / C(x)e Kl•l>dx + A (y), 
dond e A (y) es a r bit ra ri a. 

ApHcando(QI) y (Q2) a ( 14) y ( 15), obtcncmo5' C(x) = A(y) = O. 

Luego v(x,y)= O es !W>luci6n del problema (Q) Y en consecuencia: 

111 (x, y) = u2(x, y ) 

De ma nera que h1. solución del proble ma ( P} es linica. 

( 13) 
(Q I ) 
(Q2) 

( 14) 

( 15) 

• 

Proposición 1.2 Sean 11,(x, y ) 110/u c i ó n d el problema de valo r inicial y de 
r:nnl.n r.,1n: 



So luciones AnaUt icas .. CUB O 10 

{ 
u, , 

(P)' u(O, y) 
u. (x, O) 

K (x) u, + L, (x) 
F; (y) 
G;(x) dondei= 1,2,3,···, n 

Entonces: 

u (x, y) = L u; (x , y), 
1= \ 

es .soluc i ó n d el proble ma d e v alor i nicial y d e conto m .o: 

¡-· 
K (x) u, + L l , (x ) 

(P• ) o u (O, y) L F; (y) 
'";;"\ 

u:r:(x, O} ¿ c;(x) 

D e m ostración 

El res ultado es consecuencia di recta de le. lineal idad de los opere.dores : 

P[u] t l zy - K (x)u., 
P,[uJ u (O, y) 
P2JuJ u,(x, O) 

En efecto: 

PJt u,J = t P Ju;] = t J( u, ),, - K(x )( u,), J = t L;(x ) 
•=1 •=l 

P,[t u;] = t P,Ju;J = t u, (O, y)= t F,(y) 
... 1 , .. , •= l 

P,Jt •4J = t P2J u;] = t (u; ),(x , O) = t G,(x) 
·- 1 1111: 1 ,,,. 1 

Por lo tanto, si u(x, y)= L u;(x, y) : 

19 



20 C UBO 10 

P[uj = L D;(x) 
•=J 

P,[uj = L F; (y ) 
•o;;l 

P2 [uj = L G;(x) 
y así u(x,y) es solución de (P'"). • 
Ahora q ue hemos obtenido un a solució n ge neral del prob lem a {P ) .r además 

hemos clcmostrado su u nicid ad, pode mos estudi ar algunos CASOS partic ula res. 
Por eje mplo, s i K (:r: ) = K 0 , do nde Ko E IR, el problemn el e valor inicial y de 

co nto rno : 

(QJ , { ::(o. u) 
u,.(x, O) 

t ie ne .!!Ol ución dada p or : 

Kou,. + l(x) 
F (y) 
G(x ) 

u (x , y ) = { (Y,JJ; L(t.)~t + cK" f,' G(t )dl + F(y) , , ; 
y fo l (t )dJ +fo GBt,) + F(y ) , , ; 

K 0 ;"O, 

Ko = O 
( 16) 

. De In expresión ( 16), podemos obt ener condiciones s uficientes para que la 

90lución d e (Q) se pueda obtener d e ma nera exacta. En efect o si la.s integrales 
ind.cfin idM: J l (t )dt y J G(t.)dl., ~n elemen tales (en el sent ido d e Abellan a.s y 
C61indo l!J), e nto nces la solució n d fl.Cla e n {16) se p uede calc ulRr de mane ra exactR.. 

En base al, res ultado ant.er io r, es p osible obtene r unR. ín mil ia infini ta no n umcr-

1:\blc de soluciones exacl a.s d e (Q), e ligiend o a.decundnm ente lR.S fu nc iones L y G 
pa r a F' y Ko arbitrarios. 

R efer e n c ias 

[l j Calindo A. ,\fétodo8 de Cálc ri lo. Me. C: ru.w- Hi ll ( 1990 ). 

/2] Ducluneau P., Zachmann D.W. E c u ncionc.!I Oi/crr. ri c iafc.., P a rciales. to.le 
C: raw- Hill ( 1988). 



CUBO 10 2 1 

[3) Edwards P. EcuacionCB Diferenciales E lementales co n A plicaciones. &l . 

P rent ice Hall ( 1985) . 

[4 J Fa r low S.J. Pa,rtial D i.fferential Equ atione.s for· S cienlist and Engin eers. 

Ed . John W il ey-Sons (1 9 82) . 

[5] J iménez F. E cu acione.s Dif erenci ales en Derivadas Parciales. Uni versidad 

de Concepción. 

[6) L ieberstein H.M. Theory of Partial Differenlial Equa t i on.s. Ed. Aca.dernic 
r ,ess (19 72). 

[7} Myin t- Y Ty n, Lokenat h O. Partial Differe.ntial Equation.s Jor Scienti3t and 

Engineers . Ed Nor.th- Holila.nd ( 1987) . 

[8J Pe trovski I. G. Lecci ones sobre Ecuaciones en Derivada..~ Parciale!l. Ciencia 

Téc nica (~969) . 

[9] Sneddon l. E lemenls of Partial Differentin./ E qun.t.ions . Ed . Me C raw-Hill 
( 1957). 

[1 0) Spiegel Murray R. Applied Differe.ntail Equ ation.s. E. P. U: H. (1 962}. 

[11 ] Tijonov A., Sam arsky A. Ecuaciones de la Fís i ca Matemática. Ed . Mir. 

Moscli 

[12j Weinberger H. E. E cuaciones Dif eren c iales e n D er ivadas Parciales. Ed . 

Revert é, S. A. 

[13] Willia ms W .E. P rwtial Dif]'er'en tlal Equatio n.s . Cla rcndorc P ress-Oxford 

(1 980 ) . 

D ir ección d e l a u t o r: 

Departa ment o de Ma tem át ica y Física 

Un ive rs id ad d e Magallancs 

CMil!a 113-D. P u nta Arenas