CUBO 7, 16-21 (1991) MODELOS DEL MAL DE CHAGAS poc Ana Hada naturana C. Re•umen . Se an a liz a n do s modelos continuos compartimentados del Ha l d~ Cha gas , co n el ob j e llvo de s e r uotlllzados po steriormente en poll - tl cas d e contro l . Lo s modelos se red uce n a un problema de Cauchy y son re sue1 tos utilizando las t éc n i cas us ua l es d e aná l isis de la Estabilidad d e l o s flunlo s d e Equ i libri os (Es l ud lo Local y Gl o bal). E l - c 11 ogas · (TRIPAllOSDHIA S I S AME:llI CANAl e s una e nf e rm e dad de c on l og l o I nd i r ec t o , tras mitida por c o nt a mina ció n d e l a he ri da por la mord ed ura d e l a - vi ncllu c a" (Tíl!ATOHA JNFEST AN S {protozoos ) ) , e s la ln - f e cc l ón s e pr od uce po r mt?d l o d e l a s d e í ccacl o nes qu e e s t e In sec t o e x - puls o. a medida que se a lime n t a, y la pu e r t a d e e ntr a d a s o n la s h e ri- d as d e e s l as pi caduras. La e nfer medad p rod uce d c b ill ta ml c n t o d e l Indi v i d uo , oc a s i o nando a - f e cc i o nes resp i r a t o ri as , d i ges tiv as (M e g ac ol o n), c ar d i a c a s, cutá nea s y ha s l a l a a ucrte e n c a sos e xt re mo s . Es l o lns c c lo v ive asoc i ad o a l hombre , e n la s he ndid u r as de Jos l e - c hos , fi s uras de l as par e d es . hu ecos d e los p i sos o en ga l l ln c r os y pa l omare s p r 6 xl111o s a l as v l v lcmda s de Am é ri c a La ti na qu e , en g e ne r al, so n d e ti po preca r i o y co ns tr uid a s de mate rial Inade c uad o. e u e o PAG . t7 No ex l ste t ra t a mt e nt o sa ll síactor l o para el 11.tl de Cll RgRs , s i endo esta e níe rmedad de ll po c r ó ni co. Asl, la Un\ c a í orma de comba ti rla, es a nivel prevenllvo. llab ltuaimc n te para esto se usa n pul ver i zacio- nes de l as v i v l e ndas para e liminar al vec t or, pero este mé t od o llene problemas, pues es t e vaclo es ll e nado por l os vec t o res s il vestres ya que las pulve rizac i o nes sólo se remiten a l as viv i endas llJ . El obje- ti vo de este a rti c ulo es una p r i mera aproxl111ac l 6 n n l as mode l ac l ones del Ha l de Ch agas con la In tenc i ó n a futuro de deter minar l as pol l ll- cas de contro l má s ap r op i adas . En es t e traba j o es tudiare mos d os modelos del H1t J de CJ1Rg11s. En el prlmcr mod e l o, e l má s s impl e, usaremos las s igui e ntes a notac i o nes. N: Pob l ac i ó n tolal huma na . S: Susceptibl es (fracc i ón d e lnd l v l duos que podr l a n se r lnfectados por la e nf e rmedad). I: Inf ecc i osos (frac ción d e ind i viduos que han s ido contagiados). µ: Tasa de nac imi e ntos y tasa de muertes . ;\: Tasa de contac to. Y: NU111e ro de v lnc hucas por uni dades d e 100 . Cons i deraremos e n e s te mod e l o l a poblac i ó n cons tante, N y po r esle r1ollvo l a lasa d e nac lml e n tos y l a tasa de muertes se as umen i g uales . El d i a grama para este modelo compar timentado es e l s i guiente: 1, •• S u •c;epllbl ea µNS Que e n términos de ecuac l.o nes dlferenc l ales, se reduce a l p r ob l ema de Cauchy ( 5 1: { (NS)' = µN - ;\V(l)NS - ¡JNS (NI)' • ;\V(t)NS - µ NI el cual es equ i va l e nt e a: { S ' "' µ - ;\V( t )5 - µ S I' = ;\V{t) - ¡¡! d onde 5(0)•50 >0, 1 (0) • 10 >0 y S+ ( z l. ( ' ) PAG. 1 8 G U B O La d i námica de la vinch u ca la su pon e mos (en este caso ) regida po r In ecuac16n l og lstl c a 14 1: qu e tien e como soluc i ón: V'(l) = olV( t )(l - V( t )) V(t)=--1 ---t 1 + 4>e rp ( .. ) .u mo se co ns i deró u n a po b l aci ó n constante tenemos que S'+I'=O , e s dec tr, e l s i stema ( " ) se r ed u c e a la e c uación diferenc ial o rdinaria: S ' = ¡J -µS-~V(t)S qu e l1ene co mo soluc l 6 n [ 3 ) S (t) Cl a r amente se lle n o que S(l)~S· y I(t) _. ¡ cuando t---+ai, donde Es a s l qu e (5 · , !• )so lució n del sist e ma(•) es, globa lmente asln- t6tlca•enle estable [ 2 ] . El modelo que a conll n u a c 16n p 1· os pVS ~ ~ PAC. 19 En t é rmlno de s l s l e ma d e ecuo.c l ones diferenciales o rd ina ria s , a ho- r a tenemos e l s i g ui e nt e p robl e ma d e Cauchy (SI : 1 S ' • rN - .WS - µ S !' "'A( l - p)VS - ¡d s s 1 A • ApVS - ( µ + c5) 1 _., d onde SIO)•S0 >0: J 9 (0) • 19 >O: t_., (0)• 1.., >O y 5•1 9 • 1_., • N. o o La reglón f ac t.Ibl e ep lde mlol 6g l camen le hablando es e l pr i mer oc- tanle de R3 . 1 >O • 1 >O ) s ' Los puntos de equ lllbrl o deben sat i s facer el sistema : ( r - AV - ~l)S • rl 5 • rl/" O A(t - p)VS - µIs= o( ••• ) ApVS - ( µ • c5) 1A = O el cual llene co mo lml c a soluc l 6 n, la lr l v l al (S, Js' 1" ) = ( 0 , 0,0 ) 16 1. Este sistema line a l l l e ne co1110 polinom i o caracter l s ll co a l pol lno- "' l o PCx )• x3 • ( 311 • 6 ·•;\ V) x2 + ( 3µ 2 • 2¡1A V • 2c5µ-211r-c5r • c5AV-rAV )x+..µ 3 •µ 2c5 ... AVµ 2- rµ2- q.1c5•AVµl5 - r AV( µ •6-c5p) que se obtiene desde el Ja cob l ano d e l campo vectorial C- .. ) e n e l pun t o de e quili br i o. El punto de e qull l br l o ser á globalmente, aslnt6 ll c a me nle estable si los coe fl c l e nlcs d e l po linom i o P(x) sallsfacen l as condi c i o nes de HURUITZ (4), es d ec i r: a 1>0 , ªlº· ª/º y a 1 a 2-a/0· d onde P (x) ... x3,.a 1x 2+a 2x+a 3. Para efectos d e s l mpllfl cac l 6 n denola r e11es c•r-µ y anali zaremos para qu6 valores d e e se llene la establ l l dad globa l. C:ASO 1 : 51 e~ se tendrá que e l punto de equi librio 10. 0,0 ) es un atrnctor J>AC . 20 C U B O global, ya qu e n 1'" 2µ+6 +>..Y+ c > O n 2 • µ 2 +2µ c +6µ+ 6 c +µ.\ Y+>.. Yc +6>..Y > O a 3• r>.. Y6 p+>.. Y6 c+µ 2c +6 µc +>..Vµc > O a1 n2 - a 3 - Bµ 2 c +2µ 2 >..Y +-6µ>.. Vc+ 2µ 2 6+6µc5c+ '1µ ó>.. V+c5AVc+µc5 2 +c5 2 c+µ>.. 2 v2 +>.. 2v2 c+ cs 2 >..Y +6>.. 2 v2 +2µ r 2 +·ó1 ·2 +ó.\Vµ+r 2.\Y+ó.\Vr(l - p) > O CASO 2: S1 c >O se t e nd r é la e stabil i dad global s i c <µ+c5 (esto viene dado por la s co nd i c i o nes d e lflJR\.llTZ ). CONCLU S 1 ONES . Como se ve, l a es labl l ldad en e l primer mod e l o no está afectada por al cre c i mi ento de la p ob l a c 16n de la vln c hu c a ya que la s o lucl 6 n ealnble d e csle ltOdc l o no r e fl e ja e l efecto d e la mag nitud del pará - •elro ~ d e l a ecuacl6n ( ••J . Es a s l co•o s e pla n tea e l segundo mod~ lo pe n s and o q ue la p o bla c l 6 n de l a v l n c h uca e s ta al n l ve 1 d e s a tu r a c H n y po r· e so se t o ma c onslan - l e . En e l .ado lo co n pob l acl6 n varlnble, el pr oceso de na c imientos y muertes controla el crec imi e nt o de la po bla ció n (e n egallvo ). pe r o e s to c r ecl•lenlo de la p ob la c l 6n pu e d e se r co n t r o lado d eb i d o a la mo rt a li dad causad a por la e nf er med ad ( e pos i t i vo) . la separac i ó n e n s .l nl o11Allcos y as lnlOlllá ll cos no es r e fl e j a da e n l a din á mi ca e n c uant o al c r cc l • l enlo de l a pob l ac l 6 n . REFERENC lf\ S. l!J EnclclopcdJaBarsa , To mo XV, (1 962 ). l 2 l ll c lhco lc , 11 . U .. Asymp t o fJ c Dellllvl o r In a De t c rmi nisl/ c Ep i de ml c HodcJ. Bull. Halh . Bl o l ogy 35 :607-6 11\ (1 97J ) . fJJ lll rs c h , H. V. o.nd S maJo , S. , OU f c re n tla l Eqwll l o ns . . Dyna mJ c al Systc&S. and Une.ar Al geb r- D, Ac adc ml c Press , Nc w York (1 97 11 1. HODELOS Otl . e u e o PAG. 21 141 Jord a n , D.W. and Smllh, P. Nonllne ar Or dina r y Dlfferentlal Equa- tl on . Oxfo rd, (1983). ! Sl Hen a, J ., Es tnblJJdad e n Epldemlo l ogl.a Hat.erná t lc11. Apunles de l a Semana de l a Male máll c o, Un l ve r s l dad Cal6l l ca de Va lpar· aiso (1988). ,. ( 6 J So l omay or , J., L~oes d e equa cs dlferenclals o r d/nárL1s , IMPA ( 1979). DIRECC ION DEL AUTOR Ana Harta Halurana C. INS TITUTO DE HA TE HATI CAS UHTVEllS IOAO CA-TOL ICA Dt: VALPAllA.I SO CAS lL LA ~ 059 VALPAllfd SOffC lll LE.