CARACTERIZACICN !!! ALGE8RA.S ~ BERllS'IEIN ~TMJJ[ C. - l Blll.\Y. - C. llllWb~ U::: ando la cara.cter12ac 1ón de l as Al.J3EB.RAS rE BERNS'T'EIN que son de JORDAN, conseguuoos 1.IDa nueva caracter l'Zac ión que requ ier e sólo de d os cond 1ciones en subespaci os del álgebra. A.d1 c1onalment e obtuv l..l'OOs otr a deroostrac1 ón para caract er i zar l as ALGE8RA.S r::E BERtSTEIN que s on NJfMAJ...ES, tr.m,Jo ¡wci.allBTt! f inn:ia:kl ¡u- la Du'&tifl de lrl'l'Plt~illl de la U.F.t.O . .lalllE.c:m ptma •eta en el ~de j.gtailK2 y lltafütu:a de 1~ u.no. 76 PRELIMINARES Sea [ lill1 cuerpo de caracter!.stica distü1ta file 2 y A un álgebra rnmutativa sot>re K. Decilms que (A,w) es un ALGEBRA FONI.'ERADA ss1 existe un hcm::rmrfism:> <.:le álgebras w : A____. K n© trivial. Cc;xoo w es no tr i vial, existe a E A tal ~e w(a)=i, luege teneiros que A= Ka @ Ker (w) . Sea (.A¡ w) una K-.álgetira p0n<:ierada. Dec;:imes (!Jl!le (.A¡ w) es un ALCíEBRA OC BERNSTEIN ss i (x2 )2=w(x )2x2 't/XEA. S i A es un álgetira Eie Bernste in, es p@sihlle p;irebar ~e Jos únicos idem¡:>0tentes son Ker(w). El endOO)'ilrf ism0 Le (x) = ex VXEA cleja iFJvariante el subespaci0 Ker(w) ( ya <:¡Ue w(ex) = w(e)w(x) = 1.0 =O VXEKer(w ) ), l1.:.1ego Ker(wl=Le (Ker (w ) )G Ker (be). Sean U:, L,, (Ker(w))' lex/w(x) , üJ y V:' Ker(L,,I, = {xEKer(w)/ex=Ol=!xE.A/W(x)=O y ex=Ol. en•t0nces A=Ke@ U@ V. Si n: =dim(Ker(w) ), r; :d im(U) y s; =dim(V), deci.Jnc¡is que A es de tipo (1+r,s). En (2) est.á. demostrad© qw.e para cualquier desc0lllp0sic:::iór.i de n en la forma r+s, existe un álgebra de Bernsteion de tiJ:i0 (1+r, s ) . Sea {A, w) un áJgetira p0m:l.erada s0tire K . I!lecim::ls (;fl.:le (A, w) es un .ALGEBRA }[)ñMA!... ssi x2y = w(x)xy 'v'X, yU... Observemos cque si A es un álgebra normal y xEA entonces (x2 ¡2 = x2 •X2=w(x}x•x2=w(x) (x2 •X ) =w ( x) (w(x )x•x )=w(x ¡2x2 es decir, A es un algetira c:l.e Bernstein. 77 ( Sea A un algeGra sobre K. ~cimas que A es un A1..GElffiA OC J OEID\N ssi x2(yx) = (x2y )x VX., yEA. Notemos que toda á l l¡!ebra Nonnal es de Jarcian, porque x2 (yx) ' (w(x )x ) (xy i ' w (x )(xy)x ' (x2y¡x \fX, yEA Eil [ 1) se denuestra la si guiente proposición : PROFOS!C!OO _!: Sea A = Ke itJ U lil V \..U'la K- álgebra de Bemste m. Entonces: A es un á lgebra de J ordan ssi vuiru, vif\/ se cunple 1.1 Vi vz=Ü 1. 2 (U1 V1 )Vz + (u1v2 )v1 ' o 2 . 3 (u1uz)v1 + 2((U 1V1 )Uz)u1 ' o I .~ ( (u 1v1 )v2 Jv1 ' o 2 1 . s (u 1u2 )u1 ' o 1.6 ( (u1v1 )v2 )u1 CA.~JZN:.ICNES Para me.Jor·ar la propos1ci6n 1 usaremos los dos lemas s i guientes: Sea A=Ke iti U El V uru K- álgebra de Bemstein, entonces \t\.liE U, v 1E V: 2 a ) u 1u2 + 2(u1uzJu1 : O 7 8 Rec ordems que { a). ( b) y (e) son parte de 1 Lena 2 que aparece en [1). Para las dos ú l tuna.s af1rmac1ones notems que: d ) El1 ( b) obten i endo (u 1v1 )(u1v2) sust1tulDX>s v 1 u1 ( (u1 v1 )vz ) + O, por (e ) , por v2 y uz por u1v1 (U¡ V¡) (U¡ v2 1 ' o ' pero l uego ui(v2(u1v1)): O. 2 e ) En ( b ) , ahora sust 1tuiJoos v por u 1, obteniendo 2 2 u 1 (uzu1 ) + u 2 (u 1u 1 J : O. Pero en toda .{,,lgebra de Bemstem 2 t eneroos que u3 : O para cualqu ier uru, Juego u1 (u2u1 ) =ú, es decir vale (e ) . Sea A : Ke @ U @ V u n álgebra de Bernstein sobre K, en que v(vu ):O VuEU , vEV . Entonces son v.illdas las s1gu1entes igu aldad es Vu iEU, v 1€ V l ) ( u 1v 1 )v 2+(u 1v 2 ) v 1 : 2 ll ) ( U1U2) v1-+ 2 ( ( U 1V1 ) u2 )u 1 DEMOOTRACJON: l ) Haciendo v:v 1+v 2 , obtenemos O:( u (v 1+vz ))( v 1+vz ) = :(uv 1 )v 2+(uv z)v1+ ( uv 2 )v 2 , pero ( uv1 )v 1 = O para cualquier v 1EV, luego v ale (1) 2 11) Observemos q ue ( u 1u 2 Jv 1 ... 2((u 1v 1¡u 2 )u 1 = 2 2 - u 1 ( u 2v1)+ 2((u 1v 1 )u 2 )u 1 = - u 1 ( u 2v 1 J-2 (( u 2v 1 ) u 1 )u 1 : O. Estas igualdades están Justificadas por (l), (b ) y ( a ) anteri ores. 111 } Por ( 1 ) t en emos que ( u 1v 1 )vz - ( u 1vzJv 1 , lu ego ((u1 v1 Jv2Jv 1 = -((u 1vz)v t)v 1 : O 79 ( EVI!'l'A CU NQ'I PHOPOS!C!ON ~: Sea A = Ke ~ U li) V un álgebra de Bernstein sobre K, entonces A es un álgebra de Jordan ss1 v2=o y v ( vU),0 'tvEV. PHOPOSIC!ON ~: Sea A ::: Ke i'! U G V un álgebra de Bernstern sobre K, en ton ces A es Normal ss1 v2:o y UV:O DEMCS!'RACION: Sean x = ae + u 1 + v1E.A. y = ¡:le + u2 + v2EA. Recordando que ev¡ = O, eui = Yµ 1 , u¡v2 J = o obtenams que 2 2 2 2 2 2 2 X y : a · 13 · e + r YP u •U u +u V +Yiav + V V + YtOeu + au V + L.. 2 1 2 1 2 112 1 12 + ~ v + 2 (u v )v ] • [ au u + 2 (u v )u ] 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 y adenis w (x)xy:a2 .13 •• elYp2u +Y.aau +au v +av u +av vJ+ Íau uJ L 2 1 12 12 1 L 1 Luego A es normal s1 y sólo s1 2 2 2 2 u1u2+u1 v2•Vet'Jv1•V1V2+Yjlu1 v1•2{u1v 1 )v2 = av 1u2+av1v2 si y sólo s1 u1 u2 + u1 v2 + v 1v2 + 2(u 1v 1 )v2 =O 2 Kv° t + Yil.J1Vt : 0 (l! ) En l a tercera igua ldad d e ( :;t ) po dem os hacer u 2 : O, obteniendo v 1vz = O y con v! = O se ob t iene v 1u2 = O. Es decir (#) implic a que V : O y que U V =O. El recip r oco 60 REVISTA CUl!G .. NQ'I rnmecliato usan<:1 0 las pr0 pi eclades U2 ~ V, v 2 U y UV !:. U váli<:las en t oda álgebra de Bernstein. COLORAR ID: T @da K- .:i !getira N•©rma l es wn•a k-áJ.getira cle J 0 r c:í an . BIBLIOGRAflA [1) A.WORZ-BUSBKR0S, BERNS:rEIN algeeras. Aroro. Matro. V o l.'18,388398(1987 ). (2) A.WORZ-BUSEKROS,