32 CQBO vol. 3. octubre 1987 
P!ga: 32-36 

SOLUCION DE LA C~ARTICA 

L.i<·>Mel Henríquez B. 

RESUMEN: 

Este trabajo presenta um m·uev0 mét0do sim1pli<;:ado para 

resalver la Cuártica definida sobre ~. Mediant~ elementas b! 

sicos de Matrices se encuentra la Res0lvente C6bica y c0n tJraa 

de sus raíces, p o r med i o de álgebra elemental se 0btienen dos 

polinomios de 2° grad e , cuyas raíi;;e1s s0,n las d ,e ·ta CtJá,rti·ca 

dada. 

El objetiv o de este artícu l 0 es prese mtar una nueva met~ 

dología p ara re s ol v er la c uártica, esencialmente distinta de 

la pr e se n tada p o r Yang Yu-Cheng (Yu - Cheng, 19§§ 877 - 879) ,ya 

que e~te nu evo mé t o d o só l o ut i liza elemento s básicos de álge-

el trabaj o citado. 

* Institut o d e Mat e má ti c a , Un i versida d Austra l d e Chile 



L. Henrlquez 3 3 

p (X) 
4 

+ + 
2 

1. - Sea e X º3 ' º2' + C 1 X + ºo = o 4 
2. - p (X) Q (X) r ( x) ' con gr ( Q (X ) ) gr ( r (x)) 2. 

3. - Hag a mos -t Q a .. 
lj 

) = A . don de q 1 ª2 ª1 •o> y 

con l os coeficie n tes de q(x) y r(x) (H e n ríquez, 1966 p.62) 

4. - En to n ce s : 

r 

ª2b2 ª2b1 ª2bo 

] 
A = ª1b 2 ª1b 1 ª1b o 

ªob2 ªob1 ªobo 

5.- Sea 
2a 2 b 2 ª2b 1 + ª1b2 ., ...... , l 

A+At= [ .,., + ª1b2 2a 1 b 1 ª1bo + ªob1 
ª2bo + ªob2 ª1bo + ª ob1 2a 0 b 0 



34 

6. - Se a 

Soluci6n de la cul rtica 

raíz de IBI z 3 - e2z2 + ( c3c1 

+ 1 4 c 4 c 2 c 0 - e~ 

- 4e 4 c 0 ) 

2 
e 0 - e 4 c 1 

z + 

= o 

con este valor de r se de t er minam las ecuaciones: 

= o 

c u yas ra íces so n las de P(x). 

7 . - E n e f ecto, hagamos u 1 ª2b1 , " 2 ª 1 b 2, t, ª 2b0 , 

t2 = ª0 6 2· 

Y1 ª 1bo • Y2 = ª0"' 1 

8.- o sea : 

[ 
c4 u 1 t 1 

l A = " 2 c 2 Y1 t2 Y2 º o 
9.- t 1 t2 se obt i e n en de 

2 
¡:: 4 k - kr + e© O , ya que 

t2 = k º4• k t, = ºo t 1 = r - t 2' 



L. Henriquez 35 

1 0.- Ade más se determinara de: 

u1 + CJZ 

1 1 .- Final mente: 

cuyas raíces s0n las de p(x) . 

N0ta: y 1 , y 2 pueclen ser también 0~tenidos, ya que 

per0 es in0ficios0, puesto que se obtenclrían ecuaciones 

equivalentes a las dadas en (11). 

E j em¡;.i 10: 

2x 4 + 7x 3 + 17x 2 + 19x + 15 = O 

Primer0 encontramos r, resolvie~do la ecuaci0n 

z 3 - 17z 2 + 13z + 583 = O 

Por tanteo obtenemos z = 11 



36 Soluci6n de la cuártica 

A ho ra p o r (9) , ten em10 s 

2k 2 - 11k + 1 5 = o , 

o btenié n d 0s e k = 3 a s í t 1 12. 

P o r o t ro la d o co n ( 1 0 ), se tie r.i e q u e : 

2h 2 - 7 h + = © 

o btenién dose h 2, va l or eo n el cua l deter minam os qu e 

y 1 = 6 "t = 8 . 

fina l men t e d e ( 11 ) , ob t er.. em 0s : 

-1 + -y-; 

BIBLIQGRAFIA ' 

i , 
- 3 :: '-! 31 

4 

1. - Yang Yu - Cheng , Classroo m Notes. The Ame r ica n Ma them a t ical 

Mon t h ly . 

73 ( 8) ' 877 - 8 7 9 , 1 96 6 . 

2 . - ~en rí quez L i one l , C u bo , Re vi sta de Mate má ti ca . 

Vo l . 2 : 5 7 - §5, 1986. 

Uni v ersidad de l a Fr o n t e r a