cu eo , Vo l. 2 Ma,. 1 0 l9B6 
Pú g 75-82 ' 

75 

SOLU CIO N A PR OBL EMAS PR OPUES TOS 

PRO BLEMA 1: ----------
S i a> 1 , x > O , demu est r' e q u e , 

~ §_~~!!!~~ .!. ~~ 
S ea y = 1-

_, 
e e n to n ces 0 < y < l ; tone mo s : 

-log [ 1- ( 1 -e- 'i a ¡= -log ( 1 - yªI 

n a 
a 

y 
_Y _ _ 

n:>O N + 1 

a ( ")" < y ~ n > O 

( n+ l) a 

- ' l..___ 
n :>O n+l 



7 5 lu::1ón a Probl 

1-log (l-, 

pero - log ( 1-y) • ic yo qui~: 1-e 

- log 1- ( 1-o-x l d J < xª 

Demu~a re que 

o 
• ( -1 l n 
t ----º ( n-+ 1 ) n 1 l 

. 
" o • • J e" logxdx • 

o 
t(~,,dx 

o O O n 1 

o n ! 

Pe r o : r 
O n• o 

En •fc c t o: 

Sra x •e . dx •-e dt , log 

n 
I (x log•) dx • 
o 

Sc.i {n •l l • Z 

-t 
e 

(-11" i e- (n•l) ctt 
o 

I • 

o 

n 
t dt 



CUBO, Voll/l'etl 2 

1 
logx) n 

( -ll n 
L ueg o : I (• dx ( n+l )n+l 

o 

.!. 
1 n r ( -1 ) n 

- t f (' log ,¡ dx 
o n! o O (n+l) n+ln ! 

Así tenemos finalmente qu e : 

o 

~¡ ( - 1) n 
~~-n-+-1 r (n+l) , ya qu e 
(n+l) n ! 

o 

!'.!!~~!:~~~-~ ' 
S ea f(x) e c 2 (0 , CD ) tal que f(O ) 
Oy f"(x) >O 

Dem uestr e que: 

al Existe lim 
'•O 

b) _!l!.!. <f ' ( tl 

e) La función 

X > Ü , 

o 

O , f co n tinua en 

F (t) dx es est r ic tam e nt e co n vexa . 

a) Apl1ca mos L ag r a ng e e n ( O.x 1 ,o s ea ] e x e ( 0 , x) tal Que 

f (x) - r (Ol • x f'(C•) . pero f (O) • o 

77 



78 SoLucl.Ón a Problemas Propuestos 

luego f(d = • r· 1c , 1 , o 'º ª .!:_k_!_ . r· <c , 1 

pero como f"(x ) >o => r • 

j llm f ' {Cx) 
x .• o 
•-O 

mo n óton a en onc~$ : 

b) Pu esto que f" (x)>O . te n e mo s que f ' (x ) t!S crecie nt e y ove! 

to q ue Cx<X tenemos f ' ( Cx) < f ' (x l 

es decir ~ <f'{xl 

el F ( t l dx => F ' (t) ~ => F " (tl t f . ( t 1- f ( t 1 
t2 

pero t es pos1 t.ivo y de (b) sa be mo s qu e f' ( xl - ~ ,.Q 

div1d1en co por t > O te n e m os ~ - ......!..!..!.. >O 
t 2 

y la fun c1Ón es co n vexa . 

F " ( t I > 



~~~!!!;~~~-~.:. 
Dada& tre s recta s paral e las , c o n s tru y a un tr 1 ángulo 

eau1látero co n vértices e n cada re c ta . 

Se a n L 1 • L 2 , L 3 r e ct a s ta-

l e• oue L¡ 11 L 2 11 L3 co n o (L 1 , L 2 l 

• a . d ~ L 2 , L 3 l = b . Co n sideremos t:J ABC pe-

d lCJO c on 8 e L l, A cl3 y C e L2 • 
Al fijar dos vé r tices se r esuelve 

el prob lema . 

Inicia lmen t e fije mo s 8 c L 1 de modo 

que 85 l L 3 c o n OcL 3 85 () L 2 =1El 

Sea i a < b 

Tracemos C"F J_ AS e n FcAB Y FO _I_ 85 e n G e 85. 
AF: Fe =>BG: GD P o r T ha l es , l u e g o t:JB F G ;t:J BAD 6 B HE [ Rec t á~ 

g ul os] 

Para fi jar A se co n si d e r a la co n st ru cció n d e FG solo e n f u n -

e lÓn de los va lore s a 
y b. 

AB () L 2 
FH GE 

S1e n do = { H} 
P o r Thales 

FB G B 

GB 
a + b GE ~=~ s i F B !:. 

!:. b - a 
Como y 

y => FH 
B+a 

COllO AABC es e qui láte r o => CF € .e 

sien do ~'=C H = ~ G BF (de igua l naturaleza y lados re s pe c ti v a -
!Tiente perpend icu l ares) 

l CF H lBEH (Recto s ) 



80 Solución a Pl"Obloous F>roQue$ 

Ento n ces po,.. A . A . de semeJa nza, se ll t!ga a qut?: iiCFH .. ABGF 

Donde 
CF 

HF 

BG 

FG 
=> FG • 

Lo Que co ndu ce a que AD ~ ~-=-~ 

J3 

o - a 

2 . {3 

Püra f¡jar C :i.e procede co n 0 (A , A6J {) t 2 de modo que 
C r 85 /A . 

2~~2~.!~~~!2~: (kna l i t i e a l 

P, el . q . en 6 ABC e A8 a BC = AC . 
Sea L 3 el l!JI! de Absc1&cts , <r:;¡;> ol CJt? dl! Ordenadas 
o r igen . 

O el 

Lu ego A ( - !!.::!! . OJ ; 
13 

Sea n ~ 
b - • 

ta CF &e repre&cnta DOr : 

9 ( 0 , ai·bl ; F {- ~:! 
2 ./3 

- ~=~--- de modo que l a 
( a +bJ · /3 

r e~ 

le l y = b repre &cnta a la rec a L 2 . ento~ 
ces : 

b -
n+b 

e 1- ~J!!:~ 
2 

b-n 
+ ----

2 . .p 
l - > 3(a+b> ~ 

.~ --2- - 2 R 

~:!__ . b ) 
. .¡3 



e u e o, voll.l't'en 2 

Lo e go : 

A S : J_I!!.=;}._~ + ( a+b) z ~- ' / a 2 + a b + b 2 
V3 V 

se = J ( -;-(a+ b l b - a 2 2 ) + a 1 
13 

( a + 2 b) 2 + 3a 2 

AC = j(- !?.=; + -~-i!!;_:!?_}._ + b-a ) +b2 
~ V •2+ ab+ bz' 

••• ó.A BC eq uilá tero co n A E L 3 , B EL 1 , CE L 2 . 

Dados dos trazo s de med ida s a y b 

/ 
Prime ro s e co n s truy e AD . 
Se t raza L co n st ruy e n do e n 

ella : b- a 

L' /' .. / 
.Y .., 

/ 
~. 

e¿ 

/ 
·~ 

' 

" \ 
T Sean AS = b ; TS = a => RT=b -a 

En T h a ga QT l L QT : RT 
R(+> ) Q y V (R, RO) (\ L = 1 P l) 
En P 1 hag a ~ l L 0 1 P 1 ; RT 

fl.t " ' 
i 

"---' 
R (c->J0 1 y G) (R , R0 1 1() L = ¡P2 ¡ 

Como RP 1 i/z ( b - a l => RP 2 = /3 ( b- al 

~) 

Gl, 

¡ 

/ 
I 

/ 

"" 

81 

2 , / 2 2 
(5V ª +ab+ b 

P, 

Por R se t r az D L ' L , ubicando en L ' l os pu n tos A1 , R2 . R3 

siendo A1 - A2 - R3 · 



82 1 ión <J. f)robl 

R 3 (<r> lP 2 y cona1oerando ~ 11 R3 P2 con •.i e •'> AM 

de donde AO • AM 

A "o n inuac ión •• 
> ¡ º" mooo oue Lz 
<I (L 2 . e 3 1 . b . 

trazan 

est~ on 

l (1 ~ 

"' 
ro e a& ~ 1 . L2 . L3 paral~la~ entre 

L 1 y L 3 s1enoo d(L 1 . L 2 1 =a 

At->l B genera ei lado AB y co n (A, A8 n 0 (8, i>.8) • ( C ) 

El problema lempr• tiene oluc1ón . de~car ando la 

pos1b1l1oao de aue la, tres rectas co1nc1oan . 

al 51 a • b •> Ce L 2 paralela mud1a o A.B • 80 oues FO •AD = o 
~t~noo la con1 rucc1ón del AABC tnmcdia a . 

b) S1 a Oo b •O•> L 2 co1nc1dc con L 1 o b1en co nL 3 con Lo 

c u~l 80 e ~ran9forma n la al ura del ~ABC oed1do y com o 

BO • §_ · AB entonces tambié n la cona rucc 1ón es inmeoiata.