Geofis. Colomb. . Santafe de Bogota D.C. ISSN • 0121·2974

FRACTALES Y SERIES DE DATOS GEOFISICOS

LUIS ALFREDO MONTES VIDES
Profesor Asistente

Departamento de Geociencias-Facultad de Ciencias-Universidad Nacional de Colombia

Montes L. A: Fractales y series de datos geofisicos. Geofis. Colomb. 2:9-12, 1993. ISSN 0121-2974

RESUMEN

La Geometria de Fractales ha surgido como una herramienta potencialmente util para la
caracterizaci6n de datos en Geofisica. Comunmente, los datos geofisicos conforman
series de tiempo, que exhiben un comportamiento aleatorio 0 variaci6n a corto y a largo
plazo. Un ejemplo tfpico son los registros anuales de temperatura. La traza de un registro
es una curva con una dimensi6n fractal D, caracterizada por un exponente H.
En el presente trabajo se utiliza el metoda de Analisis de rango en cambios de sscata,
creado por H. E. Hurst, para determinar la dimensi6n fractal de una serie de datos
geofisicos, y su medida de auto-afinidad.

ABSTRACT

There is a new Geometry which provides a potentially tool for the characterization of
geophysical data: The Fractal Geometry. Generally, Geophysical data consist of records
in time or data series, for example yearly records of temperature, and they show a
random behavior or variation on both a short and a long-term time scale. The trace of a
record is a curve with a fractal dimension D, and it is characterized by an exponent H.
In this paper, the Hurt's rescaled range analysis method is used to determine the fractal
dimension of a geophysical data serie D and H, his self-affinity measure.

1. INTRODUCCION

En los ultirnos 10 aries se ha reconocido la
importancia de la Geometria de Fractales en las
Ciencias naturales, como apropiada para
describir las estructuras presentes en la
Naturaleza.
La geometrfa fractal suministra una descripci6n
y modelo matematico para la mayorfa de las
formas aparentemente compleja halladas en la
naturaleza.
Su propiedad mas importante es la ausencia de
cualquier caracteristica de longitud 0 tiempo.
Esto quiere decir que las funciones de
distribuci6n de probabilidad de los fractales,
adecuadamente normalizadas, pueden
expresarse de manera invariante bajo cambios
de escala.
EI interes desde el punto de vista de la
Geoffsica se ha manifestado con ensayos en
distintos campos por distintos autores
(Burrough, 1984; Unwin, 1989; Jones et al.,
1989; Hewett, 1986).
Burrough estim6 la dimensi6n fractal de datos

geoffsicos, basado en anal isis de densidad de
espectros de frecuencia.
Una caracterfstica fundamental de los datos
geofisicos es el comportamiento estadfstico
fuertemente no-gaussiano.
Jones y sus colegas, afinman que existe una
correlaci6n entre los datos geofisicos y las
propiedades fractales de sus series de tiempo.
En este articulo se utiliza la ley empirica de
analisis de rangos de escala planteado por
Hurst, para determinar la dimensi6n fractal de
una secci6n en un registro electrico de pozo,
partiendo del calculo empfrico del exponente de
Hurst (H) como medida del grade de auto-
afinidad en el mismo y la relaci6n con su
dimensi6n fractal.

2. FUNDAMENTOS TEORICOS

La definici6n formal del concepto de fractal fue
planteada por el creador de la Geometrfa fractal,
Benoit Mandelbrot, en los siguientes terminos:
"Un fractal es un conjunto para el cual la
dimensi6n Hausdorf-Besicovith estrictamente



10 Montes: Fractales y series de datos geofisicos

excede la dimensi6n topoI6gica"; y de una.
manera menos formal como: "La forma hecha de
partes similares de algun modo".
Un elemento 1-Dimensional como un segmento
de una linea posee una propiedad de similitud a
escala, pudiendo dividirse en N partes identlcas
al original, cada una un factor de escala 1/N.
Un objeto 2-Dimensional puede descomponerse
en N partes iguales al original con un factor de
escala de (1/N)'I2. A su vez un cubo se
descompone en N pequeiios cubos con factor
de escala (1/N)113.
En conclusi6n un objeto D-dimensional puede
dividirse en N pequeiias partes, cada una similar
a la primera y reducida en un factor de escala

r = (N)1/D

Despejando 0 se obtiene la dimensi6n fractal
delobjeto.

o = 10g(N) / log(r)

A diferencia de la dimensi6n Euclidiana, la
dimensi6n fractal es estrictamente no entera,
Bajo magnificaci6n, un segmento de la figura
principal luce parecida perc no identica a la
primera.
Las formas que tienen un comportamiento
marcadamente aleatorio, se repiten
estadisticamente unicamente cuando las dos
direcciones (t y f[tD se magnifican a escalas
diferentes. Si t se magnifica en un factor r(r*t),
entonces f[t] se magnifica en un factor rH(rH*f).
Esta escala no uniforme es conocida como auto-
afinidad y esta ligada fuertemente al concepto
de dimensi6,n fractal.
La dimensi6n fractal de una forma auto-affn, se
relaciona con el para metro de escala H
mediante la ecuaci6n:
0= 2 - H [1]

3. METODO DE ANALISIS DE RANGOS
BAJO CAMBIOS DE ESCALA

EI metoda estadistico de anallsis de rango bajo
cambios de escala, fue inventado por H.E. Hurst
en 1950 (Hurst, 1951; Hurst et at, 1965).
Para su entendimiento se considera el siguiente
problema:
Se debe estimar la capacidad de
almacenamiento de una represa bas ado en
registros observados de descargas de agua, el
valor ideal del volumen de la represa es aquel
que nunca permita que esta se rebose 0 que se
vacie completamente.
En un tiempo t recibe una descarga de agua &(t),
liberando en un perfodo de tiempo t la cantidad
promedio <&(t»,.
EI f1ujo promedio 0 el volumen recibido en un
periodo de t aiios es:

[2]

Ese volumen promedio recibido debe ser igual al
volumen liberado en ese mismo periodo.

A su vez el volumen neto acumulado 0 la
diferencia entre el volumen recibido y el liberado
en un periodo r es:

[3]

La diferencia entre el maximo y minima f1ujo
acumulado X es el rango R, el cual mide la
capacidad de almacenamiento para mantener la
descarga media y nunca lIegar al vaciado
complete.

R('r) = max X(t,-r) - min X(t,-r)
l s t s r l s t s r

[4]

Donde t es un entero y t es el periodo
considerado,
La desviaci6n estandar se estima de las
observaciones asf:

I=t

S = { (1ft) ~1 {e(t)-<e(t», }2 r [5]
Investigando muchos fen6menos naturales,
Hurst encontr6 que la relaci6n RlS para tales
fen6menos se describe muy bien por la relaci6n:

R/S = (-r/2)H [6]

que es la lIamada Ley empfrica de Hurst
Claramente R depende del perlodo t en
consideraci6n y se espera que aumente al
incrementarse t, es decir al cambiar la escala de
tlsmpos.
Este concepto de anallsis de rango bajo
cambios de escala coincide con el concepto de
auto-afinidad de un fractal cuando se buscan
partes similares al total al realizar cam bios de
escala 0 magnificaci6n.

4. PROCESO DE DATOS

En el presente trabajo se tom6 un registro
electrico dlgitalizado. Para garantizar la calidad
de los datos se tomaron aquellos que estaban a
una profundidad mayor de 100 m y hasta un
limite de 480 m como cota inferior.
Dicho registro pertenece a una zona de rocas
sedimentarias, cuya secuencia refleja el
comportamiento del clima en perfodos
geol6gicos lejanos.
Los valores que representan la resistividad de
las rocas a diferentes profundidades, estan
consignados en la Tabla 1. Se consideraron 10
periodos diferentes, el primero correspondia a
los 10 m iniciales de la secuencia (a partir de los
100 m), para los siguientes se increment6 el
valor del perfodo (20 m para el segundo, etc)
hasta abarcar la totalidad de la secuencia 380 m
(480 m tope de la secuencia). En cada perfodo
se calcul6 el valor medio de la Resistill 'dad, [2],
y el acumulado [3). Se observ6 que este valor
fuera estrictamente mayor que cero (0).



Geofisica Colombiana N° 2, Abril de 1993 11

A continuaci6n se determin6 el valor del range R
[4], asf como la desviaci6n sstandar alrededor
de la Resistividad media, en cada perfodo.
Luego para cada perlodo se encontr6 el cociente
entre el rango (R) y la desviaci6n sstandar (S).
Finalmente se hizo una regresi6n lineal entre el
cociente R1S y el perfodo en una escala Log-
Log, para determinar el exponente H [6] Y la
dimensi6n fractal del registro [1]. EI resultado de
los calculos se muestra en la Tabla 2.

TABLA 1
Valores de Resistividad, muestreados en el

Registro a intervalos de 1 m, el primero
corresponde al techo de la secuencia y el

ultimo al tope inferior

29
29
30
33
41
60
75
85
105
116
124
134
131
129
130
135
144
158
166
171
173
177
178
161
141
149
143
129
122
122
109
106
110
118
125
156
178
191
195
203
211
215
207
195
158

143
136
120
123
122
121
116
114
113
112
113
113
110
106
103
103
107
110
114
115
99
83
71
65
58
54
55
52
56
86
97

111
115
106
95
87
84
89
80
74
65
65
57
61
62
67
66
70
72
85

93
95

135
132
121
114
90
69
61
57
46
46
48
48
52
62
82

104
131
166
202
190
161
135
102
93
94
87
92
80
76
67
64
63
62
64
61
49
42
35
33
31
31
31
32
33
33
34
35
41

50 50
62 53
70 53
55 43
44 43
38 45
36 51
34 52
34 40
34 36
35 37
36 36
37 38
37 42
40 45
41 54
42 60
43 67
41 83
26 93
27 95
27 116
27 150
28 195
29 218
33 247
37 222
39 167
35 139
34 117
35 114
36 124
37 144
40 170
40 190
42 205
49 209
55 213
62 210
64 217
59 215
57 241
63 248
63 248
56 218
53 216
50 221
51 212
48 168
48 130

112 46 71
121 47 63
143 53 57
183 75 58
131 110 55
115 157 52
95 185 52
67 181 53
59 181 55
57 187 58
63 189 64
63 190 82
63 188 113
62 188 128
64 187 133
65 178 137
66 175 115
68 165 97
70 151 86
75 140 83
77 126 84
88 120 86
97 109 100

115 111 120
144 106 155
195 109 146
248 121 128
248 122 125
248 121 125
248 117 130
248 117 108
248 150 109
248 169 116
145 162 121
98 158 118
78 144 121
93 140
94 126
75 132
63 126
57 118
57 111
60 108
56 121
48 127
41 113
41 107
43 106
43 102
43 93

• Techo tope superior, •• Base tope inferior

5. DISCUSION DE RESULTADOS

Un analisis de regresi6n lineal efectuado entre el
10g(R1S) y el log(t) arroj6 los siguientes
resultados: se hall6 que el exponente de Hurst
era de 0.854 con un coeficiente de correlaci6n
de 0.997, indicando que la dimensi6n fractal del
registro electrico era de 1.146 (Fig.1). Este
resultado coincide con los obtenidos por Hewett
(Hewett at aI., 1986) en el calculo de la
dimensi6n fractal por el rnstodo de anatsls de
frecuencia, de la porosidad medida en un
registro de pozo distinto (1.100 pies), y para el
cual el exponente de Hurst fue H = 0.855.
Los datos de la Tabla 1 y la Fig.1, muestran que
la resistividad a 10 largo del registro fluctua
fuertemente; sin embargo, la Fig.2 indica un
comportamiento persistente, reafirmado con el
valor del exponente de Hurst (H = 0.853),
indiscutiblemente mayor que 0.5 (valor
correspondiente a una serie de datos
completamente aleatoria), 10 cual muestra una
tendencia en el proceso que dio su origen.
Una raz6n por la cual se puede explicar porqus
estas secuencias de datos geoffsicos se
comportan de acuerdo a una estadfstica de
Hurst, es que una secuencia sedimentaria refleja
el comportamiento del clima en tiempos
geol6gicos lejanos y los sedimentos que
formaron las rocas actuales fueron transportados
por corrientes de agua que erodaron las rocas
antiguas, y estos f1ujos se comportan
adecuadamente con la estadfstica de Hurst.
Se observa que un registro electrico como serie
de datos geoffsicos presenta un comportamiento
fractal, el cual puede relacionarse con el
proceso que 10 gener6, tales como la erosion y
el clima de epocas geol6gicas lejanas.
La geometrfa fractal permite observar un orden
en las formas naturales de los datos geoffsicos,
que a primera vista no se observan.

TABLA 2
Muestra los valores de R, S, (R/S), Log(t),
Log(R/S) y los resultados de la regresi6n

lineal entre Log(R/S) y Log(t)

R S LOG(t) LOG(R1S)R1S

151.9000 31.49937
477.2500 47.96236
722.6500 46.79476
1283.075 43.84825
1750.500 44.36271
2537.938 47.25159
3493.441 47.65990
5496.175 59.98748
5755.375 59.61874
5927.324 56.07979

4.822319
9.950512
15.44297
29.26171
38.78257
53.71115
73.29937
91.62203
96.53634
105.6945

2.302585
2.995732
3.688879
4.382027
4.787492
5.075174
5.393628
5.634790
5.768321
5.940171

1.573255
2.297624
2.737154
3.376280
3.657971
3.983621
4.294552
4.517672
4.569919
4.660552

REGRESSION OUTPUT:
Constant -0.35835
Std Err of Y Est 0.059437
R Squared 0.99721
No. of Observations 10
Degrees of Freedom 8
X Coefficient(s) 0.0853886
Std Err of Coef. 0.01597



12 Monte.: Fractale. y .erle. de datos geofi.ico.

'"N

..

-0
o
-0.
-0
C
::J
'+-e
a..

200 400
(Ohm-m)

Figura 1. Registro electrico de pozo. Cota
superior: 100 m (profundidad)

o
Resistividad

o
N

O"loQ.
-l-

'"ci

2.0 3.0 4.0 5.0 6.0

Log (Periodo)

Figura 2. Curva de Regresi6n. datos de la
Tabla 2.

Y = 0.8538X • 0.358.
Coeficiente de determinaci6n = 0.9972

BIBLIOGRAFIA

Burrough. P.A. (1981): Fractal dimensi6n of
landscapes and other enviromental data. Nature 294
(5838).

Burrough. P.A. (1984): The application of fractals to
geophysical phenomena: Institute of mathematics
and its applications 20 (3-4).

Feder, J. (1988): Fractals. Plenum Press. New York.

Heinz ...O. Peltgen & P.H. Ritcher. (1987): The beauty
of r-ractals. Springer-Verlag, New York.

Heinz, 0., Peitgen et al. (1988): The Science of Fractal
Images. Spnnger-Verlag, New York.

Hewett, l.A. (1986): Fractal distributions of reservoirs
hetereoqenity and their influence on fluid transport.
Technical Conference of the Society of Petroleum
Engineers. New Orleans.

Hurst et al. (1965): Long-term Storage. An
Experimental Sfudy. Constable, London.

Jones, J.G. et al. (1989): Fractal properties of
Computer-Generated and Natural Geophysical Data.
Computers & Geosciences 15 (2):227-235.

Mahdelbo~ B. (1982): Fractals: form, chance and
dimension. W.H. Freeman, San Francisco.

Unwin, D. (1989): Fractals and the Geosciences.
Computers & Geosciences 15 (2). Pergamon Pres,
Oxford.