Geoflslca Colomblana ~ 1, Octubre de 1992 . 9 APLICACION DEL ANALISIS DE FOURIER PARA DESCRIBIR LA VARIACION DIURNA DE ELEMENTOS CLiMATICOS JESUS ESLAVA Profesor Titular Depto de Geociencias-Facultad de Ciencias-Universidad Nacional de Colombia RAMIRO DIAZ Profesor Asociado Depto de Geociencias-Facultad de Ciencias-Universidad Nacional de Colombia Eslava, J. & R. Dlaz: Apllcacion del anal isis de Fourier para describir la variacion diurna de elementos clirnatico s. Geolis. Colomb. 1:9-20, 1992. ISSN 0121-2974 RESUMEN En este trabajo, con base en los valores medios horarios de la presion, temperatura y humedad relativa del aire, determinados an la estacion Observatorio Meteorologico Nacional, ubicada en la Ciudad Universitaria de Santale de Bogota, y aplicandoles una metodologia que incluye un analisis de Fourier, se obtiene un modelo rnatematico que no solo representa la variacion diurna de los valores de esos elementos, sino que tambien posibilita pronosticar con buena exactitud los valores horarios de ese elernento, para periodos de seis y doce horas, con base en eI promedio de las 24 horas anteriores. ABSTRACT A time model for pressure, temperature and air relative humidity, has been established for the data of the National Meteorological Observatory station located at the campus of the National University in Santafe de Bogota. To get this model, Fourier analysis has been applied to the hourlu mean values of the before mentioned parameters. The results provide not only diurnal variations, but allow the forecasting of the parameters for periods of six and twelve hours, from the average of the last 24 hours. 1. INTRODUCCION La finalidad de este trabajo es la de definir un modelo rnaternatico que permita d'eterminar y cuantificar la evolucion de los elementos rneteoroloqicos a traves del tiempo. Trabajos previos -sobre eI tern a fueron desarrollados por Eslava & Dlaz (1991a,b,c), En particular aqui se caracteriza un modelo, mediante eI analisis de Fourier, en terrnino s de los para metros de frecuencia y longitud de onda de las senales de presion, temperatura y humedad relativa del aire (media horaria) definidas para la estacion Observatorio Meteorologico Nacional. En el modelo se utilizan los valores medios que se determinan para cualquier periodo continuo de 24 horas, esos valores se corrigan para adecuarlos a los que se determinarian si se utilizaran los 24 valores horarios. Previos unos comentarios sobre el proceso de rnodernizacion de la meteorologia y la aplicacion de modelos rnaternaticos para simular parte 0 la totalidad de las propiedades fisicas de la atmosfera, se da una descripcion de la metodologia utilizada y el analisis de los datos, se determina la forma como se pronostican los valores horarios de la presion, temperatura y 10 Eslava & Diaz: Analisis Fourier descr. variac. e1em. clim. humedad relativa del aire y se incluyen ejemplos de aplicacion del modelo. 2. GENERALIDADES SOBRE MODELOS MATEMATICOS Y METEOROLOGIA Una de las particularidades caracteristicas de la meteorologia moderna es la de implementar un amplio e impetuoso proceso de utilizacion de los rnetodos matematicos y de los computadores en todos los asuntos aplicados y te6ricos. EI proceso de modemizacion de la meteorologia ernpezo a comienzos del presente siglo, pero su impulso mas fuerte 10 loqro despues de la aparicion y el rapido perfeccionamiento de las computadoras. Las enormes posibilidades de aplicacio n de los modelos rnaternaticos. como meto do de conocimiento de las leyes del universe real y su aplicacion en la actividad practica de la humanidad, muy lejos de ser agotadas, permiten ampliar las investigaciones y desarrollar trabajos tecnico s y cientificos dirigidos a encontrar solucion a todos los asuntos relacionados directa 0 indirectamente con la meteorologia, en particular, 0 con la ciencia, en general. Estas posibilidades estan relacionadas con la construocion de modelos matematicos que simulen desde cada una de las caracteristicas de cada uno de los elementos involucrados con la atmosfera, hasta supermodelos que permitan pronosticar no solo el proximo estado del tiempo sino el clima mismo. Los modelos matematicos posibilitan sustituir la investigacion de un objeto 0 elemento real "no matemalico" (un fenomeno de la naturaleza, una o varias caracteristicas de uno 0 varios elementos meteorologicos, etc.) por la solucion de un problema matematico y analizar esa realidad utilizando todo el aparato matematico universal que no esta condicionado 0 no depende de la naturaleza· real del objeto 0 elemento. Despues de elaborar el correspondiente modele matematico, con 10 cual se formaliza eI elemento, que destaca y describe, con ayuda de ecuaciones, sus rasgos y propiedades esenciales, se puede realizar un analisis cuantitativo detallado y se puede predecir como se comportara el elemento bajo diferentes condiciones. La utilizacion de metodos numencos en computadores amplio el numero de asuntos a ser estudiados mediante modelos matematicos. Actualmente, al construir la mayor parte de modelos matematicos, no es necesario recurrir a simplificaciones 0 elias cada dia son menos; basicamente 10 fundamental as tomar en consideracion las particularidades sustanciales del e1emento y reflejarlas en el modelo. De todas formas siempre surge el problema de la calidad del modelo hipotetico y la decision sobre si son 0 no correctas las suposiciones iniciales. La solucion del problema de la aplicabilidad de un modele no es estrictamente matematica y, por 10 mismo, no puede resolverse por metodo s maternatioos. Aqui eI criterio fundamental es la experirnentacion, la practica. en el sentido mas amplio de la palabra, que permite comparar diferentes modelos y seleccionar el que reproduzca las caracteristicas del elemento estudiado, dentro de los limites de la precision requerida y que sea, simultineamente, el mas simple. Cada una de las propiedades 0 caracteristicas del sistema atmosferico, interactua con una 0 todas las propiedades 0 caracteristicas restantes y, ademas, 10 hace en un completo rango de escalas temporales y espaciales, que abarcan desde los tenornenos de muy pequeria escala, baja amplitud y corto periodo, (milimetricos y de muy corta ouraclon) hasta aquellos que cubren toda la Tierra e inclusive el Universo mismo y duran muchos arios (alta amplitud y largo periodo). Puesto que las propiedades fisicas que definen el estado y evolucion del tiempo y el c1ima son muy complejas y variadas es imposible, en el estado actual de la ciencia, concebir un modelo que defina a la atmosfera en forma completa. Por 10 anterior, es necesario concebir modelos unitarios y/o parciales que consideren toda 0 una parte de una 0 varias de esas propiedades. La comunidad cientifica internacional, en general, y la meteorologica, en particular, Ie asignan un importante papel al modelado numerico del sistema atmosferico. En este sentido coinciden todos los investigadores, cuyas ideas y propuestas son resumidas muy adecuadamente por Nunez (1987); de este autor y para resaltar la importancia del modelado matematico en el desarrollo de la meteorologia, se hace a continuacion, una sintesis adaptada. Los procesos del sistema atmosferico pueden representarse en terminos de un conjunto de ecuaciones dinamicas y termodinamicas junto con las ecuaciones apropiadas de estado y las leyes de conservacion para constituyentes como eI agua, el anhidrido carbOnico y el ozono en eI aire y la sal en los oceanos. Esas ecuaciones, oblliamente, contienen los diferentes procesos que determinan los cambios en temperatura, velocidad, densidad y presion y se agregan, ademas, otros procesos relevantes como la evaporacion, condensacion, precipitacion, radiacion y la transferencia de calor y cantidad de movimiento por adveccion, conveccion y turbulencia, como as; tambien los procesos quimicos y biologicos. Tanto en el modelado matematico del estado del tiempo como en el del clima, se usan los mismos principios fisicos, pero en el del clima se introduce un numero mayor de aproximaciones fisicas y numericas, a causa de la limitada capacidad actual para observar el sistema c1imatico y computar su comportan"ento. Geoffslca Colombians N9 1, Octubre de 1992 . 11 Nul\ez (1987) igualmente concluye que los modelos tarnbien pueden usarse con cierta confianza para investigar la reacci6n del clima ante las imaginables perturbaciones naturales y las provocadas por eI hombre, y aaber si esos cambios pueden distinguirse de las fluctuaciones climatioae naturales. Obviamente, para lograr establecer esa distinci6n, es necesario determinar muy bien 10 relacionado con las f1uctuaciones naturales, las cuales se intenta conocer y cuantificar con base en modelos que usan los datos observados, tal y como es el caso del presente trabajo. Aun cuando a nivel de la regi6n tropical- ecuatorial y a nivel local, no se han logrado avances significativos en eI modelado numerico del tiempo ni del clima, ya se han logrado importantes progresos en el pron6stico nurnerico del estado del tiempo a nivel mundial y en la simulaci6n de los campos globales observados de presi6n, vientos, temperatura y lIuvias, junta mente con cambics estacionales y con particularidades regionales importantes tales como los monzones. Para finalizar esta secci6n, podemos resumir senalando que una de las etapas criticas en la investigaci6n basica de las propiedades de los elementos meteorol6gicos y su distribuci6n temporal y espacial es la de la construccion y anal isis de modelos matematicos que correspondan muy bien con cada una de las propiedades y particularidades de los elementos. Si se quiere lIegar a desarrollar una teoria satisfactoria sobre el tiempo y eI clima sera necesaria, obviamente, Ia uni6n de todos los modelos que tiendan a definir la estructura de la atm6sfera ylo la variabilidad espacial y temporal de cada uno de los componentes del sistema atmosterico: esa uni6n ofrecera una base para la major comprensi6n de los diferentes procesos meteorol6gicos y poslbilitara la implementaci6n de modelos integrados que simulen todos los procesos atrnostericos relevantes y que perrnitan pronosticar adecuada y oportunamente eI estado del tiempo y el del dima. En el sentido anterior, cada una de las investigaciones te6ricas que determinen un modele sobre alguna de las caracteristicas de un e1emento de la atmosfera, se constituye en un aporte pequeno perc necesario para la solucion futura del modele integrado. 3. METODOLOGIA UTILIZADA Lo que se acostumbra en general, y en particular en Meteorologfa, es tratar, por medio de regresiones, de acomodar .un modelo maternatico preestablecido (lineal, logaritmico, exponencial, etc.) a un conjunto de datos reales de un muestreo, "Sin tener en cuenta los contenidos de frecuencias y longitudes de onda de las senales. Mediante eI analisis de Fourier (vease Cooley et al., 1970), se posibilita la determinacion de un modelo rnaternatico no preestablecido y en terminos de los parametros de frecuencia y longitud de onda ya mencionados y que son los determinantes verdaderos en los analiais de variabilidad espacio-temporal de los elementos meteorol6gicos. Las lunciones de presion, temperatura, humedad del aire, etc., son funciones temporales y espaciales continuas. Un muestreo en eI tiempo de cualquiera de elias (fl')' se puede considerar como Ia convolucion de (x) con la funci6n delta de Dirac, cuyo resultado es una funci6n discreta y peri6dica. fj = f(x). L l)(x-nA) = n="""OO = L f(X-nA) = L fijD-nA) n=-oo n="""OO [1] en el intervalo 0 :5j :5 N- i. Los parametres N, 0 Y NO representan el numero de intervalos de muestreo, eI intervalo de muestreo y la longitud del registro (Iongitud de onda fundamental). EI procesamiento cuantitativo de datos en meteorologia, se inicia representando la informacion en terrruno s de una serie arm6nica, la cual permite un tratamiento maternatico adecuado. Para muestreos en una dimension la longitud del registro es: L = A = NO EI vector de onda esta dado por: k = k".e, k = (21tn/L).e, O:5n:5N-l y eI vector posicion: r = x.e, r= jD.e, O:5j:5N-l Cada observaci6n se puede representar en terminos de la serie arm6nica: N-l -4-4 Fj = I Cn.eik ' [2] n-O i=J(-l) La suma de las desviaciones cuadraticas con respecto a la serie inicial N-l N-l I (I - F\2 = I 1)2 j-, a3,....•.' definen la presencia de frecuencias en orden ascendente en eI espectro y, por 10 tanto, determinan la forma de la senal, mientras que.a, solamente ubica un desplazamiento de la sena a partir del origen. Los valores que aparecen en la Tabla 14. son los coeficientes de Fourier obtenidos al aplicar la transformada de Fourier (ecuacion [9]) a los datos de la Tabla 13. 4.3.2 Pron6stico de val ores horarios Usando el promedio de 24 horas anteriores y aplicando la serie de Fourier con la ecuacion (9) se obtienen los coeficientes de Fourier (Tabla 14) y se determinan, con relativa buena precision, los valores horarios de humedad para periodos de 6 y 12 horas, calculando el valor de la funcion en cualquier punto (hora) en la sene mediante la eouacion (8). En caso de no disponer del valor promedio determinado con base en 24 horas anteriores, se puede usar ~ promedio d~finido par cualquiera de las formulas alternatlvas. previa correccion para convertirlo en media de 24 horas. En Colombia se utiliza generalmente la formula: Ud = (Uo7+U,3+U19)/3 [18] el primer coeficiente de Fourier sera: ao = 2,[Ud + AU) [19] Ud, U07' U'3' U,. = Humedad relativa media diaria, a las 07, 13 y 19 horas. ,.U = diferencia media mensual entre la humedad relativa media diaria determinada con base en las observaciones de las 07, 13 y 19 horas. y la determinada con base en 24 horas. EI AU que se utiliza en este trabajo (Tabla 15) fue determinado por Eslava (1991c, 1992). Un ejemplo de la aplicacion del modelo al pronostico se presenta en las Tablas 16 a 18 y Fig.4, en las cuales con los datos de humedad relativa del aire medidos en el Observatono Meteorologico Nacional el 6 y 7 de octubre de 1960 a las 07, 13 y 19 horas (tornados de IGAC,1961), se pronostican los valores horarios para periodos de 12.6 y 6 horas. 18 Eslava & Diaz: Anallsls Fourier descr. variac. e1em.cUm. Tabla 13. Humedad Relativa media horarla del a1re (%), en santaf6 de Bogota Hora Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Die Ailo 01 88 88 87 87 90 87 88 87 90 92 92 90 89 02 89 88 88 90 90 91 89 89 90 93 93 90 90 03 90 89 89 91 91 91 90 90 91 94 94 91 91 04 91 90 90 91 92 92 91 91 92 94 94 92 92 05 92 91 90 91 92 92 92 92 92 95 94 92 92 06 92 92 90 91 92 93 92 92 92 95 93 91 92 07 89 90 89 89 89 87 87 87 87 91 90 88 89 08 80 80 79 80 79 78 77 78 77 80 79 80 79 09 67 65 67 69 70 69 68 67 65 68 68 67 68 10 57 58 58 63 65 63 62 61 58 62 61 59 61 11 51 52· 54 80 62 80 59 57 55 58 58 54 57 12 48 49 51 59 61 58 58 55 ~ 58 58 52 55 13 48 50 51 59 60 57 55 54 60 ·58 54 55 14 50 52 54 60 60 57 55 54 53 63 61 56 56 15 53 55 58 62 62 58 55 55 54 65 66 60 59 16 58 58 61 65 64 60 56 56 56 68 70 65 61 17 62 62 64 69 67 63 59 59 59 71 73 69 65 18 69 68 70 74 72 68 63 64 65 76 77 75 70 19 75 73 74 79 77 73 68 70 71 81 81 79 75 20 79 76 77 82 81 76 73 74 75 64 84 82 79 21 82 79 79 85 83 79 77 77 79 87 86 85 82 22 84 82 81 86 85 82 80 80 82 89 88 86 84 23 86 84 83 87 87 86 83 83 85 90 90 87 86 24 87 86 85 88 88 87 86 85 87 91 91 88 87 M 74 73 74 77 77 75 73 73 73 79 79 76 76 Tabla 14. Coeficientes de Fourier h obtenidos al aplicar la transformada de Fourier Jecuaci6n 9) a los promedios horarios de umedad relativa del aire en santaf6 de Bogota abla 1) #OND Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Ocl Nov Die Ailo 0 147.21 146.33 147.33 154.79 154.83 150.58 146.67 146.33 146.62 158.71 158.04 152.58 151.08 1 4.14 4.83 4.41 2.63 3.72 5.30 6.57 6.36 5.57 2.49 2.07 2.47 4.28 2 20.65 19.25 17.76 16.05 15.79 16.96 17.49 17.79 19.54 17.51 17.60 18.45 17.83 3 -1.59 -1.63 -0.72 -0.53 -1.26 -2.10 -3.21 -2.70 -2.09 0.63 1.39 0.57 -1.17 4 -6.65 -5.83 -5.58 -4.54 -3.64 -3.25 -2.83 -3.64 -3.67 -4.46 -4.64 -5.91 -4.64 5 -2.83 -3.52 -3.31 -2.18 -2.01 -2.53 -2.63 -2.65 -2.80 -3.42 -3.60 -2.95 -2.67 6 -0.69 -0.68 -0.37 -1.32 -1.52 -1.40 -1.66 -1.68 -1.78 -1.72 -0.75 -0.62 -1.26 7 0.92 0.98 0.85 0.43 0.10 -0.22 0.02 0.12 0.29 0.86 0.67 0.83 0.57 8 1.25 1.58 1.25 1.21 1.13 1.00 1.00 1.21 1.46 1.38 0.83 1.04 1.08 9 0.15 0.43 0.11 0.36 0.50 0.48 0.43 0.26 0.46 0.44 0.41 0.21 0.36 1O~ -0.11 0.00 0.02 -0.17 0.27 0.07 0.43 0.21 0.09 0.10 0.22 • -0.22 0.07 11 -0.31 -0.23 -0.45 -0.63 -0.28 -0.01 -0.13 -0.13 -0.20 -0.16 -0.39 -0.39 -0.33 12 -0.46 -0.75 -0.83 -0.62 -0.58 -0.67 -0.33 -0.58 -0.54 -0.54 -0.71 -0.25 -0.58 13 0.05 -0.30 -0.11 -0.33 -0.06 -0.16 -0.33 -0.09 -0.07 -0.37 -0.14 -0.04 -0.18 14 0.05 0.23 0.32 0.00 -0.07 -0.34 -0.11 -0.10 0.07 -0.07 -0.04 0.23 0.04 15 0.04 0.30 0.15 0.03 0.11 -0.18 0.13 -0.01 0.09 0.03 0.15 0.17 0.13 16 0.08 0.33 0.08 0.04 0.21 -0.17 -0.08 -0.04 0.12 0.21 0.17 0.21 0.08 17 -0.07 -0.02 0.14 -0.05 0.26 -0.04 0.02 -0.07 0.04 -0.04 0.02 0.01 0.16 18 -0.22 -0.32 -0.13 -0.26 0.02 -0.10 -0.01 -0.15 -0.13 -0.19 -0.16 -0.38 -0.08 19 0.09 -0.07 -0.02 -0.10 -0.11 0.04 0.09 -0.07 0.21 -0.03 -0.06 0.09 -0.11 20 -0.01 0.08 -0.09 -0.21 -0.03 -0.08 -0.09 -0.03 0.08 -0.13 -0.02 0.16 -0.02 21 -0.1 0.23 '-0.20 -0.03 -0.02 -0.20 -0.01 0.12 0.05 0.07 -0.12 0.05 0.01 22 0.07 0.03 -0.10 -0.05 0.01 -0.19 -0.14 -0.07 -0.04 0.13 -0.10 0.04 -0.11 23 0.01 0.00 0.15 -0.12 0.06 -0.38 0.05 -0.14 -0.05 0.02 0.11 -0.01 -0.05 EI anaftsls de los resultados obtenidos al aplicar el modelo muestra claramente que se pueden Tabla 15. Dlferencla media mensual entre ladetectar posibles errores en la serie original 0 humedad relativa media diaria (%) determinada que las desviaciones grandes pueden estar con base en 24 datos (1) Y 3 datos (2) indicando la presencia de una situaci6n meteorol6gica no usual; por e110, el modelo Humedad media AU Mes (1) (2) [1]-{2] puede utilizarse para efectuar un control de calidad de los datos. Enero 74 71 3 Las desviaciones (6) entre los valores obtenidos Febrero 73 71 2 Marzo 74 72 2 aplicando eI modelo y los valores medidos se Abril 77 76 1 consideran, en algunos casos, relativamente Mayo 77 75 2 altas; elias dependen de condiciones Junio 75 72 3 Julio 73 70 3 meteorol6gicas muy particulares condicionadas Agosto 73 70 3 por la amplitud de la temperatura y la ausencia Septiem 73 70 3 Octubre 79 77 2 o presencia de nubosidad. Noviemb 79 76 3 Los ensayos ya efectuados indican que el Diciemb 76 74 2 Ario 76 73 3 modelo tiene una tendencia a modificar la amplitud de la curva y que es posible lIevar estas desviaciones a valores minimos mediante la aplicaci6n de un filtro que involucre las variables que ocasio nan esas desviaciones. Geofislca Colombians N2 1, Octubre de 1992 19 Tabla 16 Valoree medlo8 horarios de humedad relativa del aire ('Y.) en Santafe de Bogota, medidos IMl y prono8ticado8 (P) (6 Y 7 de octubre de 1900) aphcando el modele \Dia 6 6-10-00 7-10-00 Hora M P M • P M • 01 96 95 1 02 97 98 -1 03 98 99 -1 04 98 100 -2 05 99 100 -1 06 99 100 -1 07 100 95 96 -1 13 42 19 92 20 88 94 -6 21 91 79 12 22 93 92 1 23 94 97 -3 24 95 98 -3 Tabla 17 Valores medios horarios de humedad relativa del aire ('Yo) en santafe de Bogota, medidos (Ml y pronosticados (P) (6, 7 y 8 de oclubre de 1!f60) aplicando el modelo \Dia 6 7 7-10-60 Hora M M P M • 07 96 08 79 69 10 09 67 72 -5 10 61 62 -1 11 57 53 4 12 57 55 2 13 42 59 53 6 19 92 Tabla 18 Valores medtcs horarios de humedad relativa del aire ('Yo) en Santafe de BOcreta, medidos (MJ r prono8ticados(P) (6 y 7 e octubre de 19 0 aphcando el modele \Dia 6 7 7-10-60 Hora M M P M • 07 96 13 53 14 66 60 6 15 68 62 6 16 71 62 9 17 74 57 17 18 79 64 15 19 92 84 67 17 •• sa ., ,.L.L_-'-------'-_-'-------'--_'-----'--~'-------"-----c:'--=-__'________'_ 20-6 21~ 22-6 23-6 2(-8 OJ-7 02-7 03-7 0-4-7 05-7 08-7 07-7 Hora-Dfa ---+-- PRONOST1CADA. -&- WBDlDA Figura 4. Valores de humed.cl "...tiva del aire medidos (6 y 7 de octubre-19601 y pronosticados con el modele (Tab a 16) 5. CONCLUSIONES Los modelos definidos adernas de presentar una excelenle correlacion con los dalos de enlrada, se aplicaron como pronoslicador a varies periodos y se encontro, en la mayor parte de los cases, una muy buena concordancia entre los valores generados y los observados. Los resullados oblenidos son muy promisorios pues se trato de una aplicacion preliminar de la melodologia, que aun puede mejorarse medianle el manejo del procedimienlo esladislico que delerrnina los valores medics de los elemenlos meteoroloqicos, idenlificando las variables que generan las modificaciones en la amplilud de la senal y la utilizacion de fillros que conlamplen las variables que originan esas diferencias y las disminuyan a un grade aceptable, previa definicion de las variables que inlervienen y la forma en que 10 hacen. 20 Eslava & Diaz: Analisis Fourier descr. variac. e1em. clim. 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