Geoffslca Colombiana NR 1, Octubre de 1992 UNA SOLUCION AL PROBLEMA INVERSO EN GEOMAGNETISMO RAMIRO L. DIAZ Profesor Asociado Depto de Geociencias-Facultad de Ciencias-Universidad Nacional de Colombia 53 Diaz, R.L.: Una solución al problema inverso en geomagnetismo . Geofís. Colomb. 1:53-56 , 1992. ISSN 0121-2974 RESUMEN Un terna importante en geofísica, es el problema inverso en geomagnetismo. En este trabajo se propone un método para reso lverlo, que consiste en hallar la solución de un sistema móvil de ecuaciones no lineales a lu largo de un perfil magnético. Conociendo los datos de anomalías magnéticas y por medio de un programa qu e ejecuta un proceso iterativo eficiente, se determina la estructura bidimensional bajo el perfil muestreado . ABSTRACT An ínteresting aspect in Geophysics is the inverse problem in Geomagnetism. This paper pro poses a method for so lving it. So, th e objective is lo solve a mobi l system of non linear equations along a magnetic profile . From knowed magnetic anoma lies and using an efficient iterative process , it is possible lo find a bidimensional structure below a sample pro file . 1. INTRODUCCION Encontrar el modelo que mejor interprete la estructura geológica a través de sus manifestaciones magnéticas, equivale a decir que se ha solucionado el problema inverso en geomagnetismo. Se prop_one un método para encontrar una solución al problema inverso a partir del modelo propuesto por Campbell & Hines ( 1981) . El método consiste en solucionar un sistema móvil de ecuaciones no lineales a lo largo de un perfil magnético, en lo posible perpendicular a la estructura. Es un proceso iterativo que se repite hasta lograr el modelo que cumpla con las condiciones requeridas (Robert & Gex, 1985). La aplicación del método a un perfil magnético permite hacer un análisis de la convergencia y de las ventajas que presenta. 2. CONSIDERACIONES ANAUTICAS Campbell & Hines (1981), proponen el siguiente modelo en interpretación magnética: n : Número de vértices del polígono al cual se aproxim a la secc1on transversal de la fuente magnética t-. T;c: Campo magnético total calcu lado a partir de la estructura magnetizada M = 2 X To (1 -Cos2 (1) Cos2(S)] Factor que determina las propiedades magnet1cas de la estructura geológica 54 Dfaz: Una solución al problema Inverso en geomagnetlsmo x : Contraste de susceptibilidad magnética T 0 : Campo Geomagnético (Campo magnético inductor) 1 : Inclinación magnética S : Azimut de la estructura Pk (Zk,Z¡..1) = Sen D[(C-8) Sen(U-0) +R Cos(U-0)]: Factor geométrico del modelo D = Tan·1 [(2:¡.. , -Zk)/(Xk+, -Xk)] C = (ro'2) -Tan·1 (2:¡../Xk.,) 8 = (1t/2) -Tan·1 (Z/Xk) U= Tan·1 [Tan(l)/ Tan(S)l,...-..----,.-. R = Ln [ v(Z2k. 1 + X2k. 1)/ {(2:¡.2 + Xk2)] El modelo propuesto por Campbell & Hines (1981 ), permite calcular la anomalía magnética de la estructura bidimensional sobre un perfil determinado conociendo la posición y geometría de la fuente magnética. El problema así planteado, se denom ina problema d i recto en geomagnetismo. Se utiliza el modelo mencionado para dar solución al problema inverso; es decir, conociendo los datos de anomalías magnéticas en un perfil, se pretende determinar la estructura bidimensional. Si se tienen n muestras de campo magnético total y se desea encontrar la profundidad de la interfase magnética bajo cada punto de muestreo, se debe pensar en un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, lo cual no es conveniente cuando n es muy grande (Velleman & Hoagiling, 1981 ). Para solucionar el problema se propone un sistema móvil de tres ecuaciones que deben recorrer todo el perfil. Este proceso se debe repetir hasta que las desviaciones del campo calculado (t:. T;c), con respecto al campo observado en terreno (t:. Td.O) , se hagan mínimas. Se consi era un sistema de tres ecuaciones Q j, O;..,. Q . , evaluadas en las estaciones i, 1+ 1, i+2, ~el perfil magnético con tres incógnitas Z¡. zi+P Z;.,;>· En el recorrido del sistema por el perfil cada punto interviene tres veces en la solución del sistema. Cada una de las ecuaciones del sistema se expande en términos de una serie de Taylor con el fin de encontrar la relación de recurrencia que se emplea en el proceso iterativo (Bruce, 1981) Asf: O;= 0°; + (80°/8ZJ [Z; - zoJ + [80° /8Z;. 1] [Z;.1 -zo;.1] + (80° /8Z;.2] [Z;.2 -Z 0 ;.2] + O, 0;.1 = 0°;.1 + [80°;./8ZJ [Z;- z oJ + (80°¡j8Z;.1) (Z;. 1 -Z 0 ;. 1) + (80°;./8Z;.2] [Z;.2 -zo;.2] + O, 0 ;.2 = 0 °;.2 + [80°;./8ZJ [Z; - z oJ + (80°¡j8Z;. 1) (Z;.1 -z o;. 1) + [80 °;j8Z;.2] [Z;.2 -Z 0 ;.2] +0, [3] En donde, Z; : Profundidad real de la estructura zo; : Estimador de Z; O; : Función evaluada en (Z;. Z;.1, Z;.2) 0 °; : Función evaluada en (Z"¡, ZO;.,, zoi+2) 80 ° /8Z; : Derivada de la función O;. evaluada en Z"¡, zo;.,. Z0 ;.2 a, : Residuo en la serie de Taylor. Los valores O;. 0 ;.1• 0 ;.2 y 0, deben tender a cero a medida que el campo calculado se aproxima al valor del campo observado ; es decir, el modelo obtenido representa la estructura geológica. Bajo estas condiciones el sistema [3] se puede expresar de la siguiente forma: 0 °; = [8Qo /8ZJ [Z0 ; - ZJ + [80° / 8Z;. 1] [Z0 ;. 1 -Z;. 1] + [80 ° /8Z;.:J [Z0 ;.2 -Z;.2) 0°;.1 = (80°;./8ZJ [Z 0 ; - ZJ + [80°;./8Z;.1) [Z0 ;. 1 -Z;. 1) + [80 ";. ,18Z;.2) [Z 0 ;. 2 -Z;.2l 0°;.2 = [80 °;./8ZJ [Z0 ; - ZJ + [80°;j8Z;. 1) (Z"¡., -Z;.1] + [80°;./8Z;.2) [Z0 ;.2 -Z,. 2) [4] Geoffslca Colombiana ~ 1, Octubre de 1992 a o. 1 De modo que: a o = J (Zo- Z) z = zo- J' l ao [5] Z : Matriz cuyos elementos son los valores que más se aproximan a los Z¡ reales zo : Matriz que contiene los estimadores de Z; ao : Matriz de desviaciones J : Jacobiano del sistema El proceso se realiza utilizando un programa cuyo algoritmo se plantea en la ecuación de recurrencia [5]. Se inicia con una primera aproximación a la estructura geologica y se ajusta el modelo, mediante aproximaciones sucesivas, hasta obtener la estructura que mejor satisface el muestreo magnético del campo total. En el programa se usó una tolerancia de 1 0.1 1 para los 0 ;. 3. CONVERGENCIA Y EXACTITUD DEL METO DO Se considera el perfil magnético cuyos datos se consignan en la Tabla 1, con origen en el punto A. Observando los resultados de los cálculos suministrados por el programa (Tablas 2 a 5), se infiere que, a partir de una burda aproximación, en más o menos cinco iteraciones se consigue un modelo ajustado a la estructura geológica, lo cual garantiza su eficiencia. Los puntos 1 y 8 son de amarre en el modelo. La topografía se mide como una altura sobre el nivel del mar y los valores de Z son profundidades bajo el nivel del mar. 55 Tabla 1 Datos del perfil magnético Estac Anomalia(y) Dirdinateur. Bulletin de l'lnstitut de Géophysique, N26. Université de Lausanne. Velleman, P.F. & D.C. Hoaglling. (1981) : Applications Basics and Computin_g of exploratory Data Analysis. Duxbúry fYress, Boston , Massachuset1s.