UN MODELO GEODESICO PARA COLOMBIA WILLIAM ALBERTO MARTINEZ DIAZ Instituto Geografico "Agustin Codazzi", Unidad de Geofisica GERMAN A. ROCHA A. Universidad Distrital "Francisco Jose de Caldas"·Facultad de Ing.Catastral LAURA MARLENE SANCHEZ RODRIGUEZ Instituto Geoqraflco "Agustin Codazzi", Unidad de Geofisica Martinez, W.A., G.A. Rocha & L.M. Sanchez (1995): Un Modelo Geodesico para Colombia. Geoffs. Colomb. 3:59-66. ISSN 0121-2974 RESUMEN La informaci6n gravimetrica procesada esta compilada en el Mapa de anomalia Bouguer simple de Colombia, este de Panama y aereas marinas adyacentes, publicado por "The Geological Society of America Inc." en 1989. A partir de los valores de la anomalfa lsostatica (aproximada), resultante de la diferencia entre la anomalfa Bouguer simple observada y la misma, procesada por medio de la Transformada de Fourier Bidimensional, se aplic6 el modelo ffsico-matemattco de Stokes, con el cual se determinan las ondulaciones geoidales relacionando la gravedad normal, el potencial an6malo y las anomalfas de la gravedad; tales ondulaciones se referenciaron al elipsoide WGS-84. ABSTRACT The processed gravimetric information is compiled in the SIMPLE BOUGUER GRAVITY ANOMALY MAP OF COLOMBIA, EASTERN PANAMA AND ADYACENT MARINE AREAS, published in 1989 by The Geological Society of America Inc. Based on Isostatic anomaly values (approximated) obtained for difference between the observed Simple Bouguer anomaly values and itself, processed by means of the Bidimensional Fourier Transform, the Physical-Mathematical Stokes model was applied. With this model can be possible to determine the geoid undulations, relating the normal gravity, the anomaly potential and the gravity anomalies; these undulations are based on the WGS-84 ellipsoid. 1. FORMULA DE STOKES EI desarrollo del modelo geoidal esta basado en la Ley de Gravitaci6n Universal, la teorfa del potencial gravitacional, los modelos te6ricos que. representan el comportamiento terrestre y sus desviaciones con respecto al comportamiento real de la Tierra. Relacionando el potencial anornalo (Tij) con la gravedad normal (r) sobre la superficie terrestre se obtienen las ondulaciones geoidales (N). La integral de Stokes permite determinar el valor del potencial anornalo resolviendo la Ecuaci6n Fundamental de la Geodesia Ffsica: donde: T;: 15r;j15n: es el potencial anomalo 0 de perturbaclon. es el gradiente anornalo (derivada parcial de T en la direccion normal. es la gravedad normal. es la anomalfa de la gravedad empleada en el modelo. r: dg: Ecuaci6n que constituye el tercer problema de valor limite en la teorfa del potencial (Heiskanen & Vening Meinesz, 1958; Pick et al., 1973). EI potencial anornalo (Heiskanen & Moritz, 1967) se define como: [2] [1] donde: R: es el radio de la esfera con igual volumen al del elipsoide terrestre. Este radio equivale al radio medio de la Tierra. do: denota un elemento de superficie sobre la esfera terrestre. Ijf: distancia esterica entre el punta de calculo (4), r) Y el elemento de superficie ubicado en W, r'), S(Ijf): es la funcion de Stokes. S(IjI) = _1_ - 2Sen~ + 1- 5CosIjI Sen~ 2 2 - 3Cos[ln(Sen~ + Sen2-.!.»)2 2 [3] Mediante el Teorema de Bruns se obtienen las ondulaciones geoidales: T N =..:....!L; r R j'N = -- t:J.g S(Ijr) do 41tr a Es posible sustituir en esta ecuacion la gravedad teorica (F) por un valor medio de gravedad en la superficie terrestre, sin cometer errores apreciables. Asf: R j'N = -- t:J.g S(1jJ) do 41t G a 2. MANEJO DE LA INFORMACION GRAVIMETRICA La informacion gravimetrica procesada se encuentra recopilada en el mapa "Simple Bouguer gravity anomaly map of Colombia, eastern Panama, and adjacent marine areas" (Edicion de 1989) (Kellogg et.al., 1983) (Fig. 1). Las fuentes de este mapa son: datos de Mott-Smith (1941), Instituto Geoqrafico "Agustin Codazzi" (1941-1969,1991), Exploracion California (1958), Nunez (1967), Harding,Woollard, Monges, Oldham, Case (1971 y levantamiento trans-andino), Quintero (1977), Kellogg-Bermudez (1978). Mapas de: Van Buskirk (1948), Case et al. (1971, 1973), Case-MacDonald (1973), Case (1974), Bermudez (1978), Bonini et al. (1980), Bermudez-Acosta (1978), Kellogg (1980), Hayes (1966), Bowin (1976), Briceno (1978). En esta aproxirnacion a la forma y dimensiones del geoide en Colombia se realize la conversion del Datum Internacional de 1971 sobre el cual esta referenciado el mapa fuente al WGS-84 (World Geodetic System-1984) mediante la transtorrnacion abreviada de Molodenskii (D.M.A., 1987) 3. ANOMALIA UTILIZADA EN EL MODELO La anomalfa mas apropiada para el calculo del geoide a travss de la F6rmula de Stokes es la lsostatica (Heiskanen & Moritz, 1967), puesto que los valores de esta oscilan en torno acero, su variaci6n es suave y es independiente de la topograffa, facilitando por ello la interpolaci6n y extrapolacion en zonas donde no hay. cubrimiento gravimetrico. Por otra parte, la compensaci6n isostatlca ocurre a nivel regional, garantizando que un valor de anomalfa pueda asumirse caracterfstico de un area considerable. La reduccion isostatica desplaza paralelamente las masas topoqrancas, condensandolas sobre la superfice geoidal, ademas tiene .en cuenta el efecto de las masas de compensaci6n y genera deformaciones en las superficies equipotenciales menores que las de la reduccion Bouguer, ocasionando un efecto indirecto inferior a las ondulaciones geoidales (Pick et aI., 1973; Torge,1983). 3.1 Calculo de la anomalfa Isostatica Partiendo de la anornalfa Bouguer simple que asume valores altamente positivos en la corteza oceanica y fuertemente negativos en la continental y habiendo eliminado la influencia de las masas topograticas, se deduce que la variaci6n en los valores de anomalfa obedece a la presencia, de otras masas no tenidas en cuenta que son, en terminos regionales, masas de compensacion. AI presentarse la condicion de equilibrio isostatico de la corteza la diferencia entre la anomalfa Bouguer observada y la regularizacionde esta por medio de un modelo matematico debe ser cero; en caso contrario la condicion de equilibrio isostatico no esta plenamente satisfecha. De acuerdo con Tsuboi (1983), esta diferencia es la anomalfa lsostatica. La forma mas apropiada de obtener la anomalfa Bouguer Calculada es a traves del analisis discrete de Fourier. Los datos de anomalfa Bouguer simple contenidos en el mapa pueden representarse mediante la serie armonica: [4] [5] donde: CGmn: son los coeficientes de Fourier calculados a traves de la transformada directa y equivalen a: CG =_1_", '" t:J.g e-/limn" eZkmn [6] mn MN7.tr /k Kmn: es el vector de onda r: es el vector posicion M,N: corresponden al nurnero de puntos muestra en las direcciones x e y. Para el procesamiento de los datos se establece una grilla de 64x64 (mxn)con intervalos de 0.25° que corresponden a la dimension de la grilla y al intervalo de muestreo respectivamente. En las zonas sin informacion gravimetrica se asume la anomalfa Bouguer igual a cero para evitar el efecto Gibbs (Dlaz, 1983). En la eliminaclon de las frecuencias altas se utiliza un filtro de paso bajo (Dlaz, 1983) que permite obtener senates con frecuencias bajas, longitudes de onda y perfodos largos. En la seleccion de la funci6n filtrada se procure elegir aquella en la cual se eliminan los cambios locales en la anornalla, sin filtrar en exceso la serial, de modo que no obedezca a condiciones continentales que resultan bastante generalizadas para el area en estudio. En la serial filtrada (Fig. 2) se eliminan las anomalfas con frecuencias altas, no se observan cambios locales de gravedad y la tendencia no es excesivamente regioncll La tuncion filtrada evidencia en forma general los procesos geotect6nicos que se manifiestan en las variaciones gravimetricas del pafs, proporcionando valores residuales (anomalfa isostatica) representativos para zonas amplias, asf como longitudes de onda largas, perfodos amplios y frecuencias bajas, que son caracterfsticos de la anomalfa isostatica. 3.2 Anomalla Isostatica .,' La tendencia general de la anomalfa isostatica en Colombia (Fig. 3) es similar a la de la anomalfa Bouguer simple, su valor maximo es de +13 mGal sobre la Sierra Nevada de Santa Marta, y el mfnimo 8S de -18 mGal en el . Departamento del Huila. La magnitud de la anomalfas decrece rapidamente en sentido WoEen la zona del Pacffico y sobre las cordilleras (5 mGal en 28 km). En la region Andina se presentan los valores mfnimos en los Departamentos de Cauca y HUila(-18 mGal), ademas del alargamiento de las curvas en sentido SW-NE en la direcci6n de las cordilleras presentando un gradiente estrecho hacia el sur (5 mGal en 22 km) el cual se ensancha en el Magdalena Medio (5 mGal en 56 km). Sobre el area selvatlca y los Llanos Orientales, el gradiente es bajo ancho con cam bios suaves de gravedad (5 mGal en 140 km). Se destacan como rasgos particulares de mayor importancia los valores altos en la Sierra Nevada de Santa Marta (sobre +10 mGal), valores altos negativos en la zona Andina (-15 mGal) y Costa Pacffica (-13 mGal) debido a procesos geotectonicos. 4. DETERMINACION DE LAS ONDULACIONES GEOIDALES La f6rmula de Stokes (Ec. [4]) se plantea en terminos de una integral sobre toda la superficie terrestre. AI estudiar un area especffica es necesario sustituir tal integral por una sumatoria de elementos finitos, los cuales se obtienen subdividiendo el area de interes en compartimientos pequefios (k). Sa utili zan compartimientos rectangulares formados por la intersecci6n de meridianos y paralelos definidos por un sistema fijo de coordenadas. Tarnbisn se requiere la determinaci6n de anomalfas medias en cada elemento de area. Tomando la Ec. [4], para un compartimiento se tiene: N "" .B: [ ag S(1\1) do 41t G 0 y, para todos los compartimientos: R j'N"" -- L ag S(lh) do 41t G k 0 Asf: donde: La funci6n de Stokes cuantifica el efecto de las anomalias gravimetricas-en este caso la anomalia lsostatica- sobre la ondutacion geoidal en el punta de calculo, en otras palabras, actua como una funci6n ponderadora. Esta funci6n presenta inconvenientes en la cercania del punta de calculo, ya que alii tiende al infinit~; para r.esolver este problema se definen dos zonas de influencia, una interna, la mas proxima al punta de calculo, y una externa, en torno a la anterior. La contribuci6n total estara dada por (Heiskanen & Moritz, 1967): N = N, + N. [9] La zona interna se asume plana y su dimensi6n aumenta hasta donde el error en que se incurre por este supuesto deje de ser despreciable. En este trabajo la distancia esferica que define dicha zona es de 0.5° equivalente a 55.3 Km referida al elipsoide WGS-84. La contribuci6n de esta zona es: [10] es la distancia plana en metros entre el punta de calculo y el compartimiento (k). La zona externa esta delimitada por la distancia esterica 15.75° a la cual se encuentran los valores de anomalia mas distantes; estos son ponderados por la Funci6n Modificada de Stokes (Ec.[11]), que resulta de la norrnallzacion de funci6n original (Ec.[3]) (Pick et aI., 1973) yes valida para longitudes menores de 25° (Heiskanen & Vening Meinesz, 1958): [11] La funci6n modificada de Stokes presenta variaciones pequefias dentro de cada compartimiento permitiendo ~omar el valor correspondiente al centro como el representative. Asf, se tiene: La integral final corresponde al area del compartimiento. Por tanto: [7] [12] [8] Finalmente, sustituyendo las Ecs. [10] Y [12] en las Ecs. [7] y [9) se tiene la contribuci6n total de las anomalias en la ondulaci6n geoidal en cualquier punta: Anteriormente se expuso que (G) y (R) corresponden a valores medios de gravedad y radio terrestre respectivamente; sin embargo, se pueden calcular para cad a punta de estudio. Asi, el valor de (G) estara dado por la gravedad teorlca (sobre el elipsoide WGS 84) en el punta de calculo y el radio (R) sera su radio geocentrico (Ramirez, 1980). 12.25 1'1.26 10.25 9.25 8.25 7.25 6.25 0 :::J I- 5.25H I- <{ .J 4.25 3.25 2.25 1.25 0.25 -0.75 -1.75 -2.75 LCNGITUD ~ ~ ~ ~ s s s ~ ~ ~ ~ ,~ ~; s s ~. . . .- .(J LJ) "t" ("') (\J ... ~ (). co "- -c (0 (J) r-, r-, '" r-, r-, r-, r-.. 1'-. r-, <, '.(1 -o >D 'C, I I I I I I I I I I I I I I Figura 1. Anomalia de Bouguer Simple (Kellog et aI., 1983) 12. ~~5 11.~~5 10. ~~5 9. ~~5 8. ~~5 7. ~~5 6. ~~5 0 ::J f- 5. ~~5H f-